一元二次方程的解法例析
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【要点综述】：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。一元二次方程有三个特点：只含有一个未知数；未知数的最高次数是；是整式方程。因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。一元二次方程的基本解法有四种：、直接开平方法；、配方法；、公式法；、因式分解法。如下表：
适合方程类型
直接开平方法
≥0时有解，＜0时无解。
二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方。
≥0时，方程有解；＜0时，方程无解。先化为一般形式再用公式。
因式分解法
方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。
方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。&【举例解析】例1：已知，解关于的方程。分析：注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程。解：由得：或，当时，原方程为，即，解得当时，原方程为，即，解得，说明：由本题可见，只有项系数不为，且为最高次项时，方程才是一元二次方程，才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二次方程的描述是不完整的，应该说明最高次项系数不为。通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明，即形如的方程叫作关于的一元二次方程。若本题不给出条件，就必须在整理后对项的字母系数分情况进行讨论。例2：用开平方法解下面的一元二次方程。（）；（）（）；（）分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如的方程，其解为。通过观察不难发现第（）、（）两小题中的方程显然用直接开平方法好做；第（）题因方程左边可变为完全平方式，右边的＞，所以此方程也可用直接开平方法解；第（）小题，方程左边可利用平方差公式，然后把常数移到右边，即可利用直接开平方法进行解答了。解：（）∴（注意不要丢解）由得，由得，∴原方程的解为：，（）由得，由得∴原方程的解为：，（）∴，∴∴，∴原方程的解为：，（）∴，即∴，∴，∴原方程的解为：，
说明：解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但如果不要求化为一般式，
像本题要求用开平方法直接求解，就不必化成一般式。用开平方法直接求解，应注意方程两边同时开方时，
只需在一边取正负号，还应注意不要丢解。
例3 ：用配方法解下列一元二次方程。
（1）；（2）
&分析：用配方法解方程，应先将常数移到方程右边，再将二次项系数化为，变为的形式。第（）题可变为，然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即：，方程左边构成一个完全平方式，右边是一个不小于的常数，即：，接下去即可利用直接开平方法解答了。第（）题在配方时应特别注意在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方。解：（）二次项系数化为，移常数项得：，配方得：，即直接开平方得：∴，∴原方程的解为：，（）二次项系数化为，移常数项得：方程两边都加上一次项系数一半的平方得：即直接开平方得：∴，∴原方程的解为：，说明：配方是一种基本的变形，解题中虽不常用，但作为一种基本方法要熟练掌握。配方时应按下面的步骤进行：先把二次项系数化为，并把常数项移到一边；再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。最后变为完全平方式利用直接开平方法即可完成解题任务。例4：用公式法解下列方程。（）；（）分析：用公式法就是指利用求根公式，使用时应先把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式的值，当≥时，把各项系数的值代入求根公式即可得到方程的根。但要注意当＜时，方程无解。第（）小题应先移项化为一般式，再计算出判别式的值，判断解的情况之后，方可确定是否可直接代入求根公式；第（）小题为了避免分数运算的繁琐，可变形为，求出判别式的值后，再确定是否可代入求根公式求解。解：（），化为一般式：求出判别式的值：＞代入求根公式：，∴，（）化为一般式：求出判别式的值：＞∴∴，说明：公式法可以用于解任何一元二次方程，在找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。但在应用时要先明确公式中字母在题中所表示的量，再求出判别式的值，解得的根要进行化简。例5：用分解因式法解下列方程。（）；（）分析：分解因式法是把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。第（）题已经是一般式，可直接对左边分解因式；第（）题必须先化简变为一般式后再进行分解因式。解：（）左边分解成两个因式的积得：于是可得：，∴，（）化简变为一般式得：左边分解成两个因式的积得：于是可得：，∴，说明：使用分解因式法时，方程的一边一定要化为，这样才能达到降次的目的。把方程一边化为，把另一边分解因式的方法可以用于解今后遇到的各类方程。因为这是把方程降次的重要手段之一。从上述例题来看，解一元二次方程的基本思路是向一元一次方程转化，转化的方法主要为开平方法和使方程一边为，把方程另一边分解因式，配方，或利用求根公式法。另外，在解一元二次方程时，要先观察方程是否可以应用开平方、分解因式等简单方法，找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。&例6：选用恰当的方法解下列方程。
（1）；& （2）
（3）；& （4）
分析：第（1）题可变形为，而后利用直接开平方法较为简便；
第（2）题移项后利用分解因式法较为简便；第（3）题化为一般式后可利用求根公式法解答；
第（4）题采取配方法较为简便。
直接开平方得：
分解因式得：
求出判别式的值：＞0
直接开平方得：
总结：直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在使用公式前应先计算出判别式的值，以便判断方程是否有解。配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的重要的数学方法之一。最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般式，同时应使二次项系数化为正数。因此在解一元二次方程时，首先观察是否可以应用开平方、分解因式等简单方法，找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。通常先把方程化为一般式，但如果不化为一般式就可以找到简便解法时就应直接求解。
&【附训练典题】
1、用直接开平方法解下列方程：
（1）；&&&&&&&&& （2）；
（3）；& （4）.
2、用配方法解下列方程：
（1）；&& （2）；
（3）； （4）.
3、用公式法解下列方程：
（1）；&&&&&&& （2）；
（3）； （4）.
4、用因式分解法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）；&&&&&& （4）.&
5、选用适当的方法解下列方程：
（1）；&&&&&&&& （2）；
（3）；&&&&&& （4）；
（5）；&&&&&&&&& （6）；
（7）； （8）
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【下一篇】用配方法求解下列问题：（1）2x2-7x+2的最小值；（2）-3x2+5x+1的最大值．【考点】．【分析】利用配方法，先对代数式进行配方，变形成a（x+b）2+c的形式，再根据a2≥0这一性质即可证得．【解答】解：（1）∵2x2-7x+2=2（x2-x）+2=2（x-）2-≥-，∴最小值为-；（2）-3x2+5x+1=-3（x-）2+≤，∴最大值为．【点评】若二次项系数为1，则常数项是一次项系数一半的平方；若二次项系数不是1，则可先提取二次项系数，将其化为1即可．在变形的过程中注意式子的值不变．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：zcx老师　难度：0.60真题：1组卷：11
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162&.5&氨基硅烷偶联剂与葡聚糖共修饰的超顺磁性纳米颗粒及其制备方法８ 163&.2&一种偶联剂改性白炭黑增强载重轮胎胎面胶性能的方法１ 164&.1&废剑麻纤维用含柔性链大分子偶联剂的制备方法９ 165&.2&提供金属元件偶联到待增强材料上的偶联剂０ 166&.8&封端巯基硅烷偶联剂、制备方法及在橡胶组合物中的应用&&&167&.2&一种硅烷偶联剂改性凹凸棒土的制备&&&168&.7&一种含磷氮的阻燃改性硅烷偶联剂及其制备方法&&&169&.3&耐热性、耐久性、脱模性和防污性硅烷偶联剂及其制造方法&&&170&.7&双亲偶联剂及其制备方法&&&171&.4&使用偶联剂来改善可吸收聚合物复合物中界面&&&172&.5&含氟硅烷偶联剂及制造方法&&&173&.2&一种基于硅烷钛酸酯双组份偶联剂碳化硅陶瓷制造方法&&&174&.8&一种基于硅烷铝锆双组份偶联剂碳化硅陶瓷制造方法&&&175&.7&一种用偶联剂制得的肝癌靶向肽-阿霉素及合成方法&&&176&.7&制备聚合物/天然纤维复合粒料和/或偶联剂/天然纤维粒料的方法及用该方法制得的粒料&&&177&.3&复合解偶联剂&&&178&.6&一种解偶联剂&&&179&.0&一种复配的解偶联剂&&&180&.5&用于细菌纤维素表面改性的大分子偶联剂及其制备方法和用途&&&181&.4&含烯丙基巯基和氨基的硅烷偶联剂的制备方法及其用途&&&182&.6&一类高耐热酰亚胺芳杂环改性硅烷偶联剂&&&183&.8&质子受体亚铵/碳阳离子型偶联剂&&&184&.4&一种含DOPO基团的硅烷偶联剂及其制备方法&&&185&.2&填充橡胶用硅烷偶联剂&&&186&.9&一种二氢月桂烯醇基硅烷偶联剂及其合成方法&&&187&.4&PSD-95/nNOS解偶联剂分子印迹聚合物的制备方法&&&188&.3&一种适用于ZY-1加成型硅橡胶与丙烯酸树脂粘接的偶联剂&&&189&.5&一种基于硅烷铝酸酯双组份偶联剂碳化硅陶瓷制造方法&&&190&.X&一种基于硅烷偶联剂低温高致密碳化硅陶瓷制造方法&&&191&.X&微囊化硅烷偶联剂&&&192&.2&表面由偶联剂改性的磷酸铁锂/碳复合材料及其制备方法&&&193&.X&制备烷氧基-和/或卤代硅烷(聚)硫化物的方法、可由这种方法获得的新产品和作为偶联剂的用途&&&194&.9&一种同时改性两种硅烷偶联剂的苯丙乳液及其制备方法&&&195&.5&硅烷偶联剂改性丙烯酸类压敏粘合剂及其制备方法&&&196&.3&偶联剂组合物及利用该偶联剂组合物提升聚对苯二甲酸乙二酯特性粘度的方法&&&197&.7&钛酸酯偶联剂改性的聚氯乙烯管材及其制造方法&&&198&.1&一种硅烷偶联剂改性纳米二氧化钛溶胶的方法&&&199&.4&一种基于硅烷硼酸酯双组份偶联剂碳化硅陶瓷制造方法&&&200&.4&一种新型硅烷偶联剂及其制备&&&201&.0&偶联剂反应的汞和/或砷离子去除介质&&&202&.5&注入硫且偶联剂反应的有机粘土汞和/或砷离子去除介质&&&203&.5&一种复合解偶联剂&&&204&.5&双硅烷偶联剂及其制备方法***咨询订购 8&&&205&.9&一种钛酸酯偶联剂的使用方法&&&206&.1&利用硅烷偶联剂合成大比表面积纳米铁酸镧的方法&&&207&.4&一种仲胺基硅烷偶联剂的制备方法&&&208&.3&封端的巯基硅烷偶联剂&&&209&.5&含有封端的巯基硅烷偶联剂的橡胶组合物&&&210&.8&一种添加硅烷偶联剂制备MnZn铁氧体的方法&&&211&.9&印刷电路板用硅烷偶联剂&&&212&.8&一种硼酸酯偶联剂表面改性硼酸镁晶须的方法&&&213&.2&对称性双功能偶联剂及其偶合分子显像剂&&&214&.X&有机硅偶联剂&&&215&.X&一种复合硅烷偶联剂改性硅微粉的制备方法&&&216&.X&含以马来酸酐单元为偶联剂的乙烯共聚物的阻燃聚合物组合物&&&217&.9&特定的官能化的有机基硅化合物在包含增强无机填料的异戊二烯弹性体组合物中作为偶联剂的用途&&&218&.8&硼酸酯偶联剂及其制备方法&&&219&.6&用硅烷偶联剂Si-69对Q345钢表面进行耐海水腐蚀处理的方法&&&220&.0&硅烷偶联剂的生产方法&&&221&.6&一种硅烷偶联剂及其制备方法&&&222&.9&一种大分子偶联剂、其制备方法及其用途&&&223&.1&含二氧戊环作为偶联剂的水性制剂&&&224&.8&一种偶联剂及其制备方法和应用&&&225&.6&一种含高分子偶联剂的活性镁系阻燃剂及其制备方法&&&226&.0&有机磷鎓衍生物和其用作解偶联剂的用途&&&227&.5&一种稀土偶联剂、其制备方法及其在处理玻纤增强聚甲醛复合材料中的应用&&&228&.9&一种偶联剂改性氯磺化聚乙烯防腐漆&&&229&.9&一种硅烷偶联剂改性树脂类易剥离的环保水性压敏胶&&&230&.8&硅烷偶联剂改性脂环族环氧树脂大功率LED封装胶&&&231&.9&有机解偶联剂&&&232&.8&一种硅烷类大分子偶联剂聚合物体系的制备方法&&&233&.0&硅烷偶联剂改性脂环族环氧树脂SMD封装胶&&&234&.1&一种偶联剂改性含铝合金制备核壳结构复合相变材料的方法&&&235&.0&一种硅烷偶联剂的制备方法&&&236&.0&一种利用复配偶联剂对粉煤灰漂珠进行表面改性的方法及应用&&&237&.1&一种利用多硫化钠合成含硫硅烷偶联剂的方法&&&238&.6&一种巯基硅烷偶联剂的制备方法&&&239&.X&一种可消除凝胶点的偶联剂及其制备方法&&&240&.7&一种硅烷偶联剂杂化magadiite催化剂载体材料、制备方法及应用&&&241&.7&含氮硅烷偶联剂封端的聚醚嵌段硅油的制备方法&&&242&.4&偶联剂修饰的碳纳米管的制备方法&&&243&.6&硅烷偶联剂及其制备&&&244&.4&一种偶联剂改性碳酸钙填充聚丙烯塑料及其制备方法&&&245&.4&一种偶联剂改性滑石粉填充聚丙烯塑料及其制备方法&&&246&.1&一种硅烷偶联剂改性丙烯酸酯的制备方法&&&247&.9&超细木质素橡胶偶联剂及其制造方法和在橡胶中的应用&&&248&.3&一种无皂聚合法制备丙烯酸酯/硅烷偶联剂共改性酪素皮革涂饰剂的方法&&&249&.2&一种两性型硅烷偶联剂的制备方法&&&250&.4&一种含环氧基的线型硅烷偶联剂及其制备方法&&&251&.6&一种偶联剂表面处理纤维或织物的方法&&&252&.1&一种含氟大分子偶联剂及其制备方法和应用&&&253&.3&氨基硅烷偶联剂改性的粉体填料表面改性效果的预评价方法&&&254&.7&一种含氰基的硅烷偶联剂及其制备方法&&&255&.6&一种含环氧基的非线型硅烷偶联剂及其制备方法&&&256&.5&水相合成硫代羧酸酯硅烷偶联剂的制备方法&&&257&.1&硅烷偶联剂及其制备&&&258&.X&含双键的两性离子化合物与偶联剂KH-570共聚物及其制法和用途&&&259&.7&一种长链不饱和硅烷偶联剂制备方法及木塑材料生产工艺&&&260&.5&一种烃基氧膦硅烷偶联剂及其制备方法&&&261&.6&硅烷偶联剂包覆改性滑石粉的制备方法及银镜镜背涂料&&&262&.6&一种硅烷偶联剂A-171改性的氯化聚乙烯电缆料&&&263&.1&一种固相硅烷偶联剂的制备方法&&&264&.0&硅烷偶联剂包覆改性无机混合物的制备方法及铝镜镜背涂料&&&265&.0&一种双酰硫基硅烷偶联剂及制备方法&&&266&.7&高温硫化改性硅橡胶与陶瓷釉面粘接用偶联剂及配制方法&&&267&.3&一种3-巯丙基三乙氧基硅烷偶联剂的制备方法&&&268&.0&偶联剂预分散母胶粒及其制备方法&&&269&.8&一种硅烷偶联剂与金属镍离子共沉积的方法&&&270&.9&一种采用响应曲面分析确定复合解偶联剂最佳浓度的方法&&&271&.0&一种改性聚胺偶联剂及其制备方法&&&272&.3&包含偶氮-硅烷偶联剂的橡胶轮胎组合物&&&273&.X&兼具增韧功能的油脂源硅烷偶联剂的制备方法&&&274&.6&一种硅烷偶联剂改性的环氧树脂及其制备方法与应用&&&275&.8&一种硅烷偶联剂包覆型自修复剂及其制备和应用&&&276&.3&包含偶氮-硅烷偶联剂的橡胶轮胎组合物&&&277&.3&硅烷偶联剂改性SiO2&/sub&负载铑催化剂的制备以及对丁腈橡胶的选择性加氢应用&&&278&.5&一种偶联剂改性的磷酸铁锂复合正极材料及其制备方法&&&279&.9&一种表面偶联剂改性的耐热碳酸钙的制备方法&&&280&.5&镁表面超声微弧氧化-HF-硅烷偶联剂多级复合生物活性涂层制备方法&&&281&.6&一种阻燃改性的硅烷偶联剂及其制备方法&&&282&.5&针对双酚A的硅烷偶联剂改性凹凸棒石表面分子印迹材料的制备方法&&&283&.1&用于弹性体组合物的新的偶联剂&&&284&.6&一种硅烷偶联剂的制备方法&&&285&.2&硅烷偶联剂及制备方法及含有该硅烷偶联剂的金属胶粘剂&&&286&.1&一种硅烷偶联剂改性碳纤维表面的处理方法&&&287&.X&含酰亚胺环结构单元的硅烷偶联剂的制备方法&&&288&.7&含聚酰亚胺改性的硅烷偶联剂涂层的漆包线&&&289&.4&一种钛酸酯偶联剂表面改性氧化锌的方法&&&290&.9&橡胶/炭黑用偶联剂以及含有该偶联剂的轮胎用橡胶组合物&&&291&.X&一种含硫硅烷偶联剂与炭黑、白炭黑的混合物颗粒&&&292&.3&一种偶联剂涂敷设备&&&293&.9&偶联剂KH560蒸馏系统&&&294&.0&一种硅烷偶联剂药水回收系统***咨询订购 8&&&295&.X&硅烷偶联剂中总硫测定用仪器
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