行星的运动规律与各种天体轨道_百度文库
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行星的运动规律与各种天体轨道
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有兴趣可以去找翻译版来看。【2013】从爱因斯坦到霍金的宇宙_百度文库
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【2013】从爱因斯坦到霍金的宇宙
尔​雅​公​开​课​―​―​从​爱​因​斯​坦​到​霍​金​的​宇​宙​
​
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你可能喜欢美国航空航天局（NASA）15日宣布放弃修复开普勒空间望远镜。“开普勒”由此结束搜寻太阳系外类地行星的主要任务，但它仍可能被用于其他科研工作。 via
第一次被邀请……要好好答……贡献-NASA官网有一个很详细的列表——
从这里可以看见几乎所有开普勒望远镜发现的行星或恒星，以及它们的详细情况。-截取一部分最有特点的发现，来自《Discovery》的编辑Andrew Grant开普勒47：最奇怪的天空 我们银河系中大多数恒星是成对的，天文学家曾怀疑两颗恒星竞相拉扯所以它们周围无法形成行星。结果在2012年8月，开普勒天文学家们发现了一对双星被两颗行星围绕。其中之一开普勒47c 可能是一颗气体巨行星，但所处地位区域温暖得足以支持液态水存在。可能它会有一颗巨大的卫星能够支持生命存在。至少，在这颗行星上能够看到相当别致的双日落。开普勒36：最拥挤这是开普勒最令人吃惊的结果之一，有很多恒星周围近到诡异的轨道上有好几个行星拥挤在一起。恒星开普勒36有两颗行星：一个是比地球略大的岩石构成的内行星，一个是外层的大约海王星大小的气体巨行星。这两颗行星接近时彼此相距不到193万千米——这是地球和它最近的邻居金星之间最小距离的20分之一。开普勒22b：最像地球 这颗行星是2011年12月宣布的，是我们地球直径的2倍，估计表面温度为温和的32度。波多黎各大学的行星宜居性实验室（Planetary Habitability Laboratory）的研究人员将它列为开普勒望远镜发现的最类似地球的行星。开普勒20: 最奇怪的家族 围绕恒星开普勒20的有5颗行星，包括大约地球大小的2颗岩石行星。与我们的太阳系不同，行星类型轮流交替：靠近恒星最近的是一颗气体巨行星，其次是一颗岩石行星，然后一次是气体、岩石和气体。将来更多的数据将会确定我们的太阳系模式是典型的，还是罕见的。开普勒10b: 开普勒望远镜的成名作 开普勒10b是2011年1月宣布的，这是该项目第一次发现的小个子岩石行星，证明了开普勒搜寻行星的超凡技术。但开普勒10b并不是一个适宜生命居住的地点，它距离母星太近，它表面可能是温度高达1500摄氏度的岩浆。-自2009年开始为期三年半的预计任务——2010年8月，科学家确认发现了第一个有多颗行星凌同一颗恒星的行星系统。开普勒－9行星系统打开了一扇大门，让科学家可以通过不同行星凌星时刻上的变化，来测量行星之间的引力相互作用。这种强大的新技术，在许多情况下，能够让天文学家直接从开普勒数据中计算出行星的质量，无需后续地面观测的介入。2011年1月，开普勒团队宣布发现太阳系外第一颗毫无疑问的岩态行星。开勒普－10b的大小只有地球的1.4倍，是半径和质量都被确定的已证实行星中最小的一颗。开普勒的数据仍在不断发现越来越小的行星，有些行星的个头甚至跟火星相当，说明银河系中小个子岩态行星或许是常见的。2011年2月，科学家宣布发现了一个非常拥挤和致密的行星系统，并且有多颗行星发生凌星。开普勒－11拥有6颗比地球大的行星，公转轨道全都在金星围绕太阳的轨道以内。在这个致密的多行星系统以及后来发现的其他类似系统中，行星及邻近行星围绕恒星运行的相对步伐，远远超出了此前科学家的预想。2011年9月，开普勒证实35年前《星球大战》中描述的拥有两颗落日的行星是存在的。开普勒－16b的发现让科幻中的场景变成了现实。自那以来，开普勒还发现了另外6颗围绕双星旋转的行星，证明行星可以在双星系统中形成并且长期存在。2011年12月，开普勒宣布该任务首次发现宜居带中的行星。开普勒－22b的大小大约是地球的2.4倍，是迄今在类似太阳的恒星周围的宜居带中发现的半径最小的行星。这项发现证实，距离发现跟我们的地球一模一样的行星已经越来越近了。2012年2月，开普勒团队宣布发现1000多颗新的凌星行星候选者，候选者总数累计达到2321颗。数据的积累对于辨认在较长周期轨道上运行的较小行星（即类似地球的行星）越来越有利。这些数据还包括了上百个拥有多颗凌星行星候选者的行星系统。不久以前，参与“行星搜寻”项目的民间科学家发现了他们的第一颗行星。“行星搜寻”是耶鲁大学领导的一个项目，让公众能够在开普勒数据中寻找凌星行星的迹象。业余天文学家和专业科学家的联手，发现了第一例围绕双星运行，并且这对双星还在围绕另外一对遥远双星旋转的行星。-开普勒是NASA最伟大的探测项目。如果一定要在后面加上一个“之一”，另外一个就是在历史上更具意义的阿波罗工程。修复工程-关于开普勒望远镜的计划：以上提到了 开普勒望远镜自2009年为期三年半的预计任务早已完成，2012年4月NASA也批准了开普勒再持续四年的超期任务-事实上超期任务持续到今年五月，第一个动量轮就已经发生故障，——At our semi-weekly contact on Tuesday, May 14, 2013, we found theKepler spacecraft once again in safe mode. As was the case earlier this month, this was a Thruster-Controlled Safe Mode. The root cause is not yet known, however the proximate cause appears to be an attitude error.We attempted to return to reaction wheel control as the spacecraft rotated into communication...but reaction wheel 4 remained at full torque while the spin rate dropped to zero. This is a clear indication that there has been an internal failure within the reaction wheel, likely a structural failure of the wheel bearing. The spacecraft was then transitioned backto Thruster-Controlled Safe Mode.——We attempted to return to reaction wheel control as the spacecraft rotated into communication, and commanded a stop rotation. Initially, it appeared that all three wheels responded and that rotation had been successfully stopped, but reaction wheel 4 remained at full torque while the spin rate dropped to zero. This is a clear indication that there has been an internal failure within the reaction wheel, likely a structural failure of the wheel bearing. The spacecraft was then transitioned back to Thruster-Controlled Safe Mode.An Anomaly Review Board concurred that the data appear to unambiguously indicate a wheel 4 failure, and that the team's priority is to complete preparations to enter Point Rest State. Point Rest State is a loosely-pointed, thruster-controlled state that minimizes fuels usage while providing a continuous X-band communication downlink. The software to execute that state was loaded to the spacecraft last week, and last night the team completed the upload of the parameters the software will use.The spacecraft is stable and safe, if still burning fuel. Our fuel budget is sufficient that we can take due caution while we finish our planning. In its current mode, our fuel will last for several months. Point Rest State would extend that period to years.We have requested and received additional NASA Deep Space Network communication coverage, and this morning the Anomaly Review Board approved the transition to Point Rest State later today. Because this is a new operating mode of the spacecraft, the team will closely monitor the spacecraft, but no other immediate actions are planned. We will take the next several days and weeks to assess our options and develop new command products. These options are likely to include steps to attempt to recover wheel functionality and to investigate the utility of a hybrid mode, using both wheels and thrusters.With the failure of a second reaction wheel, it's unlikely that the spacecraft will be able to return to the high pointing accuracy that enables its high-precision photometry. However, no decision has been made to end data collection.Kepler had successfully completed its primary three-and-a-half year mission and entered an extended mission phase in November 2012.Even if data collection were to end, the mission has substantial quantities of data on the ground yet to be fully analyzed, and the string of scientific discoveries is expected to continue for years to come.1.一轮失效，二轮定位精度不能恢复2.燃料预算无异于倒计时-先了解开普勒的大致结构——【待编辑……【待编辑……-关于动量轮（reaction wheel）：卫星或宇宙飞船在太空中需要精确定位，动量轮是卫星或宇宙飞船姿态控制的关键部件，一半每个宇宙飞船上有三个或四个动量轮，这些动量轮虽然体积小，但是它们的角动量占了宇宙飞船总角动量的绝大部分，动量轮实质上就像电机的转子具有很高的转动惯量。【待编辑……-开普勒卫星位于太阳轨道上，太阳轨道半长轴约7200公里。想要修复它有多难？ 让我们来回忆一下当年哈勃望远镜的维护：1.第一次维护任务-1993.12-奋进号2.第二次维护任务-1997.02-发现号3.第三次维护任务(3A)-1999.12-发现号4.第四次维护任务(3B)-2002.03-哥伦比亚号5. 最后的维护任务--亚特兰蒂斯号哈勃望远镜是设置在地球轨道上，相比较太阳轨道高度比地球轨道高出不止是一两个数量级，而且以上哈勃的修复都是依靠宇航员乘坐航天飞机定期维护。但现况是最后的 “亚特兰蒂斯号”航天飞机在肯尼迪航天中心安眠两年了，而且开普勒位于的太阳轨道高度，纵使航天飞机也不能达到。【各种待编辑……
这个要说贡献嘛。太多了 说几个重要的。。。。。1.开普勒望远镜的一系类早期发现包括围绕恒心开普勒-9运行的两颗行星。开普勒-9b与9c是该任务发现的第一个多行星系，这些土星大小的行星围绕主星运行一周分别要19~38天。稍后的观察证实，另一颗超级地球大的行星也位于这个恒星系中。自此，开普勒发现了许多接近我们太阳系的恒星系，其中的纪录保持者是开普勒-11
他有六颗行星。。。。2.开普勒一直在找地球大小的行星，开普勒-10是第一个被证实像地球的岩石世界半径为地球的1.4倍 且他围绕主星的周期为1天不到，表面温度为160w,足以溶解黄金。通过开普勒的超精度测量数据可以确定这个行星的质量为地球的4.6倍，与普通哑铃密度相似。。。。3.开普勒的主要任务是确定有多少颗恒星可居住带内存在地球大小的行星。第一批——————开普勒-20e、开普勒-20f，标志着该任务渡过了一个重要的转折点。这些行星的半径为地球的0.87倍和1.03倍但由于他们距离主星太近，可能不具备居住性。他们距离地球的距离大约为1000光年的天琴座五星系里。（上图为开普勒拍到的行星极光，行星极光是系外行星很特别的现象，拥有类似于地球的行星磁场遇到恒星风时就会形成令人眼花缭乱的极光）。。。。4.开普勒-22b是迄今为止发现的距离地球最近的行星。这颗距离我们600光年的行星半径大约为地球的2.4倍，他围绕一颗像太阳的恒星公转。此外，它与其母星的距离比地球距离太阳的距离少15%，轨道半径是地球的85%，围绕主星运行一周大约需要290天。从其母星发出的光能量要比太阳少25%。距离和光能量的状态组合在一起，就使行星表面有适合生命生存的温度。科学家预测，如果该行星有大气层，其表面温度为22℃左右，就可能会有一个巨大的温暖海洋，甚至可能有生命存在。。。。（超级地球是指一种体积比地球大一点的系外行星，如上图）。。。。 5.一颗行星存在于一个拥有四个太阳的恒星系统中。图片来源：Haven Giguere/Yale University　　普通的人们发现了一个非凡的世界：一颗比海王星大但比土星小的巨大行星，存在于一个拥有四个太阳的恒星系统中。　　平民科学家们通过分析来自开普勒太空望远镜的数据发现了这颗行星。随后，专业天文学家证实了这个发现，并将研究结果提交给了《天体物理学》杂志。这颗被称为PH1的行星围绕着四个太阳中的两个旋转，这里是展现的特写镜头：一个是黄白色的F型恒星，比我们的太阳稍稍温暖些，也更加明亮；另一个在11点钟方向，是一颗红矮星，比太阳的温度要低，也更暗些。　　这两颗恒星每隔20天相互环绕运行一周。这颗行星是4点钟方向上的圆形黑点。（其他地方的黑色斑点是恒星黑子）行星每138天环绕这两颗恒星一周——比水星慢（88天），但比金星快（225天）。　　在10:30方向，第二个双星系统出现了，其与前两个恒星的距离大约是冥王星到太阳距离的30倍远。　　在这颗行星一年之中的某些时候，这些遥远的太阳在白天照耀着；但是在其他的时候，它们照亮了这颗行星的夜晚。。。
至于修复问题。。。
美国航天局(NASA)15日表示无法修复开普勒太空望远镜，因此正在判断以其仅剩的一半能力能完成何种科学研究。　　这架无人驾驶的航天器于2009年发射，目的是为了搜寻围绕类日恒星可居住区域轨道而行的由岩石构成的行星———换而言之，也许存在生命的类似地球的行星。　　据开普勒项目首席研究员威廉·博鲁茨基介绍，迄今为止，它已从头两年的数据中发现了3500颗候选行星，包括好几百颗与地球大小相近的行星。　　他说，将需要长达三年的时间来仔细钻研开普勒已收集的发现结果。开普勒通过研究恒星以及通过它们面前的行星发出的遥远信号来收集信息。　　博鲁茨基说：“我们真的期待在未来几年，当我们在搜索所有这些数据时，将有最令人兴奋的发现。”　　2012年7月，NASA报告说，开普勒的4个反应轮中有一个坏了，随后在今年5月，又有一个坏了。反应轮是用来帮助航天器定向的。　　开普勒项目副经理查尔斯·索贝克说：“车轮损坏，无法维持航天器的精确对准和控制。”　　在未来数月将进行两项研究，以确定步履蹒跚的开普勒能进行何种科学研究，也许可以搜寻彗星或小行星。　　当完成这些研究时，NASA将进行一项成本收益分析，以确定开普勒研究是否应该继续，或者资金最好用于其他项目。　　NASA在2013财年划拨了1800万美元给开普勒项目。。。。。
开普勒望远镜 不退休不行了 结束搜寻太阳系外类地行星的主要任务，可能用于其他科研。据新华社华盛顿8月15日电 在经过数个月的努力后，美国航天局15日宣布放弃修复“开普勒”太空望远镜。“开普勒”由此结束搜寻太阳系外类地行星的主要任务，但它仍可能被用于其他科研工作。
美国航天局在一份声明中说，“开普勒”共有4个反应轮，主要是帮助控制望远镜的方向，需要启动其中3个才能搜寻系外行星，但去年坏了1个，今年5月又有一个无法工作。此后，美国航天局开始尝试进行修复，但工程师们的努力均没有成功。
尽管“开普勒”无法再搜寻系外行星，但美国航天局认为它也许还可以用于其他科研工作，接下来将研究应给只有两个反应轮工作的“开普勒”指派什么样的任务。
“开普勒”于2009年3月发射升空，是世界上首个专用于搜寻太阳系外类地行星的航天器，耗资6亿美元。其任务期原定为3年半，但美国航天局去年4月宣布延长。在太空期间，“开普勒”发现了3500多个“行星候选者”，确认了135个系外行星。。。。。。
美国国家航空航天局正打算放弃对开普勒天文望远镜的修复。美国宇航局将致力于分析在过去四年间在我们银河系寻找类地行星收集到的数据。开普勒是2009年升空的，它的任务是在适合居住区里或附近找到类地行星。这个区域要围绕在类似太阳的行星，在星球的表面存在水。这个任务的首要调查员说开普勒真的是非常成功。“在任务开始之初，没有知道在我们银河系地球大小的星球是多还是少。现在，开普勒的观测任务已经完成，我们知道我们银河系里有数之不尽的行星。”William Borucki说“这是可能的，夜晚当你抬头仰望天际，满天繁星，大部分天体函有行星。”开普勒发现了135个行星和超过3500个的类地行星候选，这些星球幅员辽阔有足够的绕行距离。这些行星大部分和地球一般大小。4年任务在2012年时被延长了，但是在上周结束了，工程师无法成功修复两个坏了的反作用轮，反作用轮能够使望远镜精确定位。该项目的副负责人Charles Sobeck说该决定是对的。“反作用轮严重受损，它们再也不能控制航天器的转向。”因为它的观测能力受限，开普勒工作小组正试图寻找望远镜能够胜任的其他任务。可能是利用两个能够工作的反作用轮和推进器进行外太空搜寻工作。美国航空航天局已经向科学界寻求意见。“它们不是提议，它们不需要经费，”Borucki说“它们是一些想法，我们会看看这些想法是否可行，这些想法的开销是否在合理范围内”开普勒的科学任务没有结束，科学团队正致力于航天器在过去4年收集到的数据的分析，Borucki期望是即使没有上千类地行星的发现也有上百收获。“在未来的几年，当我们完成数据的分析我们可以肯定的回答一直激励着开普勒任务的问题，地球是否是银河系的唯一”。。。。。。
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轨道计算是一种粗略测定天体轨道的方法。在轨道计算中﹐人们事先不必对天体轨道作任何初始估计﹐而是从若干观测资料出发﹐根据力学和几何条件定出天体的初始轨道﹐以便及时跟踪天体﹐或作为轨道改进的初值。为了计算六个轨道要素（见二体问题）﹐至少必须有三次光学观测﹐因为每次观测只能得到天体坐标的两个分量。
轨道计算是从研究的运动开始的。在牛顿以前﹐对天体运动的研究基本上带有几何描述的性质。第谷首先试图计算彗星轨道﹐但未获成功。困难在于只能观测彗星的方向﹐而不知道它同地球的距离﹐由于缺少力学规律的指引﹐无法根据这些定向资料求得天体的空间轨道。在运动定律和定律发现螬o有了力学解释﹐得到了椭圆运动的严格数学表达式﹐终于能利用少数几次时间相隔不长的观测来测定彗星的轨道。拉普拉斯方法 第一个正式的轨道计算方法是牛顿提出的。他根据三次观测的资料﹐用图解法求出天体的轨道。哈雷用这个方法分析了年间出现的24颗彗星﹐发现1531年﹑1607年和1682年出现的彗星是同一颗彗星﹐它就是有名的哈雷彗星。在这以后﹐欧拉﹑朗伯和等人也在轨道计算方面做了不少研究。拉普拉斯于1780年发表第一个完整的轨道计算的分析方法。这个方法不限制观测的次数﹐首先根据几次观测﹐定出某一时刻天体在天球上的视位置（例如赤经﹑赤纬）及其一次﹑二次导数﹐然后从这六个量严格而又简单地求出此时天体的空间坐标和速度﹐从而定出圆锥曲线轨道的六个要素。这样﹐拉普拉斯就将轨道计算转化为一个微分方程的初值测定问题来处理。从分析观点来看这是一个好方法﹐然而轨道计算是一个实际问题﹐要考虑结果的精确和计算的方便。拉普拉斯方法在实用上不甚方便。由于数值微分会放大误差﹐这就需要用十分精确的观测资料才能求出合理的导数。尽管许多人曾取得一定进展﹐但终究由于计算繁复﹐在解决实际问题时还是很少使用。奥伯斯方法和高斯方法[1] 与拉普拉斯不同﹐奥伯斯和高斯则认为﹐如果能根据观测资料确定天体在两个不同时刻的空间位置﹐那么对应的轨道也就可以确定了。也就是说﹐奥伯斯和高斯把轨道计算转化为一个边值测定问题来处理。因此﹐问题的关键是如何根据三次定向观测来定出天体在空间的位置。这既要考虑轨道的几何特性﹐又要应用天体运动的力学定律。这些条件中最基本的一条是天体必须在通过太阳的平面上运动。由于从观测掌握了天体在三个时刻的视方向﹐一旦确定了轨道平面的取向﹐除个别特殊情况外﹐天体在三个时刻的空间位置也就确定了。轨道平面的正确取向的条件是所确定的三个空间位置能满足天体运动的力学定律﹐例如面积定律。
彗星轨道大都接近抛物线﹐所以在计算轨道时﹐常将它们作为抛物线处理。完整的抛物线轨道计算方法是奥伯斯于1797年提出的。他采用牛顿的假设﹐得到了彗星地心距的关系式﹔再结合表示天体在抛物线轨道上两个时刻的向径和弦关系的欧拉方程﹐求出彗星的地心距﹔从而求出彗星的抛物线轨道。到现在为止﹐奥伯斯方法虽有不少改进﹐但基本原理并没有变﹐仍然是一个常用的计算抛物线轨道的方法。
日﹐皮亚齐发现了第一号(）﹐不久高斯就算出了它的椭圆轨道﹐他的方法发表于1809年。高斯使用逐次近似法﹐先求出天体向径所围成的扇形面积与三角形面积之比﹐然后利用力学条件求得天体应有的空间位置﹐再从空间位置求得轨道。高斯不仅从理论上﹑而且从实际上解决了轨道计算问题。可以说﹐用三次观测决定轨道的实际问题是高斯首先解决的。高斯以后﹐虽然有人提出一些新方法﹐但基本原理仍没有变。人造卫星轨道计算 计算小行星轨道的经典方法﹐原则上都能用来计算人造卫星的轨道。在考虑到人造卫星的运动特点之后﹐又提出了一些新的方法。人造卫星运动快﹐周期短﹐记时误差对轨道计算结果影响显著。巴特拉科夫在高斯方法的基础上﹐用增加观测资料的办法﹐对记时有误差的轨道计算法作了改进。近地卫星一天绕地球飞行十多圈﹐容易从观测定准它的周期﹐因而也就知道了轨道半长径﹐相应地提出了已知半长径的轨道计算法。人造卫星离地球近﹐视差现象明显﹐利用两站或多站同步观测容易求得卫星地心距﹐可以简化经典计算方法。针对卫星摄动影响大的情况﹐又出现了考虑摄动的轨道计算法。尽管这些方法多种多样﹐仍不外乎从观测资料求得两个点的向径﹐或一个点的向径和速度﹐从而得到轨道要素。
通过对人造卫星激光测距和多普勒测速﹐利用多站同步观测﹐或结合光学观测等方法﹐可以直接得到卫星的向径和速度﹐从而求得卫星的轨道。应用高速电子计算机﹐可以进行复杂的迭代运算。因此﹐目前更多的是综合各种类型的观测资料作轨道改进﹐而不把精力放在初始轨道的计算上。现代技术条件已能使入轨后的卫星轨道同预定轨道相差不大。这样﹐预定轨道就能作为初始轨道使用。P.R. Escobal﹐Methods of Orbit Determination﹐J.Wiley and Sons﹐New York﹐1965.
A. D. Dubyago﹐ The Determination of Orbits﹐Macmillan Co.﹐New York﹐1961.
月球轨道的计算：计算机可精确地求解星球运动微分方程。本算法适用于用计算机求解任意多体问题的星球运动微分方程，也能精确地确认万有引力公式本身和实际情况的相差程度。以地球绕日运行为例，为叙述方便，以下用矢量形式表达。
因为其中M太为太阳质量，M地为地球质量，G为万有引力恒量，a为地球加速度，为单位矢量。所以我们可按等时间间隔dt（即等步长），以微分形式从地球的初值点逐点向下推算。设t=0时，地球的初值点为r0,v0和于是，地球经dt时间从初值点到达第一点，递推式为,
由于dt是人为设定的，是已知的，因此地球到达1点的近似值v,r和a可由上式算出，算出1点值后，可把1点值作为初值，按步长dt继续推算出下一点的值，如此，可推算到第n点。由于dt值取得越小，递推的精度越高，我们可据此来控制计算误差。
设要计算地球在t=T时的r值，要求计算误差为e，t=0时的初值r0,a0,v0为已知。我们可将0到T的时间间隔划分为n个dt，即令计算步长dt=T/n，然后根据上述，按步长dt从t=0时的初值点推算到t=n·dt=T时的r值。然后将dt二分，即令计算步长dt1=dt/2，再按此新步长值dt1从t=0时的初值点算到t=2·n·dt1=T时的r值为r2，比较一下二分前后的r值，即看一看是否满足条件r2 - r&e，若满足条件，则r2的值即为所要求的r值，若不满足条件，则继续二分，按新的步长值再从t=0时的初值点算到t=T时刻，直到新算出的r值满足条件r2 - r&e，其中r和r2分别为二分前后的r值。注意，上面所说的矢量比较包含其大小比较和其方向比较。
以上为矢量表达，实际计算中，可将矢量v,r，a分别在x,y轴上投影，可得vx,vy,rx,ry,ax,ay。于是，它们的初始值分别为v0x,v0y,r0x,r0y,a0x,a0y。下面给出地球从初值点经dt时间运行到下一点的递推式，
控制误差范围的条件为分别为二分前后在x,y方向的r值。
以上仅为计算机计算地球轨道的原理。实际上，每二分一次，从0到T时间范围内的dt数量将增加一倍，计算机计算的工作量也将增加一倍。由于计算机的计算速度有限，因此二分次数也是有限的。为提高计算精度，减少计算机的计算工作量，有一些标准化的方法（注1），在此不再熬述。
由上述可知，计算机计算星球轨道主要有两个要点。一是列出递推式，二是确定误差范围的条件。
月球轨道计算见下页。
注释1：参见“计算机数值计算方法及程序设计”一书。该r书由周煦编著。于2004年10月由机械工业出版社出版。由于地球的运动直接影响月球的运动，因此，先来分析一下地球的受力，如图1-3所示。
在图1-3中，o2x2y2z2坐标系是动坐标系，原点在地球中心。该坐标系跟随地球作平动，且三个坐标轴x2,y2,z2始终分别平行于x,y,z三个坐标轴。r1 是地球的位置矢量，r是月球的位置矢量，r2 是月球相对地球的位置矢量。
F月地是月球对地球的引力，F太地是太阳对地球的引力。设r1 与x,y,z轴的夹角分别为α1，β1，γ1，r与x,y,z轴的夹角分别为α，β，γ，r2 与x2,y2,z2轴的夹角分别为α2，β2，γ2，则，地球在x,y,z方向所受合力为：
因此，地球在x,y,z方向的加速度：
月球的受力如图1-4所示。月球在x,y,z方向所受合力为：
其中，F太月为太阳对月球的引力，F地月为地球对月球的引力。因此，月球的加速度为：
设a的初值为的初值为这样，地球和月球从各自的初值点同时出发，经dt时间后，地球就到达了它的下一点于是可得如下递推式：
（见下页）
控制计算误差的6个条件为：
其中分别为二分前后算出的地球坐标。再次说明一下，以上月球轨道的计算仅是计算机计算原理，实际编程应采取一些标准化方法，以提高计算精度，减少计算机的计算工作量。
目前，在月球轨道计算上，我已做到了，一天的计算误差e&0.001米（即在x,y,z轴方向的计算误差e），也就是说一年的计算误差e&365×0.001=0.365米。要核实万有引力公式本身和实际情况的相差程度，可取两组实际观测值，一组观测值作为计算的初值，另一组观测值作核实之用，即核实用万有引力公式来计算的星球轨道的准确程度。下面采用一组实际观测值（注2）作为计算初值，让计算机来计算一下月球的轨道。初值为：以上计算的时间范围是2006年。月球轨道半径最大和最小值都是指平均值。观测值由紫金山天文台的工作人员提供。以上计算取计算时间t=366天，坐标计算误差e& 0.366米。计算周期时，时间计算误差小于0.05秒。由于天文台提供的月球数据是相对地球坐标系的，地球坐标系和本文所述的动坐标系的关系是，将地球坐标系的yz平面以x轴为转轴旋转一个黄赤交角，就是本文所述的动坐标系。本文取黄赤交角为2326′。
注释2：作为计算初值的观测值的对应时刻为，2006年北京时间3月15日7时47.5分。该时刻恰好为半影月食的食甚时刻。为方便计算， 本文把该时刻定为零时刻。
下面给出从2006年3月月食食甚时刻计算到9月月食食甚时刻的地球和月球坐标。数据如下。
地球坐标（单位：米）二十世纪初等提出的空间量子化(轨道量子化）理论，在物理界引起了一场深刻的革命，从此人们认为在微观和宏观之间有着不可逾越的鸿沟。实际上，如果我们引入了时间量子化概念，便会发现微观和宏观之间有着深刻的、奇妙的联系。
难以想像在数学形式完全一样的引力场中运动的物体怎么会有迥异的轨道性质，让我们作个一般假设：在引力场
V1/r=－P/r (P为和系统有关的常数）
作用下，在其中作轨道运动的物体当其轨道满足下式时，或者更确切地说当其轨道在下式所规定的附近时，其轨道的稳定性有一小而尖的峰值：
an=n2a0,(n=1,2,3……），　 ⑴
Tn=n3T0,(n=1,2,3……），　 ⑵
其中a0、T0为和系统有关的常数，an、Tn为第n号轨道的半长径、周期。
当V1/r是由类氢原子核产生的库仑场时，上式和玻尔的第一、二假设是相当的，可以互相推出，在此就不必验证了。
当V1/r是由中心天体产生的牛顿场时，笔者发现可由下式确定a0、T0：
a0 = k1M 1 ，　 ⑶
T0 = k2M 2 ，　 ⑷
其中M 为中心天体的质量，常数
c1 =0.0 ，k1 =1.978×10-12
c2 =0.5 ，k2 =2.141×10-12。⒈　 恒星-行星系统
由表1可看出式⑴的结果要比玻得定则的好，然而不如其变种贝拉格和里查逊公式，但它们都硬性规定系数，形式繁杂，物理意义不明显，近乎数学游戏。
还有与玻得定则及其变种不同的是，式⑴所取的n值不连续。这是缺憾吗？显然我们该想到彗星和小行星的轨道，它们也满足式⑴成立的先提条件。
表2中有多个彗星占据一个轨道号的情况，这就是常说的轨道带，——是否对应量子力学的‘能级简并’？
⒉ 行星-卫星系统
表3、4给出了木卫系统和天卫系统的验证。
读者可能已经发现，轨道带卫星的偏心率明显地比单独占有一个轨道的卫星的大；而在太阳系内偏心率大的天体一般也是轨道带天体。多么奇妙的相似！显然有其内在联系。
⒊　 星系团系统
如果伴星系的确是绕中心星系作轨道运动的，那么表5所给出的结果的确令人振奋。其中a0值由观测值拟合得到，M值则由式⑶反推得到。
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