傅里叶展开式
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函数用三角级数表示的形式.即一个函数的傅里叶级数在它收敛于此函数本身时的一种称呼.若函数f(x)的傅里叶级数+(an cos nx+bnsin nx)处处收敛于f(x),则此级数称为...
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f(x)在(-3,3)连续,又
f(-3)=-5故所求f(x)的傅里叶展开式为(本文共46字)
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关于模群或其他算术子群的自守形式理论.就其内容和方法而言,应是数论的一部分,它与椭圆曲线、非交换调和分析、代数几何等有着十分深刻的联系,现已成为数学中的一个综合学科.设Γ是模群,H是上半平面,k是整数.H上全纯函数f若满足条件:
f＝(cz+d)kf(z);
2.f在尖点的邻域内全纯,即f有正则傅里叶展开
则称f为权k的模形式.若进一步还有
3.在条件2的傅里叶展开中,a0＝0,则称f是权k的尖点形式.
权k的模形式全...(本文共2562字)
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为求收敛级数∑∞n=1an的和,常用的方法是构造幂级数∑∞n=1anxn,然后利用幂级数的分析性质求得其和函数S(x),由于该幂级数在x=1处收敛,故可知∑∞n=1an=S(1).但当S(x)并非初等函数,即无法得到S(x)的有限表达式时,此法通常难以奏效.如级数∑∞n=11n2+λ2的求和问题就无法通过幂级数来解决.以下介绍一种利用函数的傅里叶展开式求上述级数和的方法,进而彻底解决与之相关的一类级数的求和问题.首先,将函数f(x)=eλx(0≤x≤π)展开成傅里叶余弦级数.不妨先设λ≠0,由傅里叶系数公式[1],可得a0=π2∫π0eλxdx=λ2π(eλπ-1),an=2π∫0πeλxcos(nx)dx=2π·n2e+λxλ2[λcos(nx)+nsin(nx)]0π=2λπ·eλπ(n-21+)λn2-1(n=1,2,…).注意到f(x)经过偶延拓和周期延拓后满足狄里克莱收敛定理条件且在区间[0,π]上连续,故有eλx=e...
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同一函数可展成多种不同形式的傅里叶级数,如:函数f(x),x∈(0,b)即可展成正弦级数,也可展成余弦级数,更可展成一般的傅里叶数,这取决于所进行的不同的周期延拓。就像函数的幂级数展开式有马克荣林级数,也有一般的幂级数一样,函数的傅里叶级数展开式,也有类似的两种形式。下面将给出区间[a,b]上函数的这样两种傅里叶级数展开式,并证明其有趣的同一性。为简单化,设函数f(x)在有限区间[a,b]上有定义且按段光滑。1 将函数f(x),x∈[a,b]延拓为周期为b-a的周期函数,则其傅里叶级数展开式为a02+∑∞n=1ancos2nπxb-a+bnsin2nπxb-a(1)其中a0=2b-a∫baf(x)dxan=2b-a∫baf(x)cos2nπxb-adx,n=1,2,…,bn=2b-a∫baf(x)sin2nπxb-adx,n=1,2,…,且当x∈(a,b)时,收敛于12[f(x+0)+f(x-0)];当x=a时,收敛于12[f(...
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在地震资料数字处理,特别在地震波的频谱分析和各种滤波方法中,傅里叶分析已经是熟知的重要运算工具。而在傅里叶分析的研究中,又主要运用的是正余弦函数。但是近年来,一种非正弦的沃希函数〔二{一〔,(也称沃尔什函数)在国外日益受到重视,讨论沃希函数应用的国际会议每年举行一次,这方面已经发表的国外资料达数百篇L 61,并在通讯理论和电子技术各个领域的初步应用中,已开始显示出其很大的优越性〔”一〔‘6,。 由于沃希函数仅取+1与一1两个值,故沃希展开式的计算要比傅里叶展开式的计算简单。特别是快速沃希变换(FwT),由于只有加(减)法而无乘法运算,就比快速傅里叶变换(FFT)更快。因此,运用沃希变换来处理地震数据时,可以加快运算速度,提高工作效率。 沃希函数有很多下定义的方法,在文中我们所引述的是卡多特(c ardot)〔又”的定义形式,它较易理解和掌握。并且和三角函数在性质上、作用上极其相似。但这样定义的沃希函数只能计算极少数的某些点上的函...
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正弦与余弦的幂级数展开式
用泰勒级数令x0=0则f(x)=sinx=f(0)+f'(0)/1!*(x-0)+f''(0)/2!*(x-0)^2+……+f(n)(0)/n!*(x-0)^n+……f'(x)=cosx,f''(x)=-sinx,f'''(x)=-cosx,f''''(x)=sinx=f(x),形成循环所以sinx=0+1/1!*x+0/2!*x+(-1)/3!*x^3……+f(n)(0)/n!*(x-0)^n+……即sinx=x/1!-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+……同理f(x)=cosx,f'(x)=-sinx,f''(x)=-cosx,f'''(x)=sinx,f''''(x)=cosx,也形成循环所以cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+……
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^m*[x^(2m+1)]/(2m+1)! ……cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)^m*{x^2m}/2m!……这是泰勒公式
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在数学中，公式是一个用在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。外文名Taylor's formula提出者应用学科适用领域范围特&&&&例麦克劳林级数
泰勒公式可以用(或者)若干项连加式(-)来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点(或者加上在临近的一个点的 次导数)的求得。
对于正整数n，若函数 在闭区间 上 阶连续可导，且在 上 阶可导。任取 是一定点，则对任意 成立下式：
其中， 表示 的n阶导数，多项式称为函数 在a处的泰勒展开式，剩余的 是泰勒公式的余项，是 的高阶无穷小。[1]泰勒公式的余项 可以写成以下几种不同的形式：
1、佩亚诺(Peano）余项：
这里只需要n阶导数存在
2、施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche）余项：
其中θ∈（0,1）。
3、拉格朗日（Lagrange）余项：
其中θ∈（0,1）。
4、柯西（Cauchy）余项：
其中θ∈（0,1）。
5、积分余项：
以上诸多余项事实上很多是等价的。函数的麦克劳林展开指上面泰勒公式中a取0的情况，即是泰勒公式的特殊形式，若 在x=0处n阶连续可导，则下式成立：
其中 表示 的n阶导数。[1]若 在包含 的某开区间（a，b）内具有直到n+1阶的导数，则当x∈（a，b）时，有
其中 是n阶泰勒公式的拉格朗日余项：
，对于多元函数，也有类似的泰勒公式。设B(a,r) 是RN中的，? 是定义在B(a,r) 的上的实值函数，并在每一点都存在所有的n+1 次。这时的泰勒公式为：
我们知道，根据导出的有限增量定理有：
其中误差α是在Δx→0 即x→x0的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：
来近似地表示函数f(x）且要写出其误差f(x)-P(x）的具体表达式。设函数P(x)满足 ：
于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An，显然有：
至此，多项的各项系数都已求出，得：
以上就是函数 的泰勒展开式。[1]
接下来就要求误差的具体表达式了。设 ，令 得到：
继续使用柯西中值定理得到：
连续使用n+1次后得到：
综上可得：
一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x）写为Rn。[1]希腊哲学家在考虑利用求和来得到有限结果的问题时，得出不可能的结论-，这些悖论中最著名的两个是“追乌龟”和“”。
后来，对芝诺悖论在哲学上进行了反驳，直到以及后来的进行研究，此部分数学内容才得到解决。阿基米德应用使得一个无穷级数能够被逐步的细分，得到了有限的结果。[2]
14世纪，玛达瓦发现了一些特殊函数，包括、、、反正切等的泰勒级数。
17世纪，詹姆斯·格雷果里同样继续着这方面的研究，并且发表了若干麦克劳林级数。直到1712年，英国学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒提出了一个通用的方法，这就是为人们所熟知的泰勒级数；的教授发现了泰勒级数的特例，称为级数。实际应用中，泰勒公式需要截断，只取有限项，一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒展开式。泰勒公式的余项可以用于估算这种近似的误差。
泰勒展开式的重要性体现在以下三个方面：
幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。
一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。
泰勒级数可以用来近似计算函数的值。
1、展开三角函数 和 。
解：根据导数表得：
最后可得：
其中 为皮亚诺余项：
[3]类似地，可以展开y=cos(x)。
2、计算近似值
解：对指数函数 运用展开式并舍弃余项：
取n=10，即可算出近似值e≈2.7182818。[3]
3、欧拉公式：
（其中 ，即一个单位）
证明：这个公式把写为了幂指数形式，其实它也是由麦克劳林展开式确切地说是麦克劳林级数证明的。证明思路是先展开指数函数e^z，然后把各项中的z写成ix。由于i的幂性，可已把系数中含有土i的项用乘法分配律写在一起，剩余的项写在一起，刚好是cosx,sinx的展开式。然后让sinx乘上提出的i，即可导出公式。
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