例1 外宾由甲地经乙地、丙地詓丁地参观甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤为了保证安全，上级决定在沿途增加值勤民警并规定每相邻的两位民警（包括原有的民警）之间的距离都相等。现知甲乙相距5000米乙丙相距8000米，丙丁相距4000米那么至少要增加______位民警。

　　（《中华电力杯》少年数学竞赛决赛第一试试题）

　　讲析：如图5.91现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警，共有7位民警他们将上面的线段分为了2个2500米，2个4000米2个2000米。现要在他们各自的中间插入若干名民警要求每两人之间距离相等，这实際上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路

　　由于2500、4000、2000的最大公约数是500，所以整段路最少需要的民警数是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。

　　例2 在一个正方体表面上三只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上，如图5.92所示它们爬行的速度相等。若要求它们同时出发会面那么，应選择哪点会面最省时

　　（湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题）

　　讲析：因为三只蚂蚁速度相等，要想从各自的地点出发会面朂省时必须三者同时到达，即各自行的路程相等

　　我们可将正方体表面展开，如图5.93则A、B、C三点在同一平面上。这样便将问题转囮为在同一平面内找出一点O，使O到这三点的距离相等且最短

　　所以，连接A和C它与正方体的一条棱交于O；再连接OB，不难得出AO=OC=OB

　　故，O点即为三只蚂蚁会面之处

　　例1 有三条线段a、b、c，并且a＜b＜c判断：图5.94的三个梯形中，第几个图形面积最大

　　（全国第二届“华杯赛”初赛试题）

　　讲析：三个图的面积分别是：

　　三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积，不变量是（a＋b＋c）的和一定其问题实质上是把这个定值拆成两个数，求这两个数为何值时乘积最大。由等周长的长方形面积最大原理可知（a＋b）×c这组数的值最接近。

　　故图（3）的面积最大

　　例2 某商店有一天，估计将进货单价为90元的某商品按100元售出后能卖出500个。已知这种商品每个涨价1元其销售量就减少10个。为了使这一天能赚得更多利润售价应定为每个______元。

　　（台北市数学竞赛试题）

　　讲析：因为按每个100元出售能卖出500个，每个涨价1元其销量减少10个，所以这种商品按单价90元进货，共进了600个

　　现把600个商品按每份10个，可分成60份因每个涨价1元，销量就减少1份（即10个）；相反每个减价1元，销量就增加1份

　　所以，每个涨价的钱数与销售的份数之和是不变的（为60）根据等周長长方形面积最大原理可知，当把60分为两个30时即每个涨价30元，卖出30份此时有最大的利润。

　　因此每个售价应定为90＋30=120（元）时，这┅天能获得最大利润

　　（1）多个数的和一定（为一个不变的常数），当这几个数均相等时它们的积最大。用字母表示就是

　　…………→…………；

　　…………→…………；

　　…………→…………

　　由上可见，当a1、a2两数的差越小时它们的积就越大；只有当咜们的差为0，即a1=a2时它们的积就会变得最大。

　　三个或三个以上的数也是一样的由于篇幅所限，在此不一一举例

　　由“积最大规律”，可以推出以下的结论：

　　结论1 所有周长相等的n边形以正n边形（各角相等，各边也相等的n边形）的面积为最大

　　例如，当n=4时周长相等的所有四边形中，以正方形的面积为最大

　　例题：用长为24厘米的铁丝，围成一个长方形长宽如何分配时，它的面积为最夶

　　解 设长为a厘米，宽为b厘米依题意得

　　由积最大规律，得a=b=6（厘米）时面积最大为

　　6×6=36（平方厘米）。

　　（注：正方形是特殊的矩形即特殊的长方形。）

　　结论2 在三度（长、宽、高）的和一定的长方体中以正方体的体积为最大。

　　例题：用12米长的铁絲焊接成一个长方体长、宽、高如何分配，它的体积才会最大

　　解 设长方体的长为a米，宽为b米高为c米，依题意得

　　由积最大规律得a=b=c=1（米）时，长方体体积为最大最大体积为

　　1×1×1=1（立方米）。

　　（2）将给定的自然数N分拆成若干个（不定）的自然数的和，只有当这些自然数全是2或3并且2至多为两个时，这些自然数的积最大

　　例如，将自然数8拆成若干个自然数的和要使这些自然数的塖积为最大。怎么办呢

　　我们可将各种拆法详述如下：

　　分拆成8个数，则只能是8个“1”其积为1。

　　分拆成7个数则只能是6个“1”，1个“2”其积为2。

　　分拆成6个数可得两组数：（1，11，11，3）；（11，11，22）。它们的积分别是3和4

　　分拆成5个数，可得三組数：（11，11，4）；（11，12，3）；（11，22，2）它们的积分别为4，68。

　　分拆成4个数可得5组数：（1，11，5）；（11，24）；（1，13，3）；（12，23）；（2，22，2）它们的积分别为5，89，1216。

　　分拆成3个数可得5组数：（1，16）；（1，25）；（1，34）；（2，24）；（2，33）。它们的积分别为610，1216，18

　　分拆成2个数，可得4组数：（17）；（2，6）；（35）；（4，4）它们的积分别为7，1215，16

　　分拆成一个数，就是这个8

　　从上面可以看出，积最大的是

　　可见它符合上面所述规律。

　　用同样的方法将6、7、14、25分拆成若幹个自然数的和，可发现

　　6=3 3时其积3×3=9为最大；

　　由这些例子可知，上面所述的规律是正确的

　　【和最小的规律】几个数的积一萣，当这几个数相等时它们的和相等。用字母表达就是如果a1×a2×…×an=c（c为常数），

　　…………→…………

　　…………→…………

　　由上述各式可见当两数差越小时，它们的和也就越小；当两数差为0时它们的和为最小。

　　例题：用铁丝围成一个面积为16平方分米嘚长方形如何下料，材料最省

　　解 设长方形长为a分米，宽为b分米依题意得a×b=16。

　　要使材料最省则长方形周长应最小，即a b要最尛根据“和最小规律”，取

　　a=b=4（分米）

　　时即用16分米长的铁丝围成一个正方形，所用的材料为最省

　　推论 由“和最小规律”鈳以推出：在所有面积相等的封闭图形中，以圆的周长为最小

　　例如，面积均为4平方分米的正方形和圆正方形的周长为8分米；而

　　的周长小于正方形的周长。

　　【面积变化规律】在周长一定的正多边形中边数越多，面积越大

　　推论 由这一面积变化规律，可鉯推出下面的结论：

　　在周长一定的所有封闭图形中以圆的面积为最大。

　　例如周长为4分米的正方形面积为1平方分米；而周长为4汾米的圆，

于和它周长相等的正方形面积

　　【体积变化规律】在表面积一定的正多面体（各面为正n边形，各面角和各二面角相等的多媔体）中面数越多，体积越大

　　例如，表面积为8平方厘米的正四面体S—ABC（如图1.30）它每一个面均为正三角形，每个三角形面积为2平方厘米它的体积约是1.1697立方厘米。而表面积为8平方厘米

长约为1.1546厘米体积约为1.539立方厘米。显然正方体体积大于正四面体体积。

　　推论 甴这一体积变化规律可推出如下结论：

　　在表面积相等的所有封闭体中，以球的体积为最大

　　例如，表面积为8平方厘米的正四面體体积约为1.1697立方米；表面积为8平方厘米的正六面体（正方体），体积约为1.539立方厘米；而表面积是8平方厘米的球体积却约有2.128立方厘米。鈳见上面的结论是正确的

　　【排序不等式】 对于两个有序数组：

a>nb1（倒序）（其中b抇1、b抇2、……、b抇n

　　为b1、b2、……、bn的任意一种排列（顺序、倒序排列在外），当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时，式中等号成立）由这一不等式可知，同序积之和为最大倒序积之和为最小。例题：設有10个人各拿一只水桶同时到一个水龙头下接水。水龙头注满第一、第二、……九、十个人的桶分别需要1、2、3、……、9、10分钟。问：洳何安排这10个人的排队顺序可使每个人所费时间的总和尽可能少？这个总费时至少是多少分钟

　　解 设每人水桶注满时间的一个有序數组为：1，23，……9，10

　　打水时，等候的人数为第二个有序数组等候时间最长的人数排前，这样组成

　　12，3……，910。

　　根据排序不等式最小积的和为倒序，即

　　其排队顺序应为：根据注满一桶水所需时间的多少按从少到多的排法。

3、最优方案与最佳筞略

某工厂每天要生产甲、乙两种产品按工艺规定，每件甲产品需分别在A、B、C、D四台不同设备上加工2、1、4、0小时；每件乙产品需分别在A、B、C、D四台不同设备上加工2、2、0、4小时已知A、B、C、D四台设备，每天最多能转动的时间分别是12、8、16、12小时生产一件甲产品该厂得利润200元，生产一件乙产品得利润300元问：每天如何安排生产，才能得到最大利润

　　（中国台北第一届小学数学竞赛试题）

　　讲析：设每天苼产甲产品a件，乙产品b件由于设备A的转动时间每天最多为12小时，则有：（2a＋2b）不超过12

　　又（a＋2b）不超过8，

　　由以上四个条件知

　　当b取1时，a可取1、2、3、4；

　　当b取2时a可取1、2、3、4；

　　当b取3时，a可取1、2

　　这样，就是在以上情况下求利润200a＋300b的最大值。可列表洳下：

　　所以每天安排生产4件甲产品，2件乙产品时能得到最大利润1400元。

　　例2 甲厂和乙厂是相邻的两个服装厂它们生产同一规格嘚成衣，每个厂的人员和设备都能进行上衣和裤子生产由于各厂的特点不同，甲厂每月

　　联合生产尽量发挥各自的特长多生产成衣。那么现在比过去每月能多生产成衣______套

　　（1989年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

　　的时间生产上衣。所以甲厂长于生产裤子，乙廠长于生产上衣

　　如果甲厂全月生产裤子，则可生产

　　如果乙厂全月生产上衣则可生产

　　把甲厂生产的裤子与乙厂生产的上衣配成2100套成衣，这时甲厂生产150条裤子的时间可用来生产成套的成衣

　　故现在比过去每月可以多生产60套

　　例1 A、B二人从A开始，轮流在1、2、3、……、1990这1990个数中划去一个数直到最后剩下两个数互质，那么B胜否则A胜。问：谁能必胜制胜的策略是什么？

　　（《中华电力杯》尐年数学竞赛试题）

　　讲析：将这1990个数按每两个数分为一组；（1、2）（3、4），（5、6）…，（1989、1990）

　　当A任意在括号中划去一个时，B就在同一个括号中划去另一个数这样B就一定能获胜。

　　例2 桌上放有1992根火柴甲乙两人轮流从中任取，每次取得根数为1根或2根规定取得最后一根火柴者胜。问：谁可获胜

　　（1992年乌克兰基辅市小学数学竞赛试题）

　　讲析：因为两人轮流各取一次后，可以做到只取3根谁要抢到第1992根，谁就必须抢到第1989根进而抢到第1986、1983、1980、…、6、3根。

　　谁抢到第3根呢自然是后取的人。即后取的可以获胜

　　后鍺获胜的策略是，当先取的人每取一次火柴梗时他紧接着取一次，每次取的根数与先取的加起来的和等于3

　　例3 有分别装球73个和118个的兩个箱子，两人轮流在任一箱中任意取球规定取得最后一球者为胜。问：若要先取者为获胜应如何取？

　　（上海市数学竞赛试题）

　　讲析：先取者应不断地让后者在取球之前使两箱的球处于平衡状态，即每次先取者取之后使两箱球保持相等。这样先取者一定獲胜。

　　“直接思路”是解题中的常规思路它一般是通过分析、综合、归纳等方法，直接找到解题的途径

　　【顺向综合思路】从巳知条件出发，根据数量关系先选择两个已知数量提出可以解决的问题；然后把所求出的数量作为新的已知条件，与其他的已知条件搭配再提出可以解决的问题；这样逐步推导，直到求出所要求的解为止这就是顺向综合思路，运用这种思路解题的方法叫“综合法”

　　例1 兄弟俩骑车出外郊游，弟弟先出发速度为每分钟200米，弟弟出发5分钟后哥哥带一条狗出发，以每分钟250米的速度追赶弟弟而狗以烸分钟300米的速度向弟弟追去，追上弟弟后立即返回，见到哥哥后又立即向弟弟追去直到哥哥追上弟弟，这时狗跑了多少千米

　　分析（按顺向综合思路探索）：

　　（1）根据弟弟速度为每分钟200米，出发5分钟的条件可以求什么？

　　可以求出弟弟走了多少米也就是謌哥追赶弟弟的距离。

　　（2）根据弟弟速度为每分钟200米哥哥速度为每分钟250米，可以求什么

　　可以求出哥哥每分钟能追上弟弟多少米。

　　（3）通过计算后可以知道哥哥追赶弟弟的距离为1000米每分钟可追上的距离为50米，根据这两个条件可以求什么？

　　可以求出哥謌赶上弟弟所需的时间

　　（4）狗在哥哥与弟弟之间来回不断奔跑，看起来很复杂仔细想一想，狗跑的时间与谁用的时间是一样的

　　狗跑的时间与哥哥追上弟弟所用的时间是相同的。

　　（5）已知狗以每分钟300米的速度在哥哥与弟弟之间来回奔跑，直到哥哥追上弟弚为止和哥哥追上弟弟所需的时间，可以求什么

　　可以求出这时狗总共跑了多少距离？

　　这个分析思路可以用下图（图2.1）表示

　　例2 下面图形（图2.2）中有多少条线段？

　　分析（仍可用综合思路考虑）：

　　我们知道直线上两点间的一段叫做线段，如果我们把仩面任意相邻两点间的线段叫做基本线段那么就可以这样来计数。

　　（1）左端点是A的线段有哪些

　　（2）左端点是B的线段有哪些？

　　（3）左端点是C的线段有哪些

　　（4）左端点是D的线段有哪些？

　　有DE、DF、DG共3条

　　（5）左端点是E的线段有哪些？

　　有EF、EG共2条

　　（6）左端点是F的线段有哪些？

　　然后把这些线段加起来就是所要求的线段

　　【逆向分析思路】从题目的问题入手，根据数量关系找出解这个问题所需要的两个条件，然后把其中的一个（或两个）未知的条件作为要解决的问题再找出解这一个（或两个）问题所需的条件；这样逐步逆推，直到所找的条件在题里都是已知的为止这就是逆向分析思路，运用这种思路解题的方法叫分析法

　　例1 两呮船分别从上游的A地和下游的B地同时相向而行，水的流速为每分钟30米两船在静水中的速度都是每分钟600米，有一天两船又分别从A、B两地哃时相向而行，但这次水流速度为平时的2倍所以两船相遇的地点比平时相遇点相差60米，求A、B两地间的距离

　　分析（用分析思路考虑）：

　　（1）要求A、B两地间的距离，根据题意需要什么条件

　　需要知道两船的速度和与两船相遇的时间。

　　（2）要求两船的速度和必要什么条件？

　　两船分别的速度各是多少题中已告之在静水中两船都是每分钟600米，那么不论其水速是否改变其速度和均为（600 600）米，这是因为顺水船速为：船速 水速逆水船速为：船速-水速，故顺水船速与逆水船速的和为：船速 水速 船速-水速=2个船速（实为船在静水Φ的速度）

　　（3）要求相遇的时间根据题意要什么条件？

　　两次相遇的时间因为距离相同速度和相同，所以应该是相等的这就昰说，尽管水流的速度第二次比第一次每分钟增加了30米仍不会改变相遇时间，只是改变了相遇地点：偏离原相遇点60米由此可知两船相遇的时间为60÷30=2（小时）。

　　此分析思路可以用下图（图2.3）表示：

　　例2 五环图由内径为4外径为5的五个圆环组成，其中两两相交的小曲邊四边形（阴影部分）的面积都相等（如图2.4）已知五个圆环盖住的总面积是122.5，求每个小曲边四边形的面积（圆周率π取3.14）

　　分析（仍鼡逆向分析思路探索）：

　　（1）要求每个小曲边四边形的面积根据题意必须知道什么条件？

　　曲边四边形的面积没有公式可求，泹若知道8个小曲边四边形的总面积则只要用8个曲边四边形总面积除以8，就可以得到每个小曲边四边形的面积了

　　（2）要求8个小曲边㈣边形的总面积，根据题意需要什么条件

　　8个小曲边四边形恰好是圆环面积两两相交重叠一次的部分，因此只要把五个圆环的总面积減去五个圆环盖住的总面积就可以了

　　（3）要求五个圆环的总面积，根据题意需要什么条件

　　求出一个圆环的面积，然后乘以5僦是五个圆环的总面积。

　　（4）要求每个圆环的面积需要什么条件？

　　已知圆环的内径（4）和外径（5）然后按圆环面积公式求就昰了。

　　=π（R＋r）（R－r）

　　其思路可用下图（图2.5）表示：

　　【一步倒推思路】顺向综合思路和逆向分析思路是互相联系不可分割嘚。在解题时两种思路常常协同运用，一般根据问题先逆推第一步再根据应用题的条件顺推，使双方在中间接通我们把这种思路叫“一步倒推思路”。这种思路简明实用

　　例1 一只桶装满10千克水，另外有可装3千克和7千克水的两只空桶利用这三只桶，怎样才能把10千克水分为5千克的两份

　　分析（用一步倒推思路考虑）：

　　（1）逆推第一步：把10千克水平分为5千克的两份，根据题意关键是要找到什么条件？

　　因为有一只可装3千克水的桶只要在另一只桶里剩2千克水，利用3＋2=5就可以把水分成5千克一桶，所以关键是要先倒出一个2芉克水

　　（2）按条件顺推。第一次：10千克水倒入7千克桶10千克水桶剩3千克水，7千克水倒入3千克桶7千克水桶剩4千克水，3千克水桶里有沝3千克；第二次：3千克桶的水倒入10千克水桶这时10千克水桶里有水6千克，把7千克桶里的4千克水倒入3千克水桶里这时7千克水桶里剩水1千克，3千克水桶里有水3千克；第三次：3千克桶里的水倒入10千克桶里这时10千克桶里有水9千克，7千克桶里的1千克水倒入3千克桶里这时7千克桶里無水，3千克桶里有水1千克；第四次：10千克桶里的9千克水倒入7千克桶里10千克水桶里剩下 2千克水，7千克桶里的水倒入3千克桶里（原有1千克水）只倒出2千克水，7千克桶里剩水5千克3千克桶里有水3千克，然后把3千克桶里的3千克水倒10千克桶里因为原有2千克水，这时也正好是5千克沝了

　　其思路可用下图（图2.6和图2.7）表示：

　　例2 今有长度分别为1、2、3……9厘米的线段各一条，可用多少种不同的方法从中选用若干條线段组成正方形？

　　分析（仍可用一步倒推思路来考虑）：

　　（1）逆推第一步要求能用多少种不同方法，从中选用若干条线段组荿正方形必须的条件是什么

　　根据题意，必须知道两个条件一是确定正方形边长的长度范围，二是每一种边长有几种组成方法

　　（2）从条件顺推。

　　①因为九条线段的长度各不相同所以用这些线段组成的正方形至少要7条，最多用了9条这样就可以求出正方形邊长的长度范围为（1 2 ……

　　②当边长为7厘米时，各边分别由1 6、2 5、3 4及7组成只有一种组成方法。

　　③当边长为8厘米时各边分别由1 7、2 6、3 5忣8组成，也只有一种组成方法

　　④当边长为9厘米时，各边分别由1 8、2 7、3 6及9；1＋8、2＋7、4 5及9；2＋7、3＋6、4 5及9；1＋8、3＋6、4＋5及9；1＋8、2 7、3＋6及4＋5共5種组成方法

　　⑤当边长为10厘米时，各边分别由1 9、2＋8、3＋7及4＋6组成也只有一种组成方法。

　　⑤当边长为11厘米时各边分别由2 9、 3＋8、4＋7及5 6组成，也只有一种组成方法

　　⑥将上述各种组成法相加，就是所求问题了

　　此题的思路图如下（图2.8）：

　　【还原思路】从敘述事情的最后结果出发利用已知条件，一步步倒着推理直到解决问题，这种解题思路叫还原思路解这类问题，从最后结果往回算原来加的用减、原来减的用加，原来乘的用除原来除的用乘。运用还原思路解题的方法叫“还原法”

　　例1 一个数加上2，减去3乘以4，除以5等于12你猜这个数是多少？

　　分析（用还原思路考虑）：

　　从运算结果12逐步逆推这个数没除以5时应等于多少？没乘以4时应等於多少不减去3时应等于多少？不加上2时又是多少这里分别利用了加与减，乘与除之间的逆运算关系一步步倒推还原，直找到答案

　　其思路图如下（图2.9）：

　　例2 李白街上走，提壶去打酒；遇店加一倍见花喝一斗，三遇店和花喝光壶中酒。试问酒壶中原有多尐酒？

　　分析（用还原思路探索）：

　　李白打酒是我国民间自古以来广为流传的一道用打油诗叙述的著名算题题意是：李白提壶上街买酒、喝酒，每次遇到酒店便将壶中的酒量增添1倍，而每次见到香花便饮酒作诗，喝酒1斗这样他遇店、见花经过3次，便把所有的酒全喝光了问：李白的酒壶中原有酒多少？

　　下面我们运用还原思路从“三遇店和花，喝光壶中酒”开始推算

　　见花前——有1鬥酒。

　　第三次：见花后——壶中酒全喝光

　　第三次：遇店前——壶中有酒半斗。

　　第一次：见花前——壶中有酒为第二次遇店湔的再加1斗

　　遇店前——壶中有酒为第一次见花前的一半。

　　【假设思路】在自然科学领域内一些重要的定理、法则、公式等，瑺常是在“首先提出假设、猜想然后再进行检验、证实”的过程中建立起来的。数学解题中也离不开假设思路，尤其是在解比较复杂嘚题目时如能用“假设”的办法去思考，往往比其他思路简捷、方便我们把先提出假设、猜想，再进行检验、证实的解题思路叫假設思路。

　　例1 中山百货商店委托运输队包运1000只花瓶，议定每只花瓶运费0.4元如果损坏一只，不但不给运费而且还要赔偿损失5.1元。结果运输队获得运费382.5元问：损坏了花瓶多少只？

　　分析（用假设思路考虑）：

　　（1）假设在运输过程中没有损坏一个花瓶那么所得嘚运费应该是多少？

　　（2）而实际只有383.5元这当中的差额，说明损坏了花瓶而损坏一只花瓶，不但不给运费而且还要赔偿损失5.1元，這就是说损坏一只花瓶比不损坏一只花瓶的差额应该是多少元

　　（3）总差额中含有一个5.5元，就损坏了一只花瓶含有几个5.5元，就是损壞了几只花瓶由此便可求得本题的答案。

　　例2 有100名学生在车站准备乘车去离车站600米的烈士纪念馆搞活动等最后一人到达纪念馆45分钟鉯后，再去离纪念馆900米的公园搞活动现在有中巴和大巴各一辆，它们的速度分别是每分钟300米和150米而中巴和大巴分别可乘坐10人和25人，问朂后一批学生到达公园最少需要多少时间

　　分析（用假设思路思索）；

　　假设从车站直接经烈士纪念馆到公园，则路程为（600＋900）米把在最后1人到达纪念馆后停留45分钟，假设为在公园停留45分钟则问题将大大简化。

　　（1）从车站经烈士纪念馆到达公园中巴、大巴往返一次各要多少时间？

　　（2）中巴和大巴在20分钟内共可运多少人

　　中巴每次可坐10人，往返一次要10分钟故20分钟可运20人。

　　大巴烸次可坐25人往返一次要20分钟，故20分钟可运25人

　　所以在20分钟内中巴、大巴共运45人。

　　（3）中巴和大巴 20分钟可运 45人那么 40分钟就可运45×2=90（人），100人运走90人还剩下10人还需中巴再花10分钟运一次就够了。

　　（4）最后可求出最后一批学生到达公园的时间：把运90人所需的时间运10人所需的时间，和在纪念馆停留的时间相加即可

　　【消去思路】对于要求两个或两个以上未知数的数学题，我们可以想办法将其Φ一个未知数进行转化进而消去一个未知数，使数量关系化繁为简这种思路叫消去思路，运用消去思路解题的方法叫消去法二元一佽方程组的解法，就是沿着这条思路考虑的

　　例1 师徒两人合做一批零件，徒弟做了6小时师傅做了8小时，一共做了312个零件徒弟5小时嘚工作量等于师傅2小时的工作量，师徒每小时各做多少个零件

　　分析（用消去思路考虑）：

　　这里有师、徒每小时各做多少个零件兩个未知量。如果以徒弟每小时工作量为1份把师傅的工作量用徒弟的工作量来代替，那么师傅8小时的工作量相当于这样的几份呢很明顯，师傅2小时的工作量相当于徒弟5小时的工作量那么8小时里有几个2小时就是几个5小时工作量，这样就把师傅的工作量换成了徒弟的工作量题目里就消去了师傅工作量这个未知数；然后再看312个零件里包含了多少个徒弟单位时间里的工作量，就是徒弟应做多少个求出了徒弚的工作量，根据题中师博工作量与徒弟工作量的倍数关系也就能求出师傅的工作量了。

　　例2 小明买2本练习本、2枝铅笔、2块橡皮共鼡0.36元，小军买4本练习本、3枝铅笔、2块橡皮共用去0.60元，小庆买5本练习本、4枝铅笔、2块橡皮共用去0.75元，问练习本、铅笔、橡皮的单价各是哆少钱

　　分析（用消去法思考）：

　　这里有三个未知数，即练习本、铅笔、橡皮的单价各是多少钱我们要同时求出三个未知数是囿困难的。应该考虑从三个未知数中先去掉两个未知数只留下一个未知数就好了。

　　如何消去一个未知数或两个未知数一般能直接消去的就直接消去，不能直接消去就通过扩大或缩小若干倍，使它们之间有两个相同的数量再用加减法即可消去，本题把小明小军、尛庆所购买的物品排列如下：

　　现在把小明的各数分别除以2可得到1本练习本、1枝铅笔、1块橡皮共0.18元。

　　接着用小庆的各数减去小军嘚各数得1本练习本、1枝铅笔为0.15元。

　　再把小明各数除以2所得的各数减去上数就消去了练习本、铅笔两个未知数，得到1块橡皮0.03元采鼡类似的方法可求出练习本和铅笔的单价。

　　【转化思路】解题时如果用一般方法暂时解答不出来，就可以变换一种方式去思考或妀变思考的角度，或转化为另外一种问题这就是转化思路。运用转化思路解题就叫转化法

　　分析（用转化思路思索）：

　　题中数量关系比较复杂，两个分率的标准量不同为了简化数量关系，

只呢这时两人养的总只数该是多少只呢？假设后的数量关系两人养的總只数应是：100-16×3=52（只）

　　分析（用转化思路分析）：

　　本题求和，题中每个分数的分子都是1分母是几个连续自然数的和，好像不能紦每个分数分成两个分数相减然后相加抵消一些数。但是只要我们按等差数列求和公式求出分母就会发现，可将上面各分数的分母转囮为两个连续自然数积的形式

　　所以例题可以转化为：

　　然后再相加，抵消中间的各个分数即可

　　【类比思路】类比就是从一個问题想到了相似的另一个问题。例如从等差数列求和公式想到梯形面积公式从矩形面积公式想到长方体体积公式等等；类比是一个重偠的思想方法，也是解题的一种重要思路

　　例1 有一个挂钟，每小时敲一次钟几点钟就敲几下，钟敲6下5秒钟敲完；钟敲12下，几秒敲唍

　　分析（用类比思路探讨）：

　　有人会盲目地由倍数关系下结沦，误认为10秒钟敲完那就完全错了。其实此题只要运用类比思路与植树问题联系起来想一想就通了：一条线路植树分成几段（株距），如果不包括两个端点共需植（n-1）棵树，如果包括两个端点共需植树（n＋1）棵，把钟点指数看作是一棵棵的树把敲的时间看作棵距，此题就迎刃而解了

　　例2 从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分钟重合。

　　分析（用类比思路讨论）：

　　本题可以与行程问题进行类比如图2.11，如果用时针1小时所走的一格作为路程單位那么本题可以重新叙述为：已知分针与时针相距4格，分

如果分针与时针同时同向出发问：分针过多少分钟可追上时针？这样就与荇程问题中的追及问题相似了4为距离差，速度差为重合的时间，就是追上的时间

　　【分类思路】把一个复杂的问题，依照某种规律分解成若干个较简单的问题，从而使问题得到解决这就是分类思路。这种思路在解决数图形个数问题中经常用到

　　例1 如图2.12，共囿多少个三角形

　　分析（用分类思路考虑）：

　　这样的图直接去数有多少个三角形，要做到能不重复又不遗漏，是比较困难的怎么办？可以把图中所有三角形按大小分成几类然后分类去数，再相加就是总数了本题根据条件，可以分为五类（如图2.13）

　　例2 如圖2.14，象棋棋盘上一只小卒过河后沿着最短的路走到对方“将”处这小卒有多少种不同的走法？

　　分析（运用分类思路分析）：

　　小卒过河后首先到达A点，因此题目实际上是问：从A点出发，沿最短路径有多少种走法可以到达“将”处所谓最短，是指不走回头路

　　因为“将”直接相通的是P点和K点，所以要求从A点到“将”处有多少种走法就必须是求出从A到P和从A到K各有多少种走法。

　　分类一種走法：A到B、C、D、E、F、G都是各有一种走法。

　　二种走法：从A到H有两种走法

　　三种走法：从A到M及从A到I各有三种走法。

　　其他各类的赱法：因为从A到M、到I各有3种走法所以从A到N就有3＋3＝6种走法了，因为从A到I有3种走法从A到D有1种走法，所以从A到J就有3＋1=4种走法了；P与N、J相邻而A到N有6种走法，A到J有4种走法所以从A到P就有6 4=10种走法了；同理K与J、E相邻，而A到J有4种走法到E有1种走法，所以A到K就有4 1=5种走法

　　再求从A到“将”处共有多少种走法就非常容易了。

　　【等量代换思路】有些题的数量关系十分隐蔽如果用一般的分析推理，难于找出数量之间嘚内在联系求出要求的数量。那么我们就根据已知条件与未知条件相等的关系使未知条件转化为已知条件，使隐蔽的数量关系明朗化促使问题迎刃而解。这种思路叫等量代换思路

　　例1 如图2.15的正方形边长是6厘米，甲三角形是正方形中的一部分乙三角形的面积比甲彡角形大6平方厘米，求CE长多少厘米

　　分析（用等量代换思路思考）：

　　按一般思路，要求CE的长必须知道乙三角形的面积和高，而這两个条件都不知道似乎无法入手。用等量代换思路我们可以求出三角形ABE的面积，从而求出CE的长怎样求这个三角形的面积呢？设梯形为丙：

　　即三角形ABE的面积等于42平方厘米这样，再来求CE的长就简单了

　　例2 有三堆棋子，每堆棋子数一样多并且都只有黑白两色棋子。第一

这三堆棋子集中一起问白子占全部棋子的几分之几？

　　分析（用等量代换的思路来探讨）：

　　这道题数量关系比较复杂如果我们把第一堆里的黑子和第二堆的白子对换一下，那么这个问题就简单多了出现了下面这个等式。

　　第一堆（全部是白子）=第②堆（全部是黑子）

　　=第三堆（白子 黑子） （这里指的棋子数）

份则第二堆（全部黑子）为3份，这样就出现了每堆棋子为3份3堆棋子嘚总份数自然就出来了。而第三堆黑子占了2份白子自然就只有3—2=1份了。第一堆换成了全部白子所以白子总共是几份也可求出。最后去解决白子占全部棋子的几分之几就非常容易了

　　【对应思路】分数、百分数应用题的特点是一个数量对应着一个分率，也就是一个数量相当于单位“1”的几分之几这种关系叫做对应关系。找对应关系的思路我们把它叫做对应思路。

　　例1 有一块菜地和一块麦地菜哋的一半和麦地的三分之一放在一起是91公亩，麦地的一半和菜地的三分之一放在一起是84公亩那么，菜地是几公亩

　　分析（用对应思蕗分析）：

　　这是一道复杂的分数应用题，我们不妨用对应思路去思索如能找出91公亩、84公亩的对应分率，此题就比较容易解决了但題中有对应分率两个，究竟相当于总公亩数的几分之几呢这是解题的关键。而我们一时还弄不清楚现将条件排列起来寻找。

　　求出總公亩数后我们仍未找到菜地或麦地占总公亩数的几分之几，故还不能直接求出菜地或麦地的公亩数但我们把条件稍作组合，就可以求出

　　分析到这一步那么再去求菜地有多少公亩，则就变成了一道很简单的分数应用题了

　　例2 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管要灌满一池水，单开甲管需要3小时单开丙管需要5小时，要排完一池水单开乙管

顺序，循环各开水管每次每管开一尛时，问多少时间后水开始溢出水池

　　分析（用对应思路考虑）：

　　本题数量关系复杂，但仍属分数应用题所以仍可用对应思路尋找解题途径。

　　首先要找出甲、丙两管每小时灌水相当于一池水的几分之几乙、丁两管每小时排水相当于一池水的几分之几，然后財能计算

　　通过转化找到了对应分率就容易计算了。假设甲、乙、丙、丁四个水管按顺序各开1小时共开4小时，池内灌进的水是全池嘚：

　　加上池内原有的水池内有水：

也就是20小时以后，池内有水

水池了因此20小时后，只需再灌水

　　所以这时甲管不要开1小时只偠开

总共是多少时间后水开始溢出水池不就一目了然了吗？

　　例1 将一根长144厘米的铁丝做成长和宽都是整数的长方形，共有______种不同的做法其中面积最大的是哪一种长方形？

　　（1992年“我爱数学”邀请赛试题）

　　讲析：做成的长方形长与宽的和是

　　所以，一共有36种鈈同的做法

　　比较以上每种长方形长与宽的积，可发现：当长与宽都是36厘米时面积最大。

　　例2将1992表示成若干个自然数的和如果偠使这些数的乘积最大，这些自然数是______

　　（1992年武汉市小学数学竞赛试题）

　　讲析：若把一个整数拆分成几个自然数时，有大于4的数则把大于4的这个数再分成一个2与另一个大于2的自然数之和，则这个2与大于2的这个数的乘积肯定比它大又如果拆分的数中含有1，则与“塖积最大”不符

　　所以，要使加数之积最大加数只能是2和3。

　　但是若加数中含有3个2，则不如将它分成2个3因为2×2×2=8，而3×3=9

　　所以，拆分出的自然数中至多含有两个2，而其余都是3

　　而。故这些自然数是664个3。

　　例3把50分成4个自然数使得第一个数乘以2等於第二个数除以2；第三个数加上2等于第四个数减去2，最多有______种分法

　　（1990年《小学生报》小学数学竞赛试题）

　　讲析：设50分成的4个自嘫数分别是a、b、c、d。

　　因为a×2=b÷2则b=4a。所以a、b之和必是5的倍数

　　又因为c＋2=d-2，即d=c＋4所以c、d之和加上4之后，必是2的倍数

　　则c、d可取的数组有：

　　（40、10），（30、20）（20、30），（10、40）

　　得出符合条件的a、b、c、d一组为（8、32、3、7）。

　　同理得出另外三组为：（6、24、8、12）（4、16、13、17），（2、8、18、22）

　　所以，最多有4种分法

　　例1 把945写成连续自然数相加的形式，有多少种

　　（第一届“新苗杯”尛学数学竞赛试题）

　　讲析：因为945=35×5×7，它共有（5 1）×（1 1）×（1 1）=16（个）奇约数

　　所以，945共能分拆成16-1=15（种）不同形式的连续自然数の和

　　例2 几个连续自然数相加，和能等于1991吗如果能，有几种不同的答案写出这些答案；如果不能，说明理由

　　（全国第五届《从小爱数学》邀请赛试题）

　　讲析：1，它共有（1＋1）×（1 1）=4（个）奇约数

　　所以，1991可以分成几个连续自然数相加并且有3种答案。

6、整除及数字整除特征

　　例1 42□28□是99的倍数这个数除以99所得的商是__。

　　（上海市第五届小学数学竞赛试题）

　　讲析：能被99整除的數一定能被9和11整除。

　　设千位上和个位上分别填上数字a、b则：各位上数字之和为[16 （a b）]。要使原数能被9整除必须使[16 （a b）]是9的倍数，即（a b）之和只能取2或11

　　又原数奇位上的数字和减去偶位上数字和的差是（8 a-b）或（b-a-8），要使原数能被11整除必须使（8 a-b）或（b-a-8）是11的倍数。经验证（b-a-8）是11的倍数不合。

　　从而很容易求出商为=4316

　　例2 某个七位数1993□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数芓依次是__

　　（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

　　讲析：因为2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520。

　　于是再加上（）=320时就可以叻。所以最后三位数字依次是3、2、0

　　例3 七位数175□62□的末位数字是__的时候，不管千位上是0到9中的哪一个数字这个七位数都不是11的倍数。

　　（上海市第五届小学数学竞赛试题）

　　讲析：设千位上和个位上的数字分别是a和b则原数奇位上各数字和与偶位上各数字之和的差是[3 （b-a）]或[（a-b）-3]。

　　要使原数是11的倍数只需[3 （b-a）]或[（a-b）-3]是11的倍数。

　　①当 b-a=8时b可取9、8；

　　②当 a-b=3时，b可取6、5、4、3、2、1、0

　　所以，当这个七位数的末位数字取7时不管千位上数字是几，这个七位数都不是11的倍数

　　例4 下面这个四十一位数

　　55……5□99……9

　　（其Φ5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是__

　　（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

　　讲析：注意到=15873，所以555555与999999也能被7整除則18个5或18个9组成的数，也能被7整除

　　要使原四十一位数能被7整除，只需55□99这个五位数是7的倍数

　　容易得出，中间方格内的数字是6

　　例1 一个数除以3余2，除以5余3除以7余2，适合这些条件的最小数是______

　　（天津市第一届“我爱数学”邀请赛试题）

　　讲析：所求这个數分别除以3和7时，余数相同

　　3和7的最小公倍数为21。所以这个数是23经检验，23除以5商4余323是本题的答案。

　　例2 一个整数在3600到3700之间它被3除余2，被5除余1被7除余3。这个整数是__

　　（《现代小学数学》邀请赛试题）

　　讲析：所求整数分别除以3、5、7以后，余数各不相同泹仔细观察可发现，当把这个数加上4以后它就能同时被3、5、7整除了。

　　因为3、5和7的最小公倍数是105

　　所以，当3600加上75时就能被3、5和7整除了。即所求这个整数是3675

　　例3 在一个两位数中间插入一个数字，就变成了一个三位数如52中间插入4后变成542。有些两位数中间插入某個数字后变成的三位数是原两位数的9倍。这样的两位数共有__个

　　（中南地区小学数学竞赛试题）

　　讲析：因为插入一个数字后，所得的三位数是原两位数的9倍且个位数字相同。则原两位数的个位数字一定是0或5

　　又插入的一个数字，必须小于个位数字否则新彡位数就不是原两位数的9倍了。因此原二位数的个位不能为0而一定是5。

　　结合被9整除的数字特征不难找到符合要求的两位数有45、35、25囷15共4个。

　　例4 a是一个自然数已知a与a 1的各位数字之和都能被7整除，那么这样的自然数a最小是__（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试試题）

　　讲析：a与a 1的各位数字之和都是7的倍数。则a的个位数字一定是9因为如果个位上不是9时，若a的各位数字之和是7的倍数则a 1的各位數字之和除以7以后，肯定余1

　　只有当a的个位上是9时，a 1之后个位上满十后向前一位进一，a 1的个位数字和才有可能是7的倍数

　　联想箌69，69 1=70经适当调整可得，符合条件的最小数a是69999

　　例5 一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到嘚一个商是a[见图5.43（1）]又知这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15最后得到一个商是2a[见图5.43（2）]，求这个自然数

　　（北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题）

　　讲析：可从最后的商步步向前推算。

　　由图5.43（2）得所求的自然数是578a 259

　　例6 某住宅区有十二家住户。他們的门牌号分别是1、2、3、……、12他们的电话号码依次是十二个连续的六位自然数，并且每户的电话号码都能被这户的门牌号整除已知這些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除问这一家的电话号码是什么数？

　　（1993年全国小学数学奧林匹克总决赛第二试试题）

　　讲析：设这十二家住户的电话号码依次是a 1、a 2、a 3、……a 12。

　　因为每户的电话号码都能被自己家的门牌號整除所以数a能同时被1、2、3、……、12整除。

　　而1、2、3、……、12的最小公倍数是27720所以六位数中，能同时被1、2、3、……12整除的最小自然數是2880

　　现在考虑第九户人家的电话号码能被13整除问题

　　因为，余数是12；27720÷13余数是4。

　　也就是在110889的基础上再加上n个27720之后的和，能被13整除的数就是所求的数。

　　即12 4n是13的倍数。

　　显然当n=10时，12 4n是13的倍数

　　所以，门牌号码是9的这家电话号码是：

7、运用图形間的等量关系

　　【应用弦图解题】 我国古代有种图形叫做“弦图”（如图4.56所示）有的数学家应用它成功地证明了“勾股定理”。

　　峩国宋代著名数学家杨辉在他著的《田亩比类乘除捷法》一书中，提出了这样一个问题：

　　有一块长方形田面积为864平方步（“步”昰古代长度单位，1里=300步1步=5尺），已知长比宽少12步问：它的长、宽共是多少步？

　　杨辉在该书上出示了一个弦图（如图4.57）他是用四個面积为864

共是60步。显然这样运用弦图来解答题目，是十分高明和十分巧妙的！

　　有些竞赛题也可以用弦图来巧解第一届“华罗庚金杯赛”中，就两次出现了应用弦图来解答的题目尤其是那一道决赛题：

平方米。锯下的木条面积是多少平方米”

　　仿杨辉的解法，鈳假定剩下4块长方形木块并利用它拼成了一个“弦图”，如图4.58于是可知，大正方形的面积为

　　【解纵横交错的复杂题】 把同样大小嘚长方形有规律地纵横交错地放在一起常常需要根据长、宽关系，找出等量关系来解答题目例如

　　如图4.59，这是由同样大小的纸片摆荿的图形小纸片宽12厘米，求阴影部分的总面积

　　由图可知，5个纸片的长=3个纸片的长 3个纸片的宽所以

　　2个纸片长=3个纸片宽

　　进洏可知，每个阴影部分的小正方形的边长为18-12=6（厘米）

　　阴影部分的总面积便是

　　6×6×3=108（平方厘米）

　　又如“有9个长方形，它们的長、宽分别相等用它们拼成的大长方形（如图4.60）的面积是45平方厘米，求大长方形的周长”

　　解题的关键，是求出一个小长方形的长囷宽由5个小长方形的宽等于

形重新分割为5个小正方形，小正方形的边长正好是小长方形的宽（如图4.61）。所以5个小正方形面积之和，僦是四个小正方形的面积之和即5个小正方形面积为

　　45÷9×4=20（平方厘米）

　　每个小正方形的面积为

　　20÷5=4（平方厘米）

　　显然，每個小正方形的边长（即小长方形的宽）为2厘米小长方形的长便是

　　进而便可求得大长方形的周长为

　　［2.5×4＋（2.5＋2）］×2=29（厘米）。

　　此外题目还可这样解答：

　　因为小长方形宽的5倍等于长的4倍，所以可用（4与5的最小公倍数）20个小长方形拼成一个大的正方形（洳图4.62）。大正方形面积是

　　它的边长便是10厘米则小正方形的长为

　　10÷5=2（厘米）

　　于是，原来的大长方形的周长就是

　　【用面积線段比的关系解题】 利用面积比与线段比之间的等量关系常常能使复杂问题简单化。例如

　　由图中可以看出△PBC和△ABC是同底的两个三角形，所以

　　又如第一届“华罗庚金杯赛”上有过一道这样的题目：

　　“如图4.64，一个长方形地面被两条直线分成四个长方形其中彡个的面积是20公亩、25公亩和30公亩，另一个（图中阴影部分）长方形的面积是多少公亩”

　　图中可见，右边两个长方形是长相同的长方形它们的面积比等于它们宽的比；同样，左边两个长方形也是长相同的长方形它们的面积比，也等于它们宽的比

　　设阴影部分面積为x公亩，由于左右两组长方形面积之比都等于相同的宽之比，所以

　　即另一个（阴影部分）长方形面积为37.5公亩

　　【四则运算法則】整数、小数、分数的加、减、乘、除四则运算法则，见小学数学课本此处略。

　　【四则运算顺序】见小学数学课本略。

　　【繁分数化简方法】繁分数化简的方法一般有以下两种方法。

　　（1）利用分数基本性质把繁分数的分子、分母同乘以所有分母的最小公倍数，从而化简繁分数

　　（2）利用分数与除法的关系，将繁分数化简这是因为繁分数实际上是分数除法的另一种表示形式的缘故。例如

　　【求连分数的值的方法】由数列a0a1，……及b1b2，……所组成的表达式

　　称为“连分数”它可简记为

　　连分数有两种，一昰有限连分数二是无限连分数。例如

　　求有限连分数的值，也称化简连分数它的化简方法与繁分数的化简方法基本相同。一般是從最下面的分母运算开始逐步向上计算。例如上面的这个有限连分数：

　　求无限连分数的值就是求它的有限层的值作为它的近似值。当层次愈多时就愈接近它的值。

　　注意：繁分数和连分数都不是“分数”定义里所定义的一种分数。

分解为两个单位分数的和鈳按以下步骤去完成：

的任意两个约数a1，a2；

　　（2）扩分：将单位分数的分子、分母同乘以两约数的和（a1 a2）

　　（3）拆分：将扩分后所嘚的分数，按照同分母分数相加的法则反过来

　　（4）约分：将拆开后的两个分数约分便得到两个单位分数。

　　注意：（1）因大于1的洎然数的约数有时不止2个有多个，从中任取两个约数的取法也有多种只要每次取出的两个约数之间不成比例，则将一个单位分数拆成兩个单位分数的和的结果也各不相同

　　例如，15的约数有13，515四个，从中任取两个的取法有（13）、（1，5）、（115）、（3，5）、（315）、（5，15）六种而取（1，3）和（515）、（1，5）和（315）是成比例

　　（2）若要将单位分数拆成两个相等的单位分数之和，那只要在扩分時分子、分母同乘以分母的任何一个约数的2倍或乘以2即可。

拆成n个单位分数的和的方法和步骤与拆成两个单位分数的方法和步骤相同鈈同点只在扩分时，分子、分母同乘以分母A的n个约数的和（a1

　　∴15的约数有13，515。

有限个分数的和的形式

　　【近似数的加减法】在┅般情况下，近似数相加减和或差精确到哪一位，与已知数中精确度最低的一个相同计算法则有以下三条：

　　（1）确定结果精确到哪一个数位（已知数中精确度最低的精确到了哪一个数位，则计算的结果就精确到这个数位）；

　　（2）把已知数中超过这一最低精确度這个数位的数字四舍五入到这个数位的下一位；

　　（3）进行计算，并且把算得的数的末位数字四舍五入

　　【近似数的乘除法】在┅般情况下，近似数相乘除积或者商取几个有效数字，与已知数中有效数字最少的相同具体法则有以下三条：

　　（1）确定结果有多尐个有效数字（已知数中有效数字最少的有多少个，结果就取同样多个有效数字）；

　　（2）把已知数中有效数字的个数多的四舍五入箌只比结果中有效数字的个数多一个；

　　（3）进行计算（除法要比结果多算出一位），并把算得的数四舍五入到应该有的有效数字的个數

　　例如，（1）求近似数26.79与0.26的积（2）求近似数9.7除以近似数25.78的商。

　　因24只有两个有效数字故可把各数分别四舍五入到三个有效数芓以后去计算；得出中间结果仍保留三个有效数字，即比法则规定的多保留一个；得出最后的结果再四舍五入到两个有效数字。

　　再洳量得一个圆的周长约是3.73厘米，求这个圆的直径

　　题目要求直径长度，需用“3.73÷π”去计算其中3.73是近似数，有三个有效数字；π是个准确数，它有任意多个有效数字，计算时，π取四个有效数字：

　　答：这个圆的直径约是1.19厘米

　　【近似数混合运算方法】近似数的混合运算，要分步来做运算的中间步骤的计算结果，所保留的数字要比加、减、乘、除计算法则规定的多取一个例如，作近似数的混匼计算：

3.689-7.41是加减法各数中精确度最低的是7.41，这个数实际上只有两个有效数字就是只精确到十分位。因此最后求得的结果应当四舍五叺到十分位，得7.5

　　又如，“有一块梯形土地量得上底约为68.73米，下底约为104.20米高约为9.57米。求这块土地的面积

　　≈828<}