从0、2、3、4、8五个数字中选出四个数字组成一个同时含有2、3、5三个因数的最大四位数是_______百度知道
从0、2、3、4、8五个数字中选出四个数字组成一个同时含有2、3、5三个因数的最大四位数是______
3从0、3、8五个数字中选出四个数字组成一个同时含有2、4、2
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则千位数可取8，3，就要使组成这个数的其它数字尽量大，又8+4+3=15根据能被 2：这个四位数的个位数一定为零．又根据数位知识可知，5整除数的特征可知，且要使高位上的数字尽量大，要想使这个数最大：8430．故答案为，所以这个数最大可为
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出门在外也不愁因数和倍数的认识
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因数和倍数的认识
来源：丰师附小&
一、课型定位：重点课
二、设计理念
1、体现分类有序的列举思想：有理解整除的含义和整除与除尽的关系时，教师引导学生对除法算式进行分类，从而理解整除的含义，明确判断是否能整除要满足4点&&被除数、除数、商都是整数，且没有余数；在找因数的个数时，教师引导学生理解不论是用除法算式还是用乘法算式找因数，都要按照有序思维将一个自然数的所有因数找出来。& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
&2、突出学生的主体地位：针对几何知识教学的特点以及小学生以形象思维为主的特点，主要采用动手操作，自主探索，合作交流的学习方式，给学生提供操作、观察、实验，想象，推理的平台，体现学生的主体地位。& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
3、注重反馈教学法：为了体现学生的主体性和创新性，在教学中采用反馈教学法进行教学，给学生提供一个参与概括整除、因数和倍数含义和运用理解概念的机会，学生在讲练结合中，在阶段性小结中，不仅&学会&而且&会学&。
三、本课分析：
（一）本课在单元中的定位
&因数和倍数的认识&是北京市义务教育课程改革实验教材小学数学第十册第五单元的初始内容。因数和倍数的认识是在学生学过的自然数、整数的计数和整数四则运算的基础上进行教学的。这部分知识是将来进一步学习奇数和偶数、质数和合数、公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数以及自然数分类的基础。
（二）本课要完成的单元目标及教法体现
教学目标：
1、知识与技能：
（1）了解整除、因数和倍数的含义，知道整除与除尽的关系；
（2）理解用&乘和除& 这两种找因数方法的联系，看到一个整除算式能够全面地理解其中的因数和倍数的关系；
（3）理解并掌握一个数因数的特点，初步感知因数个数的特点。
（4）能比较熟练地掌握找一个数因数的方法
2、过程与方法：
通过观察、操作、合作与交流等，激发学生的兴趣和求知欲，通过教师引导使学生认识整除的特征,使学生了解整除与除尽的联系与区别，能够熟练地判断出能整除的算式；在此基础上，使学生明确因数和倍数的含义，使学生知道事物是相互依存的，受到&对立统一&观点的启蒙教育。
3、情感态度价值观：
通过观察、操作、合作与交流等，激发学生的兴趣和求知欲，让学生经历探究知识的过程，体验数学活动充满着探索与创新。
在数学活动中体验互相尊重。
（三）教学重难点
教学重点：1、理解整除、因数和倍数的含义；
2、整除和除尽的关系；
3、掌握找出一个数因数的方法及因数的特点。
教学难点：理解整除、因数和倍数的含义。
（四）教学过程：
&一、& & & & 复习旧知，链接新知
1、到目前为止，我们学过了哪些数？
生：自然数、整数、小数、分数等。
这里有一些数，请你进行多选，哪些是自然数？
生：选择①5&
师强调：这些自然数都是整数。
今天我们要研究的自然数是指除０以外的自然数。
二、合作探究
（一）整除和除尽的关系
1、出示一些算式：(白板拖动)
20 &8 =2.5
24 &0.4 =60
10 &9 =1.1
请你把这些算式分分类，并说明理由。
生先独立分类
生再同桌交流
学生先把除不尽的分出来
10 &9 =1.1
其它为除尽的。
20 &8 =2.5
24 &0.4 =60
师板书：除不尽
板书：除尽
师：谁还有其它分法。
这三个算式又分出来
是因为它们的被除数、除数和商都是整数
师：出示7&3＝2&&1
这个算式的被除数、除数和商也都是整数，它能和这三个算式归为一类吗?
生：不能，因为它有余数，而这三个的商没有余数。
2、揭示整除的含义。
师：这三个算式是能整除的算式。
板书：整除
师：谁能说说能整除的算式具有什么特点？
生：被除数、除数、商都是整数，且商没有余数。（三整无余）
出示小结：
整除算式：被除数、除数、商都是整数，且商没有余数。
师：谁能说说除尽和整除之间的关系？
生：除尽包括整除。能除尽的不一定能整除，能整除的一定能除尽。
3、满足什么条件的算式才是能整除的算式？
生：满足&被除数、除数、商都是整数，且没有余数&这4个条件的算式才是能整除的算式。
4、自己试着写一个整除算式，并说明理由。
生：写整除算式，同桌互查。
生汇报订正
5、巩固练习
是不是能整除的算式？
①是& ② 不是
请出错的学生说说为什么这样选择？
以此强调三整无余的判断整除的4个条件。
12&2.4 = 5
是不是能整除的算式？
①是& ② 不是
4.8&1.2 = 4
是不是能整除的算式？
①是& ② 不是
40&30 = 1 &&10
是不是能整除的算式？
①是& ② 不是
是不是能整除的算式？
①是& ② 不是
（二）因数和倍数的含义
1、12&3=4是能整除的算式。
我们就说：
12 能被3整除，（师强调：被除数能被除数整除）或3能整除12（师强调：除数能整除被除数）
你说说12还能被谁整除？
生：12能被4整除
12能被4整除，还可以怎么说？
生：4能整除12
2、在整除的基础上，12、3、4三都还存在着这样的关系：
12是3和4的倍数，3和4是12的因数。
3、巩固练习
72&8 = 9我们就说
（& ）能被（& & ）整除，
（& ）能整除（& & ）。
（& ）是（& & ）的倍数，
（& ）是（& & ）的因数。
生：72能被8、9整除，8、9能整除72。
72是8和9的倍数，8和9是72的因数。
小结：因数和倍数是相互依存的，决不能说72是倍数，8和9是因数。
根据刚才学习的内容，
你能说说30、3、10之间
的关系吗？
生：30能被3、10整除，3、10能整除30。
30是3和10的倍数，3和10是30的因数。
15&5 = 3 我们就说（& ）能被（& ）整除。① 5& &
15& & & ② 15& &
15&5 = 3 我们就说（& ）能整除（& ）。① 5& &
15& & ② 15& &
4.8&1.2=4我们就说：4.8能被1.2（&
）。① 整除&
12&24=0.5 我们就说（& ）能被（& ）除尽。① 24& &
12是倍数，3是因数。① 对&
（三）找因数的方法
12的因数只有3和4吗？
生：不是，还有
12的因数有（& & & & & & & & & & & ）。
请大家找找，并在旁边写出找因数的方法。
生找12的因数。
所以12的因数还有1、12，2、6、3、4.
12的因数：1、2、3、4、6、12
师：除了用除法算式找因数外，还有其他的方法吗？
生：还可以用乘法算式来找因数的个数。
所以12的因数有1、2、3、4、6、12
师：怎么找能把所有的因数找出来？
生：有序、成对。
师：写因数时，怎么写更合适？
师板书：12的因数有：1、2、3、4、6、12
中间留的空大点，写熟了，就好了。
怎么知道自己写全了？
生发现:第一要有序地写；第二中间的两个数最接近了，就写全了。
而1、12、2、6、3、4这样写看不出自己是不是找全了。
（2）25的因数有（& & & & & & & & & & & ）。
生：25的因数有1、5、25
生：当有两个一样的因数时，只写一个数。
2、发现探究因数的特点：
议一议：观察它们的因数你发现了什么？
代表汇报：
一个数的因数的个数是有限的，
其中最小的因数是1，
最大的因数是它本身。
3、怎么找因数才能把因数找全？
生：找因数都是有序、成对找的。
找因数都是有序、成对找的。
（1）在下面的圈里填上合适的数，& & 并在旁边写出思考过程。
生找因数，写思考过程。
（2）想想你的学号是几，找到它的全部因数。
生写自己学号的因数。
（3）请以下学生说出自己学号的因数。
40的因数有：
9的因数有：
15的因数有：
1的因数有：
36的因数有：
2的因数有：
41的因数有：
这些学号的学生一一说出自己学号的所有因数。
师：观察上面这些数的因数，你有什么发现？
生：这些数的因数里都有1.
1的因数只有1。
1是所有自然数的因数。
（4）你还发现了什么？
预设：双数的因数最多。
师：对吗？
生：不对，因为36是双数，40也是双数，可36的因数有9个，而40的因数就有8个。
师：94是偶数，大家看看它有几个因数？
生：94的因数有：1、2、47、94，共有4个。
师：是不是双数越大，因数的个数就越多？
生：不是，因为94最大，可它有4个因数，而36小，它有9个因数。
师小结：因数的个数多少，不是从单、双数这方面来判断的，也不是说数大因数的个数就多。
师：你们发现了吗？这些数的因数个数有单数和双数之分，老师根据因数个数的单数个和双数个进行了分类。
完全平方数
非完全平方数
1、2、3、4、6、9、12、18、36
1、3、5、15
1、2、4、5、8、10、20、40
生：有单数个因数的1、9、36都是完全平方数。
师：有单数个因数的数都是什么数？
生：有单数个因数的数都是完全平方数。
师：其他各数的因数个数都是什么数？（生：双数个。）
我们给这些自然数叫什么？（生：非完全平方数。）
师小结：有单数个因数的数都是完全平方数；
有双数个因数的数都是非完全平方数。
看看自己理解了吗？
完全平方数（1、4、9、16、25&&）的因数有（& & ）个。A.双数& B.单数
5、此时我们可以把自然数分为两类，哪两类？
（生：自然数分为完全平方数和非完全平方数）
6、小结：这节课我们了解到能整除算式的特征；了解了除尽与整除的关系；了解了因数与倍数的含义；找因数的方法；写因数个数的写法；知道了因数的特点&&一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；知道了1是所有自然数的因数；知道了完全平方数的因数的个数是单数个，非完全平方数的因数的个数是双数个，因此自然数分为完全平方数和非完全平方数两类。
下面我们一起做一些练习看看自己对这节课所学知识理解掌握了多少。
三、分层练习，人人收获
24是倍数，8是因数。① 对&
一个数的因数的个数是（&
）。A.& 有限的& & B.& 无限的
32&8＝4，32的因数只有8和4。① 对&
2.1&0.3＝7，
2.1是0.3的倍数，
0.3是2.1的因数。① 对& & ② 错
1是1、2、3、4&&的因数。① 对&
有单数个因数的数都是完全平方数。① 对&
一个数最大的因数是94，这个数是94，最小的因数是1. ① 对&
如果19能被A整除，则A可能是哪些数？①&
1、a、b、c是三个不同的自然数（0除外）， a&b&c有多少个因数？分别是多少？
2、游戏：猜生日。
年份：第一位数是所有自然数的因数。
第二位数的最大因数是9。
第三位数是10以内最大的完全平方数。
第四位是今天研究的被除外的自然数。
月份：它是自然数中拥有因数最少的数。
日期：日期中最大的拥有单数个因数的数。
他的生日是：（ ）年（ ）月（ ）日
3、小明有12个小正方形，小华有16个小正方形，小刚有57个小正方形，老师要求他们用手中的小正方形摆出不同的长方形或正方形，谁的摆法多，谁就获胜，请你帮老师判断一下，哪位同学获胜？
结论：用小正方形摆长方形与成对找因数的方法一样，有几对因数就有几种摆法，摆法的多少与数的大小、奇偶无关。（数形结合）
四、总结收获：
1、通过这节课同学们自己的探究学习，你学到了哪些知识？
师板书课题：因数和倍数
2、你学到了哪些数学方法？
3、你还有哪些收获？
七、拓展知识
小资料：完美数
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因数、倍数,各有什么特点?
因数、倍数,各有什么特点?
你问的问题稍有些麻烦!我知道：一个数的最小因数是一,最大的因数是它本身.一个的数因数的个数是有限的.倍数：是由两因数组成.因数：倍数除以因数等于因数.我就会这些希望对你有帮助!
一个数的最小因数是一，最大的因数是它本身。一个的数因数的个数是有限的。倍数：是由两因数组成。因数：倍数除以因数等于因数。/question/.html###因式分解_百度百科
关闭特色百科用户权威合作手机百科 收藏 查看&因式分解
把一个多项式在一个范围（如有理数范围内分解，即所有项均为有理数）化为几个的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式。在求根作图方面有很广泛的应用。原则：1、分解必须要彻底（即分解之后因式均不能再做分解）2、结果最后只留下小3、结果的首项为正。 在一个内把其抽出，即透过公式重组，然后再抽出公因子。4.括号内的第一个数前面不能为负号；5.如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。即a（a+b）的形式。外文名Factorization性&&&&质一个多项式化为几个最简整式的积特&&&&性方法灵活，技巧性强作&&&&用提高综合分析和解决问题的能力
因式分解的和主要常规主要公式　：把一个多项式化为几个最简的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作）。例如：m?-n?=（m+n）（m-n)
意义：它是中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习整式的，又为学习打好；学好它，既可以培养学生的、发展性、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决的能力。
基本结论：
分解因式与整式乘法为相反
同时也是解中法的重要步骤
高级结论：
在上因式分解有一些，在初等数学层面上证明很困难，但是理解很容易。
1、因式分解与解高次方程有密切的关系。对于和，初中已有相对固定和容易的方法。在上可以证明，对于和，也有固定的公式可以求解。只是因为公式过于复杂，在非专业领域没有介绍。对于分解因式，三次多项式和四次多项式也有固定的分解方法，只是比较复杂。对于五次以上的一般多项式，已经证明不能找到固定的，五次以上的一元也没有固定解法。
2 、所有的三次和三次以上的一元多项式在实数范围内都可以因式分解，所有的二次或二次以上的一元多项式在复数范围内都可以因式分解。这看起来或许有点不可思议。比如X4+1,这是一个一元四次多项式，看起来似乎不能因式分解。但是它的次数高于3，所以一定可以。如果有兴趣，你也可以用将其分解，只是分解出来的式子并不整洁。（这是因为，由可知n次一元多项式总是有n个根，也就是说，n次一元多项式总是可以分解为n个一次的。并且还有一条定理：实系数多项式的虚数根两两共轭的，将每对共轭的虚数根对应的一次因式相乘，可以得到二次的实系数因式，从而这条结论也就成立了。）
3 、因式分解没有方法，但是求两个的公因式却有固定方法。因式分解很多时候就是用来提公因式的。寻找公因式可以用辗转相除法来求得。标准的辗转相除技能对于中学生来说难度颇高，但是中学有时候要处理的多项式次数并不太高，所以反复利用多项式的除法也可以但比较笨，不过能有效地解决找公因式的问题。
4、因式分解是很困难的，但初中所接触的只是因式分解很简单的一部分，真正的因式分解需要研究生的水准，在因式分解上有重要的应用，大家可以尝试因式分解x^n-1，这是一道经典的考题曾经在1978年全国奥数竞赛中出现。十字相乘法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用(x+a)(x+b)=x?+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
a?x?+ax-42
首先，我们看看第一个数，是a?，代表是两个a相乘得到的，则推断出(a ×+？）×(a ×+？），
然后我们再看第二项， +ax这种式子是经过合并同类项以后得到的结果，所以推断出是两项式×两项式。
再看最后一项是-42 ，-42是-6×7 或者6×-7也可以分解成 -21×2 或者21×-2。
首先，21和2无论正负，通过任意加减后都不可能是1，只可能是-19或者19，所以排除后者。
然后，再确定是-7×6还是7×-6。
(a×-7）×(a×+6）=a?x?-ax-42(计算过程省略）
得到结果与原来结果不相符，原式+ax 变成了-ax。
(a×+7）×(a×+(-6））=a?x?+ax-42
正确，所以a?x?+ax-42就被分解成为(ax+7）×(ax-6），这就是通俗的分解因式。公式法，即运用公式分解因式。
公式一般有
1、平方差公式a?-b?=（a+b）（a-b）
2、完全平方公式a?±2ab+b?=（a±b）?，，，，轮换对称多项式法，法，求根公因式分解没有普遍适用的方法，初中数学教材中主要介绍了、运用、。而在竞赛上，又有拆项和添减项法式法，，，，等。
注意四原则：
（是否有，是否可用公式）
2．最后结果只有小括号
3．最后结果中首项为正（例如：-3x2+x=x(-3x+1)）不一定首项一定为正，如-2x-3xy-4xz=
-x(2+3y+4z)
归纳方法：
2．运用公式法。
3．拼凑法。
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的.公因式可以是，也可以是。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式。
具体方法：当各项都是时，公因式的系数应取各项的字母取各项的相同的字母，而且各字母的取次数最低的。当各项的系数有时，公因式系数为各分数的。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
口诀：找准公因式，一次要提尽，全家都搬走，留1把家守，提负要变号，变形看奇偶。
注意：把 变成 不叫提公因式根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法
如果把反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用。
： 反过来为
： 反过来为
注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3
公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
例如：a2+4ab+4b2 =(a+2b)2
1．分解因式技巧掌握：
①分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。
②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示。
③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的。
④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。
2．基本步骤：
（1）找出公因式
（2）提公因式并确定另一个因式
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同通过解方程来进行因式分解，如：
X2+2X+1=0 ,解，得X1=-1，X2=-1，就得到原式=（X+1）×（X+1）分组分解是分解因式的一种简洁的方法，下面是这个方法的详细讲解。
能分组分解的有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。
ax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用，两两相配，立即解除了困难。
同样，这道题也可以这样做。
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
几道例题：
1． 5ax+5bx+3ay+3by
解法：=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)
说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。
2． x2-x-y2-y
解法：=(x2-y2)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。
三一分法，例：a^2-b^2-2bc-c^2
=a^2-(b+c)^2
=(a-b-c)(a+b+c)十字相乘法在解题时是一个很好用的方法，也很简单。
这种方法有两种情况。
①x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．
例1：x2-2x-8
=(x-4)(x+2)
②kx2+mx+n型的式子的因式分解
如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=(ax+c)(bx+d)．
例2：分解7x2-19x-6
图示如下：a=7 b=1 c=2 d=-3
因为　-3×7=-21，1×2=2，且-21+2=-19，
所以，原式=(7x+2)(x-3)．
口诀：分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。
例3：6X2+7X+2
第1项二次项（6X2）拆分为：2×3
第3项常数项（2）拆分为：1×2
2（X）　3（X）
对角相乘：1×3+2×2得第2项一次项（7X）
纵向相乘，横向相加。
十字相乘法判定定理：若有式子ax2+bx+c，若b2-4ac为完全平方数，则此式可以被十字相乘法分解。
与十字相乘法对应的还有，也可以学一学。这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)．对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个，然后再利用，就能将其因式分解，这种方法叫。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如：x2+3x-40
=x2+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)2-(6.5)2
=(x+8)(x-5)．对于多项式f(x)，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．
例如：f(x)=x2+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x2+5x+6的一个因式。(事实上，x2+5x+6=(x+2)(x+3)．)
注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数
2．对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做。注意：换元后勿忘还元。
例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12时，可以令y=x2+x,则
原式=(y+1)(y+2)-12
=y2+3y+2-12=y2+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x2+x+5)(x2+x-2)
=(x2+x+5)(x+2)(x-1)．令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3，……，xn，则该多项式可分解为f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．
例如在分解2x4+7x3-2x2-13x+6时，令2x4 +7x3-2x2-13x+6=0，
则通过可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1．
所以2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．
令y=f(x)，做出y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1,x2,x3,……xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．
与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。例如在分解x3+2x2-5x-6时，可以令y=x3+2x2-5x-6.
作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2
则x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
例如在分解x3+9x2+23x+15时，令x=2，则
x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105，
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 ．
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，
则x3+9x2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
例如在分解x4-x3-5x2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有，因而只能分解为两个二次因式。
于是设x4-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)相关公式=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd
ac+b+d=-5，
ad+bc=-6，
解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．
则x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)．
也可以参看右图。双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。
双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下：
ax2+bxy+cy2+dx+ey+f
x、y为未知数，其余都是常数
用一道例题来说明如何使用。
例：分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12．
分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。
解：图如下，把所有的交叉相连即可
x 　2y 　2
x 　3y　 6
∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．
双十字相乘法其步骤为：
①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)
②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6)
③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。
④横向相加，纵向相乘。（根与系数关系二次多项式因式分解）
例：对于二次多项式 aX2+bX+c(a≠0)
当△=b2-4ac≥0时，设aX2+bX+c=0的解为X1,X2
=a(X2-(X1+X2)X+X1X2)
=a(X-X1)(X-X2).①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解
④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。”1．分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2．
解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（补项）
=[(1+y)+x2(1-y)]2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（完全平方）
=[(1+y)+x2(1-y)]2-(2x)2
=[(1+y)+x2(1-y)+2x][(1+y)+x2(1-y)-2x]
=(x2-x2y+2x+y+1)(x^2-x2y-2x+y+1)
=[(x+1)2-y(x2-1)][(x-1)2-y(x2-1)]
=[(x+1)2-y(x+1)(x-1)][(x-1)2-y(x+1)(x-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．
2．求证：对于任何x,y，下式的值都不会为33：
x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5．
解：原式=(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5)
=x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y)
=(x+3y)(x4-5x2y2+4y4)
=(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．
当y=0时，原式=x5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原成立。
3．．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c2+a2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。
分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。
证明：∵-c2+a2+2ab-2bc=0，
∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．
∴(a-c)(a+2b+c)=0．
∵a、b、c是△ABC的三条边，
∴a+2b+c&0．
∴a－c=0，
即a=c，△ABC为等腰三角形。
4．把-12x2n×yn+18xn+2yn+1-6xn×yn-1分解因式。
解：-12x2n×yn+18xn+2yn+1-6xn×yn-1
=-6xn×yn-1(2xn×y-3x2y2+1)．因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举下例，可供参考。
例1 把-a2-b2+2ab+4分解因式。
解：-a2-b2+2ab+4=-(a2-2ab+b2-4）=-[(a-b)2-4]=-(a-b+2)(a-b-2)
这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2+4y2=(-3x)2-(2y)2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)的错误。
这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。
分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2-5x2y2-9y2=y2(4x4-5x2-9)=y(x+1)(4x2-9)的错误，因为4x2-9还可分解为(2x+3)(2x-3)。
考试时应注意：
在没有说明化到实数时，一般只化到就够了，有说明实数的话，一般就要化到！
由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”等是一脉相承的。1． 应用于除法。
：a(b-1)(ab+2b+a)　　说明：(ab+b)2-(a+b)2 = (ab+b+a+b)(ab+b-a-b) = (ab+2b+a)(ab-a) = a(b-1)(ab+2b+a)．
2． 应用于高次方程的求根。
3． 应用于分式的与
顺带一提，梅森分解已经取得一些微不足道的进展：
1，p=4r+3，如果8r+7也是，则：(8r+7)|(2P-1)。即（2p+1）|（2P-1）
23|(211-1);；11=4×2+3
47|(223-1);；23=4×5+3
167|(283-1);,,,.83=4×20+3
2,p=2n×32+1,，则（6p+1）|(2P-1)，
例如：223|(237-1)；37=2×2×3×3+1
439|(273-1)；73=2×2×2×3×3+1
3463|(2577-1)；577=2×2×2×2×2×2×3×3+1
3，p=2n×3m×5s-1,则（8p+1）|（2P-1）
例如；233|(229-1)；29=2×3×5-1
1433|(2179-1)；179=2×2×3×3×5-1
1913|（2239-1）；239=2×2×2×2×3×5-1(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2两数差乘以它们的平方和与它们的积的和等于两数的立方差。
即a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
证明如下：（ a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3
所以a3-b3=(a-b)3-[-3(a2)b+3ab2]=(a-b)(a-b)2+3ab(a-b)
=(a-b)(a2-2ab+b2+3ab)=(a-b)(a2+ab+b2)
同理 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)十字相乘法能把某些二次三项式。要务必注意各项的符号。
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
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