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古希腊在人类文明史上，占有特殊的地位。它的社会组织形态，它的经济生活，它的哲学、艺术、科学，它的民风民俗，乃至于它的体育竞技都给人类文明以深刻的影响。公元前5、6世纪，特别是希波战争以后，雅典取得希腊城邦的领导地位，经济生活高度繁荣，生产力显著提高，在这个基础上产生了光辉灿烂的希腊文明。 从古代埃及、巴比伦的衰亡，到希腊文化的昌盛，这个过渡时期留下来的数学史料很少。但我们知道，希腊数学的兴起和希腊商人通过旅行交往接触到古代东方的文化有密切关系。 商业的发达，使商人有强大的社会政治力量，加之商业具有强烈的流动性与交互性，这些都有利于思想的自由发展与传播。城邦的林立和内部的斗争，使大范围的禁锢与专制难以建立。在希腊没有特殊的祭司阶层，也没有必须遵守的教条，因此有相当程度的思想自由。这大大有助于科学和哲学从宗教分离开来，获得独立的发展。 在这种发展中一些著名的学者与思想家相继出现。 泰勒斯是公认的希腊哲学鼻祖，以后创立伊奥尼亚哲学学派，摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，以水为万物的本源。泰勒斯同时也研究天文和数学，泰勒斯在数学方面的贡献是开始了命题的证明，它标志着人们对客观事物的认识从感性上升到理性，这在数学史上是一个不寻常的飞跃。 古希腊数学史中另一个重要人物是毕达哥拉斯。毕达哥拉斯学派企图用数来解释一切，不仅仅认为万物都包含数，而且说万物都是数。他们以发现勾股定理（西方叫做毕达哥拉斯定理）闻名于世，又由此导致不可通约量（无理数）的发现。这个学派还有一个特点，就是力图将算术和几何联系起来。他们找到用三个正整数表示直角三角形三边长的一种公式，又注意到从l起的连续的奇数和必为平方数，等等，这既是算术问题，又和几何有关。他们还发现五种正多面体。 伊奥尼亚学派和毕达哥拉斯学派有显著的不同。前者研习数学并不单纯为了哲学的兴趣，同时也为了实用。而后者却不注重实际应用，想通过数学去探索永恒的真理。
公元前5世纪，雅典成为人文荟萃的中心，人们崇尚公共与开放的精神。在公开的讨论或辩论中，必须具有雄辩、修辞、哲学及数学等知识，于是“智人学派”应运而生，他们以教授文法、逻辑、数学、天文、修辞、雄辩等科目为业。 他们提出“三大数学问题”：①三等分任意角——对任意角，将其三等分；②倍立方——求作一立方体，使其体积是已知立方体的二倍；③化圆为方——求作一正方形，使其面积等于一已知圆。这些问题的困难在于，作图只许用直尺（没有刻度的尺）和圆规。希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题，这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。这些问题在人类的数学史和思想史上都有特别的意义。这些问题难倒了人类上千年，直到近代才被证明在那样的限制之下，那些问题是无解的。人们从而懂得了智慧的界限，并进而研究这种界线，以新的方式去突破这种界线。 公元前3世纪，柏拉图在雅典建立学派，创办学园。他非常重视数学，强调数学在训练智力方面的作用。他主张通过几何的学习培养逻辑思维能力，因为几何既需要严密的推理又能给人以强烈的直观印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中。 这个时期的希腊数学还有以芝诺为代表的埃利亚学派，他提出四个悖论，给学术界以极大的震动。这四个悖论是：①二分说，一物从甲地到乙地，永远不能到达。因为想从甲到乙，首先要通过道路的一半，但要通过这一半，必须先通过一半的一半，这样分下去，永无止境。结论是此物的运动被道路的无限分割阻碍着，根本不能前进一步；②阿基琉斯（善跑英雄）追龟说，阿基琉斯追乌龟，永远追不上。因为当他追到乌龟的出发点时，龟已向前爬行了一段，他再追完这一段，龟又向前爬了一小段。这样永远重复下去，总也追不上；③飞箭静止说，每一瞬间箭总在一个确定的位置上，因此它是不动的；④运动场问题，芝诺论证时间和它的一半相等。这些悖论困惑人们近两千年，在微积分理论被严格建立以后，才被合理地阐释。 公元前4世纪以后的希腊数学，逐渐脱离哲学和天文学，成为独立的学科。数学的历史于是进入一个新阶段——初等数学时期。这个时期的特点是，数学（主要是几何学）已建立起自己的理论体系，从以实验和观察为依据的经验科学过渡到演绎的科学。由少数几个原始命题（公理）出发，通过逻辑推理得到一系列的定理。这是希腊数学的基本精神。 从公元前4世纪到公元前146年古希腊灭亡之前，希腊数学以亚历山大为中心，达到它的全盛时期。这里有巨大的图书馆和浓厚的学术空气，各地学者云集在此进行教学和研究。其中成就最大的是亚历山大前期三大数学家欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯。 欧几里得的《几何原本》是一部划时代的著作，其伟大的历史意义在于它是用公理法建立起演绎体系的最早典范。过去所积累下来的数学知识，是零碎的、片断的，可以比做砖瓦木石，只有借助于逻辑方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，整理在一个严密的系统之中，才能建成宏伟的大厦。《几何原本》体现了这种精神，它对整个数学的发展产生深远的影响。 阿基米德是物理学家兼数学家，他善于将抽象的理论和工程技术的具体应用结合起来，又在实践中洞察事物的本质，通过严格的论证，使经验事实上升为理论。他根据力学原理去探求解决面积和体积问题，已经包含积分学的初步思想。阿波罗尼奥斯的主要贡献是对圆锥曲线的深入研究。 除了三大数学家以外，埃拉托斯特尼的大地测量和以他为名的“素数筛子”也很出名。天文学家喜帕恰斯制作“弦表”，是三角学的先导。 公元前146年以后，在罗马统治下的亚历山大学者仍能继承前人的工作，不断有所发明。海伦（约公元62年）、门纳劳斯（约公元100年）、帕普斯等人都有重要贡献。天文学家托勒密将喜帕恰斯的工作加以整理发挥，奠定了三角学的基础。 晚期的希腊学者在算术和代数方面也颇有建树，代表人物有尼科马霍斯（约公元100年）和丢番图（约公元250年）。前者是杰拉什（今约旦北部）地方的人。著有《算术入门》，后者的《算术》是讲数的理论的，而大部分内容可以归入代数的范围。它完全脱离了几何的形式，在希腊数学中独树一帜，对后世影响之大，仅次于《几何原本》。 然而，暴政终于扼杀了光辉灿烂的古希腊数学。公元325年，罗马帝国的君士坦丁大帝开始利用宗教作为统治的工具，把一切学术都置于基督教神学的控制之下。 公元529年，东罗马帝国皇帝查士·丁尼下令关闭雅典的柏拉图学园以及其他学校，严禁传授数学，许多希腊学者逃到叙利亚和波斯等地。公元641年，亚历山大被阿拉伯人占领，图书馆再次被毁。 暴政、专制、迷信、思想的囚禁，使辉煌的希腊数学遭受致命的打击。类似地，整个西欧文明也停滞倒退，走入了史称的黑暗时代。
世界上的元素有100多种，元素符号就是我们区分它们的最好方法。元素符号是怎么产生的？还有，这么多化学元素，它们的中文名称又是如何确定的呢？ 前面说过，在玻意耳和拉瓦锡等人给出元素的科学定义之后，人们对元素的认识进入了一个新的阶段。随着人们对自然界的认识越来越深入，化学家们发现：作为化学反应中的最基本单元，元素在数量上绝不止四五种。此后，新的化学元素不断问世。 有了这么多元素，该怎么称呼它们呢？一开始，各国的科学给出了自己的元素名称。可是，这种混乱的状况非常不利于不同国家的科学家在一起进行学术交流。于是，一种通用的国际化语言——元素符号就应运而生了。 ●最早的化学符号
元素符号是化学符号体系的基础。说到化学符号，其起源可追溯到古埃及。古埃及是化学最早的发源地之一，现代英语中的“化学”一词就来源于古埃及的国名“chemia”。早在5 000多年前，古埃及人就学会冶金了，他们知道了金、铜、铁、银和铅等金属，还懂得如何冶炼青铜（铜锡合金）。后来，古埃及人制造玻璃、釉陶和其他材料的工艺日益完善，还发展了天然染料的提取技术。最初，这些技术是靠父子或师徒之间口传心授的，没有留下文字记载。随着文字的产生和技术发展的需要，古埃及人认为有必要将一些化学配方和工艺记录下来，以备查阅和传之后代。为了保密，以免技术落入外人之手，一些关键性的物质、设备和工艺都不能用通用的文字表达，而需借助于一些特定的，只有自己人才能看懂的符号。其中表示物质的符号就是最早的化学符号。但因年代久远，记录材料落后，古埃及时所用的化学符号是什么样子，现在很难知道了。
在古希腊，人们把已知的7种金属与日、月和五大行星联系起来，用行星的形象符号表示金属元素，如太阳=金、月亮=银、火星=铁、金星=铜，等等。这也许可以算是元素符号的雏形了。
1世纪前后，炼金术兴起了。在长期的炼金活动中，炼金术士们为了记录自己的成果，同时还能对公众保密，发展了一整套符号体系，包括用一些图画符号来表示元素和化合物。不过，炼金术士们所用的符号带有浓厚的神秘色彩，而且因时因地有一定差异。总体来说，其演变过程基本上是由复杂趋于简单，由不规整趋于规整，但始终保留着图形符号的形式。由于当时所知道的物质不太多，而且从事炼金术的只是少部分人，这种符号的不方便和难以传播等缺点还不太突出，以至于仍被早期的化学家们所沿用。
17世纪中叶，在玻意耳提出科学的元素概念之后，化学终于冲破了炼金术的羁绊，走上了科学的道路。化学家们在化学的理论和实践上都取得了长足的进展，陆续发现了许多新元素，不过，这时化学家们所用的仍是炼金术符号。即使是“近代化学之父”拉瓦锡，也一直沿用着与实际物质成分毫不相干的炼金术符号，学生只有靠死记硬背才能掌握他所接触的物质名称。
随着新发现的化学物质不断增多，沿用了2 000年之久的炼金术符号已完全不适于表达物质的组成，对化学的发展与传播起着越来越大的阻碍作用。为解决这一难题，1782年，法国化学家德·莫沃(Guyton de Morveau，)发表了一篇论文，论述了统一化学命名法。这篇文章发表后，得到了拉瓦锡等人的大力支持，1787年，德·莫沃与拉瓦锡等人发表《化学命名法》，规定每种物质须有一固定名称，单质的名称应反映它的特征，化合物的名称应反映它的组成，从而为单质和化合物的科学命名奠定了基础。1783年，贝格曼()首先提出用符号表示化学物质，如将硫化铜这种物质用硫和铜的符号联起来表示。
1803年，道尔顿创立了化学原子论0 1808年，道尔顿首先设计了一整套完整的元素符号。道尔顿认为，简单原子都是球形的，所以他的元素符号都是圆圈，或在圆圈内标出一些字母。他用各式各样的圆圈，再加上各种线、点和字母，来表示各种化学元素的原子，用不同的原子组合起来表示化学式。从此，化学符号的演变就一直与原子论的发展紧密相连。
道尔顿认为简单原子都是球形的，所以他的元素符号都是用圆圈的方法来表示元素，再将这些基本元素符号组合成各种化合物符号。
道尔顿的圆圈形元素符号具有鲜明简单的图案，又与设想的球形原子形状相似，并可用图形表示化合物中原子的排列，因此很容易被人们接受。从此，沿用了2000年的炼金术符号终于退出了化学舞台，如今只有在有关化学史的书中才能见到了。
不过，道尔顿的元素符号虽然具有统一的形状，比起炼金术符号要简单、系统得多，但仍没脱去图形符号的巢臼，不好记，比旧的炼金术符号好不了多少。那时已知元素只不过二三十种，用这些符号来表示尚有可能，后来发现的元素种类逐渐增多，他所设计的元素符号就越来越显得笨拙、繁杂了。
显然，道尔顿采用的符号仍然没有跳出象形文字的圈子，可想而知，这些符号仍然既不易识别，也不易记忆。但是，它也有一个优点，就是用一个符号表示一个原子，化合物的化学式则由元素符号组成，从而表明复杂原子是如何由简单原子组成的。
●元素符号的产生
我们现在使用的现代形式的元素符号，是1813年由瑞典化学家贝采利乌斯(JonsJacob Berzelius，)提出的。
贝采利乌斯是19世纪一位赫赫有名的化学权威。他不但发现和首次制取了硅、铣、硒等好几种元素，还以氧作标准测定了40多种元素的相对原子质量。不过，他在化学领域中影响最大的贡献是，提出了用字母作为符号来表示各种化学元素。
贝采利乌斯认为，用字母作为元素符号，不但容易记忆，而且书写起来极其容
易，也对书刊印刷提供了很大的便利。于是，他抛弃了道尔顿所用的图形符号，用化学元素拉丁文名称的第一个字母的大写作为该元素的符号，例如氧气的符号O，就是其拉丁文名称oxygenium的首字母。如果有几种元素拉丁文名称的第一个字母相同，就加上另外一个小写字母以示区别，如Na与Ne、Ca与Cd、Au与Al等，这就是一直沿用至今的元素符号。
贝采利乌斯还建议将化合物的组成用元素符号表示，并用指数的形式表示化合物中元素原子的数目，如S02、P205等。他的表示方法与我们现今所采用的方法的差别，仅仅在于他将阿拉伯数字放在元素符号的右上角，而现在通用的方法是把数字放在元素符号的右下角。
与道尔顿相比，贝采利乌斯的元素符号简单明确，既能表示元素的相对原子质量，又能用化学式明确且直观地表现和解释化合物的原子组成，而且为世界各国的化学家提供了一种通用的符号，有利于化学的交流和发展。但是，他的化学符号未能很快地被化学界普遍接受，甚至一些化学家在书中应用了贝采利乌斯的化学符号，却还要向读者表示歉意。
为什么会出现这种奇怪的情况呢？原来，当时还没有找到一个确定化合物中原子组成比的合理办法，相对原子质量的测定也处于混乱状态，因此，化学符号的应用就自然而然地处于更加混乱的状态了。在当时，HO可以代表水，又可以代表氧化氢；CH2可以代表甲烷，又可以代表乙烯。更可笑的是，有些化学家居然有意采用不同的元素符号，来表示自己有独到的见解。
这种混乱的状态引起了化学家们的不满，1860年9月，各国化学家在德国的卡尔斯鲁厄召开了一个会议，一致决定采用贝采利乌斯的元素符号系统。此后，元素符号系统才逐渐为各国化学界普遍采用。 ●化学的通用语言 元素符号系统通用以后，就成为世界通用的化学语言，在现代化学的发展中起着十分重要的作用。这些符号沿用了100多年，至今仍在使用。翻开当今世界上任何一本化学书，无论是什么语种，书中所用的元素符号都是相同的。可以毫不夸张地说，没有这些符号，现代化学的发展简直难以想象。 在现代化学里，元素符号的作用有很多。在宏观上，它表示一种元素；在微观上，它表示一个原子。对单原子的单质，元素符号还可以表示这种物质。 值得一提的是，虽然同样一个元素符号既可以表示元素，又可以表示原子，但元素和原子之间还是存在一定区别的。元素是同一类原子的总称，只讲种类，不讲个数；原子是元素的基本单位，既论种类，又论个数。 ●元素名称的来历
我曾问过我的学生一个问题：“对于那些考过的试卷，你们是怎么处理的？”我听到了很多不同的答案：有的同学很干脆，直接当垃圾扔掉了；有的同学还懂得环保，废物利用，把它卖到了废品回收站；有的同学很茫然，不知道该如何处理，于是把它放在家里的储物间里，不扔也不卖；有的同学则细心地把所有考过的试卷整理收集起来，当成参考资料用。 听到这些各式各样的答案，我感到既心痛又欣慰。心痛的是，试卷这么好的学习资源，却被同学们拿去糟蹋了；欣慰的是，还有一些同学懂得利用试卷这个学习资源。 而我也对这些同学进行过观察、研究，我惊奇地发现，对试卷的处理方式不同，所导致的结果也呈现出不同的情况。那些不把试卷当做一回事，轻易打发掉的人，往往是那些学习成绩不出色的人；那些妥善保管、懂得利用试卷的人，都是班上学习成绩遥遥领先的佼佼者。 升入中学后，相较于小学生来说，我们所学的科目明显增加了许多，学习任务也相应加大，从而平时考试和测验的次数明显增多：主科考，副科也考；期中、期末考，单元结束也得考；本校的卷子要做，外校甚至外地质量好的卷子也要做。因此，每学期下来，每一位同学手中至少都会有一大摞的各类试卷。 如果我们对这些试卷给予重视（这里的重视，并不是指对考试分数、名次的看重，而是对这些试卷的妥善管理和高效利用），那么我们的学习成绩肯定能够得到大大的改善。学习成绩差者，慢慢提升起来；学习成绩较好者，则能达到更好的水平。 在一次班级活动课上，我把邻班一位成绩优异的同学请来班上，让大家一起互相切磋，交流学习心得、体会。这位同学是这样与大家分享学习经验的： 在我还念小学的时候，我就养成了善用每张试卷的习惯，这个习惯一直沿用至今。每次看到同学们把考过的试卷扔掉或者卖废纸，我都觉得很可惜。 事实上，卷子考完之后，并不代表它就失去了利用价值。不管是大考还是小考，我都把每一张卷子收集起来，等收集的数量逐渐多起来的时候，我就把它们都装订起来，这样很方便看，又不会造成凌乱的感觉。当然了，对这些装订的试卷，我每张都会仔细看一遍。碰到考试时间比较紧迫的时候，看看这些整理的卷子就可以了。 从这位同学的学习方法中，我们不难看出，考高分是要讲究技巧的。而他的这个技巧，就是重视、善用每张试卷，一张张考过的卷子，经过认真仔细的加工整理后，便成为了一本非常实用的、具有很高含金量的复习资料。 这位同学的学习方法非常值得我们参考与借鉴。也就是说，如果你一直以来把考过的卷子扔掉或者当做废品卖，那么请你停止这种错误的做法，将这些试卷好好保存起来，装订成册，有时间就拿出来看。如果你还在为如何处理试卷而茫然失措，那么现在就有一种好的方法摆在你眼前，即妥善管理好它们，将它们当做一种学习资源看待。 细节30:每考一次试，就作一次总结 众所周知，升入初中后，我们考试的频率会逐渐增加，大考小考总是不断。面对如此频繁的考试，许多同学往往会产生排斥的心理，因为在他们看来，考得多对学习未必有所帮助。 事实上，考试对学习是非常有用的，我们没有觉察到是因为还没有好好利用起来。如果我们能够利用好这些考试机会就可以发现自己学习中的很多不足，查漏补缺，从而迅速提高学习成绩，达到事半功倍的效果。 那么，怎样才能高效地利用考试呢？方法很简单，每考一次试，就作一次总结，可以说，注意每次考试后的总结分析，这是提高自己分析问题和学习能力的最好时机，而作总结，具体又分为两个步骤： 第一步：分析试卷，将存在的问题分类。 批好的试卷发下来，常有这样一种现象：大部分同学先看得了多少分，然后就扔到了抽屉里，有个别同学看到自己分数很低，甚至一气之下就把试卷撕了。 其实，这是一种错误的学习方式，如果考试仅仅是为了一个分数，那就没有再考试的必要了。而且，即便把试卷撕了，改变不了考低分的事实不说，如果不认真总结，下次考试可能还会得更低的分。 我们考试的真正目的，是为了检验自己的实力，发现存在的不足，以此补正，以后不犯同类的错误。所以，每次考试结束试卷发下来，我们要做的不是看一眼分数，而是要认真分析得失，总结经验教训，特别是将试卷中出现的错误进行分类。 一般说来，把错题分类，可分为如下几类： 第一类问题——遗憾之错。就是明明会做，结果却做错了的题。例如，因审题出现失误，由看错数字等造成的审题之错；因计算出现差错造成的计算之错；因在草稿纸上做对，往试卷上一抄就写错了、漏掉了造成的抄写之错；因自己答案正确但却与题目要求的表达不一致造成的表达之错。 第二类问题——似非之错。如：记忆得不准确，理解得不够透彻，应用得不够自如；回答不严密、不完整；第一遍做对了，一改反而改错了，或第一遍做错了，后来又改对了；一道题做到一半做不下去了，等等。 第三类问题——无为之错。产生这类问题的原因有三：一是不会，二是纯粹凭借猜测，三是根本就没有答。 第二步：制定策略，将问题各个击破。 既然发现了问题，找到了问题的症结所在，我们就需要采取相应的措施，把问题解决掉，将错误扼杀在摇篮里。而不同的问题，当然就得不同对待。因上面我们将错题分为了三类，所以在制定解决措施时我们也应该与之相应地分成三种。对于此，我的建议是打好这三个战役：消除遗憾、弄懂似非、力争有为。 第一战役：消除遗憾。 要消除遗憾就必须弄清遗憾产生的原因，然后找出解决问题的办法。例如： 审题之错：是否出于急于求成？如果是，可采取“一快一慢”战术，即审题要慢，答题要快； 计算之错：是否由于草稿纸用得太乱？如果是，建议将草稿纸对折分块，每一块上演算一道题，有序排列便于回头查找； 抄写之错：可以用检查程序予以解决： 表达之错：注意表达的规范性，这就需要在平时写作业时就严格按照规范书写表达，依照考试评分标准写出必要的步骤，并严格按着，题目要求规范回答问题。 第二战役：弄懂似非。 出现似非之错表明你的知识基础还不够牢固，所以你还得继续夯实基础。具体可以这样做：建立各部分内容的知识网络；全面、准确地把握概念，在理解的基础上加强记忆；加强对易错、易混知识的梳理；多角度、多方位地去理解问题的实质。 第三战役：力争有为。 出现无为之错在于无思路、不理解，不是应用的问题。因此从实质上说，要攻破难题，有地方下手，最有效的方法还是得夯实基础，熟悉基础题目，这样做，综合题才能迎刃而解。 除此之外，试卷上做对的题目也要进行适当的分析、总结。为什么要这样做呢？因为得分包含两种成分：一种是真会的成分；另一种是水分，即靠猜和蒙之类的手段得分，也就是我们生活中经常所说的“瞎猫碰上死老鼠”。对于真会的，这表明你已经掌握了这部分的知识，可以不用再看。而靠猜和蒙，就不能算数了，还得补，还得算在查缺补漏的范围里头。猜和蒙，凭借的是运气，你这次对了，但是下次也许就没这么走运了。 总而言之，对于考试发下来的试卷，你要严肃认真地对待，要对其进行分析和总结。做错的题可进行分类，并采取相应的措施补正；做对的题也不能漏过不看，有水分在其中的，还得补。这样，经过一次次的分析、总结，错误率就会随之一次次地减少，高分也就不期而至了。 细节31:将试巷装订成册 常有同学向我请教：“老师，如何整理散乱的试卷？” 的确，对于我们每个人来说，这实在是一个头疼的问题。因为上了初中以后，课程就多了，各门课程的测验或考试接踵而来，手中不可避免就会累积一大摞的各类卷子。 那么，如何管理并利用这些卷子呢？将所有的卷子装订成册，就是一个不错的方法。这需要做以下几步工作： 第一步，在每学期末将所有卷子分科一张一张整理好，如有缺少的，可以找老师要，或者是找同学借了复印，尽量补齐，以保证试卷的完整性。 第二步，准备一个大夹子，也可用一个袋子，将每门课的试卷夹好，装好，按时间、单元、章节顺序，将试卷整理归类。 第三步，为每类试卷，设一首页，并做一个目录，放在每类试卷的首页。 下面是一个“初三上期化学卷子目录”（摘自一位同学的试卷管理方法），大家可以参考一下： 初三上期化学卷子目录 1．第一单元测试卷…………10月2日 2．期中考试卷……10月27日 3．第二单元测试卷…………11月15日 4．第三单元测试卷…………12月8日 5．总复习卷之一……12月20日 6. 总复习卷之二……12月28日 7．总复习卷之三……1月6日 8．期末考试卷……1月16日 这个卷子目录，至少包括了顺序号、试卷名称、日期几个部分。只需要看到这个目录，便能对每类试卷的内容一目了然。 [&]
1、地毯式扫荡 先把该复习的基础知识全面过一遍。追求的是尽可能全面不要有遗漏，哪怕是阅读材料或者文字注释。要有蝗虫精神，所向披靡一处不留。 2、融会贯通 找到知识之间的联系。把一章章一节节的知识之间的联系找到。追求的是从局部到全局，从全局中把握局部。要多思考，多尝试。 3、知识的运用 做题，做各种各样的题。力求通过多种形式的解题去练习运用知识。掌握各种解题思路，通过解题锻炼分析问题解决问题的能力。 4、捡“渣子” 即查漏补缺。通过复习的反复，一方面强化知识，强化记忆，一方面寻找差错，弥补遗漏。求得更全面更深入的把握知识提高能力。 5、“翻饼烙饼” 复习犹如“烙饼”，需要翻几个个儿才能熟透，不翻几个个儿就要夹生。记忆也需要强化，不反复强化也难以记牢。因此，复习总得两三遍才能完成。 6、基础，还是基础。 复习时所做的事很多。有一大堆复习资料等着我们去做。千头万绪抓根本。什么是根本？就是基础。基础知识和基本技能技巧，是教学大纲也是考试的主要要求。在“双基”的基础上，再去把握基本的解题思路。解题思路是建立在扎实的基础知识条件上的一种分析问题解决问题的着眼点和入手点。再难的题目也无非是基础东西的综合或变式。在有限的复习时间内我们要做出明智的选择，那就是要抓基础。要记住：基础，还是基础。 7、学文科，要“死”去“活”来 历史学科，有很多需要背诵的东西，人物、事件、年代、一些历史史料的要点等等。有些材料，只能“死”记。要多次反复强化记忆。历史课是一门机械死记量比较大的学科。但是在考试时，却要把记往的材料灵活运用，这就不仅要记得牢，记得死，还要理解，理解得活。是谓“死”去“活”来，不单学历史，学地理，学政治，以至学理化生物，都需要“死”去“活”来。 8、“试试就能行，争争就能赢”。 考试要有一个良好的心态，要有勇气。“试试争争”是一种积极的参与心态，是敢于拼搏，敢于胜利的精神状态，是一种挑战的气势。无论是复习还是在考场上，都需要情绪饱满和精神张扬，而不是情绪不振和精神萎靡，需要兴奋而不是沉闷，需要勇敢而不是怯懦。“光想赢的没能赢，不想输的反倒赢了”。“想赢”是我们追求的“上限”，不想输是我们的“下限”。“想赢”是需要努因而比较紧张的被动的，“不想输”则是一种守势从而比较从容和主动。显然，后者心态较为放松。在放松的心态下，往往会发挥正常而取得好的效果。 9、一个具有健康心理素质的人应该做到两点：在萎靡不振的时候要振作起来，在承受压力过大时又能为自己开脱，使自己不失常”。 人的主观能动性使人能够控制和把握自己，从而使自己的精神状态处于最佳。因适应变化是人的主观能动性的作用所在。心理素质脆弱是主观能动性的放弃，健康的心理素质则使我们比较“皮实”——能够调整自己的情绪和心态去克服面临的困难。 10、复习是积蓄实力积蓄本钱，考试则要求发挥得淋漓尽致，赚得最大的效益。 一位考生说“我平时考试总是稀里糊涂，但大考从来都是名列前茅，大概是心理调节得好吧?”诚如是，最可怕的是大考大糊涂，小考小糊涂，不考不糊涂。
小学到中学的十二年，加上普通大学里大多数专业的四年，十六年寒窗的时光里，谁没遇见几个一心只读圣贤书的学霸呢？在大家每逢放学都直奔小网吧组队保卫世界的时候学霸在学习；在大家为日剧韩剧言情剧偶像剧里的离合伤春悲秋的时候学霸在学习，在大家挥汗如雨在运动场上奔跑跳跃的时候学霸在学习，甚至，在大家沉醉梦乡与周公畅谈人生的时候，学霸还在学习。看上去，学霸的生活中就只有学习这一件事情，好好学习天天向上便是他们的全部追求。 于是，很多人便问了，这样单调到除了学习外别无他物的生活，有任何乐趣存在吗？ 从哲学的角度来说，人不会本能的去做自己所真正不愿的事，因此，对于学习打心里的执着意味着他们愿意这么做。当然，那些不幸被家长和老师严防死守不得不天天学习的人并非出自本身的意愿在努力，与“学霸”的定义存在差别，因此不在考虑之内。而大多数哲学家们也同意“任何人都有趋向快乐的本能”，这样学霸们日复一日的主动性勤勉基本可以看作是个人自由意志所选择的获取快乐的方式。 也就是说，其他人能够从电子游戏、电视剧、运动中获得的快乐，学霸也能够从学习中获得相应的份量。对于学霸们而言，学习是一种兴趣爱好，而非不得已而为之的负担。 那么，学霸们究竟能够从学习中获得哪些具体的快乐呢？只要试着去了解，便会发现，这其中的幸福也是多样的。 成就感也许是最容易被理解的一种快乐来源。经过伤神费脑的冥思苦想之后解开一道无人能解的难题，这种内心的满足就好像在网络游戏中率先通关一个高难度副本拿到首甲成就一样骄傲和惬意。凭借自己长期积累的能力和无数次变换着方法的尝试去完成一项并不容易的工作，这大概是人类最古老也最容易被感同身受的幸福感之一，在这样的情况下，被攻克的难关具体是什么，并不影响幸福的获得。学霸们解开难题时的微笑与副本通关的欢呼声是同样的畅快淋漓。 具体知识所包含的独特美学意义是另一种让学霸们欲罢不能的快乐源泉。研究天文可以欣赏星云与光环的美，知晓看似漆黑一团的夜空深处其实有着五颜六色的天体和天体系统；专研数学可以懂得看似源自本能的审美取向中实际所包含的数学原理，知道黄金分割、斐波那契数列、阿基米德螺旋线这些看似单调的数据所能够规划出来的完美比例与视觉效果；学习化学可以重复那些曾被称为炼金术士们的先驱者重复过的“魔法”，看着迷幻的色彩与烟雾在自己手中升腾，从显微镜中观察肉眼视觉中模糊一团的结晶体那独一无二的形状……这些细微得被大多数人忽略的美，就好像世界上最后一只独角兽栖居的森林，好像萤火虫之森里百鬼夜行的街市，对于能够看到它们的人来说是平常但却敝帚自珍的秘密花园，是只有自己徜徉的私家领地。 而知识和智慧会带来另一种快乐，那便是改变你对世界和身边事物的看法，让你的人生态度变得积极而友善，并具有感悟与改造事物的能力。脑海中储存的知识，会让山川变成传说中狐仙鬼怪出没的云烟之地，会让江河变成龙王镇守的水府泽国，会让铁片与铜丝在你手中组合成精巧的小玩意，会让路边的野花小草变成杯中芬芳扑鼻的茶料。在文科学霸眼里，这世界是翻不完的书，读不完的故事，山川都是古老的舞台，而河流有着唱不完的歌。在理科的学霸眼里，世界一切都有其作用，变废为宝是他们最拿手的魔术。因为理解一切的意义，所以他们生活在万物皆有意义的世界里，有着跟神灵鬼怪无关的信仰，而这信仰会带来笃定和平静。达到这个境界的学霸，可算是学霸中的高人了。 学霸所拥有的乐趣自然止上述几种，但写这篇文章的目的也并不是告诉大家学习多么快乐，因此招呼大家都来当学霸。人生的快乐如此多样，人应该自由的去选择自己最喜欢的那些，而后甘之如饴的为之努力，并且理解那些选择了别样快乐的人。学霸与非学霸，在名为快乐的天空之下，其实没什么不同。
常有很多同学向我抱怨：“在我看来，学习资源就如同时间一样，怎么用都不够。课本、工具书、笔记等等，只要能用的我都充分利用了，但还是觉得太少了。”要我说，这不是物已用尽的问题，而是同学们都不够细心，不善于去发现，未做到真正高效地利用学习资源，所以才会产生学习资源不足的现象。 那么，还有什么样的学习资源能够为我们所用呢？其实，它就在我们的身边，却常常被我们忽略——我们的老师。 老师，是每个人生命中不可缺少的重要角色。他在我们身边扮演的角色是学习上的引路人，生活上的指导者，人生道路上的方向标。抛开生活和人生道路这两个方面不说，单是学习这一块，老师所起到的作用就不可估量。 想一想：从我们迈进学校大门的那一天起，是谁接纳了我们，教给我们那么多的知识，给我们讲那么多生动有趣的故事？是谁让我们从一无所知的懵懂少年，变成今天可以恣意在知识的海洋里遨游的热血青年？ 答案不言而喻，是我们的老师。老师充当了我们手中的手杖，指引着我们在学习的道路上迈进、前行。 从另一个角度而言，知识是经过不断积累才传承下来的。面对浩瀚的知识海洋，再聪明的人也难免望洋兴叹，不知从何处人手。再想想看，文、史、哲、数、理、化，林林总总，科目繁杂，如果没有人对你进行指导和传授，没有人为你指明努力的方向，就凭借一个人瞎蒙乱撞，能学会多少呢？ 因此，放着这么好的一个资源，我们为什么不充分利用起来呢？ 在一次班会上，我把大部分的时间都用来强调老师的重要性，并要求学生们要经常与老师交流、沟通。这时，一位同学站起来说：“老师，其实我们也知道这个道理，可是我们都害怕、不敢接近老师。这样，连靠近老师的机会都没有，又如何来谈交流、沟通呢？” 事实上，害怕老师的现象已经司空见惯： 我的同事有一次在闲聊的时候说：“现在的孩子不知道怎么了，看到老师，总是一副害怕的样子，看到我走过去，大老远就躲开了；有时侯不得已撞见了，随便打声招呼就急忙跑开了；问他们问题，回答时一概低着头，唯唯诺诺，声音比蚊子还小。难道我们老师长得很可怕吗，让同学们唯恐避之不及？” 其实，这种情况我也常常遇到。例如，上自习课的时候，有些同学遇到难题，宁愿自己苦苦思索，或是问同学，也不愿举手向老师请教；课间休息的时候，来办公室找我的同学少之又少，这不是说同学们都没有问题，而是不敢去找老师。在私底下，有的同学还把师生关系比做是猫和老鼠、警察和小偷的关系。 不得不说，这种对老师避而远之的态度非常糟糕，结果吃亏、遭受损失的人不会是老师，而是学生自己。比方说你做题时遇到难题，如果你自己苦苦思索或者问同学，尽管奋战了几个小时，你的大脑里依然一片空白，而且身边的同学个个也苦无良策。这时候，我们该怎么办呢？放弃这道题，不管了，那么下次遇到同类题型的时候，你仍旧不会解答；请教老师，也许他的一句话就能让你茅塞顿开。两者相比，哪种更划算呢？ 《吕氏春秋·劝学》中有“疾学在于尊师”二说，是指一个人要想很快学得知识才干，首先在于尊重老师。在这里，我做一个小小的改动，即“疾学在于近师”，也就是说一个人要想很快学得知识才干，首先在于亲近老师。如果能和老师时常进行一些良好的交流，我们就可以最大限度地获得老师的帮助和指导，使自己快速地成长；反之，如果害怕老师、忽视老师，就会无法得到老师最及时、恰当的指教。这对于刚刚行走在人生路上、正需要引导的你来说，无疑是一个巨大的损失。 细节28：哪门科目学得差，就与哪门科目的老师做好朋友 在平时的教学过程中，我发现这样一种现象：同学们与哪个老师关系比较融洽，就喜欢上哪门课，哪门成绩就好；如果与哪个老师关系不和谐就会殃及哪门课的成绩。有的同学甚至因为这样或那样的原因对老师产生抵触情绪，以至于影响到了学业进步。 我相信大部分的同学都会有这样的体会。作为一名老师，我自己也有过类似的经历： 在我才升入中学的时候，学习的课程增加了不少，英语就是其中一门。对于这门新学的课程，由于太陌生，我的心里总没底，还记得第一堂英语课刚打铃时，我还有种惴惴不安的感觉。但是，当看到英语老师时，我就喜欢上了她，她的性格很随和，讲课也很生动。一节课下来，我就喜欢上了英语，而在日后3年的学习过程中，我的英语成绩一直都不错。 然而，与英语相比，我的数学就很糟糕。我小学数学学得很好，底子不错，再加上与数学老师关系不错，所以初一时学起代数一点也不吃力。后来步入初二，由于老师工作调动，我们换了一个新的老师。因为很怀念以前的老师，我对新任老师就产生了一种排斥心理，加之他有一次曾当着全班同学的面批评了我，我和他之间的矛盾更加深了。在后来两年的数学学习中，我的成绩始终不理想。 这种现象说明了一点：学习成绩提高与否，和与老师之间的关系有着莫大的联系。与老师相处融洽，学习成绩很可能就会有所提高；与老师的关系不和谐，学习成绩不但不会提高，反而有可能下降。 一位同学说： 我成绩不太好，性格内向，总觉得老师高高在上，有点害怕老师，有困惑也不敢对老师说。 另一位同学也说：
我从小就不爱说话，学习成绩虽然也不错，但是非常害羞，见到陌生人就脸红，最怕上课发言。 可以说，这两种情况都是与老师关系不融洽的表现。第一位同学以开始就把老师归纳到高高在上这一类型，对老师的形象产生了极大的误解；另一位同学则是天性使然，在接纳任何人的时候，都是一种很被动的态度。 我也可以直接断言，这两位同学的成绩或多或少都会受到影响。第一位同学成绩本来就不好，如果再畏惧老师，成绩势必会继续糟糕下去，永远也没有得到提升的可能；另一位同学即使成绩不错，但慢慢也会下滑，这几乎是肯定的。 也许有的同学会问了：“既然是这样，那么如何才能做到与老师关系融洽呢？”我的建议是，与老师做好朋友。也就是说，哪门科目学得差，就与哪门科目的老师做朋友。 我们每一个人都有好朋友，有的同学可能只有一个，有的同学有两三个，有的同学人缘很好，好朋友有好几个。那么，你不妨回忆下，在你与好朋友交谈的时候，你会非常紧张吗？你说话会结巴、脸红、不知所措吗？我相信没有人会这样，即使是性格再内向的人，在好朋友面前，心情也是十分放松的。 与老师做好朋友也是这个道理。一旦你们成为了好朋友，当你再次面对他时，你就不会紧张了。 我们可以看一下成绩突飞猛进的一位同学的日记： 在学习和生活中，我有一位亲密的“大朋友”，她是我的班主任。 以前，我是一个不爱说话的小女孩，成绩一般，最害怕的事就是上课回答问题。同学们都说我很可爱，就是太腼腆。后来，一次偶然的机会，我与班主任成为了好朋友。于是，她上课就经常提问我。刚开始回答老师的提问时，我说话结结巴巴，使劲低着头，只敢偷偷瞧老师几眼。但老师却始终面带微笑，一直耐心地听我回答完，还当着全班同学的面表扬了我。渐渐地，我的胆子大了起来，变得越来越勇敢：不仅上课勇于发言，而且还当上了班里的小组长。 看到这则日记，你应该明白究竟是什么使这位同学的成绩突飞猛进了吧！我们也可以像这位同学一样，与老师做好朋友。老师这个好朋友，所给予你的，只有好的、能促进你进步的。 有的同学可能觉得和老师做朋友非常困难，要我说，其实很容易，多与老师接触就可以达到这个目的。比如说经常去办公室找老师请教问题或是课间的时候与老师交流。做老师的，实际上都非常喜欢学生来找自己，所以，作为学生的你，不必感到拘束、恐惧，应该增强一些与老师接触的机会。
细节29:敢于提问，从老师身上淘更多的“金子” 在我与同事们做教学交流时，常会谈到一个较为普遍的现象，实际上这也是每个老师都会遇到的情况，即在课堂上，同学们都喜欢做一个忠实的倾听者，却吝啬于开口说话，不喜欢发言，也不喜欢向老师提问。 我曾针对这个现象进行过调查，原因不外乎两种。可以说，在学习的过程中，我们每个人都会遇到自己无法解决的问题，有的人想问，但缺乏信心，害怕答不对让同学笑话，这类人以学习较差者居多。有的人明明有问题，却不敢问，原因是虚荣心在作怪，怕老师和同学看不起自己，这种现象在一些学习较好的学生中比较多。在他们看来，似乎在学习中从不提问的人才是好学生。 事实上，这种做法是不对的。每个老师都喜欢向自己问问题的学生，因为这间接地说明了你是一个肯动脑筋的学生。 当然了，在这里，我们要讨论的不是提问能增加老师对你的好感问题，而要强调的是提问对你自身学习的重要性。可以这么说，敢于提出问题，才有可能成为学习上的真正强者。 为什么呢？我们先来谈谈提问的目的，也就是说我们为什么要提问。提问，是一种获得信息的手段，换句话说就是，我们要想获得某种信息，可以通过提问这种手段来解决。 我在这篇文章的开篇就说过，老师是一个整体水平高于我们的人，他不仅拥有渊博的知识，还有着丰富的人生阅历。总之，老师就像一座藏着巨大宝藏的山，可以任由我们挖掘、索取。如何索取呢？提问。在这一问一答的过程中，我们就得到了想要获取的信息。例如： 你在做题时，被某道题难住了，你及时向老师提问、请教，你们一起探讨，老师就会教给你一系列的解题方法与技巧。而通过提问，你不仅知道了这道题的解题方法，还收获了更多的解题技巧。 课堂上，你没听明白老师讲的某个问题，课下你向老师提问，老师就可能再重复地讲，直到你听懂为止。而针对这个问题，老师还有可能做更多的延伸。这样，你不仅及时解开了心里的困惑，还收获了额外的知识。 还有，你可能某些观点与老师不同，或者是对于一道题，你想到了另外一种解题方法，但是又不确定。你向老师提问，与老师进行沟通、讨论，如果你的观点是错误的，那么你就可以及时改正；如果你的观点是正确的，那么这对你来说更是一件好事，因为这意味着你在原有的基础上往更深的层面迈进了一步。 上边所讲的都是通过提问所获取的信息，而这些都是你获得更多知识、丰富学习经验的一个宝贵积累。 而假如不提问，惜字如金，结果会怎么样呢？可以肯定的是，那不会给你带来任何好处，相反情况只会越来越糟糕。从老师的角度来讲，学生有问题不问，他就不知学生在学习中存在什么问题，因此，也很难给予针对性的帮助。 因为你不问，老师就不知道你想要什么，就无法给予你帮助，也无法对你的错误思想进行矫正。例如： 你遇到难题，但是你憋在心里不向老师请教，结局很明显，你始终无法解答这道题，一旦以后碰到同类型的题，依然会成为你的障碍。 你听讲的时候碰到没懂的而不知道提问，那么这个问题你也永远不会明白。 你发现你的观点与老师不同，或者一个题目还有别的解题方法，但是你不提问，那么你就无法验证你的观点是否正确。如果你的观点侥幸是对的，那么还好，对你没什么影响；如果你的观点错误但你又不知道，那么你就会走进一个误区，再也出不来。 因此，要想获得更多的知识，不走错、走弯每一步路，成为学习上的强者，就要敢于开口，学会提问。
在大多数科学中，后一代人往往撕毁了前一代人所建立的成就，但在数学中，每一代人都是在此前的结构上建立新的成果。——汉克尔·赫尔曼 &
最初的数学知识源于人类的生存需要。就已有的考古学材料分析，大约在三百万年前，人类还处于茹毛饮血的原始时代，以采集野果、围猎野兽为生。这种活动常常是集体进行的，所得的收获需要记录与分配。这样，古人便渐渐产生了数量的概念。他们学会了在捕获一头野兽后用一块石子、一根木条来代表；或者用在绳子上打结的方法来记事、记数。这样，在原始社会人们的眼中，一个绳结就代表一头野兽，两个结代表两头……，或者一个大结代表一头大兽，一个小结代表一头小兽……。数量的观念就在这些过程中逐渐建立发展起来。随着捕猎手段的提高，所获的野兽越多，绳子的结越多，需要的数目也越大。
在距今大约五六千年以前，沿非洲的尼罗河出现了一个早期的文明社会——埃及，埃及人较早地学会了农业生产。尼罗河每年7月定期泛滥，淹没大片农地，1 1月洪水逐渐退落。埃及人通过长期观察，注意到当天狼星和太阳同时出现的时候，正是洪水将到的预兆。还发现，这种现象大约365天重复一次。这样，埃及人就选择在洪水泛滥之后留下的肥沃淤泥上播种，待6月洪水来临之前收割，以获得好的收成。这是通过天文观测进行农业生产的结果，其中也包含了数学知识的应用。另外，古埃及的农业制度，是把丈量过的土地分配给生产者的，租用的人每年把他的收成提取一部分给土地所有者——国王。如果洪水冲毁了他们所分得的土地，他可以向国王报告，国王便派人前来调查并测量损失的那一部分，这样，他交的租就会相应减少。这种对于土地的测量，导致了几何学的诞生。实际上，几何学的原意就是“土地测量”。古埃及的数学是由生产及生活需要导致数学研究的一个范例。
古埃及是古代世界上文化最发达的几个地区之一，公元前3200年左右，形成了一个统一的国家。公元前2900年以后，埃及人建造了许多金字塔，作为法老的坟墓。从金字塔的结构，可知当时埃及人已懂得不少天文和几何的知识，例如基底直角的误差与底面正方形两边同正北的偏差都非常小。
现今对古埃及数学的认识，主要根据两卷用僧侣文写成的纸草书。埃及最古老的文字是象形文字，后来演变成一种较简单的书写体，通常叫僧侣文。这两卷用僧侣文写成的纸草书，一卷藏在伦敦，叫做莱因德纸草书（莱因德是这部书的第一位欧洲收藏者，故被称为莱因德纸草书），一卷藏在莫斯科。1858年，英国文物收藏家亨利·莱因德在埃及的卢克索城买到一部草片文书，这部书现在是使我们有可能判断古代埃及数学知识情况的主要史料之一。从草片文书用僧侣文字写成的原文可以断定，这部书是拉乌斯法老王朝的宫廷文书阿默斯于公元前1800年左右写成的，即两卷纸草书的年代在公元前1850～公元前1650年之间，相当于中国的夏代，埃及历史上把这一时期称为中王朝。根据书中记载，它的原本可能是属于更早的埃及古王朝时期（公元前2700年左右）的一部更加古老的草片文书。除了这两卷纸草书外，还有一些写在羊皮上或用象形文字刻在石碑上和木头上的史料，流落于世界各地。
莱因德纸草书是一幅长5.25 m，宽0.33 m的草片纸带。现在看来，它不像是专题论文，也不是今天所说的教科书，而很可能是一本学生的笔记本。虔诚的学生把老师讲述给他的所有知识都分毫不差地记在本子上，甚至包括许多错误在内。
除了现在收藏在英国不列颠博物馆的莱因德纸草书之外，还有收藏在普希金图书馆的莫斯科草片文书。莫斯科草片文书和莱因德纸草书一样，也是长条形的，但前者的长度是后者的四倍。另外还有几部数学的草片文书，但这些文书内容都不如上面的两部出名。
通过草片文书，神殿墙壁上的题字和墓志铭，以及各种建筑物的铭文，使我们可以对埃及的数学知识有所了解。
埃及的数学有自己的特点，和现代数学有许多不同，但就当时的水平来说，已经是相当高的了。但埃及人运用的所有的数学法则都带有极端的经验主义的性质，这些法则既没有表述为定理，也没有任何证明。
尽管埃及数学带有如此原始的性质，它却赋予现代科学后来的发展以极为有益的影响。勤劳的埃及人，在自己千百年的历史中积累了丰富的数学知识，后来的数学如果不利用这些知识就不会取得成就。
类似的情况在世界各地出现。与埃及同时，世界上还有几个同样伟大的文明社会，如亚洲西部的巴比伦，南部的印度和东部的中国，它们分别创造了自己的文字，同时也产生了各自的记数法和最初的数学知识。在距今大约两千多年以前生活在欧洲东南部的希腊人，把这些数学知识，发展成为系统的理论科学。古希腊文明衰落后，阿拉伯人保存和继承了他们的文化，后来又传回欧洲，使得数学重新繁荣起来，并最终导致了近代数学的创立。
就像人类文明史是千万年人类活动的积淀与浓缩一样，数学史是人类绵延不断智力长征的见证，同时是一种进入今天的过程。
每一门科学都承继着以往的成果又加进了今天的努力，都有历史与现实的双重品格。今日的科学研究一方面会有属于今天的独特创新；另一方面又有延续历史传统的深化与发展，或者是对历史上科学难题的解决，或者是对今日挑战的回应。因此，我们无法割裂科学的现实与科学的历史之间的联系。数学科学具有悠久的历史，与其他自然科学及人文学科相比，数学是更具有历史承继性的科学，其概念和方法更具有连续性，被确证了的结论永远不会过时，并为新的研究提供基础。在数学中，任何结论都不只属于发现它的那个时代，而是从此有了永恒的生命。比如古代文明中形成的十进位制记数法和四则运算法则，我们今天仍一直广泛地使用。比如欧氏几何两千多年来被人们作为经典与范例，一直是数学的入门教材，它的应用更是无处不在。又比如，古希腊的公理演绎的数学方法，至今是数学研究的重要方法，并影响了其他学科和整个学术界。又比如，中国古代数学中富含算法思想，吴文俊院士从中深受启发，在千年以后的20世纪开创了世界领先的机器证明的“吴方法”。可见，数学史中有无数宝藏，就看我们能不能发现。因此，学习数学史的首要意义是要比较研究、继承发展、推陈出新，从中提取对今天依然有用的东西。
数学史的意义还在于，借之可以观察数学发展的轨迹，提供攀登高峰的路线图。学习数学史，会极大地扩展我们的眼界，同时也扩展我们的智慧，使我们明确研究的正确方向，并借助他人的成功经验；学习数学史，能指明曾经出现过的陷阱，提供经验教训和历史借鉴，使我们少走弯路；了解数学史可以使我们知道已经解决的问题和横亘在前的难题，使我们继续人类智慧的长征。此外，由于数学研究主要依靠个人的智力，对在数学领域里寻觅的数学家而言，数学史正是最好的心理平衡剂，它使孤傲的数学家融入群体之中，找到他恰当的位置。
数学史对于数学教育和素质教育也有特别的意义。数学史的学习会使我们看到数学发展的各个侧面，这与我们所学的数学教科书有很大的不同。真实的数学研究过程是菁芜并存，繁复纷杂的，并不像教科书那样系统有序、一气呵成。教科书往往是把几十年几百年来许多人的研究成果条理化与系统化后的成品。每一次真实的数学研究的面貌常常被遮蔽了。比如，今日中学所学的数学内容基本上属于17世纪微积分学以前千百年中积累的初等数学知识，而大学学习的大部分内容则是17、18世纪的数学。为了在短时间内教给学生这些知识，这些数学教材已经过千锤百炼，是将历史上的数学材料按照一定的逻辑结构和学习要求加以取舍编纂的知识体系，这样就必然舍弃了许多数学概念和方法形成的实际背景、知识背景、演化历程以及导致其演化的各种因素。仅凭数学教材的学习，固然有利于快速了解系统的知识，却难以获得数学的原貌和全景，尤其是完全忽视了数学研究中的失败的教训。但学生们常常以记住教科书、会做习题作为学好数学的标准。这样，不少学生只知背诵教科书，只会做别人拟出的题目，而缺乏独立发现问题及解决问题的能力，缺乏探索、试验与创新的能力。数学史的学习则能提供更多的生动材料，提供借鉴与启发。
科学史是一门文理交叉学科，从今天的教育现状来看，文科与理科的鸿沟导致我们的教育所培养的人才已经越来越不能适应当今自然科学与社会科学高度渗透的现代社会。通过数学史学习，可以使理工科学生在接受数学专业训练的同时，获得人文科学方面的修养；可以警使文科或其他专业的学生通过数学史的学习了解数学概貌，获得科学精神的陶冶。同时数学史中一些数学家追求真理的执著与献身科学的热情也会在青少年的人格培养上发挥十分重要的作用。
中国数学有着悠久的历史，14世纪以前一直是世界上数学最为发达的国家，出现过许多杰出的数学家，取得了很多辉煌成就，其源远流长的以计算为中心、具有程序性和机械性的算法化数学模式与古希腊的以几何定理的演绎推理为特征的公理化数学模式相辉映，交互影响世界数学的发展。由于各种社会政治的复杂原因，16世纪以后中国的数学落后了。之后，经历了漫长而艰难的历程，才渐渐汇入现代数学的潮流。数学史可以使学生了解中国古代数学的辉煌成就，了解中国近代数学落后的原因，了解中国现代数学研究的状况以及与发达国家数学的差距，从而知道应该革除哪些弊病，如何奋起直追。
数学史除了以上对数学家、数学研究和数学教育等方面的与数学自身有关的意义之外，更有着构成与影响人类文明的意义。数学史家克莱因曾经说过：“一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤为明显。”“数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说。”比如古希腊（公元前600年～公元前300年）数学家强调严密的推理，强调逻辑性，和体系的完美，从而培养了人们对精神性事物的关注，引导了人们对理想与美的追求。我们能从希腊数学史中看到古希腊数学与古希腊哲学及古希腊艺术中的那种共同的高度理想化的特征。又比如，当今数学的深入发展使人们再也不认同大话与空话，再也不欢迎泛泛而谈的“理论“，再也不相信无法验证的说教，甚至再也不满足只有定性的研究。量化、精确化、逻辑性、可行性、统计性、完备性、系统性、不矛盾性、可证明性、可构造性、可操作性等数学思想正在渗入各种学术领域和社会生活，成为现代文明的标志。
一次，有一位同学来问我：“老师，能不能多给我介绍几种学习资源呢？”事实上，在我们学习的过程中，能够利用的资源并不少，除了我前面所讲的课本、教辅书、课堂笔记之外，和我们朝夕相伴的同学也是一种很好的资源。 在课堂上，我经常会跟同学们提到的一句话是：同学是我们的一位好老师，分享是一种学习的好方法。 但是我发现，许多同学常把我的话当做耳边风，充耳不闻。所以，在我的班上，时常存在这样的现象：有的同学依然喜欢一个人默默地学习，不喜欢同学的“打扰”；有的同学把自己的同伴当做敌人看待，不愿与同学交流、沟通，生怕别人知道自己的学习成果与方法；还有的同学为了钻研一道习题，可以不惜拿出整整一晚上的时间，却忽略了能打开知识宝库的金钥匙——身边优秀的同学。 可以说，这些同学的做法非常不明智，单靠自己瞎摸乱闯，只能说是一种笨法子。长久地自我孤立，没有融入群体之中，就很难调动自己的激情，从而在学习中变得越来越被动、懈怠。结果，天天在“努力”重复自己的错误，甚至可能使自己学习上存在的问题越来越严重。 孔子说：“三人行，必有我师焉。”我想这句话的意思大家都明白，我也不用再讲。我想说的是我们周围的每个人都有自己的长处，他们身上都有值得你学习的地方，而一个人的力量是有限与薄弱的，埋头苦干效果势必很小。但如果你把同学当做一种学习资源，对自己学习的帮助就会很大。 我曾教过一个学生，在初中3年的学习中，他的成绩一直遥遥领先，最后在中考时以高分跨人了重点高中的大门。在我和班上同学们的眼里，这位同学是一个很好问的人，在课堂上或者是课余时间，他都会向我请教，而据班上同学反映，他也经常与同学讨论、交流、沟通学习。 后来，在年级师生学习经验交流总结大会上，他与同学们一起分了自己的学习经验： 我的成绩不是最拔尖的，我的成功来源于汲取每个尖子生的特长。一个班里，每个同学都有自己的特长和独特的学习方法，有的偏物理，有的偏数学，所以在遇到某学科题目不懂时，可与该科目擅长的同学交流。由于对方对该科目的理解和掌握都较深，所以在交流时会延伸出一些课外或超大纲的学科知识，这样可以加深我对该题目的理解，解题思路也会更开阔。所以，一道题的讲解经过同学的“加工”，往往能获得意想不到的效果。 我曾在某本书上读过一个故事，这个故事是这样的： 父子俩在整理后花园，劳动没多久，却不得不放下了手中的工具。原来他们遇到了一块埋在土中的大石头。 父亲对儿子说：“你能把这块石头移开吗？” 儿子回答说：“我试试吧。” 于是，儿子走到石头面前，卷起袖子，使出了浑身的力气，可是石头仍然纹丝不动。 儿子走到父亲跟前说：“我们还是放弃这块石头吧，它太沉了，即使我用尽所有的力气，却一点挪动的迹象都没有。” 父亲说：“难道一点办法都没有了吗？”
儿子点点头，很肯定地说：“没有。” 这时，父亲叹了一口气，道：“不，儿子，你还有办法。我就在你旁边，可你没有向我求援。” 其实，故事中的儿子就像我前面提到的那些同学，无论是搬石头还是做学问，不是因为已经“山穷水尽”，而是我们不懂得利用身边可以利用的资源，所以才造成遗憾。 因此，如果你还处于单打独斗的学习状态中，那么，就请你放弃这种无效的学习方式，充分利用身边的学习资源吧。 细节25：与同学讨论问题，询问不懂的问题 英国大文豪萧伯纳曾作过一个著名的比喻，他说：“倘若你有一个苹果，我也有一个苹果，那么你和我仍然是各有一个苹果。但是，倘若你有一种思想，我也有一种思想，而我们彼此交流这些思想，那么，我们每个人将各有两种思想。” 从这个比喻中，我们可以得出这样一个道理：如果几个人在一起交流自己的知识，就会促进每个人多学到一点东西。通过交流，每个人很可能得到一个，甚至几个“金苹果”。 在这里，与同学讨论问题、询问不懂的问题，就是一个非常有效的学习方法。 假如你在做题时，忽然被某道题卡住了，接下来你会怎样做呢，是靠自己钻研，还是与同学讨论，向他们请教？ 不同的解决方式往往会有不同的结果。如果你依靠的是自己，也许你绞尽脑汁，想破脑袋，耗费大量的时间，也未必能解答出来；如果你选择与同学讨论，不懂就问，或许你很快就能“柳暗花明又一村”。 有些时候，遇到拦路虎，一个人单打独斗不能解决，倒不如换种方式，通过另一种途径获胜。这样既节省了时间，又达到了目的。 我们每个人都是不一样的，各人的知识结构不同，知识水平参差不齐，各有所长，各有差距，如果能够互相讨论、切磋，“三个臭皮匠也能抵上一个诸葛亮”，便会取长补短，开阔眼界，增长见识，活跃思路，启发灵感。 一位学习成绩优异的同学在谈及学习方法时说道： 和同学一起讨论数学题，是我最高兴的事情。当然，我并不是让同学们告诉自己怎么做题，重要的是要了解他们的思路，帮助自己开拓思考的广度和深度。在讨论的过程中，我能学到很多，也会拓宽思路。 另一位中考状元也将自己所取得的成功归结于不懂就问，及时请教： 我在读书、看报、听讲时，遇到疑难问题总要记下来，随时向别人请教，比如说我的老师或者同学。我也会向一些素不相识的人请教，有时我还写信向有名望的学者请教。这样做，我就能及时把难题解决掉。长此下去，不懂的就变得越来越少，而增加的知识却越来越多。 所以，在学习上不能故步自封、闭关自守，应多向同学讨论、请教，联合作战。俗话说，学问，学问，又学又问。读书学习，既要学也要问。这样才能学得好。 在这里，我再向大家推荐一种讨论方法——小组活动法。这是一种以学习小组的形式进行阅读讨论的学习方法，小组的人数可限定在2～5人之间。具体活动方式有三种：小组讨论，围绕教材中的某篇课文，带着问题阅读、思考并展开讨论；小组填充，按一定规则删去某篇课文中的一些词（字），完成填充，然后讨论这些答案，最后拿出原文对照检查；小组预报，拿出所要分析研究的文章的一部分，通过阅读思考，推测出文章的另一部分内容。同学之间可以相互讨论、辩驳。其他科目也可按此规律进行。 细节26:结交一个积赧上进的好朋友 曾有一位同学说自己最近非常烦恼，事情是这样的： 在我的心里，常常住有两种人，每当我想做什么事的时候，他俩就会立刻跑出来。譬如晚上10点的时候，按理说该上床休息了，可是当天的课堂内容还没有复习完，我就在该不该继续复习这个问题上犹豫徘徊。这时候，其中一个人就会跳出来说：“坚持就是胜利，当日事没有当日完成，那么积攒得就会越来越多，而且一旦你养成这种不良习惯，对以后的学习就更不利了。”这人话才结束，另一个人就急忙跳出来了：“还是休息重要，如果今晚没有休息好，就会影响明天的听课效率，再说了，今天没完成的，明天不是还有时间吗？明天不行，还有后天呢，反正时间多的是。” 最后，惰性占了上风，我扔下没有复习完的功课，睡觉去了。 其实，在我所接触的学生中，经历类似这位同学情况的大有人在。有的同学自身就有拖延的习惯，学习一点也不积极，这样那样的问题一大堆，学习成绩可想而知；有的同学学习习惯挺好的，成绩也不错，可是受周围环境的影响，渐渐养成了一些不良的习惯，成绩也随之出现下滑的趋势。 那么，怎样消除这种懒散、拖延的坏毛病，将成绩提上去呢？我有一个不错的方法，就是结交一个积极上进的朋友。 事实上，在我还是学生的时候，我就这样做了： 起初，我也和大多数的同学一样，做事拖沓，常常是一个小时能解决的事几个小时也完成不了，有的甚至是能拖则拖，能不做就不做。而且，我还把这种做事的习惯带到了学习上来，老师每天布置的作业我能完成，但是要耗费很长的时间，因为我喜欢边玩边写。而需要自觉、主动做的事，诸如预习、复习之类的，我从来就不做。结果，一学期下来，我的成绩差得一塌糊涂，还遭到了老师和父母的严厉批评。 从第二个学期开始，我就下定决心改掉拖沓这个坏毛病，但说实话，靠自己真的很难，一个星期过去了，还是老样子，一点变化也没有。后来，我想到了一个办法，我尝试着去结交班上一个积极上进的同学，与她成为好朋友。 放学后，我都是和她一起写作业，每当我偷懒_'想看电视或者是吃东西的时候，她都会马上阻止我，让我专心写作业。她也会带领我预习第二天的功课，复习当天学过的知识。碰到时间较为宽裕的时候，她还会督促我看看课外书，扩充一些课本上学不到的知识。 我在她身上学到的东西还有很多，比如向老师提问题、与同学讨沦、做题并进行整理。后来我才发现，这些对学习都能起到非常大的浞进作用。 而在她潜移默化的影响下，我逐渐改掉了那些坏毛病，对学习以及生活都变得积极起来，简直是获益良多。第二学期期末成绩出来时，我明显进步了很多，老师和父母都非常高兴。 在我当了老师后，我把这种学习方法介绍给了我的学生。根据我的经验，效果真的很好。 一个积极上进的人，学习成绩一定差不到哪里去，有的还是班上乃至年级中的佼佼者。如果你不相信，你可以看看你班上的同学，那些成绩优异者是不是都非常积极上进？
与这类人交朋友，他们是不会看着你消极厌学的，而会时刻鞭策你前进，连怠惰、拖延的机会都没有。 而且学习好的同学往往都有他们自己的一套学习资料和学习方法，和他们交朋友，你就可以与之分享学习的“秘方”，这不得不说是一个很好的机会。 再者，学习好的同学除了有成功的经验，也有失败的教训，与他们交朋友，你还可以让自己少走弯路，少跌几个跟头。 在探索知识的道路上，结交一个积极上进的好朋友与你同行，站在巨人的肩上，使自己有一个比较高的学习起点，可以说，这是一条提高学习效率的捷径。 细节27:将同学当成竞争对手 看到这个题目，也许有的同学会问了：“你不是说要与同学成为朋友；互相交流、沟通、谈论，而不是将同学当成敌人一样看待吗？为什么现在又说要将同学当成竞争对手？这不是两相矛盾了吗？” 事实上，我这里所讲的竞争对手并不是要求你与同学对立，互不往来，互不干涉，各自为政，而是让你在心里将某位成绩优秀的同学视为竞争对手，让他鞭策你不断地前进。 心理学上有一个定律叫做“鲶鱼效应”，原意是说挪威的渔民在捕获沙丁鱼满载而归的时候，会在鱼槽里放入几条鲶鱼，而这些鲶鱼恰恰就是沙丁鱼的天敌。有了鲶鱼的存在，沙丁鱼就不敢懈怠，时刻游动着，最后在渔船回到渔港时，所有的沙丁鱼都还活蹦乱跳着。 [&]
对数学思辨的思考，是认识数学的基本功。我们要习惯抽象的思考、理性的论说，这是思想走向深刻的必经之途。前几节的论说当然还可以继续下去。但同时，我们要感知思想与现实的转换、抽象与生动的关联，才会拥有一个完整的世界。不要认为数学只是抽象的、思辨的，数学可以触及我们生活的每一个方面，甚至作用于我们的感官、我们的心灵、我们的情感。现在，我们要把思辨的叙述方式改为一种较为感性的方式，让我们感受一下数学的生动的一面。我们可以举很多领域的很多例子，但我们乐于先举人们认为与数学隔得最遥远的领城里的例子，这样更能打破对数学的狭隘观念。本节所举绘画中的例子与下节所举文学中的例子，只是其中几个，远未说尽数学与它们的关系。艺术家在数学中可以获得的灵感和借之进行创作的可能性，是无穷无尽的，这对于当代艺术尤其如此。 在绘画史上有独特地位的荷兰画家埃舍尔，把自己称为一个“图形艺术家”，他专门从事于木版画和平版画。1898年他出生在荷兰。他以超凡的构思和想像力并结合他的绘画技巧，把许多数学思想形象地表达在他的绘画中。 1956年他举办了他的第一次重要的画展，这个画展得到了《时代》杂志的好评，并且获得了世界范围的名望。在他的热情的赞美者中不乏著名的数学家。他们认为在他的作品中数学的原则和思想得到了非同寻常的形象化。这个荷兰的艺术家没有受过中学以外的正式的数学训练，因而尤其令人赞叹。随着他的创作的发展，他继续阅读了不少数学著作，他从他读到的数学的思想中获得灵感，他在工作中经常引用平面几何和射影几何的结构，也援引一些抽象代数的概念，特别是对映射、变换、对偶、同构等的应用。他还用一些作品深刻地反映了非欧几何的思想。他还为拓扑学、悖论和“不可能——可能”的图形结构所陶醉，用他的不少作品表达了拓扑的奇妙和悖论的困惑。他以非凡的绘画技巧和想像力来表达数学思想和哲学思想，他的画因此几乎是独一无二的，既奇特又引人思考。 我们来看埃舍尔的几幅画： 埃舍尔知道：欧氏立体几何学决定了空间的一种逻辑，并使我们养成了一种看待空间的习惯。同样地，空间的逻辑将会决定属于它的立体几何学。他经常使用空间的逻辑特征与我们视觉的微妙关系，去展示在凹面和凸面物体上的光和阴影。在平版画《有带子的立方体》（见图1.1）中，带子上的凹凸是我们觉察它们怎样与立方体缠绕在一起的视觉线索。然而，如果我们相信我们的眼睛，那么我们不能相信这带子。因为，当你久久注视这幅画，你会看到带子上的圆形物一会儿显得凸起，一会儿又显得凹下。这怎么可能呢？它究竟是凸起，还是凹下？我们究竟是相信带子的客观唯一性，还是相信亲眼所见的变动不定？除了欧几里得几何学和非欧几里得几何学，埃舍尔对拓扑学的视觉效果也很感兴趣，拓扑学是在他艺术创作的鼎盛期发展起来的一个数学分支。拓扑学关注空间在连续变换中依然不变的性质，这种连续变换可以是扭曲可以是拉长可以是弯曲可以是压缩，但不是撕裂或折断。拓扑学家们向世界展示了很多拓扑学的奇妙结论，《莫比乌斯带》（见图1.2）是一个重要的例子，埃舍尔利用它创作了许多作品。它有一个令人感兴趣的性质：它只有一条边和一个面。这样，如果你在莫比乌斯带上跟踪蚂蚁的路径，你将发现它们可以不越出边界就走完带子的全部的面。蚂蚁永远走在同一个面上，因为这条带子本来就只有一个面（注意，一般的一页顷纸是两个面）。制作一个莫比乌斯带很容易，只要用剪刀把纸剪成条状，将它扭曲180度然后用胶水或胶带粘住两头就可以了。
埃舍尔在这里表现的一个核心概念是自我复制。平版画《互绘的双手》（见图1.3）表现了这个思想。自我复制是直接的。双手互绘对方，互绘的方式就是意识在思考着并思考着自己的思考的方式。这幅画里神奇地表达着自我和自我的创造是紧密连接在一起的，甚至自我与自我的创造是相互等同的。
你无法分辨，究竟是哪只手在画哪只手。 自我复制的状态，有多种数学解释。既与某种对称性有关，又与某种自指性有关。而循环自指常常是悖论的根源。画面上的手既是被另一只手画的，又是画另一只手的，这种奇异的关系，表达了一种悖论的意味。 悖论是数学发展史上极具挑战性的事物，它是一个源远流长的话题，在20世纪初，它曾直接引发了第三次数学危机。由于这一危机，才激发了数理逻辑的进一步发展，并使集合论有了更深入更明晰的表述。 这幅名为《自由》(见图1.4)（也译为《解放》）的画，是埃舍尔多幅表现变换思想的画之一。最初被机械地强制在一个平面上的整齐划一的三角形，在向上的伸展中慢慢地变化着。愈向上，变换愈明显。终于，平面的三角形成了自由飞翔的鸟。这是一幅寓意深长的画。不论开始是多么严酷的禁锢，只要用力向上，反抗束缚，那怕每一次变化并不多，持之以恒，就终于可以自由地展翅飞翔！ 变换是抽象代数中一个极其重要的概念，这幅画让人对此有了深刻的印象。还应注意此画的黑白相嵌，它表达了事物相互映衬的关系，也表达着数学上的互补性概念和对偶性概念。 埃舍尔在1972年去世之前留给我们的几百幅素描、平版画和木版画，限于篇幅只好仅选这几幅。关于他的作品的价值、意义和重要性还可以谈很多。进一步更深入地去探索埃舍尔留下的丰富遗产，从他的绘画中去思考他的梦幻世界、去思考数学世界和现实世界与艺术想像之间的丰富联系，会是很有益的。
埃舍尔的画只是数学与绘画间直接联系的例子之一。我们要指出，在任何绘画的构图、透视、比例中无一不与数学相关。绘画大师达·芬奇就研究过数学并用以指导他的创作。他甚至把一种有千年历史的数学内分比重新命名，称之为黄金分割，以突出它在绘画与美学中的特殊地位。 我们还要指出，有一些新兴的数学学科，甚至直接推动了一些绘画与艺术的新派别的形成。比如分形之于分形艺术就是一例。分形(fractal)一词是分形学的奠基人曼德勃罗 特在1975年新创的。此词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere（“破碎”、“产生无规则碎片”）。此外与英文的fraction（"碎片"、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根。在20世纪70年代中期以前，曼德勃罗特一直使用英文fractional 一词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、部分的而又相关的。曼德勃罗特想用此词来描述自然界中欧几里得几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸、起伏不平的山脉、变幻无常的浮云、九曲回肠的河流、明暗闪烁的繁星，等等。1982年他的名著《大自然的分形几何学》出版，这部著作以精妙的数学方法，显示了将分形用于自然现象描述的可能性。这是一部既深刻又生动的、影响巨大的分形学的奠基之作。关于这些我们就不在此详述，而留待以后探讨。这里仅举几幅有分形意味的画图：
& & 分形作为一种新提出的尚未定型的概念，它既有一些严格的数学刻画，又有一些开放的边界．我们采取比较宽泛的理解，把有以下特征之一的图形、事物或关系称为分形或具有分形结构： (1)分形的维数不是整数并严格大于它相应的拓扑维数。即当你把一个图形（可以是面也可以是体，等等）分为n个形状相似的等份，每一份的缩放比例是r，它的维数d是按下式计算： d=(logn)/[log(1/r)] 当d不为整数时，此图形即为分形。 (2)分形具有自相似性，可以是近似的自相似或者统计的自相似。 (3)分形具有任意小尺度下的细节，它具有精细的结构。 上面的说法或许会令初学者较难理解，我们可先放一放，而以一种更日常化的语言来说。一方面分形可以体现许多传统的美学标准，如平衡、和谐、对称，等等，但更多的是超越这些标准的新的表现。分形中的平衡，是一种动态的平衡，一种各个部分在变化过程中相互制约的平衡，而且每一部分都不是简单单调的；分形的和谐是一种数学上的具有连续性的和谐，每一个形状的变化，每一块颜色的过渡都是一种自然的流动，毫无生硬之感。分形的相似（对称），既不是左右相似也不是上下相似，而是局部与更大范围的局部的相似，或说局部与整体的相似。同时分形里又可以有分叉、缠绕、不规整的边缘和丰富的变换，它给我们一种既纯真又野性的美感，一种混沌初开的天然情趣。分形的审美理想既不崇尚简单，也不崇尚混乱，而是崇尚混沌中的秩序，统一中的丰富。分形结构是复杂的，它总是有无穷的生动在里面，每一个局部都有无穷的变化在进行。然而，它杂而不乱，它有内在的秩序，有局部与整体的关联，有自相似的结构。分形的画面内涵丰富，仿佛里面蕴藏着无穷的创造力，使欣赏者不能轻而易举地看出里面的所有内涵。想像一下吧，你从高空俯瞰海岸，你看到弯曲的海岸线，那海岸是一条简单的曲线吗？不，它是一种分形。当飞机下降一些高度，你看到原来海岸的一个部分，它像此前的曲线吗？既像又不像；再下降再观看，这种既不同又类似的景象会再次映入眼帘。海岸因而带给你既变幻无穷又可以识别的美。你再想像一下，你走入了莽莽苍苍绵延无际的原始森林，你会难辨方位，茫然无措。四周的景象，任你走了多远，仍何其相似。但林中的猎人却来去自如，在你只看到相似的地方，他却看到差异，他知道走在何方。林中的树木组成了森林，森林可以视作一种分形！森林给人的这种分形意味上的丰富感受，增加了它的美。上面给出的四幅画图，其中都蕴涵了自相似的分形结构。那海岸的曲线奇妙地弯曲延伸，那大地上的植被与色彩天然地交错搭配，那群峰中的每一座山峰不又是由峰峦组成的吗？那光焰中的每一朵焰花也是多么的相似相称。正是这些画图中分形的意境，让你感到一言难尽的美妙韵味！ 今天，借助数学提供的思想与方法，再加上建立在数学之上的计算机的使用，已经催生了不少新的艺术流派。埃舍尔的绘画和曼德勃罗特的分形艺术只是这类流派中的两个。就对这两个流派而言，此处也只是浮光掠影的介绍而已。}