椭圆C：x2/a2+y2/b2=1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别是F1，F2，离心率为根号3/2，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明1/kk1+1/kk2为定值，并求出这个定值．-乐乐题库
& 直线与圆锥曲线的关系知识点 & “椭圆C：x2/a2+y2/b2=1(a＞...”习题详情
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椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别是F1，F2，离心率为√32，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明1kk1+1kk2为定值，并求出这个定值．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2013-山东
分析与解答
习题“椭圆C：x2/a2+y2/b2=1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别是F1，F2，离心率为根号3/2，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一...”的分析与解答如下所示：
（1）把-c代入椭圆方程得c2a2+y2b2=1，解得y=±b2a，由已知过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，可得2b2a=1．再利用e=ca=√32，及a2=b2+c2即可得出；（2）设|PF1|=t，|PF2|=n，由角平分线的性质可得tn=|MF1||F2M|=m+√3√3-m，利用椭圆的定义可得t+n=2a=4，消去t得到4-nn=√3+m√3-m，化为n=2(√3-m)√3，再根据a-c＜n＜a+c，即可得到m的取值范围；（3）设P（x0，y0），不妨设y0＞0，由椭圆方程x24+y2=1，取y=√1-x24，利用导数即可得到切线的斜率，再利用斜率计算公式即可得到k1，k2，代入即可证明结论．
解：（1）把-c代入椭圆方程得c2a2+y2b2=1，解得y=±b2a，∵过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，∴2b2a=1．又e=ca=√32，联立得{2b2a=1a2=b2+c2ca=√32解得{a=2，b=1c=√3，∴椭圆C的方程为x24+y2=1．（2）如图所示，设|PF1|=t，|PF2|=n，由角平分线的性质可得tn=|MF1||F2M|=m+√3√3-m，又t+n=2a=4，消去t得到4-nn=√3+m√3-m，化为n=2(√3-m)√3，∵a-c＜n＜a+c，即2-√3＜n＜2+√3，也即2-√3＜2(√3-m)√3＜2+√3，解得-32＜m＜32．∴m的取值范围；(-32，32)．（3）证明：设P（x0，y0），不妨设y0＞0，由椭圆方程x24+y2=1，取y=√1-x24，则y′=-2x42√1-x24=-x4√1-x24，∴k=kl=-x04√1-x204=-x04y0．∵k1=y0x0+√3，k2=y0x0-√3，∴1k1+1k2=2x0y0，∴1kk1+1kk2=-4y0x0×2x0y0=-8为定值．
本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、角平分线的性质、利用导数的几何意义研究切线、斜率计算公式等基础知识，考查了推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．
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经过分析，习题“椭圆C：x2/a2+y2/b2=1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别是F1，F2，离心率为根号3/2，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一...”主要考察你对“直线与圆锥曲线的关系”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
直线与圆锥曲线的关系
直线与圆锥曲线的交点．
与“椭圆C：x2/a2+y2/b2=1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别是F1，F2，离心率为根号3/2，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一...”相似的题目：
过点（2，-1）引直线与抛物线y=x2只有一个公共点，这样的直线共有（　　）条．1234
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1&（a＞b＞0）以双曲线x23-y2=1的焦点为顶点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的左、右顶点分别为点A，B，点M是椭圆C上异于A，B的任意一点．①求证：直线MA，MB的斜率之积为定值；②若直线MA，MB与直线x=4分别交于点P，Q，求线段PQ长度的最小值．
直线l：√3x-y-√3=0与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与x轴相交于点F，若OF=λOA+μOB&(λ≤μ)，则λμ=&&&&．
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2已知左右焦点分别为F1，F2的椭圆x2a2+y2b2=1上存在一点P使PF1⊥PF2，直线PF2交椭圆的右准线于M，则线段PM的长为（　　）
3双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0），l1，l2为其渐近线，F为右焦点，过F作l∥l2且l交双曲线C于R，交l1于M．若FR=λFM，且λ∈（12，23），则双曲线的离心率的取值范围为（　　）
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3双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0），l1，l2为其渐近线，F为右焦点，过F作l∥l2且l交双曲线C于R，交l1于M．若FR=λFM，且λ∈（12，23），则双曲线的离心率的取值范围为（　　）
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