点运动的时间比点多秒,运动的路程也多出了.利用翻折得到的线段长,再利用勾股定理可求得点的横坐标,纵坐标和点的纵坐标相等.当平行的时候,所截得的线段对应成比例,即可求得时间值.当垂直的时候也要找到一组平行线,得到对应线段成比例看是否在相应的范围内.
,.当时,过点作,交于,如图,则,,,.能与平行.若,如图,则,即,,而,.不能与垂直.若,延长交于,如图,则...又,,,,而,不存在.
注意使用翻折得到的对应线段相等;当两条直线平行的时候,所截得的对应线段是成比例的.
3970@@3@@@@翻折变换（折叠问题）@@@@@@263@@Math@@Junior@@$263@@2@@@@图形的对称@@@@@@53@@Math@@Junior@@$53@@1@@@@图形的变化@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3910@@3@@@@矩形的性质@@@@@@259@@Math@@Junior@@$259@@2@@@@四边形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3991@@3@@@@平行线分线段成比例@@@@@@266@@Math@@Junior@@$266@@2@@@@图形的相似@@@@@@53@@Math@@Junior@@$53@@1@@@@图形的变化@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
@@53@@7##@@52@@7##@@53@@7
第一大题，第2小题
第一大题，第2小题
第三大题，第4小题
第三大题，第8小题
第一大题，第5小题
第二大题，第5小题
第三大题，第8小题
第一大题，第1小题
第三大题，第8小题
第二大题，第5小题
第二大题，第23小题
第一大题，第27小题
第三大题，第5小题
第一大题，第8小题
第三大题，第7小题
第三大题，第7小题
第二大题，第5小题
第一大题，第29小题
第一大题，第24小题
第三大题，第9小题
求解答 学习搜索引擎 | 将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中,O(0,0),A(6,0),C(0,3).动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动,运动\frac{2}{3}秒时,动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动.当其中一点到达终点时,另一点也停止运动.设点P的运动时间为t(秒).(1)用含t的代数式表示OP,OQ;(2)当t=1时,如图1,将沿\Delta OPQ沿PQ翻折,点O恰好落在CB边上的点D处,求点D的坐标;(3)连接AC,将\Delta OPQ沿PQ翻折,得到\Delta EPQ,如图2.问:PQ与AC能否平行?PE与AC能否垂直?若能,求出相应的t值;若不能,说明理由.（2013o重庆）已知，在矩形ABCD中，E为BC边上一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF．如图1，现有一张硬质纸片△GMN，∠NGM=90°，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上．如图2，△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ．当点N到达终点B时，△GMN和点P同时停止运动．设运动时间为t秒，解答下列问题：
（1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；
（2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）在整个运动过程中，设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S．请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．
（1）如答图1所示，证明QEMG为平行四边形，则运动路程QG=EM=10，t值可求；
（2）△APQ是等腰三角形，分为三种情形，需要分类讨论，避免漏解．如答图2、答图3、答图4所示；
（3）整个运动过程分为四个阶段，每个阶段重叠图形的形状各不相同，如答图5﹣答图8所示，分别求出其面积的表达式．
解：（1）在Rt△GMN中，GN=6，GM=8，∴MN=10．
由题意，易知点G的运动线路平行于BC．
如答图1所示，过点G作BC的平行线，分别交AE、AF于点Q、R．
∵∠AED=∠EGM=90°，∴AE∥GM．
∴四边形QEMG为平行四边形，
∴QG=EM=10．
∴t=101?&& =10秒．
（2）存在符合条件的点P．
在Rt△ABE中，AB=12，BE=16，由勾股定理得：AE=20．
设∠AEB=θ，则sinθ= 35&&，cosθ=45?&& ．
∵NE=t，∴QE=NEocosθ=45?&& t，AQ=AE﹣QE=20﹣45?&& t．
△APQ是等腰三角形，有三种可能的情形：
①AP=PQ．如答图2所示：
过点P作PK⊥AE于点K，则AK=APocosθ=45?&& t．
∵AQ=2AK，∴20﹣ 45?&&t=2×45?&& t，
解得：t=?253&& ；
②AP=AQ．如答图3所示：
有t=20﹣45?&& t，
解得：t=1009?&& ；
③AQ=PQ．如答图4所示：
过点Q作QK⊥AP于点K，则AK=AQocosθ=（20﹣45?&& t）× 45?&&=16﹣1625?&& t．
∵AP=2AK，∴t=2（16﹣1625?&& t），
解得：t=80057?&& ．
综上所述，当t=?253&& ，1009?& 或80057?&& 秒时，存在点P，使△APQ是等腰三角形．
（3）如答图1所示，点N到达点F的时间为t=7；
由（1）知，点G到达点Q的时间为t=10；
QE=10×45?&& =8，AQ=20﹣8=12，
∵GR∥BC，∴QREF&=AQAE?&& ，即QR7&=1220?&& ，∴QR= 215?&&．
∴点G到达点R的时间为t=10+ 215?&&=?715&& ；
点E到达终点B的时间为t=16．
则在△GMN运动的过程中：
①当0≤t＜7时，如答图5所示：
QE=NEocosθ=45?&& t，QN=NEosinθ= 35?&&t，
S=12?&& QEoQN=12?&& o45?&& to35?&& t=625?&& t2；
②当7≤t＜10时，如答图6所示：
设QN与AF交于点I，
∵tan∠INF=GMGN&=43?&& ，tan∠IFN=&ABBF&=43?&& ，
∴∠INF=∠IFN，△INF为等腰三角形．
底边NF上的高h= 12?&&NFotan∠INF= 12?&&×（t﹣7）×43?&& = 23?&&（t﹣7）．
S△INF=12?&& NFoh=12?&& ×（t﹣7）× 23?&&（t﹣7）= 13?&&（t﹣7）2，
∴S=S△QNE﹣S△INF=625?&& t2﹣ 13?&&（t﹣7）2=-775?&& t2+ 143?&&t﹣493?&& ；
③当10≤t＜715?&& 时，如答图7所示：
由②得：S△INF= 13?&&（t﹣7）2，
∴S=S△GMN﹣S△INF=24﹣ 13?&&（t﹣7）2=﹣13?&& t2+143?&& t+233?&& ；
④当715?&& ＜t≤16时，如答图8所示：
FM=FE﹣ME=FE﹣（NE﹣MN）=17﹣t．
设GM与AF交于点I，过点I作IK⊥MN于点K．
∵tan∠IFK= ABBF&=43?&&，∴可设IK=4x，FK=3x，则FM=3x+17﹣t．
∵tan∠IMF=IKFM&=4x3x+17-t&=34?&& ，解得：x= 37?&&（17﹣t）．
∴IK=4x= 127?&&（17﹣t）．
∴S=12?&& FMoIK=67?&& （t﹣17）2．
综上所述，S与t之间的函数关系式为：
S= 625?&& t2（0≤t＜7）
&S=& -775?&& t2+ 143?&&t﹣493?&&（7≤t＜10）
&S=﹣13?&& t2+143?&& t+233?&（10≤t＜715?&）
&S= 67?&& （t﹣17）2（715?&& ＜t≤16）将,点坐标代入函数中,求得,,进而可求解析式及坐标.等腰三角形有三种情况,,,.借助垂直平分线,画圆易得大致位置,设边长为,表示其他边后利用勾股定理易得坐标.注意到,运动速度相同,则运动时都为等腰三角形,又由,对称,则,,易得四边形四边都相等,即菱形.利用菱形对边平行且相等等性质可用表示点坐标,又在函数上,所以代入即可求,进而可表示.
解:二次函数的图象与轴交于,,,解得,..存在.如图,过点作于,此时,,,,,,,,.,,,,.作的垂直平分线,交于,此时,即为等腰三角形,设,则,,在中,,解得,,.以为圆心,长半径画圆,交轴于,此时,,,,.当时,,.综上所述,存在满足条件的点,点的坐标为或或.四边形为菱形,点坐标为.理由如下:如图,点关于与点对称,过点作,于,,,,,四边形为菱形,,,,,,,,,在二次函数上,,,或(与重合,舍去),.
本题考查了二次函数性质,利用勾股定理解直角三角形及菱形等知识,总体来说题意复杂但解答内容都很基础,是一道值得练习的题目.
3830@@3@@@@二次函数综合题@@@@@@255@@Math@@Junior@@$255@@2@@@@二次函数@@@@@@51@@Math@@Junior@@$51@@1@@@@函数@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
求解答 学习搜索引擎 | 如图,二次函数y=\frac{4}{3}{{x}^{2}}+bx+c的图象与x轴交于A(3,0),B(-1,0),与y轴交于点C.若点P,Q同时从A点出发,都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC边运动,其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.(1)求该二次函数的解析式及点C的坐标;(2)当点P运动到B点时,点Q停止运动,这时,在x轴上是否存在点E,使得以A,E,Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请求出E点坐标;若不存在,请说明理由.(3)当P,Q运动到t秒时,\Delta APQ沿PQ翻折,点A恰好落在抛物线上D点处,请判定此时四边形APDQ的形状,并求出D点坐标.证明,即可得到结论:;证明,即可得到结论:;与同理,可以分别证明,.在中,利用勾股定理求出(或)的长度,从而可求得,而,所以.
证明:,.在与中,,.猜测:.证明:由可知,.在与中,,.解:,,,.与同理,可以证明,.与同理,可以证明,.设,则.在中,由勾股定理得:,即:,解得:,即..,.
本题是几何综合题,考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理等知识点.试题难度不大,但要注意认真计算,避免出错.
3923@@3@@@@四边形综合题@@@@@@259@@Math@@Junior@@$259@@2@@@@四边形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
求解答 学习搜索引擎 | 某数学兴趣小组开展了一次课外活动,过程如下:如图1,正方形ABCD中,AB=6,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点与D点重合.三角板的一边交AB于点P,另一边交BC的延长线于点Q.(1)求证:DP=DQ;(2)如图2,小明在图1的基础上作角PDQ的平分线DE交BC于点E,连接PE,他发现PE和QE存在一定的数量关系,请猜测他的结论并予以证明;(3)如图3,固定三角板直角顶点在D点不动,转动三角板,使三角板的一边交AB的延长线于点P,另一边交BC的延长线于点Q,仍作角PDQ的平分线DE交BC延长线于点E,连接PE,若AB:AP=3:4,请帮小明算出\Delta DEP的面积.由已知动点和动点的速度,可以用表示出和,由,可得到,即,把已知数据和含的代数式代入得到关于的一元一次方程,从而求出的值.过点作,垂足为,得直角三角形,由已知,根据勾股定理求出,设中点为,中点为即两个圆的圆心,再过作,垂足为,连接,得直角三角形,由已知得出,以为直径的圆与以为直径的圆外切,所以,由已知,在直角三角形个边已求出,把求出的含的代数式代入,得关于的一元二次方程,从而求出.假设能为等腰三角形,可通过等腰三角形求出符合的的值.
已知动点沿射线的方向以每秒个单位长的速度运动,动点在线段上以每秒个单位长的速度,可得:,,,,,,即,,解得:.,.过点作,垂足为,得,记中点为,中点为,连接,过点作,垂足为,则,,,,,,当时以为直径的圆与以为直径的圆外切,在中,,即,整理得:,,;能,的值可以是或或或.
此题考查了相似三角形的判定和性质,直角梯形和切线的性质,解答此题的关键一是通过相似形求的值,再是通过作辅助线得直角三角形根据勾股定理列方程求的值.第三是由等腰三角形计算出符合条件的的值.
3996@@3@@@@相似三角形的判定与性质@@@@@@266@@Math@@Junior@@$266@@2@@@@图形的相似@@@@@@53@@Math@@Junior@@$53@@1@@@@图形的变化@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3917@@3@@@@直角梯形@@@@@@259@@Math@@Junior@@$259@@2@@@@四边形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3935@@3@@@@切线的性质@@@@@@260@@Math@@Junior@@$260@@2@@@@圆@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
@@53@@7##@@52@@7##@@52@@7
第三大题，第7小题
求解答 学习搜索引擎 | 如图1,在直角梯形ABCD中,AD//BC,角C={{90}^{\circ }},BC=12,AD=18,AB=10.动点P,Q分别从点D,B同时出发,动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q在线段BC上以每秒1个单位长的速度向点C运动,当点Q运动到点C时,点P随之停止运动.设运动的时间为t(秒).(1)当点P在线段DA上运动时,连接BD,若角ABP=角ADB,求t的值;(2)当点P在线段DA上运动时,若以BQ为直径的圆与以AP为直径的圆外切,求t的值;(3)设射线PQ与射线AB相交于点E,\Delta AEP能否为等腰三角形?如果能,请直接写出t的值;如果不能,请说明理由.}