2014全国名校数学试题分类解析汇编（3）：g单元 立体几何
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2014届高三数学一轮复习 直线、平面垂直的判定与性质提分训练题
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第十三单元　立体几何初步
(120分钟　150分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.直线l∥平面α,α内有n条直线交于一点,那么这n条直线中与直线l平行的
A.至多有一条 B.至少有一条 C.有且只有1条 D.一条都没有
　　解析:过空间一点作直线,有且只有一条和已知直线平行,这n条直线可能有也可能没有这条直线.
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,E是棱CD的中点,则三棱锥A1-BB1E的体积为
A. B. C. D.
　　解析:==××23=.
3.若一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形,则下列图形一定不是该几何体的俯视图的是
　　解析:显然,A、B、C符合题意,若俯视图为D,则其正视图不可能为边长为1的正方形,故选D.
4.已知直线l、m,平面α,且m?α,那么“l∥m”是“l∥α”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
　　解析:若l∥m,则有可能l?α;若l∥α,l与m可能异面,故选D.
5.高和底面直径相等的圆柱的表面积和球O的表面积相等,则该圆柱与球O的体积之比为
A.∶ B.∶1 C.1∶ D.∶2
　　解析:设圆柱底面半径为r1,球O的半径为r2,由题意得6π=4π,故=,
6.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为
　　解析:由题设条件,此几何体为一个三棱锥,其中高为1,底面是直角边长为1的等腰直角三角形,所以底面积为×1×1=,所以三棱锥的体积为××1=.
7.如图,在空间四边形ABCD中,AB=BC,CD=DA,E、F、G分别为CD、DA、AC的中点,则
A.平面BEF⊥平面BGD
B.平面ABC⊥平面ACD
C.CD⊥平面BEF
D.AB⊥平面BGD
　　解析:∵AB=BC,CD=AD,G是AC的中点,
∴BG⊥AC,DG⊥AC,BG∩DG=G,
∴AC⊥平面BGD.
又E、F分别为CD、DA的中点,∴EF∥AC,
∴EF⊥平面BGD.
∵EF?平面BEF,
∴平面BGD⊥平面BEF.
8.已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示,则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的面的面积是
　　解析:由三视图可知该四棱锥底面是边长分别为3,2的矩形,且高为2,易判断该四棱锥四个侧面中面积最大值等于×3×2=3.
9.如图,四棱锥E-ABCD中,底面ABCD是梯形,且AB∥CD,2AB=3CD,点F是线段EA上的点,且EC∥平面BDF,则等于
A. B. C. D.
　　解析:连结AC交BD于O,在△ACE中,作OF∥CE交AE于F.因为AB∥CD,所以△ABO∽△CDO,则==,所以==,则=.
10.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为
　　解析:由正视图可得该三棱柱的底面边长为2,高为1,易得底面外接圆的半径等于,
设该球的半径为r,则r2=()2+()2=+=,该球的表面积为4π×=.
11.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P1,P2分别为线段AB,BD1(不包括端点)上的动点,且线段P1P2平行于平面A1ADD1,则四面体P1P2AB1的体积的最大值是
A. B. C. D.
　　解析:过P2作P2O⊥底面ABCD于点O,连结OP1,则OP1⊥AB,即OP1为三棱锥P2-P1AB1的高,设AP1=x,0<xA1B1,故∠B1CA1为锐角,所以B1C与平面A1DC也不可能垂直.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.
13.若一个圆台的的正视图如右图所示,则其侧面积等于　　　　.?
　　解析:由正视图可得圆台的母线长为,由圆台侧面积公式得其侧面积为3π.
14.已知直线l、m与平面α、β,l?α,m?β,则下列命题中正确的是　　　　(填写正确命题对应的序号).?
①若l∥m,则α∥β;
②若l⊥m,则α⊥β;
③若l⊥β,则α⊥β;
④若α⊥β,则m⊥α.
　　解析:本题考查线面及面面位置关系的判断.由面面垂直的判定定理可得答案为③.
15.已知A、B、C、D是表面积为6π的球O上的四点,且DA⊥平面ABC,三角形ABC是∠B=90°的等腰直角三角形,且AC=2,则VD-ABC的体积为　　　　.?
　　解析:由条件可求得球O的半径R=,BC=AB=,可证得球心O为DC的中点,则DC为球O的直径,则DC=,在直角三角形DAC中,DA==,所以VD-ABC=××××=.
16.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P∥平面AEF,则线段A1P长度的取值范围是　　　　.?
　　解析:取B1C1的中点M,BB1的中点N,连结A1M,A1N,MN,则平面A1MN∥平面AEF,所以点P位于线段MN上,在△A1MN中,A1M=A1N==,
MN==,所以当点P位于M或N时,A1P最大,当P位于MN的中点O时,A1P最小,此时A1O==,所以A1O≤A1P≤A1M,即≤A1P≤,
所以线段A1P长度的取值范围是[,].
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
已知长方体ABCD-A1B1C1D1的侧面积和体积分别为12和24,且AB=AD,求该长方体外接球的表面积.
　　解析:设AB=a,AA1=b,则
设长方体外接球的半径为r,则4r2=22+22+32=17,
所以长方体外接球的表面积S表=4πr2=17π. 10分
18.(本小题满分12分)
在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC中点,又∠CAD=30°,PA=AB=4,点N在线段PB上,且=.
(1)求证:BD⊥PC;
(2)求证:MN∥平面PDC.
　　解析:(1)∵△ABC是正三角形,M是AC中点,
∴BM⊥AC,即BD⊥AC,
又∵PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,∴PA⊥BD.
∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.
又PC?平面PAC,∴BD⊥PC. 6分
(2)在正三角形ABC中,BM=2,
在△ACD中,∵M为AC中点,DM⊥AC,
∵∠CAD=30°,∴DM=,∴BM∶MD=3∶1,
即BN∶NP=BM∶MD,∴MN∥PD.
又MN?平面PDC,PD?平面PDC,
∴MN∥平面PDC. 12分
19.(本小题满分12分)
如图,四棱锥P-ABCD中,BC∥AD,BC=1,AD=3,AC⊥CD,且平面PCD⊥平面ABCD.
(1)求证:AC⊥PD;
(2)在线段PA上,是否存在点E,使BE∥平面PCD?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
　　解析:(1)∵平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,AC⊥CD,AC?平面ABCD,
∴AC⊥平面PCD,
∵PD?平面PCD,
∴AC⊥PD. 5分
(2)线段PA上,存在点E,使BE∥平面PCD,
∴在△PAD中,存在EF∥AD(E,F分别在AP,PD上),且使EF=1,
又∵BC∥AD,∴BC∥EF,且BC=EF,
∴四边形BCFE是平行四边形,
∴BE∥CF,BE?平面PCD,CF?平面PCD,
∴BE∥平面PCD,
∵EF=1,AD=3,
∴==. 12分
20.(本小题满分12分)
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后,得如图所示的几何体ABCD-A1C1D1,且这个几何体的体积为.
(1)求棱A1A的长;
(2)在线段BC1上是否存在点P,使直线A1P⊥C1D.如果存在,求线段A1P的长;若不存在,请说明理由.
　　解析:(1)设A1A=h,则
=-=2×2×h-××2×2×h=,
解得h=4,即A1A的长为4. 4分
(2)过点D1作C1D的垂线交C1C于点Q,过点Q作PQ∥BC交BC1于点P,
∵C1D⊥D1Q,C1D⊥A1D1,∴C1D⊥A1Q,
∵C1D⊥PQ,∴C1D⊥平面A1PQ,
∵A1P在平面A1PQ内,∴C1D⊥A1P,
∴线段BC1上存在点P,使直线A1P⊥C1D,
在矩形CDD1C1,∵Rt△D1C1Q∽Rt△C1CD,
∴=,得C1Q=1,
∵△C1PQ∽△C1BC,∴=,得C1P=,
在△A1PC1中,∵A1C1=2,
∴在等腰△BA1C1中,A1P==. 12分
21.(本小题满分12分)
如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,E为PA的中点.
(1)求证:PC∥平面EBD.
(2)求三棱锥C-PAD的体积VC-PAD.
(3)在侧棱PC上是否存在一点M,满足PC⊥平面MBD?若存在,求PM的长;若不存在,说明理由.
　　解析:(1)设AC、BD相交于点F,连结EF,
∵底面ABCD为菱形,∴F为AC的中点,
又∵E为PA的中点,∴EF∥PC.
又∵EF?平面EBD,PC?平面EBD,
∴PC∥平面EBD.
(2)∵底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,∴△ACD是边长为2的正三角形,
又∵PA⊥底面ABCD,∴PA为三棱锥P-ACD的高,
∴VC-PAD=VP-ACD=S△ACD?PA=××22×2=. 8分
(3)∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BD,
又∵底面ABCD为菱形,∴AC⊥BD,
PA∩AC=A,PA?平面PAC,AC?平面PAC,
∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC.
在△PBC内,易求PB=PC=2,BC=2,
在平面PBC内,作BM⊥PC,垂足为M,
设PM=x,则有8-x2=4-(2-x)2,解得x=<2.
连结MD,∵PC⊥BD,BM⊥PC,BM∩BD=B,BM?平面BDM,
BD?平面BDM,∴PC⊥平面BDM.
所以满足条件的点M存在,此时PM的长为. 12分
22.(本小题满分12分)
已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BAD=,AB=BC=2AD=4,E、F分别是AB、CD上的点,EF∥BC,AE=x.沿EF将梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF(如图).
(1)G是BC上一点,且BD⊥EG,若x=3,求三棱锥B-AEG的体积;
(2)当x取何值时,三棱锥D-BCF的体积取最大值,最大值是多少.
　　解析:(1)作DH⊥EF,垂足为H,连结BH,GH.
∵平面AEFD⊥平面EBCF,交线EF,DH?平面EBCF,
∴DH⊥平面EBCF,又EG?平面EBCF,故EG⊥DH.
∵BD⊥EG,∴EG⊥平面BDH,
∵EF∥BC,∠ABC=90°,∴△BEH∽△GBE,
∴=,即GB==,
∴VB-AEG=VG-AEB=××1×3×=. 6分
(2)∵AE⊥EF,平面AEFD⊥平面EBCF,交线EF,AE?平面AEFD.
∴AE⊥面EBCF.又由(1)DH⊥平面EBCF,故AE∥DH,
∴四边形AEHD是矩形,DH=AE,故以F、B、C、D为顶点的三棱锥D-BCF的高DH=AE=x.
又S△BCF=BC?BE=×4×(4-x)=8-2x.
∴VD-BCF=S△BFC?DH=S△BFC?AE=(8-2x)x=-x2+x=-(x-2)2+,
∴当x=2时,V取最大值. 12分
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