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好玩的数学-幻方及其他 娱乐数学经典名题.pdf383页
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好玩的数学-幻方及其他 娱乐数学经典名题.pdf
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主编张景中
按汉语拼音字母排序
陈仁政孙荣恒谈祥柏王树禾
吴鹤龄易南轩郁祖权
2002 年 8 月在北京举行国际数学家大会 Iα但α旦
期间， 91 岁高龄的数学大师陈省身先生为少年儿童题词，
写下了"数学好玩" 4 个大字。
数学真的好玩吗?不同的人可能有不同的看法。
有人会说，陈省身先生认为数学好玩，因为他是
数学大师，他懂数学的奥妙。对于我们凡夫俗子来说，
数学枯燥，数学难懂，数学一点也不好玩。
其实，陈省身从十几岁就觉得数学好玩。正因为
觉得数学好玩，才兴致勃勃地玩个不停，才玩成了数
学大师。并不是成了大师才说好玩。
所以，小孩子也可能觉得数学好玩。
当然，中学生或小学生能够体会到的数学好玩，
和数学家所感受到的数学好玩，是有所不同的。好比
象棋，刚入门的棋手觉得有趣，国手大师也觉得有趣，
但对于具体一步棋的奥妙和其中的趣味，理解的程度
却大不相同O
世界上好玩的事物，很多要有了感受体验才能食
髓知味。有酒仙之称的诗人李白写道:"但得此中味，
勿为醒者传"，不喝酒的人是很难理解酒中乐趣的。
但数学与酒不同。数学无所不在。每个人或多或
少地要用到数学，要接触数学，或多或少地能理解一
!幻方及其他
早在 2000 多年前，人们就认识到数的重要。中国
古代哲学家老子在〈道德经
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/ 数学演义—中小学课堂学习新广角　
　　“半池方自乘，以出水一尺自乘，减之，余，倍出水除之，即得水深。 加出水数，得葭长。”　　咱们要是用今天的符号来说的话，比如设池的半个边长为 a，池深 b，葭 长为 c，那么按“术”则有：2 2 2 2水深：b＝ a? (c ? b)2(c ? b)＝ 5
? 12 ? 1＝12（尺）葭长：c＝b＋（c－b）＝13 尺 同学们只要稍稍将水深公式变一下形，就会发现是完全正确的，是勾股定理 a2＋b2＝c2 的变形、翻版。那为什么要变成这种样子呢？那自然是因为 现在 c、b 都不知道，已知条件中只有 c－b 是 1，所以就要用 a（＝5）和 c－b（＝1），把未知的 b 表示出来。这就是在今天，给我们一些学过勾股定理的人来做，也未必能得出这么个公式。 给了个公式，请你证一证、推一推对不对，也许比较容易；没有公式要寻找出来，可就有难度了。　　这么个有趣的题目自然引起大家的胃口，据说好像还出口过，外汇自然 是没赚着了，也就是增进各国人民的友谊吧。这出口的国家似乎是印度。印度有本古算书上写着这么一首诗：　　“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一 边。渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？” 这本印度古算书迟于《九章算术》，所以有人估计是从中国传抄过去的。这是完全可能的。说不定玄奘大和尚用它换回了两册经书也未可知。《九章》中还有其他一些勾股互求的公式，如：2 2c＝ a? (c ? b2 ? (c ? b)) ＋（c－b）a＝ 2(c ? b)(c ? a) ＋（c－b）这里 a、b、c 分别是勾、股、弦。此外还有计算直角三角形内切圆直径、内接正方形边长的公式。对于这些正确无误的公式，我们只能除了表示佩服 以后，再也不能有其他更好的评论了。两千多年前的中国人能把学问做到这 份上，真能算得上超一流水平。　　咱们中国古算历史上的明珠，就大致地说这么一些，现在也该欣赏一番 西方数学的明珠——《几何原本》了。　　且说这《几何原本》四字，现如今人人皆习以为常。而“几何”，也已 成为现在研究空间形式这一重要数学分支的名称了。　　岂不知那欧氏的传世之作，原只叫《原本》（Elements），“几何”原 意是多少，利玛窦等在翻译《原本》的时候，认为这本书是所谓“度数之宗”， 也就是数学的老祖宗了，所以取名为《几何原本》。　　　　要说这《原本》，虽然作者是欧几里德无疑，但他老先生的原著已经找 不到。不要说原著，就是那个时代的手抄本也绝了迹。《原本》现在的版本， 都是以亚历山大里亚的泰奥恩的修订本为依据。泰奥恩，公元四世纪末人， 离欧几里德的时代有 700 多年了。泰奥恩修订本的抄本，再加上他讲课的记 录，以及后来十八世纪在梵蒂冈图书馆发现的一本希腊手稿，这些就成为研 究《原本》的珍贵资料了。　　那欧几里德把这本书起名叫《原本》，他的本意就是写一本数学中一般 原理和定理的书籍。“elements”这个词，古希腊就是指的最基础的，最重 要的，就像字母是构成语言的基石那样。事实上希腊文中的“字母”，就是 这个词。　　所以，和平常的想法不一样，欧几里德的《原本》不是单讲几何的，它 还包括相当的数论和初等代数，可以说是对希腊数学的古典时期的一个系统 整理。　　其实在欧几里德之前，古希腊已经有不少人写了一些数学原理之类的 书。可是《原本》一出现，立即就受到最大的重视，而那些以前类似的书根 本就没有流传下来。好像是大树之下的小草，那个叫做历史的老头，根本就 没把它们放在眼里。从 1482 年的第一个版本出版到现在，已出现了一千多个版本。两千多年来，它对整个数学的影响是无与伦比的。在西方，除了圣经以外，没有任何 著作能像《原本》那样被广泛引用、认真研究、奉为至理。那么这本书到底成功在什么地方呢？是不是因为包括了许许多复杂的知识，精巧的问题，从而使它有了不朽的声名呢？当然不是。要是编编习题集 或是什么大全能来个流芳百世，那也太容易了点。欧几里德的主要功绩，倒不是发现了多少定理，而是把多少世纪以来积累下来的所有几何知识组成一个体系，一个由逻辑规律排列整理得井井有 条、从简到繁的定理系列。命题和定理在《原本》里，不是没有联系地杂乱 地堆在一起，而是有一种前后的逻辑顺序，清晰而又严谨。好在咱们都学过平面几何，都熟悉这么一种井然有序、前后一致的风格。当然，某条定理是怎么证出来的，根据是什么，一般都可以追溯到；但是这 么一直地往前头追源头，追到最后必定有一些“根据”，有一些理由是不能 再往前追了，或者说，我们追到源头、起源了。这些不用再证明的东西就把它们作为不成问题的真理接受下来，就叫做公理。　　由几条不多的公理出发，就可以推出许许多多的定理，构筑起几何的宏 伟而又严谨的大厦，欧几里德是这么做的第一个人。　　把思想用公理形式确立起来，表达出来，就叫做公理化的方法。也许， 它是古希腊数学的最伟大的成就。所以有人说了，《原本》的内容固然重要， 但那些内容借以表现的形式更为重要。“公理的方法”在今天已经渗透到数 学的每个领域了，而世界上第一个公理体系，当然就是《原本》了。　　欧几里德作为公理化的老祖宗，自然也是著作颇丰，起码写了十部书， 而且保留下来的也不下五部。比如说，他写过《二次曲线》，是讲椭圆、抛 物线等圆锥曲线的；还有两本，一本叫《辨伪术》，包括一些正确的和错误 的证明；还有一本《数据》。这两本可能都是练习题和训练手册，是教育学 生用的。也有人说，《原本》也是一本最早的教科书。　　　　但是欧几里德的《原本》真有点太那个了，太有点光芒四射了，不但使 得周围的人相形失色，也使得他自己的其他成就被掩藏得看不清楚。其实， 他的其他著作，如果是别人写的，也足够辉煌和炫耀一番的。他甚至还写了《光学》和《镜面反射》这样的物理著作呢！ 已经数不清有多少人从《原本》中接受到教益，接受到伟大的启示，或者很可能改变了他人生的道路。不过我们可以肯定，没有一位自然科学家没 学习过《原本》，没有为《原本》那严密的逻辑体系，那逻辑美所陶醉。就 是个社会科学家吧，如果没有学过那《原本》，甚至中学时对几何就厌恶， 看见几何证明就想吐，恐怕绝对成不了大哲学家，或者咱们可以直截了当地 说，他简直不够一个家，即便是什么研究社会科学的。看看那二十世纪有名 的英国哲学家罗素，他不但是一位大哲学家，简直还是一位大数学家呢！恐 怕正因为有后者，才成就了前者。　　要说对《原本》佩服得五体投地的，恐怕还得算爱因斯坦了。他老人家 小时候八九岁时看到了《原本》，被它那逻辑体系镇得直吐舌头，一直到老 都难以忘怀。他是一位被《原本》深深震撼，深深影响的人物。他多次赞叹过这本著作，他老人家说过这样一段话： “世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹，这个逻辑体系如此精密地一步一步推进，以致它的每一个命题都是绝对不容置疑的——我这里说的是欧几里德几何。 推理的这种可赞叹的胜利，使人类理智获得了为取得以后的成就所必需的信心。”　　爱因斯坦老先生的这番话，自然是把评价推到了高峰。不过，这样一种 严格的一步一步推导的数学书，使人感到好像数学是从天上掉下来的，感到 似乎数学家仅仅用用演绎推理就能搞出发明创造。其实，证明之前必先有猜想，综合之前必先有分析。希腊人坚持要有准确的概念和证明，这个美德从数学的创造发明来说却是一个缺点。 说起来也挺有趣，希腊人自己把从定理直接推出的结果称作系，不是很看得起的，他们甚至把这些结果叫做横财或红利。　　当然啦，建立一个公理体系毕竟是一项创世纪的伟大成就，但不能把它 绝对化。咱们在这说了半天，还不知道欧几里德是何许人也。　　这欧几里德，约为公元前 330 年到公元前 275 年人，籍贯古希腊，职业 数学家兼教育家。在古埃及托勒密王时代，曾到亚历山大城（即亚历山大里 亚）办学，好像是当过亚历山大大学的数学系主任，在那里建立了以他为首 的数学学派。　　话说到这，可能有朋友发话了，那欧几里德乃希腊人氏，他到古埃及去 走的是哪门子亲戚？要么是托勒密大王引进外国人才，请他去凑一份？实际 并非如此，其中原委还容一一细说。　　欧几里德和以后要提到的另一位大数学家阿波罗尼斯（能和欧氏相提并 论的不多），都属于希腊历史上第二个大分期，即亚历山大时期。第一个时 期就是毕达哥拉斯们生活过的希腊古典时期。　　且说公元前 400 年左右，那希腊的北邻马其顿王国渐渐壮大，经过改革， 兵多将广。国王腓力普自然想把南面的邻居吃进来。到了公元前 337 年，腓 力普征服了希腊。　　　　过不了几年，他的儿子亚历山大（公元前 336——323 年）继位，发动了 空前的侵略战争，把巴比伦、埃及等等统通收入名下，形成了一个横跨欧、 亚、非洲的大帝国。他就是历史上有名的亚历山大大帝。　　那马其顿深受希腊文化之影响，大量的希腊人移居到埃及和东方。希腊 的经济文化在这些地方产生了较大影响。所以希腊文明就进入了亚历山大时 期。　　亚历山大大帝在埃及得手后，就在那里建筑了亚历山大城。在极短的时 间里，亚历山大城便奇迹般地成为富有壮丽的世界性大都市。　　到了公元前 323 年，那个有点像成吉思汗的大帝死了，他的大帝国就分 裂成了三个，但仍然在希腊文的笼罩之下。　　那埃及这一块，就由托协密统治。他把亚历山大城定为首都，便立即建 立了著名的亚历山大大学。那规模，那建筑，不但当时首屈一指，就是现代 大学也敢比试比试，不相上下。教室、实验室、花园、博物馆应有尽有。尤 其是那大图书馆，号称拥有六十万卷纸草书。在很长时间内被当作是世界各 地学术著作最多的宝库。　　这么个名牌大学，使亚历山大城成了希腊文明的首府，并且足足延续了 一千年。那么好的条件，自然是饱学人士心心向往的地方，于是欧几里德也从雅典来到了这里，主持数学系。 欧几里德曾经师从柏拉图。这柏拉图可是个不同凡响的人物，他写过一本著名的书《理想国》。　　柏拉图（公元前 427—347）出生名门，少有壮志。后来他在雅典开办了 著名的柏拉图学园，实际上是有史以来第一座大学。柏拉图是那时代最有学问的人，虽然不是数学家，但他深信其对哲学和了解宇宙的作用。在他的学园门口挂着这么个牌子：不懂几何学的人不准入 内。有位仁兄很想研究研究哲学，可是数学却是不咋的。柏拉图毫不客气地说：走开！你没有哲学工具。 在这么一位老师的教导下，再加上他大师兄亚里士多德创立的逻辑学，给欧几里德写《原本》准备了沃土。　　那亚里士多德也是个赫赫有名名垂青史的大学者，是柏拉图的弟子，后 来自己另立门户，叫吕园学派。吕园里有个花园，一个课堂和艺术之神谬斯 的祭坛。柏拉图对他这位高足那是大加赞赏；什么“学园的精英”，“智慧 的化身”，等等。　　亚里士多德自己也收了一位高徒。这位徒弟是高得不能再高了，就是亚 历山大大帝。所以“亚先生”曾贵为帝师。虽然是伴君如伴虎，不过也得了 不少利，建立了最大的动物园和最大的图书馆。　　且不说这位欧几里德的大师兄如何博学——确实是博古通今，集诸子百 家于一身——单道他创立的逻辑学，就是学术界了不起的大事。　　从亚里士多德的著作中，可以十分清楚地看出，他是从数学得出逻辑来 的。他的基本逻辑原理——矛盾律，就是说的一个命题不能既是真的又是假 的；排中律，它指出一个命题必然是真的或者是假的。而这，就是数学间接 证法的根据呢！亚里士多德用当时课本中的数学例子来说明他的逻辑推理。 亚里士多德的逻辑一直到 19 世纪还没有能挑出它的毛病。就是今天，也　　是我们一直使用着的规律。 有了这么些准备，有了这么一种创造的氛围，那《原本》当然应该是呼之欲出，没有欧几里德，也会有其他里德把它写出来，传下去。 这《原本》共分 13 篇，共包含 467 个命题。 第一篇到第四篇讲直边形和圆的基本性质；第五篇是比例论；第六篇是相似形；第七、八、九篇是数论；第十篇是不可度量的分类；第 11 到第 13 篇是立体几何和穷竭法。　　那第一篇自然从必要的初步的定义和公理开始，逐步展开完整的体系。 它包括 48 个命题。第 47 年命题就是毕氏定理，不过给出了一个一直到现在 都经常在引用的巧妙证明：这个图不知为什么在西方叫新娘的椅子。主要是通过等积来证明。比如，（AC）2＝Z△JAB＝Z△CAD＝ADKL，同理还有（BC）2＝BEKL，如此一来，毕 氏定理自然是顺势得出，小菜一碟。　　第一篇里的两个命题 12 和 13，合起来就是我们今天的余弦定理，那余 弦定理也就是勾股定理的推广。至于第七、八、九三篇，共有 102 个命题，主要是初等数论。其中亦有大名鼎鼎的辗转相除法，所以在西方，它又被叫作欧几里德算法。　　第九篇的第 14 个命题是所谓算术基本定理。既然称为基本，当然价值连 城。它是说任何大于 1 的整数都唯一地表示成质数的连乘积。那第 20 个命题的证明，更被数学家们津津乐道，公认为数学的典范，证明的楷模。 这条命题是说，质数有无限多个，欧老先生是用间接证明即归谬法得出的：　　假设只有有限个质数，不好用 a、b、??、k 表示之。再设 p＝ab?k， 也就是这若干个有限质数的乘积。则 p＋1 要么是质数，要么是合数。倘若是 质数，那 a、b、??、k 已经是全部质数了，而 p＋l 比它们都大，所以，依 假设不是质数；如果 p＋1 是合数，那么必有质因数，而这质因数必不是 a、 b、??、k 中的一个，因为这些数除 p＋1，都得余数 1。而 p＋l 既有不同于 a、b、??、k 的质因数，与假设又生矛盾。种种矛盾都是因为假设的不 对，假设的错误，所以必有无限个质数。　　要是说到第五篇比例理论的话，那就一定要提到另一位大家——欧多克 斯。这位欧先生自然也是学富五车，才高八斗，比例理论全是他精彩而严密 的创造。欧几里德老兄看到了当然是爱不释手，立马收入自己的著作。事关　　知识产权问题，在下不得不絮叨清楚。 那欧多克斯的比例理论深刻在什么地方？为何被各路神仙纷纷看中？却原来毕氏学派发现了
3 这样的无理数后，立刻给比例理论带来很大麻 烦。　　原来的比例理论是建立在整数之比这个基础上的。比如 A、B、C、D 四个 同类型的量，如果 A：B＝m：n，而 C：D 亦有 m∶n，那么 A∶B＝C∶D。现在A 与 B 之比很可能不是个整数之比了，这比例就遇到了麻烦。紧接着，相似 形理论也会遇到大麻烦。　　欧多克斯敏锐地觉察到问题，用巧妙的方法提出了两个比相等的新的定 义。他的比例理论和定义，为以后实数系统的理论提供了发展的基础。　　有人认为，在 17 世纪中叶以前，数学上再也没有出现可以和欧老先生（欧 多克斯）所具有的洞察力相提并论的事了。　　“穷竭法”也是欧多克斯的一项创造。在《原本》的最后一篇有着这种 方法的应用。　　其实“穷竭法”计算面积，和中国大数学家刘徽用的“割圆术”差不多。 比如说要算圆面积，就先用内接正方形面积近似；再在内接正方形的基础上 改成内接八边形；接着再改为内接正十六边形，等等。这样，就越来越逼近 了圆的面积。这实际上是一种极限的思想。《原本》曾用这种方法和反证法，得出了两个圆面积的比等于它们的半径平方之比。就是用今天的眼光来看这些证明，也是非常的优美、严格，超 过了牛顿、莱布尼兹在微积分初创阶段所做的同样工作。《原本》的高妙之处自然还有不少，但是我们也该提一提欧几里德同时代的另一位大师，著名的阿波罗尼斯了。欲知后事如何，且听下回分解。第五回
群贤毕至
托勒密王再续前缘
兼容并蓄
阿拉伯人又搭金桥
阿波罗尼斯的《圆锥曲线》如此完美，现在的大学课本都未能超过。罗马统帅说，自己是在和数学打仗。两千多年前测出的地球半径，和现 在的相差不到 1％！《天方夜谭》里的哈里发，赞助了一下数学。且说那阿波罗尼斯，也是古希腊亚历山大时期人。 这一时期的古希腊真可谓人才荟萃，众星捧月，把个古希腊数学描绘得花团锦簇，色彩班斓。 那古希腊的数学在亚历山大时代，也算是得过明主了，故而才有所发展，有所灿烂。上回书中说过，一代雄主亚历山大大帝东征西讨，足迹所至，遍 筑新城。这些城市中好多都叫亚历山大城，当然最大最有名的还是埃及的那 座。　　亚历山大很想让他的大帝国中的各种成份融成一炉，他特意让希腊文明 和波斯文明能融合起来。一会儿他自己以身作则，娶波斯公主为妻；一会儿 又下诏让欧、亚两大洲的人互相换个地方住住。还强迫他的几百名部将、几 万名小卒与波斯女子通婚。看来，这位大帝挺喜欢搞世界一片红的。不过愿望归愿望，待到他一驾崩，那个大帝国也就分裂成了三大块。欧洲部分变成安提哥那帝国，安提哥那原本为希腊将领；亚洲部分变成塞流卡 斯帝国；埃及归希腊的托勒密统治。那塞流卡斯和托勒密自然也是亚历山大 手下的部将了。安提哥那统治下的希腊和马其顿渐渐为罗马兼并，在数学发展上变得无足轻重；塞流卡斯帝国的数学似乎也没什么特色。 但是在埃及的托勒密王朝，几代君主倒是挺把文化当回事，这些当权的希腊人继续亚历山大大学的建筑，还把许多知名学者都请来，由国家供养着，端着铁饭碗研究学问。 再说，几代托勒密王都还比较对外开放，各种民族都可以到亚历山大城居住，贵族、平民和奴隶摩肩接踵。对外贸易、远征考察，使得文化的发展处于活泼的气氛中。 学者们分成四大部分工作：文学、数学、天文、医学。除了文学和数学挨不上以外，医学当然要用到数学。天文学就更不用说了。由此可见数学在当时的学术界是独占魁首。 亚历山大时期的希腊数学和古典时期的不同，虽然仍有抽象思维的光荣传统，不过更注重实际运用。数学家们积极参与力学方面的工作，计算重心， 研究各种机械，有时简直就是发明家。　　欧几里德和阿波罗尼斯虽然都是亚历山大时代人，不过他们是古典希腊 数学的集大成者，和亚历山大城的其他几位大数学家如阿基米德、埃拉拒色 尾、希帕克、梅内劳斯、托勒密以及海伦、丢蕃都等等不一样。后面这几位 是新时代，也就是亚历山大时代数学的开创者。　　阿波罗尼斯既然能和伟大的欧几里德相提并论，当然是身手不凡。虽然 他是一位很有名望的天文学家，但是更加非凡的是他的数学成就。《圆锥曲 线》——β使他赢得了“大几何学家”的声名。圆锥曲线，以前的几位包括欧几里德都有过研究，也都著β立说一番。但阿波罗尼斯的书一问世，立刻光芒四射，成为这方面空前绝后（起码绝一 千多年）的经典名著，这位阿波罗先生发了言，其他人也就只有闭嘴的份。 按成就来说，这本书确实是古希腊几何的登峰造极之作。　　阿波罗尼斯比阿基米德小 25 岁，大约公元前 262 年出生，曾在亚历山大 学跟着欧几里德的门徒学习过，算起来是欧几里德的再传弟子了。　　阿波罗尼斯先生研究的学问挺够档次。说起来圆锥曲线也就是椭圆、双 曲线、抛物线、其实这些曲线的性质要比圆和直线来得复杂，没有一定的“透 视”能力是得不出什么结果的。　　其实圆锥曲线与人的实际联系很紧密，不研究透了那可就是要受制于它 了。比如炮弹飞行的弹道自然是抛物线；汽车前灯照在地面上的影子，台灯 照在墙壁上的影子，那就是双曲线子。以后大天文学开普勒（O） 更发现，地球的运行轨道，其他行星的运行轨道，都是椭圆。就是 1994 年那 慧木相撞的大新闻中，自然也有椭圆。　　人造卫星宇宙飞船，那也离不开这三种同曲线，速度一变，运行的轨迹 也会变成三种中的某一种。
不过这三种曲线为什么叫“圆锥曲线”呢？原来阿波罗尼斯发现，用一 个平面去截两个顶对顶的圆锥面，截的位置不同，就会得到不同的曲线。　　如果截面平行于圆锥的底面，截得的是圆；如果截面平行于轴，截出的 曲线就是双曲线；要是平行于母线去截，那么结果就是抛物线。除了上面几 种情况，用其他方式来截的话，那就是椭圆了。我们这里讲的是直圆性，其 实斜圆锥也能截出圆锥曲线，这也是阿波罗老先生的发现。整个《圆锥曲线》共分八篇，487 个命题。和《原本》类似，这篇鸿篇巨制也有着严格的逻辑体系。但由于内容广泛，解释详尽，以及对许多复杂 命题叙述奇特，读起来相当吃力。甚至可以说，这部光辉巨著比目前有关圆 锥曲线的大学教科书还要完善得多。比起欧几里德和阿波罗尼斯，阿基米德在希腊的亚历山大时代更富传奇色彩，流传着他的种种趣谈。 要是认真说起来，阿基米德可真算得上是历史上最伟大的教学家之一。他是亚历山大时期数学的典型代表，成就最多，特点最鲜明。 大家会说了，前面那两位不也是亚历山大时期的数学家吗？不错，是这么回事，但是他们所做的事具有的是希腊古典时期的特点，是集古典时期之 大成。　　阿基米德大约在公元前 287 年出生于西西里岛上的叙拉古，当时希腊的 一个殖民城市。也就是说，那座城市都是希腊的移民。公元前 212 年，罗马 入侵叙拉古时被害。　　据他自己说，他老子是位天文学家。也算是书香门第，子承父业吧，他 也搞起了数学这一行，而且还青出于蓝。阿基米德当然去过埃及留过学，因　　为那是当时的文化中心。在亚历山大城，他结交了不少朋友，有些是欧几里 德的门人，还有一位叫埃拉托色尼，是咱们马上就要见到面的另一位伟大的 希腊数学家。　　那阿基米德学成归国，就一直在叙拉古生活、研究。不过一有新发现， 就立刻与亚历山大城的学者们交流，征求意见。他的那些发现和创造也着实 使他们同行们钦佩得了不得。如果当时有诺贝尔奖的话，一定是一致公认的 首位获奖者，保不准还要闹个几连冠。　　有些同学会说了，就是评诺贝尔奖，阿先生也不会有份，谁不知道诺贝 尔奖里没有数学奖啊！　　即使这么看，咱们上面的玩笑也还是错不了。要知道，阿基米德可是位 大才子，全才，诸子百家无一不晓，十八般武艺件件精通。文可安邦，武能 定国，的确十分厉害。　　别的咱们不说，单道那人人知晓的浮力定律，不正是他老人家发现的吗？ 要不怎么叫阿基米德定律呢？这可是咱们上初中就首先佩服了一下的物理定 律，能不能得诺贝尔物理奖？要说这条浮力定律的发现，还有一个人人知晓的故事。 阿基米德本是叙拉古国王希罗的亲戚，再加上那么大的才气，自然是很得宠信。有一天国王觉得刚做好的金王冠不对劲，怀疑工匠掺杂兑假，是个伪劣产品，就叫阿基米德搞一下质量检验。要求也挺摩登，不能弄坏王冠， 是无损害检验，要求很高。那时也没什么射线去照，也没有质谱议，就靠阿老先生的聪明脑袋了。老先生冥思苦想，菜饭不思也没弄个所以然。 这一天到浴室洗澡轻松一下。当他浸入浴缸看到他的部分身体被水浮起来，就突然领悟到解决问题的窍门。他兴奋得忘乎所以了，竟然光着身子跑到街上大喊：“我成功了！成功了！（eureka！eureka！）” 他发现浸在水里的物体，所受的浮力等于其所排出的那部分水的重量。利用这浮力定律就能测定金冠的真伪成份了。　　阿基米德甚至还做了一个令人吃惊的天体运行仪，日、月和五个行星绕 着地球运动，不仅可以观察天体运动，而且还能预报日食、月食！这是他在《论制作球》这本书里讲到的。他还发明了一种从河里提水的螺旋提水器。　　杠杆，这种最简单然而也是重要的机械（我们的手指、手臂弯曲运动， 无一不是杠杆），最早作系统研究的，还是阿基米德。他的一本专著就叫做《论杠杆》，不但“论”，还有“做”。　　阿基米德给他的国王亲戚希罗殿下写了一封信，告诉他，一个人的力量 也可以移动很重的重物。说到最后夸起了海口：给我一个支点，我可以举起 地球。　　希罗王不由得大为震惊，心想咱这亲戚本是谦谦一君子，恐怕不是热昏 了头，就赶紧请阿老先生做个表演示范。　　阿基米德就决定来手绝活，把国王的一艘重型军舰装满了人和物，靠在 船坞里。然后用一套复杂的滑轮组把船连接起来。　　只见这边阿“工程师”在岸上轻舒猿臂，那一边整个大船已缓缓起动， 慢慢拖上岸来。把一船军民、两岸观众惊得目瞪加口呆。　　所以当罗马大将马塞路斯率军来攻叙拉古时，国王自然立即请阿老先生 出山，匡扶汉室。　　　　阿基米德设计许多武器。有可调整射程并且活动射杆的弩炮，能把重物 射到靠近城墙的敌舰。有把敌舰从水中吊起来的大型起重机。还有一些大反 射镜，把太阳光一聚焦，就使敌舰着火。　　罗马人变得胆战心惊，一看见一条小绳索、小木块从城墙上抛出，就立 刻大喊大叫：又来啦！阿基米德又要飞出一种新式武器啦。于是马上四散逃 命。　　马塞路斯久攻叙拉克不下，也就只好自我解嘲，幽自己一默，他对周围 的人说：咱这是和数学打仗，他阿老先生在城里面拍拍脑袋，咱这军舰可就 给拍完了。　　不过，叙拉古城最后还是被罗马大军攻破了。破城的那会，马塞路斯下 令保证阿基米德安全，大将军对阿先生还是挺佩服的。　　大将军虽有严令，无奈阿基米德一介书生，怎敌得罗马士兵赳赳武夫， “秀才遇到兵，有理说不清”，最后还是死在罗马士兵的屠刀之下。关于这位老先生的遇难，说法不一，有好几个版本。 版本之一是说城破之日，阿基米德仍在聚精会神研究问题，手上画着图，脑里想着事。没想到一个罗马大兵突然闯进书房，命令他到马塞路斯那儿去。 阿基米德说，容我把问题想个结果出来再去。那罗马大兵勃然大怒，立刻是 刀剑相加叫他永远闭了嘴。版本之二是说，正当阿基米德把用来测量太阳大小的仪器一日晷、球体等等准备带去给罗马大将军去的时候，几位罗马兵卒看见了他，以为那仪器 里面装有金银珠宝，自然是乱剑齐下，掠金抢银，呼啸而去。还有这么种说法，阿基米德在沙地上画图，对走得太近的罗马大兵说：“伙计，离远点，别靠近我的图形！”那位横冲直撞的大兵哪吃这一套，立 刻请他一命归西。这种高度戏剧化的插曲，咱们也是姑且听之。这说明阿基米德颇有众望，人们喜欢给心目中的偶像涂上或是神秘或是传奇的色彩。 就像他光了身子从浴室跑上大街的那种忘我的状态差不多，阿基米德还有许多心不在焉的故事。有时他被强迫去洗澡，然后在身上涂油（这是一种宗教仪式），他就在炉灰上描画几何图形，用油在身上画图。如痴如醉，可 称上超级“迷者”，那劲头恐怕大大超过现在的追星族。这样一些心不在焉的故事往往使常人发笑，不过，阿基米德们之所以成为天才，那必不可少的才智就是能完全贯注于自己的问题，乐在其中而忘身 外之忧。所谓“热爱是最好的老师”。　　阿基米德还有个习惯，他把自己的定理送给亚历山大城的朋友们的时 候，不写证明，希望这些朋友们能享受一番作出证明的乐趣。但这些朋友们 不领这份情，直截了当引用这些定理，不耐烦去做什么证明。于是阿先生后 来就想了个主意，在最后一组定理中放进两个错误，开开那些朋友们的玩笑。 看来，类似计算机病毒的发明权应当归于阿基米德了。　　阿基米德遇难后，那位罗马将军塞路斯十分伤心。下令好好安葬，优抚 遗属。不过也许是做给活人看的，好像三国里的曹孟德。　　但是那阿基米德的墓修得很别致，墓碑是一个内切于一个柱体的球体。 这与他的一篇论文大有关系：《论球和圆柱》。1965 年，在叙拉古建旅馆打地基时，挖出了阿基米德的墓，轰动一时。 在《论球和圆柱》一书中，先进述定义和假定。第一个假定，或者说公理吧，就是连接两点的线中以线段为最短。 在论及球的表面积、球的体积时，他得到了完全正确的结论： 球面积等于其大圆面积的 4 倍。球的体积与其外切圆柱的体积之比是2∶3。　　事实上他是把上面那么个图形绕虚线旋转，生成了一接于半球的圆锥， 面半球又内切于一圆柱。这三个圆形体（旋转体）的体积之比为 l∶2∶3。 这一精彩的定理是阿基米德特别喜爱的一个结果。所以早就立下遗嘱，要把 一个带有外切圆柱的球以及它们的比例（2∶3）雕在墓碑上。　　使咱们更惊奇的是推出这一结果的方法。如果说结果精彩，那么方法更 是精彩得无与伦比。　　阿基米德竟然用了杠杆原理把上面所说的比例给推导出来。然后，又因 为圆柱、圆锥的体积都是已知的，自然就能得到很难求的球的体积。恐怕连 现在的学者都很难想起这么个绝招。而且在推导球的体积时，运用了现代微 分、积分的思想。不过阿基米德自己认为，这种方法只是用来发现定理，而不能算作严格的几何证明。 在《方法论》这篇论文里，阿基米德表达了他上面的这么个观点。 说起来这本书的发现，本身就有传奇色彩。这作品一直到 1906 年才在一家图书馆里偶然发现的。手稿是 10 世纪抄写的羊皮纸本。确实是纸张紧张，羊皮纸太贵，这羊皮手稿居然是擦过了后又重新利用的。所可庆幸的是，阿 基米德的重要思想居然还能辨别出来。为了说用杠杆原理，物体的重心等等力学方法可以发现许多定理，阿基米德又举了一个抛物线弓形的例子。不过他认为还必须用严格的数学方法去 证明自己的发现。他用的数学方法就是所谓“穷竭法”，说起来是一种极限 的思想。这样一种严格性要超过牛顿和莱布尼茨了。而这两位是公认的现代微积分的创始人。 同学们不知还记不记得任意角三等分问题，咱们在前面给大家说过一个利用有刻度的直尺三等分角的作图法，那可就是阿基米德给出的方法。下面咱们给大家谈另一颗亚历山大时代的数学巨星——埃拉托色尼。 说那位埃拉托色尼是公元前 284 年出生于地中海南岸的昔兰尼，只比阿基米德小几岁，而且是好朋友。大约 40 岁时，它受埃及的托勒密三世的邀请， 来到亚历山大城给他儿子家庭老师（要在中国，恐怕要封为太子太傅了）， 同时兼任亚历山大大学的图书馆馆长。大约在公元前 192 年，他由于失明故 意饿死。　　埃拉托色尼是位全才加奇才，以古代最有学问的人闻名后世。头衔挺多， 数学家、天文学家、地理学家、诗人、哲学家等等。据说还是运动员，学生 们常称他为五顶全能。　　他还有个绰号叫β（beità）。这 ?是希腊文里的第二个字母，所以那绰 号的意思是“二号。”这“二号”到底是什么意思，一直是人们关心的热点新闻。 有人认为，那是因为他的博学和才华，被看作是第二个柏拉图，柏拉图　　第二。　　还有一种说法，说他虽然在各个领域里都很杰出，但都不能拔头份，只 能屈居“二号”。还有人主张，那“二号”不过是他办公室的号码。反正咱 们在这录以备考，留待同学们以后能探明真相，揭示谜底。埃馆长留考百世的伟业共有两大项，不可不提： 一是所谓“埃拉托色尼筛”。 这么个筛子主要是用来筛出素数（也就是质数）的。平时咱们有体会，要从小到大列出个素数表，如果用笨办法，把自然数挨着个一个一个判断是 否素数，挺费事。数字小一点还好办，大一些就难了。　　下面将两千多年前埃先生发明的绝招教给你，如果要筛出从 2 到 n 中所 有的素数的话，那么：　　先从小到大写出从 2 到 n 的全部自然数。接着标出第一个素数 2，划去 后面数中 2 所有的倍数；再看，2 后面的第一个没划去的数是 3，它是第二个 素数，标出它，再划去后面 3 的倍数。如此这般，如果 P 是一个素数，标出它，并划去后面所有 P 的倍数，排在 P 后面第一个未被划去的，就是下一个素数。重复这个过程，有限次就能 得到 n 以内的所有素数。比如：这是一张 30 以内的素数表。有些划两道杠的，就是被消灭两次了。 这么一个程式化的划去和寻找的过程，很适合编好程序用计算机自动筛出素数。一般，这种寻找方法就叫筛法。　　素数在整个自然数中的分布是很稀的，似乎是越来越稀。有人计算过， 在前 10 亿个自然数中，只有
个素数，约占 5％。素数的故事太多 了，难题趣题也不少，容我以后再慢慢说起。再说那埃馆长的另一项伟大功绩就是丈量地球了。虽说古希腊人早就知道地球是个球形的（他们甚至最早提出了“日心说”），不过丈量这么大的 球，别说想了，听听也叫人害怕，叫人咋舌。这丈量倒不真是弄根绳子一段一段去量地球的“腰身”，而是想了个极妙的方法，得出了地球的半径。 他在赛尼城，也就是现在埃及的阿斯旺观察到每年夏至那天的中午 12点，太阳光几乎正在天顶，。因为当时的太阳光能直射入当地的一口深井， 井底能看到太阳。　　一点也不偏斜同日同时在亚历山大城太阳就斜射。用一个日晷那样的简 单仪器（或者就是中国人用的“表”），就能量出太阳在亚历山大城的投射　　角α是 360°的 1/50 即：β＝360°× 150＝7.2 °　　而亚历山大城正好在阿斯旺的正北，也就是这两个城市正好在同一个子 午圈上（经线），所以咱们就能得到上面的那张示意图。　　看看图就知道了，现在 AB 的圆心角α是 7．2°。只要再清楚 AB 的长度， 那么地球的半径 OA 就算出来啦！而 AB 的长度就是两城的距离。　　他估算出赛尼城到亚历山大城的距离是 785 公里。当时他估算的方法挺 奇特，那时的骆驼队一天才走 100 个视距段，每个视距段合现在的 157 米， 从亚历山大城到赛尼城要走 50 天。故两城相距 5000 个视距段。即：157 米× 公里设地球周长是 S，用点小学的知识，就有：S360? 7857.2∴S ? 360×785 ? 39250公里7.2　　地球的半经随之得出为 6330．64 公里，这与现在算出的数据 6371 公里 简直就可以说没有误差！不到 1％！这种方法确实是盖了帽了，而且是 2000 多年前的古人想出的，绝对盖帽！埃拉托色尼还提出了经度纯度的概念，用经纬网绘制世界地图。对倍立方问题，他设计了一种作图仪器，也很方便。 希腊的亚历山大时代，三角学的研究也十分发达。这也反应了与古典时期不同的风格，更注重实际的应用。那三角学的发展，绝对就是天文学的需要。　　因此，当时的三角首先是球面三角学，您想想，整个天球给人的感觉不 就是个球嘛。三角学的奠基者也许是大天文学家希帕克（公元前 140 年左右人），他所确定的平均太阳月（月球绕一周的时间），与现在测得的数值相比，误差 不超过 1＂（1 秒）。希帕克最大的成就就是给出了角的正弦函数表。当然，当时给出的是一种“弦表”，也就是一个圆，从 0·5°到 180°，每隔半度的所有圆心角所 对弦的长度。如果诸位有兴趣，可以动手画一个圆，那么已知弦长是很快能 得出圆心角的正弦的。后来亚历山大城的托勒密（各王族没什么关系）写了一本被称为《大汇编》的书，系统总结和充实了三角和天文方面的成果。这部书一共 13 卷，包 括了上面讲的弦表。　　最重要的是他讲解了构造弦表，推导弦表的方法，主要的根据咱们在几 何中也学过：圆内接四边形中，两对角线之积等于两对边之积的和。现在这 就叫做托勒密定理。　　《大汇编》一书，在哥西尼和开普勒之前，一直是标准的天文学大全。 不过因为他是个“地心说”者。所以后来哥白尼的“日心说”被视为正宗的 以后，就有些全盘否定墙倒众人推的意思了，不把他的成就当回事。
且说自从毕氏学派发现了
7 这样的新数，一时间好像天塌 地陷，日月无光。许多学者一看被毕老先生奉为神明数的严谨体系出了这么 大漏洞，都觉得那算术代数没什么搞头，不是真正的数学。于是纷纷把研究方向对准几何，认为那才是没得说的纯数学，绝对的“阳春白雪”。至于算术问题代数问题当然是进不了神圣殿堂，被看作贩夫走卒 者所为。碰到实际的算术代数没法不去解决了，也都把它变成几何问题用几 何方法去解决。那时候不是有“几何代表”一说嘛！　　到了亚历山大时代，情况大不一样了。算术和代数都有了独立的发展， 被大家当会事了，有了独立的地位。　　比方说那位咱们大家都知道的海伦（约公元 1 世纪左右人），也就是提 出海伦公式的那一位，就是用文字叙述来解决代数问题，而不是用几何的方 法。他解决过这样一个问题：给定一个正方形，其面积和周长的和是 896， 求其一边。用现在的记法，这个问题就是求方程 x2＋4x＝896 的解。 海伦在方程两边加上 4，配成完全平方，然后再开方，就得出了结果。他并不进行证明，而是说一步一步如何做，做哪些运算。这种风格就是一种 古埃及和古巴比伦人解决问题的风格。有人说他是阿拉伯人。　　顺便也给同学们聊聊海伦公式。大家都知道，海伦公式是这样计算三角 形面积的：
s(s ? a)(s ? b)(s ? c)这里 a、b、c 是三边，S 是周长之半。 海伦说用这个公式测量计算三角形土地的面积，就不要跑到地中间去取高了。　　不过这个公式实际上是阿基米德的。但海伦在几本著作里都引用了它， 还进行了证明。历史就是这要样，错了就错了，张冠李戴的事多了。不过现 在是阿老先生的帽子被海伦工程师戴去了。这点发明权小纠葛咱们就说到这 里。还有一本书叫《希腊选集》，也是一本习题集一样的书。其中大多是一元线性方程，还有一些二元的和三元三次方程。 这本习题里的一些问题倒是挺有趣，就是给现在学生做，也还有意义。 比如说有这么一题：六个人分一堆苹果，其中四个人分别分得 1/3、1/8、1/4 和 1/5，第五个人得十个，只剩下一个给第六人，请问苹果总数有多少？另一个问题是今天小学中典型的工程问题：　　我要建房子，需要 300 块砖。你单独一天就能完成，但是你儿子一天只 能做 200 块，你女婿一天能做 250 块。你们一齐工作，多少天可以完成？这两个问题叫现如今的中学生做，肯定是用方程了；小学生们也能做出来，是分数应用题。 不过当时是用文字叙述的方式去解决，比较灵活，不太有规律。 正如有一位先生所说过的，代数方法解决问题，好像是机械化生产，不但生产的批量大，而且把思维过程也机械化了。 那么这代数学符号，从历史上来说，可以分为三个阶段。第一阶段，是文字叙述代数，也就是对问题的解，不用缩写和符号，而是写成一篇论说文。 第二阶段就有些进步了，称为简化代数，即对某些常出现的量和运算采用了缩写的方法。 最后一个阶段叫做符号代数，解决问题，多表现为各种数学符号（包括未知量的符号，运算的符号等等），这些符号有更高的抽象性，好像与要解 决的问题所说的内容关系不大似的。咱们可以看到，刚刚说过的两个问题，它们的解法就属于第一阶段的。实际上全球各种文明，都有这么一个阶段，咱们中国也不例外。 文字叙述代数，在世界许多地方，存在了好几百年。尤其是在西欧。一直到 15 世纪还是文字叙述式的代数。符号代数在西欧的第一次出现是在 16 世纪。然而直到 17 世纪中期，还没有普及。咱们初等代数课本中的大部分符号化的内容，看样子还没有四百年。 话说到这，咱们一定要提到丢蕃都了。他是公元三世纪人，曾活跃于亚历山大城。丢蕃都在数学上的杰出贡献，就是把代数的符号化过程推到了第 二个阶段。　　提起丢蕃都，当然要说一下他那著名的墓志铭，这篇墓志铭概括了他的 一生：“过路人，这里埋着丢蕃都的骨灰，下面数目可以告诉你他活了多少岁。 “他生命的六分之一是幸福的童年。 “再活十二分之一，颊上长出了细细的胡须。 “再过了五年，他感到很幸福，有了一个儿子。 “可是这儿子光辉灿烂的生命只有他父亲的一半。 “儿子死后，老人在悲痛中活了四年，结束了尘世生涯。 “请问：‘丢蕃都活了多久？几岁结婚？几岁生孩子？’” 这段墓志铭奇特，新鲜，挺有职业习惯，临死了也没忘出个题目给大家吊吊胃口。　　要解出这么一题，不费举手之劳，有初一的水平就可以列出一个一元一 次方程来。就是小学生，也很容易地使用分数知识来解答。答案是，丢蕃都老先生 84 岁高寿，33 岁结婚，38 岁得子，晚婚晚育，算得上标兵。　　丢蕃都老先生写过三部书。最重要的一部就叫《算术》，共 13 卷，现在 看到的只有 6 卷了。这本书大约有 130 多个一次、二次方程的问题，其中有些还是三次方程，有些是不定方程。 什么是不定方程呢，就是方程的解有许多，一般是无数多个。一般都取整数解。丢蕃都求解时规定为有理解。西方把不定方程称为丢蕃都问题。　　为什么这么命名呢？这丢老先生既不是解不定方程，提出不定方程的第 一人，也不是用非几何的方法解二次方程的第一人，如何有此光荣呢？原因就在他是采用代数符号的第一人。　　丢蕃都给出了未知数、未知数的幂（一直到六次）、减、相等和倒数的 缩写符号。　　据说他用来表示未知量的记号是 S，就像我们用 X 一样。这 S 是个希腊 字母。丢蕃都把未知量称做“题中的数”。他说的也是大实话，当然是题目 中的数，意味着还不知道。我们的 x2，丢蕃都把它记为△y，这是希腊词“乘幂”的头两个字母，x3呢，就写成 Ky，也是希腊文“立方”的头两个字母。x 的四次方、五次、立次方，就采用“组合”的方法了。x4 是△y△；x5 是△ky；x6 是 kyk。　　这些符号虽然没有清楚地写出来未知量 S，但丢先生的意思隐含地含有 那未知量了。出现这一套符号当然了不起，但更了不起的是他使用三次以上的高次乘幂！古希腊的数学家从不考虑三个乘数以上的乘法，因为这种乘积没有几何 意义。　　但是在算术中，在代数中，这种乘积当然有意义。丢番都是采取这种观 点的。这说明他老先生把算术、代数当个“人”看了，有独立的“人格”了， 不再是几何的附庸品。　　这在希腊数学中可以说是一个大进步。不过在咱们中国就没有这个问题 了。中国算术几何一直是平行发展的，而且中国古算一直强调“算”，更实 用。中国的几何也一直和应用关系密切，不像古希腊那样，形成一个严密的 逻辑体系。　　同学们眼下当然能看清，古希腊的几何虽然严密有序，统一完整，但它 狭隘了人们的视野，使他们的头脑接受不到新思想新方法。它的内部就埋伏 下使自己死亡的种子。　　如果没有亚历山大文化开阔了希腊数学家的眼界，那么它那狭隘的活动 领域，局促的观念，美学上那至美至善的要求，就会窒息了活泼的创造，还 谈什么发展。回头咱们再看一看丢蕃都老先生是怎么表示一个代数式的。 要看懂他的代数式，还要能看懂希腊人表示的数。希腊人表示数，就用希腊字母，比如说 1、2、3、4 就用α、β、γ、δ表示。10 是用 L 表示。所以 13 就表成 Lγ表示。 这样表示有很大的缺点。看样子，聪明的希腊人也不是事事都聪明。　　所以丢老先生的代数式现在看起来就有些别扭。对于 13x2，他当时表示 成△Lr，把系数“13”放在后面了。?常数项就用 M 表示。?比如：△y r M LB表示x2 ·3＋12k y α△ylysβ 表示x 3tx2 ·13＋x·4　　大伙看到了吧，他的式子中，加号省略了。遇到减号怎么办呢？他把表 达式中所有的负项聚到一起，前面放个减号，他的减号是“∧”。所以 x6-3x4＋x2-4x-2，就是这么个样子：?k y ka△ya∧△y △γS ? M?　　看惯了就一样，和现在的代数式差别不大。只是数也用字母表示，容易 弄混。丢先生另一项值得一提的成果是关于毕氏三数的。毕氏三数的式子，毕氏门人早已所记载：M， M2
? 1M 2 tl， （m为奇数）2 2　　咱们在第三回就已经见过面。但这组式子不能表达出全部毕氏代数组 来。比如 8，15，17 就不在上面的式子中。　　于是丢蕃都致力于寻找构造毕氏三数的一般法则。他找到了这种法则： 如果 m、n 是两个正整数，并且 2mn 是完全平方，那么：　　m ? 2mn，n ?2mn，m ? n ?2mn就是一组毕氏三数。他究竟是用何法宝得到了这些式子，现在也只能是历史之谜了。 这位老先生虽然是个解题能手，使人看了目不暇接，但没有什么一般的方法。他的大作看起来有点像药方单子，只告诉你怎么做。欧几里德、阿基 米德、阿波罗民斯著作中的那种严密有序的证明是一点也看不见了。希腊的数学就这样分成了不同的两块，很使后人迷惑一阵，不安一阵的。 不过，更不幸的是随着希腊文明的衰落，希腊数学也渐渐落下了它的大幕。　　首先是罗马人的铁蹄，阿基米德被一个罗马大兵杀害就标志着那希腊数 学的下坡。罗马人所向披靡，一直杀到亚历山大，把那号称世界第一的图书 馆付之一炬，五十万份手稿一扫而光。看来凯撒大帝很有点秦始皇的威风。 这一东一西两地火可就把两个文明都害苦了。　　所幸的是还有不少书，图书馆收藏不下了，存放在神庙里，这些书就逃 过了一关。　　不过好景不长，过了 400 年，随着基督教得势，其成为罗马帝国的国教， 那座神庙也被来上一把火，三十万种手稿再遭劫难。　　不但焚书，而且坑儒。狂热的基督教徒袭击屠杀异教徒，有点像当年的 党卫军。不知大家是不是还记得给欧几里德的《原本》作注释的泰奥思。他一直为希腊的数学经典，比如《原本》、《大汇编》作注解。 他的女儿希帕提娅，数学、医学、哲学都很了得，也为丢蕃都的《算术》和阿波罗尼斯的《圆锥曲线》作过注释。她可是世界上第一位女数学家。　　公元 415 年 3 月，她被狂暴的基督徒在亚历山大城的街道上抓到，撕成 碎片，因为她不肯放弃她的信仰。新崛起的回教徒也不示弱，好像要与罗马人展开一场焚书比赛。公元 640年，他们征服埃及后，给亚历山大城的文明以最后一击，残留的书籍立刻无 保留地烧掉。理由很充分：如果这些知识在可兰经里已经有了，那就没什么 保存的必要；如果可兰经里没有，那就是违反可兰经的，也要烧掉。总之一句话，是要烧。就这样，亚历山大城的浴室整整用这些羊皮纸书烧了六个月的水。 经过这三次“文化大革命”，希腊的文化就革得一命呜呼了。希腊的数学家被消灭了，但他们的工作成果终于传到了欧洲。　　说起来叫人哭笑不得，把希腊成就传到欧洲，从而逐步发展成现代数字 的，也还是阿拉伯人。　　且说公元 640 前亚历山大城的一把火，自然是有些头脑发昏。不过那是 统治者所为，当然要和人民区别开来。　　在一百多年里，阿拉伯人从一个游牧民族通过不断征战，建立起一个从 印度经过波斯、美索不达米亚和北非直至西班牙的大帝国，开始定居，创造 自己的文明。　　到了公元 755 年，这个大帝国又分裂成两个国家。东部王国以巴格达为 首都；西部王国以西班牙的哥尔多华为首都。经过充满宗教狂热的征服之后， 他们对种族和教派是宽大的，兼容并蓄，吸引了希腊人、波斯人、印度科学 家以及犹太人和基督徒，共聚一堂，文化的来源十分丰富。巴格达那里也设 立了学院、图书馆、天文观察台。这其中有一位哈里发（国王），叫哈龙·兰希的，也算得上开明君主。在他的赞助下，许多希腊经典被译成阿拉伯文。而印度的文化和数学著作也 不断传入巴格达，印度数字就是这么着引入了阿拉伯数学，变成了我们现在 所说的阿拉伯数学。这位君王还因为《天方夜谭》而为大家所熟知。咱们以 后看《天方夜谭》时，可以留心一下他的大名。　　他的儿子马姆也是个爱学问的人，并且马姆本人就是一位天文学家。那 座天文台就是他建立的，并且还测量了地球子午线。　　这位哈里发在位 20 多年（809——833 年），把《原本》和托勒密的《大 汇编》都翻成了阿拉伯文。这些希腊手稿，就是作为和平条约的一个条件， 从拜占庭帝国的皇帝那得到的。当然，随后其他一些希腊学者和印度学者的 著作都有了阿拉伯译本。　　后来传入欧洲的就是这些译本，而希腊的原著早已失传。没有阿拉伯学 者的工作，大量希腊和印度的科学就会在漫长黑暗的中世纪无可挽回地消失 掉。　　在马姆当哈里发时期，许多学者写了数学、天文学方面的著作，其中最 著名的是花拉子密写的关于代数学的论著和关于印度数学的书，这些书于 12 世纪被译成拉丁文，在欧洲产生了巨大影响。这位花拉子密（名字挺怪的）生于花拉子模，也就是现在的写乌兹别克（以前苏联学者把他说成是苏联的光荣，现在是没这份荣耀了），后定居巴 格达。他那名字的意思是“花拉子模人摩西之子穆罕默德”。咱们现在学的代数这门课，英文叫 algebra。这英文名称就是起源花拉子密。　　花拉子密关于这门学科的论著，其标题是“AI—iabrw’almuqabala”。 这个标题要直接翻译的话，就是“重新结合和对立的科学”。“al—jabr”，原意是复原，根据花先生的上下文，那就是移项，即从方程一边去掉一项，要使方程的平衡“复原”，必须在另一边加上这一项。 而“Al’muqabala”，意思是“化简”，对消，比如把 3X 与 4X 并成 7X，或 从方程两边消去相同的项。“al—jabr”又有“接骨者”的意思，后来通过西班牙传入欧洲，就变成了 algebrista，意思还是接骨郎中。那时的理发师们也常常自称为 “algebrista”，因为接骨和放血是中世纪理发匠们的副业，倒和中国某些 地方的理发匠相似，剃头再加个第二职业：按摩、正骨、治脱臼。不过以后遇到这“algebra”，可别再当成理发匠，现在这已经是正儿八经的“代数学”了。 花拉子密先生把未知量叫作植物的“根”，解未知量就叫“求根”。比如他说过这么一题：“根的平方和十个根等于三十九”，也就是 X2＋10X＝39 这个方程。他给的解法是：“取根数目（10）的一半，也就是五； 然后让它自乘得二十五，把这与三十九相加得六十四；开平方得八，再减掉 五，余三，这就是根。”这实际上就用配方解一元二次方程。　　这种解法与丢蕃都的解法差不多。这也是当时数学的特点：没什么独创 性，可能是希腊典籍太多，翻译都够翻一阵的。　　穆斯林的数学家们，在几何法代数中倒也继承了希腊的传统。有位叫海 牙姆的（），是位伊朗人，他就指出过，三次方程一般不能化成 二次方程来解，但可以用圆锥曲线来解。海牙姆算是花先生的后生了，花先 生约为 780—850 年间人。　　　　阿拉伯学者一般把他们自己看作是天文学家，这也是当时的世界潮流， 古中国就把数学家们称为“畴人”，畴人者，观天之人也。　　所以伊斯兰教学家们对三角学表现了浓厚兴趣。现在使用的六种三负角 函数就归功于他们。还有一位 15 世纪的波斯皇族天文学家，他甚至编制了一 个间隔为 1＇的正弦表和正切表，精确到 8 位小数！这也许是世界上最早的 8 位小数数学用表。　　总的来说，他们工作偏重实际，缺乏证明创造性的东西不多。但最值得 一提的是，阿拉伯文化保存了那多文明的精华，当这些宝藏有朝一日被发现、 被发展时，立刻掀起了现代文明的大潮。这也许是阿拉伯人的“金桥工程”吧。那阿拉伯世界汇集的的诸多文明之中，自然也有古恒河一脉。 且说那古印度，也是四大文明古国之一，5000 年文明史亦当之无愧。在 印度的莫恒卓达罗有一座 5000 年前的城市废墟。这座城市有着宽广的街道、布满全城的排水系统、公共游泳池，带洗澡间的公寓等等。建造这么一座宏 伟的城市当然要用基本的数学知识。　　不过后来这块土地变化就比较大，先是波斯大军在公元前六世纪入侵； 不久又是亚历山大大帝到此一游（他征服印度时间不长，败退）；以后有印 度本国皇帝的统治了，但公元 450 年，匈奴人先来，然后是阿拉伯人、波斯 人。所以这么一来希腊、巴比伦、中国的数学对印度的数学，就相互影响相互作用你中有我我中有你，有很多也输到阿拉伯去。这地方好像是一个东西 方文明东西方学术的集贸大市场了，或者换个时髦说法，是技术市场，信息 交流中心。要谈到印度的数学，当然要说一说现在所用的“阿拉伯数字”和“位值记数法”。 那“位值记数原则”自然是咱们中国首屈一指，享有世界第一的美誉。不过佛国天堂的印度也是这么种记数原则。　　这也许与他们的书写材料有关。据一位德国史学家的意见，古印度是一 块小黑板上用笔蘸一点白颜料写字，或者是用小棍在一块撒有红粉的白板上 写字。在这两种条件下写数字，写的地方很小，而字要写得比较大，不然看 不清。写完之后擦去再重写。这么一来，写字的空间太小，用位值原则记数好像是节省了地方。印度的记数法也是 10 个符号，十进位。这种记数法的优点当然不言而喻，易读易 写，不占地方。　　印度的 10 个数字最初用梵文的字头表示，后来逐渐演变，到公元 8 世纪， 印度数学中的 1、2、3 就同现在通用的差不多了；而“七”这个数字，那时 写作 6，这时，印度数学中有了零这个符号。　　8 世纪印度数学传入中亚，经阿拉伯人的改造，到 12 世纪传入欧洲。欧 洲人只知道这种数学是从阿拉伯国家传来的，所以就称为阿拉伯数字。其实， 同学们都已明察其中来龙去脉。所以，当今记数的数学符号，公平正确地说， 应当叫印度—阿拉伯数字。　　14 世纪，我国印刷术传入欧洲，英国在 1447 年出版了欧洲第一批印刷 书籍，其中的数字符号已和现在差不多了。到了 1522 年出版的一批书中，数 字已完全和当今一样。从此数字的写法渐渐固定下来，苦难的欧洲终于摆脱　　了其他进位制、其他记数法的折磨，开始享受这种简便有效的“十进制位值 记数法”。　　19 世纪的法国数学大家拉普拉斯曾如此感慨：“用九个符号表示一切的 数，使符号除了具有形式的意义外，还有数位的意义，这一思想是如此简单， 以致无法理解它的奇妙程度。就拿希腊学术界中最伟大而又最有天才的阿基 米德和阿波罗尼斯两人来说，他们也没有想出这种记数法，可见这一成就是 多么不容易呀。”　　中国在这方面虽然世界第一，不过好像并没有传播到世界各地，要不然， 现在的记数符号也保不准是用中国的那一套。　　不过印度数码倒是传入过中国。在唐代开元六年（718 年），有位在司 天监任职的天文学家奉命把印度的《九执历》译为汉文。其中就有“天竺算 字”。“天竺”，是古中国对印度之称谓。当时的零，是用点表示的。可惜 当时没有把印度数码的写法传刻出来，以致印度数码没有在中国流传下来。 印度人计算加法是从高位加起。因为他们在可以擦了再写的黑板上演 算，要进位，很容易擦掉高位上原来的数字，再重写，就跟打算盘一样。做 乘法，尤其是多位数乘法，已经和现在的计算程序差不多了，后经阿拉伯人传入欧洲，在那里被改造成现在的笔算形式。 古印度的算术问题多用“试位法”解的。其中有一种美妙的方法叫反演法，就是倒过来推，像现在的逆推法。在公元六世纪，有一个用诗表现的题目，用的是反演法： “带着微笑眼睛的美丽少女，请你告诉我，按照你正确理解的反演法，什么数乘以 3，加上这个乘积的 3/4，然后除以 7，减去商的 1/3，自乘，减去 52，取平方根，加上 8，除以 10，得 2？”根据反演法，我们从 2 开始往回推。于是，（2×10—8）2＋52＝196；196 开平方得 14；14×3/2×7×（4/7）÷3＝28，这就是答案了。 印度人在无理数问题上与希腊人不一样，他们倒不去管那些逻辑上的麻烦，理论上的尴尬。反正是把它看成一个数，然后想办法加加减减。对于无理数这和，比如
3 ?2 ，他们认为是：3 ?
12 ?(3 ? 12) ? 2
照今天的记号，是：a ? b ?(a ? b ) ? 2
ab　　这是婆什迦罗（约 ）在他的著作中所给的无理数之和的定 义。　　光有定义还不行，还要有“算”的法则。究竟怎么办呢？婆什迦罗继续 教导大家：　　“较大的无理数除以较小的，所得之商开方，再加 1，和数取平方，然 后乘以较小的无理数，其根即为所求。”　　也就是a ? b ?(
ab ? 1)2 ·a比如前一题，就有3 ?
123 ? 1)2 ·3 ? 3
3　　这些知识多半来自婆什迦罗的《丽罗娃提》。据说这部著作是以他女儿 的名字命名的，让他女儿高兴高兴。　　婆什迦罗还用分割、剖分证明了毕氏定理（勾股定理），这就是右边这 个正方形。婆什迦罗画了这张图，只写了一个字：“瞧！”正所谓仅著一字，　　已得风流。这个证明中国很早就有了。我们在这里还是简单地写个式子，帮 助大家进一步明确一下（这里 a、b 是直角边）；c2
? 4 ( ab ) ? ( b ? a) 2
? b 22　　说起来古印度虽然对几何不太系统研究，不过了解得挺早，那是为了造 祭坛。有一类经书叫《绳法经》，讲的就是应用几何知识造祭坛，也有圆方 问题的解。几何成了宗教的侍女，无可奈何。　　印度数学在婆什迦罗以后完全倒退了，一直到现代，才又放出光辉，出 现了一位奇才怪才、难以理解之才。此是后话。欲知后事如何，且听下回分解。第六回
割之又割
割圆术得徽率祖率
开而再开
开方法解天元四元
勾股定理的证明，是背柴人的杰作。创造了“割圆术”、“重差术”的数学大家刘徽很谦虚，说有道难题确实想不出，祖冲之的儿子把它解 决了。当中国人用“天元术”解高次方程，津津有味地说着“物不知其 数”时，欧洲还在睡觉。同学们，说到这里，咱们华夏古算的种种，是应该再表一番了。 中国古算，自文明升华起，一直领先世界。诸般功绩，大家已经有所了解。大致说来、中国的古算、大约可以化为这么几个阶段： 从上古结绳记事，发明十进制位值记数法，发现勾股定理，还有分数的产生，分数四则运算的运用如此等等，大约有两三千年时间，是数学萌芽和 初步发展的阶段。　　从这以后一直到元代中叶，这 1300 多年，是中国古算迅速发展繁荣的时 期。这期间大数学家并起，连绵不断。先是三国时期的赵爽、刘徽，接着是以计算圆周率著名的祖冲之父子，他们生活在南北朝时代，再往下就是唐代的一行大和尚，到北宋的贾宪，南 宋的秦九韶、杨辉，一时间人才迭出，成果累累。一直到元代“四元术”的 产生，达到了中国数学发展的高峰。这其中一直到清代，中国古算开始走入低谷，缓慢发展。而西方数学也开始输入，一直到鸦片战争以后，中西数学汇合，开始了现代数学的研究和 发展。咱们这回书，就单说那繁荣昌盛欣欣向荣成果累累的一阶段。　　且说自《九章》成书以来，中国初等数学的体系初步形成，方方面面都 有了成果。这本《九章算术》也是很为瞩目，许多人学习、作注。给一本书作注，这是中国古代作学问的一种主要方法。这恐怕与中国书的简约概括凝炼有关。一个主张、一种学问、一种观点，往往就那么几句话， 看来是节约“纸张”，古时用竹简，挺费事。不过这给后人的理解也添了不 少麻烦。所以一部书成了经典，立刻就有许多人围着它作注释。你这么理解，他那么认为，典籍上的一句话翻来复去要被“炒”多少遍，反正写著的人早就 作古，他也没办法发表意见，由着别人折腾吧。　　不过有许多注，当然很有见地，往往发扬光大了原来的意思，更把自己 的新鲜见解加进去，是一些很有价值、更见风采的好文章、好论说。　　不过给数学专著作注，弊病恐怕小一些，数学是形式逻辑作用，一就是 一，二就是二，可不能由着性子把正话说反，反话正说。　　这位刘徽大师就是给《九章算术》作注作得最好的一个。咱们前几回中 谈过，现在看到的《九章算术》就是经过刘大师整理过，注解过的内容。　　《九章算术》是我国的一部最杰出的数字典籍，是一颗明珠，可与《原 来》媲美，称得上是东西双璧，盖世有双。　　所以整理注释《九章》的刘徽，自然是功德无量，给后代做了件大好事。 何况在注解中，刘先生匠心独运，旁证博引，使得原先简约深奥的术文得到　　了阐明，得到了解释。 这刘徽在注释中还有不少发挥创造，那更是对中国古算的发扬光大了。有些西方人不明究竟，总觉得中国古算注重计算，没有自己的理论体系。 刘徽就在注释中，清理古代数学体系，致力于把“术”文中算理的说清楚。不但说清楚，而且力图把各种数学方法、数学理论之间的关系找出来， 追根寻源。　　所以刘徽的研究，就不是停留在“举一反三”和简单的类比上，而是深 入探求普通的数学原理。刘徽力图用这些普遍的原理去说明和统帅各种方 法，这样就形成了一种独特的理论逻辑体系。　　不但要有理论，而且还要论证。这就和有些人认为的东方没有证明的看 法完全不同了。刘徽曾经说过：“不有明据，辩之斯难。”也就是说，要论 证的话，一定要有可靠的证据。他还主张“析理以辞，解体用图”。意思是 用逻辑知识去推理，用几何图形去进行直观分析，两种办法结合起来，证明 问题。　　在注《九章》中，他就这样，用逻辑推理和直观推理的方法，把《九章》 提到了新的理论高度。他不仅对书中有价值的公式、定理（就是“术文”） 都作出了合乎逻辑的证明，而且对各种算法中涉及的数学概念，也给出了严 格的定义，形成一整套理论。刘老先生虚怀若谷，知之为知之，不知为不知，从不装模作样、不懂装懂。《九章》中球的体积有错误，他发现了。但是经过长期的努力，他也是 没能有结果。这时他不是用一个改进的公式去代替，而是实事求是地说真话： “敢不阙疑，以俟能言者。”意思是把这个疑难问题空缺在这里吧，等待以 后能够解决它的人。在《九章》注释的过程中，那些精彩的证明和解释发挥，当然都是好论文。但是最有成果的独家创造是他老人家附有“勾股章”之后的心得体会。 后人看它很不错，就把这一部分单独成篇，起个名叫《海岛算经》。这《海岛算经》是我国古算中的著名经典的十分之一。在我国古算中，共有十部书最有名最珍贵，叫做“算经十书”。 在“算经十书”中，《周髀算经》最古，《九章算术》最宏博丰富，其次为《孙子算经》。这三部价值最大，而其中又以《九章》为代表。　　刘徽能以自己丰富的学识，为《九章》这本“算经之最”作注，自然是 不简单，何况他所著的《海岛算经》也能算上一份，更加了不起。说到这里， 还不得不提另一位人物赵爽。　　赵爽与刘徽是同时代人，不过不在一个国家，或者说那时是“一制三国”， 在三国时代。刘在魏国，被曹操的孙子管着；赵在吴国，是孙权子孙的臣民。 刘徽以注《九章》著名，而赵爽则以注《周髀》而著称。两人的贡献都很大，对后世的影响也很大。 赵爽又名婴，字君卿，他自己说是“负薪余日，聊观周髀”，也就是背柴火休息下来，研究研究《周髀算经》。有人根据他这一句话，说他是体力 劳动者，平民数学家，看样子都不太像。真正是樵夫出身，哪有那闲功夫去 看什么周髀？就是想看，也没那么多好条件。　　对刘徽的一切也不太明白，只知他受了一次封，不过那是八九百年后的 宋朝了。那时为了提倡恢复数学教育，在宋徽宗大观三年（1109 年）追封了 历代“著名算数者”，一共 70 多位，而且还在孔庙的两侧走廊画影造形，享　　受一下国家级待遇。 那追封的人中有“张衡西鄂伯”、“祖冲之范阳子”，等等。封建社会共有五等爵位：公、侯、伯、子、男，所以张衡得了个三等爵位，祖冲之是 四等。刘徽得的是“淄乡男”，第五等。从中也可以知道，刘徽是淄乡人， 即现如今山东临淄或淄川一带人。因为以上所封的人大多符合籍贯。花开两朵，各表一枝。我再说一说那赵爽的成就。 赵爽注《周髀》，首先第一件功劳就是证明了勾股定理。 在咱们中国历史上，有案可考的第一个勾股定理证明，就是赵先生。赵先生的证法是用了“弦图”，而且是彩色的。从下图可以看出，两个打阴影 的正方形面积，就是勾的平方和股的平方。现在把三角形Ⅰ移到Ⅱ，三角形 Ⅱ移到Ⅲ，又构成了一个新的正方形，它的面积正好是弦的平方。由此，定 理得证。　　不过，赵爽只在图旁写了一句话：“按弦图可以。”就像那位印度数学 家写了一个字：“瞧！”　　勾股定理的各种应用，始终是中国古算的一个特征，叫做“勾股术”。 第四回中列出一些“勾股术”的公式，都可以用上
面的那种方法来证明。也就是想办法作一个图，然后割补、移位，这就 叫“出入相补原理”，这是刘徽提出的思想，赵爽首先运用，日后更被许多 人用得淋漓尽致，做出了不少好文章呢！再说赵爽除建了这第一功以外，更从分数运算中，概括出“齐同术”。 原来那《周髀》、《九章》中，虽然分数的加、减、乘、除都有很多的例子，但是没有概括出运算的法则。　　所谓“同”，就是把分母乘在一起，使分母不同的分数变得分母相同， 这也就是今天所谓“通分”的来历。那么“齐”是什么意思呢？比如现在有两个分数：a 和 db c　　那么 bc“同”了以后，公分母有了，相应的分子也要变化，这就叫“齐” 了，即称 ac、bd 为齐。所以将 a 和 d 齐同，就是把 a 化为 ac ，将 d 化成 bd 。b c bbc c bc　　这样齐同之后，就可以进行四则运算了。《周髀》、《九章》中的分数 运算就是通过齐同后做的，只不过没说明罢了。　　在《周髀》中，还有测量太阳高度的问题，大概的办法就是在地上立两 根测杆，古代叫做“表”，然后计下两根“表”的长度，两表之间的距离， 两表留下的影子，这样，古人认为就能得出太阳的高度了。　　这自然是错误的。因为如果两根测量杆离得较近的话，影子的长度就差 不多一样了；而两根测量杆高有十万八千里，那么地球不是一个平面，是弯 曲的，而这种测高的算理，是基于测量的基准面是个平面，所以也会错。　　　　古人有测量太阳高度的雄心壮志，当然令人敬佩，虽然有错，精神可嘉。 何况用来测一高山、高建筑，所说的一切就完全正确了。因为这时当然可以 把测量的基准面——地面认为是个平面，两根“表”离得近嘛。　　赵爽就给《周髀》中这么个方法作了注释，详细说明了求法。以后更由 刘徽发扬光大，用来表海岛的高、远，著成《海岛算卷》，成一家之说。
那么，《周髀》上的“日高图”（测太阳高度的示意图），究竟是什么 样子的呢？原图是早已没有了，但能根据赵爽的说明将其恢复。　　赵爽根据“表”的距离、表高和景差——也就是两个影子（“景”）的 差，得出以下求日高的公式：表高×表距日高＝景差＋表高刘徽在《海岛算经》中改测日为测海岛的高，公式是：表高×表距岛高＝表目距的差＋表高他测量的方法是这样的： 立两根一样长的标杆（“表”），使得和要测的海岛三点一线。然后“人目著地取望岛峰”，眼睛要趴在地下对准岛峰看，这样对于两个“表”就分别取得了 H 和 I 点。那么“表目距的差”就是 F1 减去 DH 了。 用这种测量方法可以测量很高，以及底部不能到达的物体的高度。不但如此，还能测出海岛离观察点有多远。　　那么这个测高公式是怎么得出的呢？是不是有证明呢？原本刘徽是有图 有注，而“注”就是证明。到后来，就只有公式没有图和注了。南宋的大数学家杨辉说过，“海岛算法，隐奥莫得其秘”。杨先生甚至将海岛置于座右，以推想“先贤作法之万一”。 到得清朝，李潢等数学家都尝试给出刘徽那时候的证明、不过经现代一些数学家的研究，觉得那些证明都不太符合当时的实际情况。　　那么刘徽那时的“古证”，究竟是个什么样子呢？现代大数学家吴文俊 先生根据各方面的分析，给出了这么一个古证的复原：　　首先，对于矩形 AB，对角线上化一点 C，可以得到矩形 CI）的面积等于 矩形 CE 的面积。
这其中的道理也不复杂，因为△ABD＝△ABE，而在这两个大三角形中， 各有两对小三角形，面积也是相等的，等量减等量，当然就得到所说的两个 矩形面积相等。　　　　在今天，这种方法就是所谓割补法，可以用来计算面积。而在古代，这 就归纳成了一条重要的原理，叫“出入相补，各从其类”，这是刘大师的杰 作，我们在前面就看到了用这条“出入相补原理”来证明勾股定理。这么一来，“海岛高”就简单多了！ 矩形 JG＝矩形 GB 矩形 KE＝矩形 EB两式相减 矩形 JG－矩形 KE＝矩形 GD，所以（FI－DH）×AC＝ED×DF，而 FI－DH 就是“表目距的差”，所以有表目距的差×（岛高－表高）＝表高×表距，由此自然能得到岛高公式。 瞧，多么轻松，多么自然，更主要是符合当时的各方面实际。　　《海岛算经》的第一题，就是这么个测岛高的问题。他老先生开头就是 这么一句：“今有望海岛??”所以后人、后生就把这本书起个名，叫《海 岛算经》。　　《海岛算经》只有九个问题，都是一些“测”和“望”问题。不是“望 海岛”，就是“望谷”，“望松”，“望楼”等等。因为要“测”，首先必 须用标杆“望”，而且都是两“望”两“测”，得到的公式，分母都像上面 的一样，是两测之差，所以这一解题的招术就叫“垂差术”，是咱们中国古 算一大创造，优良传统。刘大师在给《九章》作注的序文中说：“凡望极高，测绝深而兼知其远者，必用垂差。” 他那《海岛算经》里的九题，都是高的摸不着头，低的探不着底。而且要测的东西，底部也挨不上去。　　这“出入相补原理”，可是当时的一大法宝。比如用来证有勾股定理。 古代的中国数学家们，从刘徽、赵爽开始，一直到清朝的梅文鼎、李善兰都 用这个法宝，设计出各种巧妙方法，不厌其烦一证再证，乐在其中。有位华 衡芳老先生，设计出 22 图，来证这么个定理，真可算得上一绝。还有第四回中说过，已知勾股之差和弦的长度，求勾、股，或者是已知股弦之和以及勾，求股、弦，等等，在《九章》中都给出了公式，而证明， 可就是刘徽用“出入相补原理”给出的啦。这个原理在今天，对咱们还有用处，用面积相等来求长度，大家好好想想，见到过吗？恐怕不止一次吧。 刘徽用“垂差术”创造出的测量奇迹，西欧社会即使到了 15、16 世纪，也望尘莫及。却说刘徽另一件功劳就是圆周率的计算。 说到圆周率，大家都清楚，那不是 3．1415926 嘛！有人还会进一步背到小数点后面 100，300 位，倒也真算得记忆的好汉，好学的君子。 只是这圆周率的求法就不那么简单了。’首先是要确定一个计算的步骤，计算的公式；然后是一步一步不畏艰难不怕繁杂去算，古时的计算工具，最 先进的就是算筹；最后还要有一种科学的误差分析和误差估计的办法，算对 了还是算错了，误差是多少，要有个明白的说法。　　这么三件事可不是所有人都能认识到的。在一些人的脑袋里，似乎圆周 率的计算很简单，画一个圆出来，半径当然是已知的，然后用一根绢子把圆 周一围，得个尺寸，最后再相除一下，不就解决问题了吗？岂不知你这样量圆周误差不但大，而且各人有各人的量法，误差还很随
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