利用无穷小的性质求极限lim(x→+∞)[(n^2+1)/n^3]sin(n!)=_百度知道
利用无穷小的性质求极限lim(x→+∞)[(n^2+1)/n^3]sin(n!)=
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因为lim&x→∞&(n²+1)/n³=0，|sin(n!)|≤1根据无穷小量的性质，无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量所以lim(x→+∞)[(n²+1)/n³]sin(n!)=0
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求下列各极限：（1）limx→2（4x2-4-1x-2)；（2）limx→∞（(x+a)(x+b)-x）；（3）limx→0x|x|；（4）limx→π2cosxcosx2-sinx2.
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）原式=limx→24-(x+2)x2-4=limx→2-1x+2=-14．（2）原式=limx→∞(a+b)x+abx2+(a+b)x+ab+x=a+b．（3）因为limx→0+x|x|=1，而=limx→0-x|x|=-1，limx→0+x|x|≠limx→0-x|x|，所以limx→0&x|x|不存在．（4）原式=limx→π2cos2x2-sin2x2cosx2-sinx2=limx→π2（cosx2+sinx2）=2．
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据魔方格专家权威分析，试题“求下列各极限：（1）limx→2（4x2-4-1x-2)；（2）limx→∞（(x+a)(x+b)-x）；..”主要考查你对&&函数的极值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的极值与导数的关系
极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&
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91二元函数极限的求法和极限不存在的判断
科技信息；高校理科研究；二元函数极限的求法和极限不存在的判断；山东政法学院；唐新华；［摘要］极限方法是研究函数最主要的方法之一，函数；二元函数极限定义[1]设函数z=f(x,y)在点；P(x,y)趋于P0(x0,y0)时的极限；limf(x,y)=A或limf(P)=A记为：；x→x0x→y0；P→P0；为区别二元函数极限与一元函数极限，称二元函数极限；教材
科技信息高校理科研究二元函数极限的求法和极限不存在的判断山东政法学院唐新华［摘要］极限方法是研究函数最主要的方法之一，函数极限是高等数学中的重点、难点内容。文章通过具体例子给出了求二元函数极限的几种方法和二重极限不存在的判断方法。［关键词］二元函数极限二重极限引言二元函数极限定义[1]设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某空心邻域有定义，如果对于任意给定的正数ε&0，总存在正数δ使得当0&PP0=恒有f(P)-A&ε，称常数A为函数z=f(x,y)当姨00&δ时，P(x,y)趋于P0(x0,y0)时的极限。limf(x,y)=A或limf(P)=A记为：x→x0x→y0P→P0为区别二元函数极限与一元函数极限，称二元函数极限为二重极限。教材中并没有给出二元函数极限的求法，下面结合教学过程给出二重极限的求法和判断二重极限不存在的方法。一、求二元函数极限的方法1、若能够事先看出极限值，则可以用ε-δ方法证明，直接写出二元函数的极限值44例1、求极限limx+yx→x0例4、计算二元函数的极限lim(x2+y2)sinx+y(x,y)→(0,0)分析：极限中的二元函数含有x2+y2，考虑二元函数的极坐标变换x+y(sinθ+cosθ)x=ρcos(θ)，y=ρsin(θ)，使得0≤(x2+y2)sin22=ρ2sin≤ρ2x+yρ由于函数的左端不含未知数而右端只含有一个未知数ρ，对经过放x+y缩后的函数利用迫敛性有0≤lim(x2+y2)sin≤limρ2=0ρ→0ρ→0在运用极坐标变换时注意，当利用极坐标变换时经过初等变换后若化简后的函数满足f(x,y)-a≤g(ρ)→0用迫敛性得函数的极限为a，的函数为g(ρ,θ)，但对于某个固定的θ0，g(ρ,θ0)→0，仍不能判断函数的极限是a。5、利用对数变形求二元函数的极限一般地，对于二元幂指函数，通常采用对数恒等变形的方法求二元函数的极限。例5、求二元函数的极限lim(x2+y2)(x,y)→(0,0)x2y2x→y0分析：通过观察极限中的二元函数知分子是分母的高阶无穷小，x4+y4x4y4故极限应为0。定义证明：坌ε&0，因为-0≤+4444x+y，则x+y-0≤≤x2+y2，故要使-0&ε只要取δ=x4y4+≤x2+y2≤ε+ε&ε，故极限为0。2、利用初等函数的连续性和极限的四则运算性质求二元函数的极限利用函数的连续性求函数的极限时，注意保证函数在P0(x0,y0)处有定义，这样就可以把求函数在P0(x0,y0)点处的极限转化为求函数在P0(x0,y0)处的函数值f(P0)。例2、求二元函数的极限limx-xy+3x→0分析：通过综合运用对数恒等变形、不等式放缩、换元等方法求极限(x,y)→(0,0)姨lim(x+y)=lime22(x,y)→(0,0)222x2y2x2y2ln(x2+y2)=lime(x,y)→(0,0)x2y2x2+y2ln(x2+y2)y≤(x+y)≤x2+y2→0，由于0≤x令x2+y2=t则(x,y)→(0,0)22lim(x2+y2)ln(x2+y2)=limtlnt=0,故lim(x2+y2)=e0=1。t→0(x,y)→(0,0)x2x2y26、将二元函数转化为重要极限的形式，利用重要极限求二重极限1例6、计算lim1+x→∞y→a≤y→1lim分析：首先经过恒等变形凑成重要极限的形式：1+1≤xx=exxxx分析：有理函数x-xy+3在P0(0,1)点连续，根据连续函数的性质（极限等于在这一点处的函数值）知极限为函数在P0(0,1)处的函数值-3。3、使用迫敛性（两边夹）法则求二元函数的极限迫敛性是求一元函数极限的有力方法，对于二元函数极限也有类似的性质：设函数f(x,y)在P0(x0,y0)的邻域U(p0)有定义且同时满足：limg(P)=limh(P)=A（1）g(x,y)≤f(x,y)≤h(x,y)（2）P→P0P→P0x→∞y→a1+1≤xx≤xx利用一元函数重要极限得limx→∞y→a7、先分子、分母有理化再化简求极限xy姨-1分析：对二元函数分母有理化并求极限得例7、计算二元函数的极限lim(x,y)→(0,0)(x,y)→(0,0)则函数limf(P)=A。使用迫敛性求二元函数的极限，关键是经过适当P→P0放缩，构造出同时满足上述两个条件的g(x,y)和h(x,y)。2y+y4)例3、求二元函数的极限limsin(xx→0y→0xy=limxy(+1)=lim姨+1=2(x,y)→(0,0)姨-1(x,y)→(0,0)二、判断二元函数的极限不存在二元函数的海涅归结原理：limf(x,y)=a圳坌点列{Pn(x,y)}若Pn→lim(x,y)→(x0,y0)Pn→P0分析：对于上述二元函数当(x,y)→(0,0)时，分子、分母极限都是零，0故上述极限是型。注意到对于充分小的变量x有sinx≤x，故sin(x2y+y4)≤x2y+y4，sin(x2y+y4)x2y+y4原函数满足不等式0≤≤。上面不等式的左端为0，根据二元函数的迫敛性：如果不等式的右则函数的极限为0。端的极限也是0，x2y+y4x2yy4≤+≤y+y2故当(x,y)→(0,0)时极限为0。令g(x,y)=0，h(x,y)=y+y2，由迫敛性知，二元函数的极限为0。4、利用极坐标变换求二元函数的极限考虑用极坐标变换：x=ρcos(θ)，y=ρsin(θ)当二元函数中含有x2+y2项时，通过综合运用恒等变换、不等式放缩等方法将二元函数f(x,y)转化为只含有参ρ的函数g(ρ)，进而求二元函数的极限。P0，且Pn≠P0，则极限limf(Pn)=a由二元函数的海涅归结原理知，如果二元函数f(x,y)在P0(x0,y0)点处的极限为a，是指当函数定义域内的点P(x,y)以任意路径趋于定点P0(x0,y0)时，二元函数f(x,y)的极限都是a。因此，若存在定义域内的两条不同函数f(x,y)有不同的极的路径，当P(x,y)沿不同的路径趋于点P0(x0,y0)时，限或某一条路径下的极限不存在，则f(x,y)在点P0(x0,y0)的极限不存在。常用这种在定义域内取不同的路径的方法证明函数在某一点处的极限不存在。1、在函数定义域内取两条不同的路径，若函数沿着某条路径极限不存在，则二元函数的极限不存在证明二元函数f(x,y)=2xx当(x,y)→(0,0)时极限不存在。例1、证明：通过上述分析取路径y=-x2时，当x趋于零时变量y的值也趋于零，把y=-x2代入有lim2xx=limx极（下转第４５７页）(x,y)→(0,0)x→0科技信息高校理科研究能够正常运行的情况下干扰最小。（２）降低产生干扰基站的发射功率通过测试或者话务统计确定产生了较强干扰的基站，可以降低该基站的发射功率来减小它对别的基站的干扰，在此应该注意，不能一味地为了减少干扰而过分降低功率，降低功率要保证该小区内的手机可以正常使用，在网络调整中我们也曾出现过基站功率过低而导致小区中建筑物内信号较弱，手机无法正常使用的现象，在网络调整中我们要尽量避免此类发生；另外，要求基站还要可以覆盖网络规划中的覆盖范围。（３）ＤＴＸ（非连续发送）的设置ＤＴＸ方式指用户在通话过程中，话音间歇期间系统不传送信号的过程。此功能包括上行ＤＴＸ和下行ＤＴＸ。对于下行ＤＴＸ，若基站支持该选项，则建议使用该功能。对于上行ＤＴＸ，根据实际情况而定，上行ＤＴＸ的使用有两点好处：一是有效地降低了无线信道的干扰；二是ＤＴＸ的应用可以大大地节约移动台的功耗。（４）跳频功能的使用根据ＧＳＭ规范和理论分析表明，跳频可以改善空间的频谱环境，提高整个网络的通信质量，在运用跳频功能时，建议先在部分地区作实验后再推广，我省网络中，跳频功能打开后，如果该基站传输断或停电，基站重新启动后跳频并不会自动打开，所以每次在基站重新启动后都要人工打开其跳频功能。在日常维护中，我们可以通过每个月的ＣＱＴ拨打测试了解各个地方的实际网络质量，并可以对重点地区进行针对性的了解；可以通过路测分析测试路线上各点的信令协议，了解网络的干扰情况；通过ＯＭＣ的控制信道的完好率、拥塞率等情况。话务统计分析可以得到业务信道、这一切都给我们的网络优化提供了有效的指导，使我们的网络可以更好地为用户服务。参考文献［１］韩斌杰．《ＧＳＭ原理及其网络优化》．机械出版社，２００１年７月通时的ＴＣＨ和ＳＤＣＣＨ的比例采用的是统一的规范，可以根据各个基站的不同情况加以调整。（３）调整基站覆盖范围通过调整基站覆盖范围可以达到调整话务量的效果，改变天线的俯仰角或调整基站的发射功率都可以调整基站的覆盖范围，对于话务量较高的地区，可以减小天线的仰角或降低基站的发射功率，从而达到减小基站覆盖范围的目的。（４）修改切换参数对于话务量较高的小区，我们可以检查看该小区的临近小区中有无不忙的小区，如果有的话，可通过改变切换参数使得该小区可以分担较忙小区的话务量。例如，在网络中，手机需要接入网络时，其接收电平必须大于一个门限电平，即手机允许接入的最小接收电平（ＲＸＬＥＶ＿ＡＣＣＥＳＳ＿ＭＩＮ或简称ＲＸＡＭ），可以降低不忙小区的ＲＸＡＭ，提高较忙小区的ＲＸＡＭ，使得手机可以比较轻松地切换入不忙小区的信道，而切入较忙小区的信道则比较困难，从而起到减轻较忙小区的话务压力的作用。（５）增加微蜂窝对于以上方法都解决不了而该地区话务量又高居不下，可以通过在该区域增加微蜂窝来解决。２．干扰引起手机难打及其解决方案目前在城市中，基站的密度越来越大而供我们使用的频率却远远不够，这样我们为了增加系统的容量采用了一种称之为频率复用的技术，但是，在这种技术中由于在不同基站的不同小区中重复使用了同一频率，从而会产生同频干扰；另外，在一个小区的临近小区中，可能存在与该小区工作频率相邻近的频率，这样的话将会产生另外一种干扰―――邻频干扰。这两种干扰对于手机的通话质量有着很大的影响，在网络中应该尽量将其减小。在干扰比较严重的地区可以采用以下几种方法来减少干扰：（１）调整网络频率规划由于规划不当可能会引起同邻频干扰，对于这一点，可以在尽量少地变动网络的前提下，调整部分基站部分小区的频率配置，使得网络在（上接第４５４页）限不存在，故二元函数的极限不存在。2、在函数的定义域内取两条不同的路径，若函数沿着这两条路径趋于极限点时，极限存在但是不相等，则二元函数的极限不存在22例2、证明：二元函数f(x,y)=x-y当(x,y)→(0,0)时极限不存在。证明：在定义域内取y=2x和y=3x两条路径，满足(x,y)→(0,0)。当沿2222路径y=2x趋于原点时有极限limx-y=limx-4y=-3；但是当沿(x,y)→(0,0)x→02222路径y=3x趋于原点时有极限limx-y=limx-9y=-4。函数沿着(x,y)→(0,0)x→0上述两条路径极限存在但是不相等，故二元函数在原点处的极限不存在。当二元函数沿着y=kx趋于极限点时求出的极限与k的取值有关，则二元函数的极限不存在（上面只是分别取k=2和k=3时的结论）。此法对于判断有理函数的二重极限不存在一般来说是比较有效的，但是也会遇到特殊情况：虽然沿任意直线方向函数趋于同一个常数，然而二元函数的极限仍可能不存在，这就要考虑其他方法:例如函数f(x,y)=x3y，虽然当点(x,y)沿着任意直线y=kx(k≠0)趋于(0,0)时的极限都存在且都为0，但是仍不能说明此二元函数的极限存在。原因是当函数沿（上接第４５５页）能上都有许多相似之处，两者氨基酸约82%相同，且分享相同的胞膜受体，并且大多数研究报道TNFa基因态性与乙肝有密切关联，国内对TNF-β基因多态性与乙肝的相关性研究甚少。因此，本文应用套式PCR和AS-PCR法探讨新疆地区维吾尔族人SNP804多群TNFβ-804基因多态性与乙肝患者的相关性。结果表明：态性位点C/C基因型和C/A+AA基因型频率在病例组为77%和23%,正常对照组为88%和12%,两组间基因型和等位基因频率分布差异有）,慢性乙肝组的A等位基因频率明显高于对照组,说明显著性（p＜0.05A等位基因是新疆维吾尔族的易感基因。推测该位点单个核苷酸的改使带有A等位基因的乙肝感染者在病变(C→A)可影响TNF-β的产生，毒等基因刺激下，易产生过高水平的血浆TNF-β，导致过强的免疫应答及炎症反应，致肝细胞严重损伤甚至大量肝细胞坏死,最终导致慢性乙型肝炎的发生。乙肝是一种由遗传、机体免疫和环境因素共同作用所致的复杂的感染性疾病，关于TNF-β基因多态性在肝炎的发生、发展中的作用还必须进一步的研究,为预防乙肝发展为肝硬化提供有利依据。x3y=limkx6=k(x,y)→(0,0)(x,y)→(0,0)这与k的取值有关，因此，二元函数的极限不存在。3、利用二重极限和累次极限的关系判断二重极限不存在若二元函数的两个累次极限存在但是不相等，则二元函数的二重极限不存在。例如已知上述例2的二重极限不存在，下面用两个累次极限存在但不相等说明例2中的二重极限不存在。222x2-y2=limlimlim首先累次极限limlimx-y=lim-y=-1，其次y→0x→0x→0x→0y→0y→02x=1，二元函数的两个累次极限都存在但是不相等故二元函数的极限不存在。文中给出了几种常用的二元函数极限的求法，对于二元函数的极限还有如：利用二重积分的定义、洛比达法则、无穷小代换、泰勒展开等[2]方法。对于具体题目要注意对上面几种方法的综合运用。函数的极限lim曲线y=kx3趋于(0,0)时，参考文献［１］吴赣昌．高等数学（上册）［Ｍ］．北京：中国人民大学出版社，２００６［２］马顺业．数学分析研究［Ｍ］．济南：山东大学出版社，１９９６参考文献［１］ＣａｎＡＪ，ＤｏｎａｌｄｓｏｎＰＴ．Ｇｅｎｅｔｉｃｓｕｓｃｅｐｔｉｂｉｌｉｔｉｅｓｆｏｒｉｍｍｕｎｅｅｘｐｒｅｓ－ｓｉｏｎａｎｄｌｉｖｅｒｃｅｌｌｉｎｊｕｒｙｉｎａｕｔｏｉｍｍｕｎｅｈｅｐａｔｉｔｉｓ［Ｊ］．ＩｍｍｕｎｏｌＲＥＶ，２００５：１７４：２５０－２５９．［２］Ｐｒｅｖｅｎｔｉｏｎａｎｄｔｒｅａｔｍｅｎｔｐｒｏｇｒａｍｏｆｔｈｅｖｉｒａｌｈｅｐａｔｉｔｉｓ［Ｊ］．ＣｈｉｎｅｓｅＪｏｕｒｎａｌｏｆＩｎｆｅｃｔｉｏｕｓＤｉｓｅａｓｅｓ，２００６，１９：５６－６２．［３］ＪｉａｎｇＳｈａｎ，ＸｉｅＱｉｎｇ．ｅｔａｌ．ＴｈｅｒｅｌｅｖａｎｃｅｏｆｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈｂｅｔｗｅｅｎｃｈｒｏｎｉｃｖｉｒａｌｈｅｐａｔｉｔｉｓａｎｄＨｕｍａｎＧｅｎｏｍｅ［Ｊ］．ＦｏｒｅｉｇｎＭｅｄｉｃａｌｅｐｉｄｅｍｉｏ－ｌｏｇｉｃａｌｓｔｕｄｙｏｆｉｎｆｅｃｔｉｏｕｓｄｉｓｅａｓｅｓｖｏｌｕｍｅｓ，２００２，２９：２６０－２６２．［４］ＣｚａｊａＭＴ，ＷｅｉｎｅｅｒＦＲ．ＦｌａｎｄｅｎｓＫＳ．ｅｔａｌ．Ｉｎｖｉｔｒｏａｎｄｉｎｖｉｖｏａｓｓｏ－［Ｊ］．ＪｃｅｌｌＢｉｏｌ，ｃｉａｔｉｏｎｏｆｔｒａｎｓｆｏｒｍｉｎｇｇｒｏｗｔｈｆａｃｔｏｒ－β１ｗｉｔｈｈｅｐａｔｉｃｆｉｂｒｏｓｉｓ１９８９，１０８：２４７７－２４８７．［５］林菊生，程元桥，田德英等．ＨＬＡＤＲＲ－１和肿瘤坏死因子α基因多态性与肝硬化的遗传易感性［Ｊ］．中华内科杂志，２００２（１２）：８１８－８２１．―４５７―包含各类专业文献、生活休闲娱乐、中学教育、各类资格考试、外语学习资料、91二元函数极限的求法和极限不存在的判断等内容。
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利用无穷小的性质计算下列极限lim sinx-sina/x-a(x→∞）还有一道：lim(1-x^2)/sinπx x→1
利用无穷小的性质计算下列极限lim sinx-sina/x-a(x→∞）还有一道：lim(1-x^2)/sinπx x→1
因为|sinx|<1,|sina|<1,所以sinx-sina有界而lim(x->无穷)x-a=无穷所以原式＝0
∵0≤|sinx-sina|≤|sinx|+|sina|≤2.∴-2≤sinx-sina≤2.又当x-->∞时1/(x-a)--->0.∴lim(sinx-sina)/(x-a)=0.
1。0≤|sinx-sina|≤|sinx|+|sina|≤2.∴-2≤sinx-sina≤2.又当x-->∞时1/(x-a)--->0.∴lim(sinx-sina)/(x-a)=0. 2。运用罗比达法则，可以分子分母同时求导，然后得到-2x/πcosπx，然后代入x=1。就可以得到极限值-2/π&#xe621; 上传我的文档
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