急求！！！概率问题_好搜问答
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急求！！！概率问题
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某学校五年级有两个班，一班50名学生，其中10名女生；二班30名学生，其中18名女生．在两班中任选一个班，然后从中先后挑选两名学生，求（1）先选出的是女生的概率；（2）在已知先选出的是女生的条件下，后选出的也是女生的概率．
求详细的解题过程~~谢谢各位了。。。
采纳率：59%
1）从一班选：选出的第一位是女生的概率为0.5*(10/50)=0.1
从二班选：选出的第一位是女生的概率为0.5*(18/30)=0.3
所以先选出的是女生的概率为0.1+0.3=0.4
2）从一班选：在已知先选出的是女生的条件下，此时女生剩下9人，全班人数剩下49人。接着选出的是女生的概率为(1/2)*(9/49)=9/98.
从二班选：在已知先选出的是女生的条件下，此时女生剩下17人，全班人数剩下29人。接着选出的是女生的概率为(1/2)*(17/29)=17/58
所求概率为9/98+17/58=547/1421（约为0.38） 用微信扫描二维码分享至好友和朋友圈分享到：
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第9天生活就像海洋，只有意志坚强的人才能达到生命的彼岸。知道了数学救命：决斗中的概率问题！-微众圈
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> 数学救命：决斗中的概率问题！
数学救命：决斗中的概率问题！
摘自公众号：发布时间： 23:17:49
?点击上方“大数据文摘”可以订阅哦！ 大数据文摘作品，欢迎个人转发朋友圈；其他机构、自媒体转载，务必后台留言，申请授权。 摘自：墨绿万精油的博客网址：.cn/u/ 三人决斗问题在网上流传很久了，甚至有人已经把它写进书里。这个大家熟悉的题目我本来没有想把它放到我的微博上。可是，上周在@数学文化 的微博上看见他推荐一个两人决斗问题，我觉得过于简单，于是把这个三人决斗问题拿出来作比较。题目出来一个星期了，想写一个答案算交差，没想到越写越长，140字的微博不够，于是干脆把它加长成一篇博客文章。 先说那个两人决斗问题。说是两个人搞“俄罗斯轮盘赌”，一个可以装六颗子弹的手枪里装了一颗子弹。随机转盘以后两个人轮流用枪对准对方额头射击。每次打枪后重新转盘。问是先开枪划算还是后开枪划算，并算先开枪和后开枪的存活率。因为每次打枪后重新转盘。所以想都不用想肯定是先开枪的划算。至于先后的存活率，后开枪的人要在第一枪没有被打死的情况下（概率是5/6）才能达到与先开枪的人相同的状态。所以，后开枪的人的存活率是先开枪的人的存活率的5/6 。再加上两人的存活率之和是一，可以得出先开枪与后开枪的存活率分别为6/11和5/11 。所以我说这个问题过于简单。 其实，上面那个题篡改了“俄罗斯轮盘赌”。真正的“俄罗斯轮盘赌”是随机转盘后对准自己额头打，而且每次打完不再转盘，自动转进下一个子弹位。在这种情况下问先开枪划算还是后开枪划算就是一个很好的条件概率题。第一枪被打死的概率是1/6 。第二枪被打死的概率是5/6×1/5，还是1/6 ，以此类推。当然如果对题目理解的很清楚，根本就不需要算。第K枪死的概率就是子弹在第K个弹腔的概率，因为是随机的，每个位置的概率都是1/6，所以先打后打都一样。 三人的情况就要有意思得多。从两人到三人有点像从二体运动到三体运动。因为二体运动必须是平面运动，简单解一解F=M*a 就可以有结果。三体问题要复杂得多，根本没有解析解。牛顿庞加莱这些大家都没有办法。当然，这个三人决斗问题只是比两人决斗问题麻烦一点，比三体问题那是要简单多了。 先叙述一下三人决斗问题。A，B, C 三人决斗。已知A的枪法奇准，百发百中。B次之，三枪命中两枪。C最差，三枪只能打中一枪。决斗的方式是三人轮流开枪，每次只能开一枪，可以随便选向谁开枪。为公平起见，他们决定让C先开枪。然后是B（如果还活着），最后是A（如果还活着）。如果一轮结束后还有超过一人活着，再按CBA循环。问：在上面给出的条件下，每人的最佳策略是什么？如果大家都采用最佳策略，每人的存活率是多少？ 首先，在三人都在的情况下，开枪的人应该打另外两人中命中率高的，因为如果他打中就轮到剩下的那个人打他，当然希望命中率不高的人剩下。所以A, B肯定互射，而最差的C被当着老弱病残保护起来。那么C是不是该打A呢？如果他打中A，那么该B来打他。他知道有三人存在时A，B都不会来打他，打掉一人反倒对他不利。所以他的最佳策略是放空枪。等A，B相互之间干掉一人后轮他先打，不管命中率如何差，两人中先开枪总是划算的。这就是所谓鹬蚌相争，渔翁得利。 有了这个策略以后，算存活率就是很直接的概率题了。在A的命中率是1 (100%) 情况下，B和C的命中率对每人的存活率的影响很不一样。为了求一个通式，我们假设B的命中率是b，C的命中率是c 。按题目假设，我们有1 & b & c &０。通过一些推导，我们可以得出A，B，C的存活率分别为：A：（１－ｃ）＊（１－ｂ）B: ｂ－ｂ＊ｃ／（ｂ＋ｃ－ｂ＊ｃ）C: ｃ＋ｂ＊ｃ＊（１／（ｂ＋ｃ－ｂ＊ｃ）－１） 为了不把这篇文章变成数学论文，这个解的具体推导就留成作业好了。 我们最初叙述的这道题就是当ｂ= 2/3,ｃ=1/3 的特例。在这个情形下，我们有A，B，C的存活率分别是：2/9，8/21，25/63 。 当然，这道题有趣的是在ｂ,ｃ取各种值所得的各种结果。我做了三个A，B，C存活率的图如下。下图中，b分别为2/3，1/2，1/3，横坐标是C的命中率，从０到相应的ｂ。Y坐标是存活率。 可以看到在ｂ＝２／３时，虽然A的命中率最高，但他的存活率（红色）一直在B的存活率（蓝色）下面。甚至当ｃ比０.２多一点以后，C的存活率（绿色）也比A高。这个图告诉我们在制度不好的时候，优秀人物并不一定混得更好。所谓&枪打出头鸟&，“出头的椽子先烂”，“木秀于林，风必摧之”都是同一个机制。坏制度不能保护他们这些出头鸟。 不过，要想比出头鸟混得更好自己的本事也不能太差。当ｂ＝１／２（或以下）时，蓝线一直在红线之下。也就是说即使有制度保护，B也永远不会比A混得更好。这就是通常所说的稀泥糊不上墙。阿斗当不好皇帝，虽然有刘皇叔托孤，诸葛亮撑腰。 三个图都有一个共性，那就是当C的命中率接近B的命中率一半以后，C的存活率就比B还好。这这也是一个常见现象，中等水平的人常吃亏。因为他们本事不够，自己上不去，又没有坏到需要制度照顾，最后的结果就是吃亏。美国这边现实的例子就是孩子上大学的学费问题。真正的富人是不在乎这点钱的。而收入不够的人可以申请资助，只有中产阶级，学费压力很大，却不能申请资助。 C的存活率甚至有时候比A还高。不过，当ｂ更小的时候（比如１／３），红线就一直在蓝，绿之上了。这就是为什么许多统治阶层要搞愚民政策。下面的人水平太差以后，无论怎么钻空子（比如开空枪），上面的人都总是有优势。 受过数学训练的人读到这里，想要问的一个很自然的问题就是，什么时候A,B,C的存活率相等（都等于１／３）。有了前面的公式，我们不难算出，当ｃ＝（５－√７）／９，ｂ＝（√７－１）／３ 时，A，B，C的存活率都等于１／３。（顺便说一下，如果找不到正确方法，要求出这个平衡点需要解一个四次方程。但如果找到正确方法，只需解一个二次方程就可以了，还是留成习题吧）。 这个平衡点表面看起来有点象三权鼎立，但这种表面上的相等其实很不公平。比C优秀差不多４倍的A在这个规则下得到的结果只不过与C相同而已。有点象社会主义。从前的大学生毕业，不管好坏一律都是56块半的工资。这种制度不能鼓励优秀人士，对社会的整体进步没有好处。 学佛的人常说一滴水珠看世界，所谓“滴水藏海”。我用这个三人决斗的趣味题目来看社会现象，搞笑之作，希望有人能欣赏。
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美国当地时间6月22日，美国第四大城市休斯敦的莱斯大学迎来一场教育领域的高峰对话――第二届中美大学校长论坛在这里隆重举行。中国国务院副总理刘延东现身会场，寄语中美大学携手开创高等教育新局面，为中美关系注入新…[] 人大附中刘智欣以721分摘得2015年北京高考理科状元。 澎湃新闻记者 李坤 图 澎湃新闻记者 吴玉蓉 发自北京 23日下午，就在北京高考分数线发布当天，人大附中召开了一场新闻发布会，今年北京高考理科第一名由该校学生刘…[] 格瓦拉发布重磅“新?放映”升级品牌 万达《滚蛋吧！肿瘤君》成为首部签约影片 今年上海国际电影节上，有一个非常有意思的现象，与电影有关的艺术，内容，本质的关键词几乎消失，取而代之是拥抱互联网的“取经”风潮，似乎少了大…[] 祁鑫|文 意大利令人迷惑不解。她像中国一样拥有悠久灿烂的历史文化，但罗马帝国崩溃之后，一直四分五裂、支离破碎。直到1861年统一，意大利只是一个地理名词。意大利北部富裕发达，生活水平与英法德等国相当，占全国人口40%…[] 在我们运动的过程中，大多人会格外保护你的膝盖，但更多时候却忽略了你的双足。 酷热的夏季已经来到，无论跑步还是打球，你的双脚都需要承受闷热出汗的考验。别以为一些简单的足部按摩，特殊的袜子和定制的鞋垫就真的有用…
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不要相信直觉！那些概率统计的奇妙结论
不要跟着感觉走，经验、直觉靠不住，要相信数学、概率统计
对于概率和统计的不确定性，我们始终有足够的直觉。虽然如此，这依旧远远不够，多数人对概率的理解其实并不充分。要知道这是一个数学家稍有闪失就会错的一塌胡涂的领域，原因很多时候正是我们的直觉，而正确结论却与之相悖。我们不妨来看看几个概率统计中的奇妙结论，这也正是概率统计这门学科的魅力所在。
贝特朗奇论
在单位圆内随机地取一条弦，其长超过该圆内接等边三角形的边长√3的概率等于多少？
这个问题看似简单，结果却让人大跌眼镜。我们可以用三个完全正确的方法，得到三个完全不同的答案！
1.将弦的一段固定在等边三角形的某一个顶点上，然后另一端绕着圆周旋转。可以在图一中发现，只有当另一端点位于上方的圆弧时，这条弦的长度才会超过三角形的边长，由此可得所求概率为1/3。
2.根据几何学原理，圆内弦的长度与弦到圆心的距离有关。从图二可以看出，当弦心距小于1/2时，这条弦的长度大于三角形边长，所以这样求出的概率为1/2。
3.再来考虑一条弦的中点，根据图三可以得出：只有当弦的中点位于半径为1/2的小圆内部时这条弦的长度才满足要求，同时因为这个小圆的面积是大圆的1/4，所以所求概率也是1/4。
你能说出到底哪种方法是错的吗？如果它们都是对的，那么这样的一道客观题又怎么会有三个不同的答案呢？
其实这三种说法都是正确的。但是它们的结果之所以不同，只是因为它们各自对问题的理解不同，采用了不同的等可能性假定。在第一种方法中，我们默认的假设是“圆内弦的端点在圆周上是均匀分布的”；在第二种方法中，我们默认的是“圆内弦到圆心的距离是均匀分布的”；第三种方法默认的假设则是“圆内弦的中点在整个圆的内部是均匀分布的”。这三种假设对应着三种不同的求解方法。
需要说的是，随意指责哪个假设是不合理的有所不妥，因为它们都是有依据的。不妥的地方在问题本身，这个问题问的并不严谨，没有对问题中的“基本空间”进行定义，导致在解题人求解时只能够依靠自己的理解补充解题所需条件。如此一来，一问三解就不足为怪了。
上述问题被称为“贝特朗奇论”，是数学家贝特朗在上世纪初提出来的，用于批判当时尚不严谨的概率论。也正是在贝特朗工作的推动下，此后概率论的研究开始向公理化方向发展。
本福特法则
据说，1881年天文学家西蒙o纽康伯发现对数表以1起首的数所在的那几页较其他页破烂，由此他怀疑以1开头的数字就是比其他数多，大量统计之后发现果真如此。这个故事的真实性已无从考究，不过它可能是本福特法则第一次被注意到。
所谓本福特法则，是指在一堆从实际生活得出的数据中，以1为首位数字的数的出现概率约为总数的三成，是人们通常期望值1/9的3倍，它的确切值等于lg2，而越大的数字，以它为首位的数出现的机率就越低。更一般地，我们能够说明在r进制中，以n开头的数字出现的概率是 log r (n+1)- log r (n)。根据这个公式，可以制作出十进制下数字1~9开头的概率表：
这个神奇的法则几乎完全违背了人们的直觉：哪个数字开头的概率不应该是一样的嘛！
维基百科上对此有个简单的解释：就数数而言，从1开始，历经1,2,3,...,9，到这点终结的话，以哪个数起首的几率是相同的，但9之后是10至19，到这里以1起首的数出现的几率又大大高于了其他的数。而在下一堆9起首的数出现之前，必然会经过一堆以2,3,4,...,8起首的数。如果这种数法一旦有个终结点，以1起首的数的出现率一般都会比9大。
也就是说，我们平时认为的“以1开头和以9开头的数字一样多”这种情况，实际只有在[1,999]此类区间里才会出现。任意给一个区间，由于样本的不完整性，基本不可能出现这种情况。从这里也可以看出，要想使得本福特法则生效，便不能对数字的区间范围进行明确的规定。
说到这里，大家自然会进而关心本福特法则在实际生活中的应用。我们可以在
下方列出的表格中看到，不论是各国人口数量还是门牌号码都基本服从本福特法则，而且这些统计得到的结果和理论预测值的误差也很小。从而这些生活中的实例也说明了以1开头的数字确实是最多的，死理性派对此曾有过
这个法则最经典和广泛的应用是验证统计数据真伪。如果一个包含了几千个数字的样本居然完全不服从本福特法则，那么你可要小心了，这个样本很有可能是伪造的。而除此之外，本福特法则在会计、股票甚至是选举领域也有着重要的应用。
你是广交朋友的闪亮交际明星还是人际贫瘠的宅男？也许这个问题刺痛了许多不善交际的技术男的心：总能看到某个朋友每天应酬繁多、应接不暇，而自己的手机却常年不响一声。
实际上几乎每个人都会觉得朋友的朋友总是比自己的多。换句话说就是自己的朋友数，几乎总是小于自己所有朋友的朋友数的平均值。
这个结论看上去很违背直觉：如果我是某个人的朋友，那个人必然也会是我的朋友，友谊是双向的，所以我们会经验的认为整个数据是平均分布的，任何人的朋友数和他的朋友比起来应当差不多。怎么可能他们的平均朋友数会比我们自己的多呢？然而这却是事实，或者唯一的安慰是一切与你无关，这不过是一个不寻常的统计学案例。
我们不妨看看下面的这个例子。
上图是八个女孩之间的朋友关系图，其中标注了每个人的名字、朋友数和她的朋友的平均朋友数（括号内的数字）。可以发现，只有Sue和Alice两个人的朋友数比她们朋友的平均朋友数要多。如果对所有括号里的数求均数，得到的结果约为2.98；但是这八个人的平均朋友数是2.5（10条关系线×2，除以人数8）。群体中所有人朋友的朋友平均数大于群体所有人的朋友平均数，这是为什么呢？
其实这个看起来有些不可思议的结论可以这样解释：有一百个人，他们都能有一个拥有一百个朋友的朋友，但是只有一个人，能有一个只有一个朋友的朋友。这句话算不上严谨，而且很绕口，但是实际上它传达了这样的意思：在计算“朋友的朋友”这个过程中，一个人拥有越多朋友则越容易被重复计算进来。比如在上图中，Sue有四个朋友，那么“Sue拥有四个朋友”这个条件在Sue的四个朋友分别计算自己的“朋友的朋友数”时，就被重复使用了四次。
让我们来做一个简单的数学推理：设群体总人数为n，第i个人的朋友数为Fi，那么群体所有人的朋友均数就是( ∑ Fi )/n。至于所有人“朋友的朋友”则一共有 ∑ Fi 个样本（把每个人的朋友列举一遍），又因为第i个人的朋友数会被重复计算Fi次，所以群体中所有人“朋友的朋友”的总数为 ∑ Fi 2 。于是其朋友的平均朋友数就是(∑ Fi 2 )/( ∑ Fi )。根据均值不等式的变形可知，( ∑ Fi 2 )/( ∑ Fi )≥( ∑ Fi )/n。如此一来我们就证明了在朋友圈里，朋友的平均朋友数不小于每个人的朋友均数。更精确地描述就是：
朋友的朋友均数=朋友均数+朋友数方差/朋友均数
当然，大家即便知道了这个事实也请不要灰心，你的朋友看起来总是拥有比你更多的朋友，其实只是某几个人际交往明星从中作梗，让你产生了这种错觉而已。
在数学中没有任何一个其他分支有这么多例子能说明直觉与经验会得出如此错误的结论，而正确的解答又与直觉矛盾。当人们看到一个概率或者统计的悖论时，第一反应是不相信，而在了解了真相后，紧接着的反应几乎必然是想清除疑云迷雾。所以，好好学学概率和统计这门课吧。
参考资料：
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对于第一个问题：解法一中，圆里所有弦中点分布及弦的分布如下解法二中，圆里所有弦中点分布及弦的分布如下解法三中，圆里所有弦中点分布及弦的分布如下
贝特朗奇论我做题目的时候发现过。。。要是我出生得早一点就是我的结论了。。
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全部评论(125)
我终于有坐到沙发了，天那T-T
第一次这么靠前，激动啊。。
只有三楼你们不占位么。。
贝特朗奇论我做题目的时候发现过。。。要是我出生得早一点就是我的结论了。。
抢沙发有技术含量吗？
晕了大学概率论60分的飘过
本福特，知道了之后就不会有直觉了。
理论物理博士，科学松鼠会成员
朋友如衣服？
朋友的朋友是敌人....
那个友谊悖论原来可以有数学解释啊，我以为都是心理因素呢~那几乎每个人都认为自己高于平均水平的自我服务偏见是不是也有数学解释呢？
我刚吃完饭，吃撑了，现在再看看这些东西，外加我那狗屎的语文，我... 我有点头晕
生物技术学士
这话是令狐冲说的，他还说，你可以有很多衣服，但是你受得了很多手足么？引用sheldon的回应：朋友如衣服？
引用多普勒马的回应：我抢这里又不是贴吧，抢沙发有什么用。。。。。。。。。科学至上。
第一个解法有点疑问？可以把弦的一端固定嘛？这样不会导致弦的数量减少吗？
统计学专业本科生，数学控
引用果壳中的大设计的回应：第一个解法有点疑问？可以把弦的一端固定嘛？这样不会导致弦的数量减少吗？无论把弦的一段固定在哪，都可以得到同样的概率，因此不会影响结论
好吧我想通了..那么对于第一个问题..
不会吖 响你做扫描一样 固定一端也能将圆扫过 简单说 一个圆 你要大竖画 打横画打斜话 乱画也能填满一样 这三个方法都有对自身认为为出发的所有可能做讨论 只是像作者说的 问题本来就不严谨 存在空间上不同的各种解答 由此 人各不同 各种有不同想法 这个争执是没结果的引用果壳中的大设计的回应：第一个解法有点疑问？可以把弦的一端固定嘛？这样不会导致弦的数量减少吗？
晕了 你让我这明年就学概率论的情何以堪啊 我高数还挂着呢。。。
对于第一个问题：解法一中，圆里所有弦中点分布及弦的分布如下解法二中，圆里所有弦中点分布及弦的分布如下解法三中，圆里所有弦中点分布及弦的分布如下
引用yd的回应：贝特朗奇论我做题目的时候发现过。。。要是我出生得早一点就是我的结论了。。你这样想并不奇怪，可以参看这篇文章：
本福特法则其实可以这样理解：1概率最大是因为它出现在数列中最早。因为人们用数字一般都是用于排序，由1排起的话，1＝100％，其他数为0；排到2时，1＝50％，2＝50％，其他数为0；排到3时，1＝1╱3，2＝1╱3，3＝1╱3，其他数为0；依此类推，1一直排第一，越来越多数和它并列，直到排到9，它们才平等。同理，排十位数时，10到19，1的概率再次升高到第一，然后越来越多并列，最后999时平等。所以才会出现本福特法则啊。友谊悖论大亮！最喜欢悖论了！
文章很严谨啊，难得难得
引用sheldon的回应：朋友如衣服？引用苍白色火焰的回应：朋友的朋友是敌人....朋友万岁 敌人万岁！！！
第一题应该是有答案的，就是第一种解答，我们通常所说的随机取一条直线，其角度概率是平均分布的，与第一题的假设前提是一致的。
现在只觉天旋地转~~~~~~~~
本福特法则可以拿来检验数据造假的问题。。。然后，相应的，数据上要动手脚的同学要记得本福特法则。。。。呃，回答好狗血。。。
引用lauy007的回应：本福特法则可以拿来检验数据造假的问题。。。然后，相应的，数据上要动手脚的同学要记得本福特法则。。。。呃，回答好狗血。。。哈哈哈
这里只是再强调本福特法则的适用范围
当然你这样理解也可以
应用数学专业
本文大赞！这些定律呀法则呀都在理解范围内，接受木压力。其实我一直想知道的是墨菲定律的原理……
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