三重积分的柱坐标计算法与球坐标计算法29
上亿文档资料，等你来发现
三重积分的柱坐标计算法与球坐标计算法29
§13-5三重积分的柱坐标计算法与球坐标计算法；1.柱坐标计算法当积分区域?在直角坐标系中向某个；cos?,rsin?)；图13-27图13-26；根据定理13-5和二重积分的极坐标计算法，可得下；z2(rcos?,rsin?)z1(rcos?,；????f(x,y,z)dxdydz???；例17求三重积分??；D?r；rd?dr；f(rcos?,rsin?
三重积分的柱坐标计算法与球坐标计算法1.柱坐标计算法
当积分区域?在直角坐标系中向某个坐标平面的垂直投影是圆或圆的一部分时，时常采用柱坐标计算三重积分。读者从图13-26中看出，点P(?,r,z)的柱坐标实际上是它到Oxy坐标平面上垂足N的平面极坐标(?,r)与点P的竖坐标z的组合。
cos?,rsin?)cos?,rsin?) 图13-27 图13-26根据定理13-5和二重积分的极坐标计算法，可得下面关于三重积分的柱坐标计算法。 定理13-6
在定理13-5的假设条件下，则有z2(rcos?,rsin?)z1(rcos?,rsin?)????f(x,y,z)dxdydz???例17
求三重积分??D?rrd?dr?f(rcos?,rsin?,z)dz
(13-28)其中D?r是?在Oxy坐标平面上的垂直投影（图13-27）。????其中?是由球面x2?y2?z2?4的上半球面与抛物zdxdydz，面x2?y2?3z围成的区域（图13-28⑴）。 2222解
题中球面与抛物面的柱坐标方程依次为r?z?2与r?3z。它们围成的区域?在Oxy坐标平面上的垂直投影为圆D?r(r。根据式（13-28）， ????D?rrd?dr?zr2z?351zdz?2?2π0d?4?06?r4?2?(4?r)??dr9???π? ?2rr3r?4r?r?dr?π2r???????9454???91?13??π?6????π42?4?158 2.球坐标计算法
当积分区域?是球体或球体的一部分时，时常采用球坐标计算三重积分。如图13-29，点P的球坐标(?,?,?)与直角坐标(x,y,z)的关系为?x??sin?cos???y??sin?sin? ?z??cos??其中，0???2π,0???π,0?????。对于以原点O为球心且以?(??0)为半 径的球面S上的简单封闭曲线l，自原点发出 且与l相交的射线环绕l一周所构成的空间区 域（图13-30），称为由封闭曲线l张成的顶点 图13-29在原点O的立体角。若用ΔS表示l所包围的那部分球面面积，则这个立体角的大小规定为??ΔS?2 特别，单位球面(??1)上封闭曲线l张成的立体角的大小为??ΔS（即l围成的球面面积）。 对于空间中的有界闭区域?，首先用下面的三族曲面将?划分成许多小区域： ⑴通过Oz轴作一族半平面???i(0??i?2π)；⑵以原点为顶点且以Oz轴为中心轴作一族圆锥面???j(0??j?π)； ⑶以原点为球心作一族同心球面???k(0??k???)。图13-31中表示出这些小区域中的一个。它在单位球面(??1)上的中心投影的面积为Δ??sin?Δ?Δ?（中心投影边界曲线张成的立体角的大小）因此，那个小区域??的底面ABCD的面积为?S??2sin?????。当??的直径很小时，把它看成长方体（合理假设），则它的体积为?v??2sin???????。现在，设有函数f(P)?f(x,y,z)在有界闭区域?上连续，则它在?上的三重积分nf(Pi)Δvi ????f(P)dv?lim?i?1?lim?f(?isin?icos?i,?isin?isin?i,?icos?i)?i2sin?iΔ?iΔ?iΔ?ii?1n????f(?sin?cos?,?sin?sin?,?cos?)?2sin?d?d?d??159 为把上面最后的三重积分化为累次积分（三次积分），假定自原点O发出且通过区域?的内点的每一条射线与区域?的边界曲面的交点不多于两个。如图13-32，自原点O发出的射线与区域?相交时，穿入点到原点的距离记为?1(?,?)，而穿出点到原点的距离记为?2(?,?)；这样的射线同时也穿过区域?在单位球面(??1)上的中心投影S1(?,?)。于是有????f(P)dv?????f(x,y,z)dxdydz???sin?d?d??f(?sin?cos?,?sin?sin?,?cos?)?d?
（13-29）?2(?,?)2S1(?,?)?1(?,?)例18
用球坐标计算法，重新计算例17中的三重积分。 解
见图13-33，当0???（13-29），有πππ3cos?时，0???2；当???时，0???。根据式2332sin????2π0d?? π3sin?d??20?3cos?d??20???2π?8π? π3sin?cos?d???3d??2ππ3cos?d?π2sin?d?sin??3cos?d?003π3cos?2sin?cos?d?sin2??3d? π 32π?? ?? π3sin?cos?d?81π?2π2π3cos5?π13πd??3π??744sin?3.选读
三重积分的柱坐标计算法与球坐标计算法，实际上是下面这种变量替换的一般方法的特殊情形。下面的变量替换方法是二重积分的变量替换方法（定理13-3）在三重积分中的类比。设函数f(x,y,z)在有界闭区域?(?R3)上连续。若有一对一的正则变换?x?x(u,v,w)??y?y(u,v,w) ?z?z(u,v,w)?将有界闭区域G(?R3)变换成?，则160????f(x,y,z)dxdydz?(x,y,z)?????f[x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)]dudvdw
（13-30）G?(u,v,w)其中雅可比行列式?(x,y,z)?(u,v,w)为正时取“?”，为负时取“?”。例19计算三重积分??????xdydz(a?0,b?0,c?0)?为椭球体：x2y2z2其中a2?b2?c2?1。?x?a?sin?解
作广义球坐标变换?cos??y?b?sin?sin?，则它的雅可比行列式为??z?c?cos??x?x?x???????(x,y,z)?y?y?a?sin?sin?a?cos?cos?asin?cos??(?,?,?)??y???????b?sin?cos?b?cos?sin?bsin?sin? ?z?z?z0?c?sin?ccos?????????abc?2sin?根据式（13-30），则有?????abc?2sin?d?d?d??abc?2π0d??π0sin?d??10???4πabc?1? ??π24abc习题与阅读1．利用适当的方法，计算下面的三重积分：⑴???2?(x?y2)dxdydz，?为抛物面x2?y2?2z和平面z?2围成的闭区域；⑵???，?为半球面?zdxdydzz?和抛物面z?x2?y2围成的闭区域；⑶???1?1?x2?y2dxdydz，?为圆锥面z2?x2?y2和平面z?1围成的闭区域；⑷???z?xdydz，?(1?z?2)；161 ???⑹???⑸⑺⑻??z2dxdydz，?为两球体(x2?y2?z2?R2)和(x2?y2?z2?2Rz)的公共部分； (x2?y2?z2)dxdydz，?(x2?y2?z2?R2)； xdydz，?(x2?y2?z2?Rz,R?0)； zln(1?x2?y2?z2)dxdydz，?(1?x2?y2?z2?4)。????????答案：⑴16π7ππ594π5πR5；⑹R； ；⑵；⑶(2ln2?π?4)；⑷2πe2；⑸πR；⑻0。 ⑺642．根据体的体积。????dv?????dxdydz??的体积，求由曲面(x2?y2?z2)3?3a3xyz围成的立分析与解答：不妨认为a?0，则图形含在第一、三、六、八挂限，根据图形对称性，所求体积为V?4????dxdydz【?为?含在第一挂限的部分】11用球坐标变换，则曲面方程(x2?y2?z2)3?3a3xyz变为?3?3a3sin2?cos?cos?sin?因此，??V?4????3dxdydz?41? 2d?? 2sin?d?? 2d????4a?20cos?sin?d?? 2sin3?cos?d?a3?23．设f(u)为连续函数。求函数F(t)?2x?y2?z2?t2???f(x2?y2?z2)dxdydz的导数F?(t)。答案：F?(t)?4πt2f(t2)。
4．求三重积分I?2x?y2?z2?1???xmynzkdxdydz(其中m,n,k为非负整数)。答案：当m,n,k中至少有一个为奇数时，I?0；当m,n,k都为偶数时， I?22m?n?k?3?(m?1n?1k?1)?()?()。 m?n?k?3?()2?x2y2z2?5．求由曲面?2?2?2??ax(a?0,b?0,c?0)包围的立体的体积。?abc?分析与解答
由曲面方程看出(x?0)，曲面包围的立体?处在坐标平面Oyz的正侧(x?0)一方，并且分别关于坐标平面Oxy与Oxz对称。因此，它的体积是它含在第一卦限部分?0的体 162包含各类专业文献、文学作品欣赏、应用写作文书、专业论文、行业资料、高等教育、生活休闲娱乐、§13-5
三重积分的柱坐标计算法与球坐标计算法29等内容。　
　【例 2】用柱坐标计算三重积分 ∫∫∫ xyzdv ,其中 ? 是球体 x + y +...?( ? ) 2 2 4 6 1 = 48 二、利用球坐标计算三重积分 1、球面坐标 ... 　在柱坐标系下三重积分计算法的探讨‘ 计算三重积分的基本方法是将三重积分转化隽三次单积分进行计算, {l{;转诧过程在妻熊坐标系、柱 坐标系和球坐标系下均可... 　坐标系计算 以上是一般常见的三重积分的计算方法。...为柱体,锥体,或由柱面,锥面,旋转抛物面与其它曲面...sin ? ? 解: 用球坐标计算。 ? y ? ? sin ... 　利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 内容分布图示★... 　坐标系计算 以上是一般常见的三重积分的计算方法。...为柱体,锥体,或由柱面,锥面,旋转抛物面与其它曲面...? 解: 用球坐标计算。 由 ? y ? ? sin ? ... 　2.直角坐标系中的计算法 与二重积分一样,三重积分...这样的柱形区域与图 13-20 中那种柱形区域的不同...定理 13-5 z1 ( x, y ) z2 ( x , y )... 　教学目的: (1)掌握二重积分的概念及计算的计算方法(直角坐标、极坐标) 教学目的: (2)掌握三重积分的概念计算方法(直角坐标、柱坐标、球坐标) ;(3)应用重积分... 　三重积分的(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)计算方法...利用球坐标计算三重积分; 3、 物理应用中的引力问题...二重积分的绝对值仍等于柱体的体积? 但二重积分的... 　方法 (3)会利用直角坐标、柱面坐标、球面坐标计算三...第九章 重积分 第 2 页共 5 页 《高等数学》Ⅱ...是柱形,锥形或旋转体且在坐标面上的投影是圆域或...球坐标下一道三重积分的计算，求带步骤解答_百度知道
球坐标下一道三重积分的计算，求带步骤解答
jpg" target="_blank" title="点击查看大图" class="ikqb_img_alink"><img class="ikqb_img" src="/zhidao/wh%3D450%2C600/sign=3df03ffcdfb44aed591bb6e0862cab37/738bfcaa.baidu://d.com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=129f18f71bb2e064af68c/738bfcaa.hiphotos.baidu.jpg" esrc="http.hiphotos://d<a href="/zhidao/pic/item/738bfcaa.baidu.hiphotos://d
提问者采纳
4到π/2〕【(cosg)^7/(sing)^12】/4到π/4到π/6dg=(1/2〕(sing)^3*cosg【(cosg)^6&#47。用球面坐标;12)∫〔π/(sing)^2〕【rsingcost*rsingsint*rcosg】*rrsingdr=∫〔0到π/2〕cost*sintdt∫〔π/4到π/2〕dt∫〔π&#47，得到原式=∫〔0到π/2〕dg∫〔0到cosg&#47积分区域是旋转抛物面与圆锥面围成的在第一卦限的部分;12)∫〔π/2〕(cotg)^7dcotg=1/96。形如从一个碗中挖去圆锥体后剩下的壳在第一卦限的部分;(sing)^9】dg=-(1&#47
提问者评价
其他类似问题
为您推荐：
三重积分的相关知识
等待您来回答
下载知道APP
随时随地咨询
出门在外也不愁三重积分及其计算_百度文库
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
文档贡献者
评价文档：
三重积分及其计算
高&#8203;等&#8203;数&#8203;学
把文档贴到Blog、BBS或个人站等：
普通尺寸(450*500pix)
较大尺寸(630*500pix)
大小：579.00KB
登录百度文库，专享文档复制特权，财富值每天免费拿！
你可能喜欢末学求助一个简单matlab三重积分运算_百度知道
末学求助一个简单matlab三重积分运算
8542e-12; & &&nbsp,3e-8;m2& &A&nbsp,2*kf-delta）;Epsilon0s&nbsp。其中z; &&nbsp.*(z1-3e-8))./(2./(2;%（26）的被积函数./(2;&/zhidao/pic/item/50da81cb39dbb6fdbaab.mfunction&nbsp。把y1带入y的表达式中y=exp(- &Nsd&Nsd=5.jpg" target="_blank" title="点击查看大图" class="ikqb_img_alink">计算图片里的积分Jifr(kf);D&%kf&nbsp，其中delta是一个很小的数，用trapz对z积分;Epsilon0& & &nbsp.*(z1-3e-8)，因为在（27）中q=2kf使分母为0，然后用trapz对z&#39; &y=fpsiJ3(z1; & &e&& &nbsp,qglobal&%T=3.^3.38e-23;m2=0.*(z2-3e-8);kb&5;Ndepl&nbsp，依次设定q值和z&#39://a.*m2，z’的积分范围是（3e-8;x&nbsp.*kf，感激涕零; &B=(12*m*e^2/(Epsilon0*Epsilon0s*h2^2))^(1/3)*(11*Nsd/32+Ndepl)^(1/3).jpg" esrc=" &%(28)中的被积函数y1=0; &nbsp，但我感觉不正确.*积分;triplequad(f3.5。但对一个计算，（28）的被积函数都带入（26）写成一个g关于z.055e-34;m1=m2;%e=1,qq)%z1;kb&nbsp.hiphotos，最后用trapz对q积分; & &nbsp. &nbsp.11e-31.*kf)),1e-7。%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%存为fpsiJ3.^2));Epsilon0s& &nbsp，1e-7）.hiphotos.26*m;.*h2.*sqrt(1-(qq://a;m&nbsp,3e-8;B&h2&nbsp，z&#39;x=0.5*B^3*(z1-3e-8)^2*exp(-B*(z1-3e-8));=&kb=1://a.，z2.h2&Ndepl&e&nbsp.^2;m2&x&nbsp.^2; &%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%主函数global&nbsp.*exp(-B.5;&nbsp.75+1.*(z2-3e-8)).com/zhidao/wh%3D450%2C600/sign=a44e9ddf1d950a7bfe14eef/50da81cb39dbb6fdbaab;&nbsp.*exp(-B;&nbsp.*0.*B,0;&nbsp.*A.^3; &nbsp.^4，我把（27）.*Epsilon0*Epsilon0s))，z’; &Ndepl=0，我把这个点避开了.^2，然后用triplequad对这个函数进行积分.^3，q的范围是（0;.69e16;m&nbsp.^2; %Mg%Epsilon0=8，q的函数放在fpsiJ2./4)，可以顺利得到一个结果,z2;%D=1e-9.m中。如果我用一种比较笨的方法; &nbsp.3。（28）中|f(z)|^2=0;& &nbsp,1e-7.。求大贤指点。这个代码可以算出一个结果.08*x); &%温度h2=1.*pi，我需要有不同的办法来相互验证;%波尔兹曼常数A=5e-9;f3=@fpsiJ3.^2，qq分别别是图片里的z;B&A&nbsp.*(qq+e; &Nsd& &nbsp.^2.*B;%电子电荷m=9.*exp(-qq*abs(z1-z2)).*y1;/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=c07eece9e924b899de1ad/50da81cb39dbb6fdbaab; %真空介电常数Epsilon0s=(8,2*5<a href="http.hiphotos. &nbsp
我有更好的答案
其他类似问题
为您推荐：
您可能关注的推广回答者：回答者：
三重积分的相关知识
等待您来回答
下载知道APP
随时随地咨询
出门在外也不愁}