[转载]矩阵分解&SVD&酉矩阵&矩阵相关概念
矩阵的几个基本术语，早还给老师了，这里记录一下。& &
& &将一个为比较简单或者性质比较熟悉的矩阵之组合，方便讨论和计算。矩阵的特征值和特征向量在化矩阵为对角形的问题中占有特殊位置。
矩阵分解(decomposition,
factorization)是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积，可分为三角分解、满秩分解、QR分解、Jordan分解和SVD（奇异值）分解等，常见的有三种：
三角分解法 (Triangular
Factorization)：
三角分解法是将原正方(square)
矩阵分解成一个上三角形矩阵　或是排列(permuted)
的上三角形矩阵和一个
下三角形矩阵，这样的分解法又称为LU分解法。它的用途主要在简化一个大矩阵的行列式值的计算过程，求
反矩阵，和求解联立方程组。不过要注意这种分解法所得到的上下三角形矩阵并非唯一，还可找到数个不同
的一对上下三角形矩阵，此两三角形矩阵相乘也会得到原矩阵。
&MATLAB以lu函数来执行lu分解法，
其语法为[L,U]=lu(A)。
分解法 (QR
Factorization)，
QR分解法是将矩阵分解成一个正规正交矩阵与上三角形矩阵,所以称为QR分解法,与此正规正交矩阵的通用符号Q有关。　　MATLAB以qr函数来执行QR分解法，
其语法为[Q,R]=qr(A)。
奇异值分解法 (Singular Value
Decompostion)。
奇异值分解 (singular value
decomposition,SVD)
是另一种正交矩阵分解法；SVD是最可靠的分解法，但是它比QR
分解法要花上近十倍的计算时间。[U,S,V]=svd(A)，其中U和V代表二个相互正交矩阵，而S代表一对角矩阵。
和QR分解法相同者，
原矩阵A不必为正方矩阵。使用SVD分解法的用途是解最小平方误差法和数据压缩。
　　MATLAB以svd函数来执行svd分解法，
其语法为[S,V,D]=svd(A)。
酉方阵在量子力学中有着重要的应用。酉等价是标准正交基到标准正交基的特殊基变换。n阶复方阵U的n个列向量是U空间的一个标准正交基，则U是酉矩阵(Unitary Matrix)。　
一个简单的充分必要判别准则是：方阵U的共轭转置乘以U等于单位阵，则U是酉矩阵。即酉矩阵的逆矩阵与其共轭转置矩阵相等。
　　酉矩阵的相关性质：　　设有A，B矩阵　　（1）若A是酉矩阵，则A的逆矩阵也是酉矩阵　　（2）若A，B是酉矩阵，则AB也是酉矩阵　　（3）若A是酉矩阵，则|detA|=1　　（4）A是酉矩阵的充分必要条件是，它的n个列向量是两两正交的单位向量。
矩阵相关概念：
矩阵的特征值
是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量
成立，则称 m
是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。
行列式在中，是一个，其为nxn的A，取值为一个标量，写作det(A)或
。行列式可以看做是有向或的概念在一般的中的推广。
　的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念。
设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。
设有N阶矩阵A，那么矩阵的迹就等于A的的总和，也即A矩阵的主对角线元素的总和。
又称Hermite阵、埃尔米特矩阵。Hermite阵中每一个第i 行第j 列的元素都与第j 行第i
列的元素的共轭相等。矩阵（或自共轭矩阵）是相对其主对角线以复共轭方式对称,
即是 ai,j=a*j,i。
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矩阵分析 第三章 内积空间、正规矩阵和Hermite矩阵
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&&矩​阵​分​析​ ​第​三​章​ ​内​积​空​间​、​正​规​矩​阵​和​H​e​r​m​i​t​e​矩​阵
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设是欧氏空间的一组标准正交基,是的一个线性变换,已知,证明:(1)A是一个对称变换;(2)求V的一组标准正交基,使A在这组基下的矩阵为对角矩阵 13
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