【十万火急】这些数学题用英语怎么做？求格式和某些细节_加拿大吧_百度贴吧
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【十万火急】这些数学题用英语怎么做？求格式和某些细节收藏
真的很急，谢谢各位啦格式：写解、因为所以之类的应该怎么写？细节：某些术语如直角三角形、函数、这个函数经过什么点之类的如何表达？拜托啦，如果可以的话最好能把所有的题目都详细做一遍啦
撸主我来解救你吧5. b6.x=5/3y+5
y=3/5x-3然后画出来就好了原谅我就初二水平
我要的是详细步骤啦，答案什么的我也会，求帮助
第一题perimeter怎么是平方呢？第二题我知道你就写by Pythagoras' theorem, 两边平方和是第三边平方，按计算器。第三题写 gradient= (-5-7)/(3-(-2))=
equation直接用公式
算垂直于equation的，m1(第一个gradient)*m2（第二个gradient）=-1，然后求出m2就行了。第四题 re-arrange the equation, 5y=3x-15, y=...
然后，let y=0 求x， let x=0, 求y。第五题那些乱七八糟的符号有点忘了，可不可以写by using calculator, 直接写结果mean=...mode=...median=...第六题你得自己画图看看，数字我有点无能为力最后一题 total weekly income=salary+commission ??(不确定)
total weekly income=400+2%*price of each car sold??楼主最好还是有空看看当地的参考书，在这提问一般很少有人有闲心和时间给你回答，祝好运~
你自己查个单词我就不信你勾股定理都不会？？？吧里这些孩子也都是有作业的好不啦
按天朝方法写！哈哈哈 话说天朝的数学几乎也没有汉字吧
像什么勾股定理 之类的都不用写的 直接
8.2^2+x^2=12.6^2x=.....就可以的 老师都懂的
我擦刚才看到你因式分解的求助帖觉得你可能是还小不会做题目，但现在又在这看到了。。。小弟弟，认真学习才对得起你父母！欢迎没事来贴吧逛逛，但这种叫别人帮你做题的帖子以后不要发了，怪不得昨天另一个小吧还跟我说看到就火大，看样子是真的过了头了，如果以后再发这种低级求助帖我会毫不犹豫的删掉的！
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为兴趣而生，贴吧更懂你。或求重庆高一 的一些难点的 数学 物理 英语 化学 语文题 马上要期末考试了 急需做难题_百度知道
求重庆高一 的一些难点的 数学 物理 英语 化学 语文题 马上要期末考试了 急需做难题
求求 了啊(┬＿┬)
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想做难题？
来感受一下吧。。。
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快考试了，还是做点基础题好，保证不丢分
例如，为什么1+1=2
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出门在外也不愁急求一篇期中反思,语文75（退步了）,数学82（进步了）,英语86（题太难了）,物理84（做题不仔细）,生物87（不认真检查）,地理77（图没背好）,历史70（最高分89,题太变态了）,政治98（还可以）,800字左右,_百度作业帮
急求一篇期中反思,语文75（退步了）,数学82（进步了）,英语86（题太难了）,物理84（做题不仔细）,生物87（不认真检查）,地理77（图没背好）,历史70（最高分89,题太变态了）,政治98（还可以）,800字左右,
期中考试在我们紧张而又忙碌的复习中结束了,好也罢,坏也罢,成也罢,败也罢,喜也罢,愁也罢,都已经过去了,我们现在要做的就是认真总结,积极反思,调适心态,再决将来.
这次期中考试不仅给我们查找自己不足的机会,还让我们知道自己的真实水平.给我们指明了努力的方向!考试就像捕鱼,每一次考试你都会发现鱼网上的漏洞,经过一次次的修补,一次次的捕捞,在中考的时候,你的知识与能力编成的鱼网一定已经是牢不可破的.这次期中考试,我们每一位同学都经受了失败、痛苦和成功的洗礼,得到了磨练、反省和升华自我的机会,这正是我们最大的收获.
期中考试取得了高分,固然可喜,因为它是过去一个阶段汗水的结晶.但这个成绩不能代表全部,不能代表将来.成功自有成功的喜悦,以此为动力,一路向前,将成功串联,才能铸就更大的成功.但是,失败也有失败的魅力,因为暂时未能成功,我们便有了期待,在努力中期待,在期待中努力,终究会迎来希望的太阳.成功不是骄傲的资本,失败却是努力的理由.某某人,为了发明某某物,失败多少次,才终于取得最后的成功,不应该只是作文时举例论证的材料.战之能胜是好汉,屡败屡战亦英雄.勤奋着,就是美丽的.
期中考试,不管取得怎样的成绩,都要引起我们足够的思考.
一要反思我们的学习习惯.上课是否认真听讲,认真笔记?作业是否及时完成,独立完成?是否主动学习,主动钻研?是否注意答题规范,书写整洁?
二要反思我们的勤奋度、刻苦度、专注度.学问永远是苦根上长出来的甜果.一切少付出多收获的想法都是不现实的.我们要多自问：面对作业,面对压力,是否怨天尤人?我们的学习,是心无旁骛,穷根究底,还是心猿意马,浅尝辄止?
同学们,为了今后,我们要抓紧现在,只有善于总结,才能赢得未来.一次考试并不是句号,更不能代表我们全部的实力.人生道路有风和日丽的日子,也有阴雨连绵的岁月,我们不能左右天气,却可以改变心情,我们不能改变容貌,却可以展现笑容,我们不能改变世界,却可以改变自已.我们要从暂时的喜悦中走出来,从暂时的沮丧中走出来,胜不骄,败不馁,荣辱不惊,卧薪尝胆,及时己,为下一次考试做好准备.
短短两天的其中考试结束了,随之而来的翘首企盼的成绩也揭晓了.我以二分之差与每一名失之交臂.这成绩给我留下的则是深深的思索.总结经验教训,我觉得自己太马虎大意了,还有就是平时努力程度不够.痛定思痛,我觉得只有发扬“锲而不舍,金石可镂”的精神,才能真正的掌握知识,丰富自己,提高自己的学习成绩.中国有句古语说得好：宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来.我觉得这也是一句学习上的至理名言.兴有在是常的学习上一点点积累认真努力、坚持不懈的面对学习上的困难,发扬锲而不舍的精神去攻克它,我们才能真正成为学习上的强者,才能骄傲而又自信的面对挑战,路漫漫其修远矣,吾将上下而求索.滴水可以穿石也是锲而不舍精神的体现.我们航行在没有边际的学习海洋上,只有凭借这种精神,才可能到达知识的彼岸,学习是一件苦差事,它既不生动又不有趣,既不是立体的又不是鲜活的事物,只有我们明白它的重要性,坚持不懈地努力下去,才能羸得鲜花和掌声.记住,没有不劳而获的美事.幼年的李白因为看到一位老婆婆用铁棒磨绣花针而醒悟,从而发奋读书,终于成为一代诗仙.前有古人可鉴,我们这些新世纪的青年该怎样去做呢?这是一个时代留给我们的课题.朋友,请坚信“只要功夫深,铁棒磨成绣花针”,让我们鼓足勇气,锲而不舍的锁定自己的学习目标,奋勇前进吧!“锲而舍之,朽木不折；锲而不舍,金石可镂.”这是战国先秦儒家代表人物荀子的《劝学》一文中的句子.它充分的说明了在学习上,只有锲而不舍地学习,才能达到金石可镂的地步.同学们,让我们发扬这种精神,在学海上扬帆,奋勇前进吧!
期中考试和期末考试一样重要,有时还意义非凡.考好了,心里甜滋滋的,随之而来的是老师的赞扬、同学们的羡慕和父母的喜悦；考得不好,老师会失望,父母会生气,还可能会面对同学轻视得眼光和讥讽的话语.以我微薄之见,考好则已,考不好也别灰心.说到容易,做到却难. 　　就拿这次期中考试来说吧.我是抱着考双百分的信心来应考的.从早到晚,考试以后,都十分疲惫和担心,时间仿佛静止了,度日如年,考好和考不好这两个词在心里打架,晚上一觉酣睡才觉得好些. 　　期中考试结束了,随之而来的翘首企盼的成绩也揭晓了.我以二分之差与每一名失之交臂.这成绩给我留下的则是深深的思索.总结经验教训,我觉得自己太马虎大意了,还有就是平时努力程度不够.痛定思痛,我觉得只有发扬“锲而不舍,金石可镂”的精神,才能真正的掌握知识,丰富自己,提高自己的学习成绩. 　　中国有句古语说得好：宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来.我觉得这也是一句学习上的至理名言.兴有在是常的学习上一点点积累认真努力、坚持不懈的面对学习上的困难,发扬锲而不舍的精神去攻克它,我们才能真正成为学习上的强者,才能骄傲而又自信的面对挑战,路漫漫其修远矣,吾将上下而求索. 　　滴水可以穿石也是锲而不舍精神的体现.我们航行在没有边际的学习海洋上,只有凭借这种精神,才可能到达知识的彼岸,学习是一件苦差事,它既不生动又不有趣,既不是立体的又不是鲜活的事物,只有我们明白它的重要性,坚持不懈地努力下去,才能羸得鲜花和掌声.记住,没有不劳而获的美事. 　　幼年的李白因为看到一位老婆婆用铁棒磨绣花针而醒悟,从而发奋读书,终于成为一代诗仙.前有古人可鉴,我们这些新世纪的青年该怎样去做呢?这是一个时代留给我们的课题.朋友,请坚信“只要功夫深,铁棒磨成绣花针”,让我们鼓足勇气,锲而不舍的锁定自己的学习目标,奋勇前进吧! “锲而舍之,朽木不折；锲而不舍,金石可镂.”这是战国先秦儒家代表人物荀子的《劝学》一文中的句子.它充分的说明了在学习上,只有锲而不舍地学习,才能达到金石可镂的地步.同学们,让我们发扬这种精神,在学海上扬帆,奋勇前进吧!
我们常说失败了并没有什么,只是看你如何去对待.这次的失败并不代表什么,只因我们还更需要进步!更需要拼搏.这好像是在为自己找借口,可转念,一切不也就是如此吗?心态好的人会以此未动力,而心态差的人却把此当之为阻力.一次次的失败,一次次的挣扎,一次次的不服输,一次次的不屈不挠.
失败像深秋里带有寒意的风.虽然不如春分和煦,不如夏风炙热,却能把果实吹红.失败像磨石,虽然能够吧认得灵魂磨痛,甚至要滴血,却会让人丰富自己的生命.就算失败有如何,我们不会因此而低头,不会弯下我们高贵的身脊,不会无价值的折磨自己、用眼泪侵泡叹息.我们会重新选择走向成功的开始.
也许上次考试时,事情并不是朝着我期待的方向所发展的,我们会感到沮丧,但我们仍会有信心,努力前进.事情就是这样,有时候我们想的多说的多,理论上一套一套的,却忘记最终的行动只有一套,言论的花开的愈大,行为的果结的愈小.只有小心眼的人才会说别人小心眼,但成功的人一定不会说自己有多么的成功!
我相信一千个零比不上一个一,一万次承诺比不上一次付出,壹佰万句空话比不上一句实践,一千万次徘徊比不上一次放飞.我们不会因为某一次的努力曾经失败而放弃所有的努力.
要想证明自己,就要努力让自己做出成绩,就像长在山谷里的野百合,在它还没有盛开的时候,别人把它当成杂草,但一旦她努力的开放后,它那一尘不染的洁白在一堆杂草中是那么的耀眼.也许现在的我只是一株默默无闻的杂草,但终究有一天,我们会努力让自己成为那株盛开的百合!
通过这次考试，我充分的认识到了自己的不足求好心人解答这道英语数学题!不用翻译了,只求解!采纳第一个回答正确的!谢谢!急,非常急!Take a look at the three stacks of numbered blocks on the right.can you rearrange the blocks by exchanging one (and only one)from each of the three stacks so that_百度作业帮
求好心人解答这道英语数学题!不用翻译了,只求解!采纳第一个回答正确的!谢谢!急,非常急!Take a look at the three stacks of numbered blocks on the right.can you rearrange the blocks by exchanging one (and only one)from each of the three stacks so that the sum of the numbers in each of the three stacks is the same?4
4 5 25 7 10 5 3 19 3 81 6 3三列总数均为24不懂可以问哦帮忙做数学小报，英语小报主题不限，急啊！~~~_百度知道
帮忙做数学小报，英语小报主题不限，急啊！~~~
帮忙做一份数学小报和英语小报，主题不限，数学小报可以介绍数学家，供盯垛故艹嘎讹霜番睛英语小报的主题不限，只要是英语的就行我是六年级的！~~希望能快点，做得好的，继续加分！~~
提问者采纳
英语给你找啦一些笑话，和句子：Visual Training The squad were having “visual training”． One smart recruit was asked by the officer to count how many men composed a digging party in a distant field．The party was so faraway that the men appeared as mere dots， but unhesitatinglythe recruit replied： “Sixteen men and a sergeant，sir．” “Right；but how do you know there's a sergeant there？” “He's not doing any digging， sir．” 视力训练 班里正在进行“视力训练”。一个聪明伶俐的新兵被班长叫出来数远处旷野上采掘队的人数。采掘队在很远的地方，那些人看起来只是一些小点儿。但是这个新兵毫不犹豫地回答。 “十六个兵外加一个中士，长官。” “正确，可是你怎么知道那儿有一个中士？” “他不干活，长官。” (英语幽默) Two Birds Teacher: Here are two birds, one is a swallow, the other is sparrow. Now who can tell us which is which? Student: I cannot point out but I know the answer. Teacher: Please tell us. Student: The swallow is beside the sparrow and the sparrow is beside the swallow. 两只鸟 老师： 这儿有两只鸟，一只是麻雀。谁能指出哪只是燕子，哪只是麻雀吗？ 学生：我指不出，但我知道答案。 老师：请说说看。 学生：燕子旁边的就是麻雀，麻雀旁边的就是燕子。 &Can you tell me what fish net is made, Ann?& &A lot of little holes tied together with strings.& replied the little girl. 鱼网 &你能告诉我鱼网是什么做的吗，安？& 老师发问道。 &把许多小孔用绳子栓在一起就成了鱼网了。& 小女孩回答道。 昨天夜里我爸妈表演“混合双打” Teacher of Physical Education: Have you ever seen mixed doubles，boys？ 体育老师：孩子们，你们见过男女混合双打吗？ Nick: Yes，sir. Quite of ten. I saw it even last night. 尼克：见过，老师，经常见。就在昨天夜里我还见过呢！ Teacher: Please tell us some thing about it. 老师：那你给大家讲讲当时的情形吧。 Nick: Oh，sorry，sir. My father always says, &Domestic shame should not be published.” 尼克：啊，对不起，老师。我爸爸常说:“家丑不可外扬。”( 1．we two who and who？ 咱俩谁跟谁阿 2．how are you ? how old are you? 怎么是你，怎么老是你？ 3．you have seed I will give you some color to see see, brothers ！ together up ！ 你有种，我要给你点颜色瞧瞧，兄弟们，一起上！ 4．as far as you go to die 有多远，死多远！！！！ 5．hello everybody!if you have something to say,then say!if you have nothing to say,go home!! 有事起奏，无事退朝 6．you me you me 彼此彼此 7．You Give Me Stop!! 你给我站住！ 8．know is know noknow is noknow 知之为知之，不知为不知… 9．WATCH SISTER 表妹 10．dragon born dragon,chicken born chicken,mouse’’son can make hole!!龙生龙，凤生凤，老鼠的儿子会打洞！ 11.．I give you face you don’t wanna face,you lose you face ,I turn my face 给你脸你不要脸，你丢脸，我翻脸 12．one car comeone car go ,two car pengpeng,people die (车祸现场描述 ) 13．heart flower angry open 心花怒放 14．go past no mistake past 走过路过，不要错过 15．小明：I am sorry! 老外：I am sorry too! 小明：I am sorry three! 老外：What are you sorry for? 小明：I am sorry five! 16．If you want money,Iif you want life,I have one! 要钱没有，要命一条 17．I call Li old big. toyear 25. 我叫李老大，今年25。 18．you have two down son 你有两下子。 19.好好学习，天天向上： good good study,day day up! 20.people mountain people sea! Never say die。
从不言败。You are never too old to learn。活到老，学到老。Love me love my dog。爱屋及乌。Easier said than done。说时容易做时难。Actions speak louder than words。事实胜于雄辩。Nothing is impossible to a willing heart.有志者，事竟成。Every dog has his day。每个人都有其辉煌的一篇。Every coin has two sides。 希望有用这么多，够吗，加些图这些就够啦，这是数学的：数学家的故事——苏步青 苏步青1902年9月出生在浙江省平阳县的一个山村里。虽然家境清贫，可他父母省吃俭用，拼死拼活也要供他上学。他在读初中时，对数学并不感兴趣，觉得数学太简单，一学就懂。可量，后来的一堂数学课影响了他一生的道路。 那是苏步青上初三时，他就读浙江省六十中来了一位刚从东京留学归来的教数学课的杨老师。第一堂课杨老师没有讲数学，而是讲故事。他说：“当今世界，弱肉强食，世界列强依仗船坚炮利，都想蚕食瓜分中国。中华亡国灭种的危险迫在眉睫，振兴科学，发展实业，救亡图存，在此一举。‘天下兴亡，匹夫有责’，在座的每一位同学都有责任。”他旁征博引，讲述了数学在现代科学技术发展中的巨大作用。这堂课的最后一句话是：“为了救亡图存，必须振兴科学。数学是科学的开路先锋，为了发展科学，必须学好数学。”苏步青一生不知听过多少堂课，但这一堂课使他终身难忘。 杨老师的课深深地打动了他，给他的思想注入了新的兴奋剂。读书，不仅为了摆脱个人困境，而是要拯救中国广大的苦难民众；读书，不仅是为了个人找出路，而是为中华民族求新生。当天晚上，苏步青辗转反侧，彻夜难眠。在杨老师的影响下，苏步青的兴趣从文学转向了数学，并从此立下了“读书不忘救国，救国不忘读书”的座右铭。一迷上数学，不管是酷暑隆冬，霜晨雪夜，苏步青只知道读书、思考、解题、演算，4年中演算了上万道数学习题。现在温州一中（即当时省立十中）还珍藏着苏步青一本几何练习薄，用毛笔书写，工工整整。中学毕业时，苏步青门门功课都在90分以上。 17岁时，苏步青赴日留学，并以第一名的成绩考取东京高等工业学校，在那里他如饥似渴地学习着。为国争光的信念驱使苏步青较早地进入了数学的研究领域，在完成学业的同时，写了30多篇论文，在微分几何方面取得令人瞩目的成果，并于1931年获得理学博士学位。获得博士之前，苏步青已在日本帝国大学数学系当讲师，正当日本一个大学准备聘他去任待遇优厚的副教授时，苏步青却决定回国，回到抚育他成长的祖任教。回到浙大任教授的苏步青，生活十分艰苦。面对困境，苏步青的回答是“吃苦算得了什么，我甘心情愿，因为我选择了一条正确的道路，这是一条爱国的光明之路啊！” 这就是老一辈数学家那颗爱国的赤子之心 数学家的墓志铭 一些数学家生前献身于数学，死后在他们的墓碑上，刻着代表着他们生平业绩的标志。 古希腊学者阿基米德死于进攻西西里岛的罗马敌兵之手（死前他还在主：“不要弄坏我的圆”。）后，人们为纪念他便在其墓碑上刻上球内切于圆柱的图形，以纪念他发现球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的三分之二。 德国数学家高斯在他研究发现了正十七边形的尺规作法后，便放弃原来立志学文的打算 而献身于数学，以至在数学上作出许多重大贡献。甚至他在遗嘱中曾建议为他建造正十七边形的棱柱为底座的墓碑。 16世纪德国数学家鲁道夫，花了毕生精力，把圆周率算到小数后35位，后人称之为鲁 道夫数，他死后别人便把这个数刻到他的墓碑上。 瑞士数学家雅谷·伯努利，生前对螺线（被誉为生命之线）有研究，他死之后，墓碑上 就刻着一条对数螺线，同时碑文上还写着：“我虽然改变了，但却和原来一样”。这是一句既刻划螺线性质又象征他对数学热爱的双关语 祖冲之（公元429-500年）是我国南北朝时期，河北省涞源县人．他从小就阅读了许多天文、数学方面的书籍，勤奋好学，刻苦实践，终于使他成为我国古代杰出的数学家、天文学家． 祖冲之在数学上的杰出成就，是关于圆周率的计算．秦汉以前，人们以&径一周三&做为圆周率，这就是&古率&．后来发现古率误差太大，圆周率应是&圆径一而周三有余&，不过究竟余多少，意见不一．直到三国时期，刘徽提出了计算圆周率的科学方法--&割圆术&，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长．刘徽计算到圆内接96边形， 求得π=3.14，并指出，内接正多边形的边数越多，所求得的π值越精确．祖冲之在前人成就的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，求出π在3..1415927之间．并得出了π分数形式的近似值，取为约率 ，取为密率，其中取六位小数是3.141929，它是分子分母在1000以内最接近π值的分数．祖冲之究竟用什么方法得出这一结果，现在无从考查．若设想他按刘徽的&割圆术&方法去求的话，就要计算到圆内接16，384边形，这需要化费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！由此可见他在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的．祖冲之计算得出的密率， 外国数学家获得同样结果，已是一千多年以后的事了．为了纪念祖冲之的杰出贡献，有些外国数学史家建议把π=叫做&祖率&． 祖冲之博览当时的名家经典，坚持实事求是，他从亲自测量计算的大量资料中对比分析，发现过去历法的严重误差，并勇于改进，在他三十三岁时编制成功了《大明历》，开辟了历法史的新纪元． 祖冲之还与他的儿子祖暅（也是我国著名的数学家）一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算．他们当时采用的一条原理是：&幂势既同，则积不容异．&意即，位于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等．这一原理，在西文被称为卡瓦列利原理， 但这是在祖氏以后一千多年才由卡氏发现的．为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献，大家也称这原理为&祖暅原理&． 这些是关于数学家的名言：数学是无穷的科学. ——赫尔曼外尔 数学中的一些美丽定理具有这样的特性: 它们极易从事实中归纳出来, 但证明却隐藏的极深. 数学是科学之王.
——高斯 在数学的领域中, 提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要. ——康扥尔 只要一门科学分支能提出大量的问题, 它就充满着生命力, 而问题缺乏则预示独立发展的终止或衰亡.
——希尔伯特 在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么.
——毕达哥拉斯 一门科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步.
——马克思 一个国家的科学水平可以用它消耗的数学来度量.
——拉奥 柯西(Augustin Louis Cauchy )如果认为只有在几何证明里或者在感觉的证据里才有必然，那会是一个严重的错误。给我五个系数，我将画出一头大象；给我第六个系数，大象将会摇动尾巴。人必须确信，如果他是在给科学添加许多新的术语而让读者接著研究那摆在他们面前的奇妙难尽的东西，已经使科学获得了巨大的进展。陈省身数学是一门演绎的学问，从一组公设，经过逻辑的推理，获得结论。科学需要实验。但实验不能绝对精确。如有数学理论，则全靠推论，就完全正确了。这科学不能离开数学的原因。许多科学的基本观念，往往需要数学观念来表示。所以数学家有饭吃了，但不能得诺贝尔奖，是自然的。数学中没有诺贝尔奖，这也许是件好事。诺贝尔奖太引人注目，会使数学家无法专注於自己的研究。我们欣赏数学，我们需要数学。一个数学家的目的，是要了解数学。历史上数学的进展不外两途：增加对於已知材料的了解，和推广范围。笛卡儿(Rene Descartes )我思故我在。我决心放弃那个仅仅是抽象的几何。这就是说，不再去考虑那些仅仅是用来练思想的问题。我这样做，是为了研究另一种几何，即目的在於解释自然现象的几何。数学是人类知识活动留下来最具威力的知识工具，是一些现象的根源。数学是不变的，是客观存在的，上帝必以数学法则建造宇宙。欧拉(Leonhard Euler )虽然不允许我们看透自然界本质的秘密，从而认识现象的真实原因，但仍可能发生这样的情形：一定的虚构假设足以解释许多现陕。因为宇宙的结构是最完善的而且是最明智的上帝的创造，因此，如果在宇宙里没有某种极大的或极小的法则，那就根本不会发生任何事情祖冲之(429-500)迟序之数，非出神怪，有形可检，有数可推。刘徽事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干知，发其一端而已。又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。拉普拉斯(Pierre Simon Laplace )这就是结构好的语言的好处，它简化的记法常常是深奥理论的源泉。在数学这门科学里，我们发现真理的主要工具是归纳和类比。读读欧拉，读读欧拉，他是我们大家的老师。一个国家只有数学蓬勃发展，才能表现她的国力强大。认识一位巨人的研究方法，对於科学的进步并不比发现本身更少用处。科学研究的方法经常是极富兴趣的部分。莱布尼茨(Gottfried Wilhelm von Leibniz )虚数是奇妙的人类棈神寄托，它好像是存在与不存在之间的一种两栖动物。不发生作用的东西是不会存在的。考虑了很少的那几样东西之后，整个的事情就归结为纯几何，这是物理和力学的一个目标西尔维斯特(James Joseph Sylvester )几何看来有时候要领先於分析，但事实上，几何的先行於分析，只不过像一个仆人走在主人的前面一样，是为主人开路的。也许我可以并非不适当地要求获得数学上亚当这一称号，因为我相信数学理性创造物由我命名(已经流行通用)比起同时代其他数学家加在一起还要多。魏尔斯特拉斯(Karl Weierstrass )一个没有几分诗人才能的数学家决不会成为一个完全的数学家。 数统治着宇宙。 ——毕达哥拉斯 数学，科学的女皇；数论，数学的女皇。 ——C•F•高斯 上帝创造了整数，所有其余的数都是人造的。 ——L•克隆内克 上帝是一位算术家 ——雅克比 一个没有几分诗人气的数学家永远成不了一个完全的数学家。——维尔斯特拉斯 纯数学这门科学再其现代发展阶段，可以说是人类精神之最具独创性的创造。——怀德海 可以数是属统治着整个量的世界，而算数的四则运算则可以看作是数学家的全部装备。——麦克斯韦 数论是人类知识最古老的一个分支，然而他的一些最深奥的秘密与其最平凡的真理是密切相连的。——史密斯 无限！再也没有其他问题如此深刻地打动过人类的心灵。——D•希尔伯特 发现每一个新的群体在形式上都是数学的，因为我们不可能有其他的指导。——C•G•达尔文 宇宙的伟大建筑是现在开始以纯数学家的面目出现了。——J•H•京斯 这是一个可靠的规律，当数学或哲学著作的作者以模糊深奥的话写作时，他是在胡说八道。——A•N•怀德海 给我五个系数，我讲画出一头大象；给我六个系数，大象将会摇动尾巴。——A•L•柯西 纯数学是魔术家真正的魔杖。——诺瓦列斯 如果谁不知道正方形的对角线同边是不可通约的量，那他就不值得人的称号。——柏拉图 整数的简单构成，若干世纪以来一直是使数学获得新生的源泉。——G•D•伯克霍夫 一个数学家越超脱越好。——无名氏 数学不可比拟的永久性和万能性及他对时间和文化背景的独立行是其本质的直接后果。——A•埃博 这是一个可靠的规律，当数学或哲学著作的作者以模糊深奥的话写作时，他是在胡说八道。
――A.N.怀特海 我曾听到有人说我是数学的反对者，是数学的敌人，但没有人比我更尊重数学，因为它完成了我不曾得到其成就的业绩。
――哥德数学的本质在于它的自由。
――康托尔在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。
――康托尔没有任何问题可以像无穷那样深深地触动人的情感，很少有别的观念能像无穷那样激励理智产生富有成果的思想，然而也没有任何其它的概念能像无穷那样需要加以阐明。
――希尔伯特数统治着宇宙。
――毕达哥拉斯数学，科学的皇后；算术，数学的皇后。
――高斯数学是无穷的科学。
――赫尔曼外尔问题是数学的供盯垛故艹嘎讹霜番睛心脏。
――P.R.Halmos只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的终止或衰亡。
――希尔伯特数学中的一些美丽定理具有这样的特性：它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏的极深。
――高斯数学家就像恋人……给予一个数学家最少的原理，他将从中得出一个你必须认可的结论，从这个结论他又会得出另一个结论。
――丰泰内利（算术）是人类知识最古老，也许是最最古老的一个分支；然而它的一些最深奥的秘密与其最平凡的真理是密切相连的。
――H.J.S.史密斯也许听起来奇怪，数学的力量在于它规避了一切不必要的思考和它惊人地节省了脑力劳动。
――恩斯特·马赫但是数学享有盛誉还有另一个原因：正是数学给了各种精密自然科学一定程度的可靠性，没有数学，它们不可能获得这样的可靠性。
――艾伯特·爱因斯坦数学是特别适于处理任何种类的抽象概念的工具，在这个领域中它的力量是没有限度的。由于这个原因，一本关于新兴物理的书，只要不是纯粹描述实验的，实质上就必然是数学书。
――P.A.M.狄拉克为了创造一种健康的哲学，你应该抛弃形而上学，但要成为一个好数学家。――伯特兰·罗素发现的每一个新的群体在形式上都是数学的，因为我们不可能有其它的指导。
――C.G.达尔文上帝乃几何学家。
――柏拉图上帝乃算术学家。
――C.G.J.雅可比数学是最精密的科学，它的全部结论都能绝对地证明。但所以会如此只是因为数学并不试图得出绝对的结论。所有的数学真理都是相对的、有条件的。――夏尔斯·普罗托伊斯·斯泰因梅茨数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。所有研究顺序和度量的科学均和数学有关。
――笛卡尔
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数学手抄小报与数学教学 多年来，我在小学中高年级学生中进行了学办数学手抄小报的尝试，将数学教学与办报活动有机结合，取得了一定的成效。下面谈谈我的具体做法和体会。 一、正确引导，以报促学 为了丰富学生的课余生活，当我宣布要学生每个月办出一张数学手抄小报时，学生既感兴趣又无从下手，这时我趁机专门给学生上了一节数学手抄小报指导课，讲清办数学手抄小报的目的和要求、注意事项、怎样办等，让学生有个大概眉目。为了给学生提供更具体的指导，我特别编制了数学手抄小报内容、形式、版面要求提示表（略）各一份，供学生办报时参照。 在指导学生办数学手抄小报的过程中，我注意做到以下几个“结合”。 1.个人努力与团体协作相结合。 让学生办数学手抄小报，一般要求通过个人努力来完成，但是不排除三五人协作和小组的帮与带，以便充分发挥团体协作的优势。 2.学习数学与反映思想相结合。 学生办数学手抄小报所用的稿件，除了选摘外，还要求学生自撰、征集。学生在办数学手抄小报时，我并不刻意要求他们一律用数学内容，凡是与学习数学有关的内容都可以采用。例如，介绍一个学习数学的经验或教训、反映学习上的疑难和困惑、记一堂有趣的数学活动课。这样一来，学生既学到了数学知识，又反映了思想状况，有利于教和学。 3.开展活动与美化环境相结合。 学生交来的数学手抄小报，我每期都要组织学生或品尝、阅读，或提出修改建议，或评选优秀作品，或交流办报经验。与此同时，我还有意组织学生开展“手抄报评比”“优秀作品欣赏”“优秀作品展”等活动。学生在活动中增长了见识，培养了兴趣，提高了学习数学的自主性和自觉性，而且这一期又一期、一张又一张图文并茂的、迷人的数学手抄小报在展览的同时装饰了教室，美化了校园。学生从中可以受到潜移默化的思想情感熏陶和审美教育。 4.长期坚持与精神鼓励相结合。 任何事物的发展和提高都不是一朝一夕所能办到的，办数学手抄小报也不例外，它是在长期坚持的情况下，逐渐产生效果和提高办报水平的。如有的学生对办报开始很不感兴趣，马虎了事，这时我及时给予鼓励和督促，久而久之，他们也能办出张像样的数学手抄小报来，并且在学习态度上发生了奇迹般的变化。有的学生甚至在排版、绘图、书写等方面很有创意。 二、长期实践，体会深刻 经过一段时间的尝试和训练，我感到学生在办报的过程中，增长了见识，活跃了思维，端正了学习态度，增强了综合素质。全班大多数学生的数学作业做得规范整洁了，不少学生对数学产生了浓厚的兴趣，有的学生经常向我询问办报时遇到的一些数学难题。特别是有一次，我在讲“0能被任何自然数整除”这道判断题是对的时，有个学生对它提出了质疑：“假如这道题是对的，也就是说0是任何自然数的倍数，任何自然数是0的约数。而课本上讲一个数最小的倍数是它本身，最大的约数也是它本身。0比任何自然数都小，不可能是自然数的倍数。任何自然数都比0大，不可能是0的约数。所以我认为这道题是错的。”我当时便表扬了这个学生敢于质疑，并做了解释：“这道题应该是对的，这是整除的含义所规定的，课本上的两个结论是有前提的，是在自然数范围内讨论得到的。”课后我询问这个学生为什么能提出这样的见解，这个学生说：“办数学手抄小报时曾经看到过这种想法。”我暗暗吃惊的同时，供盯垛故艹嘎讹霜番睛惊喜办报带给学生的间接效应。 总之，坚持办数学手抄小报，无论是对学生数学意识的形成，还是数学学习方法的改进；无论是对数学知识的掌握，还是数学能力的提高；无论是对学生竞争意识的培养，还是团结协作意识的形成，都有其独特的功能和作用。经过多年的实践，我深深地体会到，指导学生办数学手抄小报有以下几点好处。 1.有利于学生综合素质的提高。 数学手抄小报是以学生为主体，或“独立创业” 或“团体协助”而创作出来的能反映思想教育、数学教育和美育的综合艺术。学生必须具备多种文化知识和能力才能办出一张张图文并茂的并能获得大家好评的小报。坚持办数学手抄小报，既培养了学生的动手操作能力、审美能力、思维能力和创新能力等，又使得学生在美术、写作、书法等方面的技能有了明显的进步。 2.有利于非智力因素的培养和形成，从而促进课堂教学。 (1)激发学生学习数学的兴趣，增强求知欲，配合数学教学。 学生在办报过程中，不断积累数学知识，丰富想像力，促使学生对数学产生浓厚的兴趣。这些都将有力地促进数学教学，使学生轻松地掌握数学知识。 (2)促进课外阅读，形成优良学风。 学生为了办出一张张迷人的数学手抄小报，必须广采博闻，进行大量的文字摘抄、图画剪贴和文章的写作。他们常常废寝忘食地查阅、聚精会神地选择、 一丝不苟地誊抄、认真负责地校对……这些都标志着优良学风的初步形成。 (3)促进团结友爱，形成优良班风。 在办报过程中，学生之间的帮与带、学习与协作，可以促进学生相互了解，加深友谊。随着时间的推移，班级逐渐达到内部的和谐，形成强烈的班集体意识。 (4)培养良好的学习习惯，促进数学学习。 办数学手抄小报是一项认真细致的工作。从打格子、收集材料、筛选材料到编辑、排版、绘图、誊抄等一系列工作都要求学生要认真仔细、书写整洁、自觉检查、严格要求、克服困难。而这些良好的学习习惯的养成，都会转移到对数学的学习上去。 3.有利于陶冶情操，美化生活。
在古今中外的著名数学家当中，像高斯那样从小就具有高度
数学才华的，恐怕极为少见。
高斯于日出生于德国一个农民家庭。他从小就酷
爱数学，据说在他还不满三岁的时候，有一天，他观看父亲算
帐，计算结束后，父亲念出了钱数准备写下时，身边传来细小的
声音：“爸爸，算错了，总数应该是……”。父亲惊讶不止，复
算结果，发现孩子的答案是正确的。高斯读小学的时候，有一
次，老师出了一道难题，要他们从1加起，加2，加3，加4，……
一直加到100，满以为这下准能把学生们难住。没想到高斯一会儿
就算了出来。老师一看，答数是5050，一点不错，大吃一惊。高
斯是这样算的：1与100、2与99、3与98……每一对的和都是101，
而100以内这样的数共有50对，101×50=5050，他的这种计算方
法，代数上称为等差级数求和公式。那时高斯才10岁。
高斯对数学的兴趣越来越浓，数学上的定理、公式和求证方
法一个又一个地被他发现和证实。
11岁时，他发现了(X＋Y)的n次方的展开式。
17岁时，他发现了数论中的二次互反律。
日，年仅18岁的高斯，又有了堪称数学史上最惊
人的发现，他用代数方法解决两千年来的几何难题，而且找到了
只使用直尺和圆规作圆，内接正17边形的方法也称17边形直尺圆
规画法。为了纪念他少年时的这一最重要的发现，高斯表示希望
死后在他的墓碑上能刻上一个正17边形。1799年，高斯又证明了
一个重要的定理：任何一元代数方程都有一个根，这一结果数学
上称为“代数基本定理”，也被称做“高斯定理”。1801年，高
斯出版了他的《算术论文集》。高斯在23岁的时候开始研究天
文，并解决了测量星球椭圆轨道的方法，也称椭圆函数。
高斯所取得的成就，一方面来自天赋，一方面来自勤奋。他
家里很穷，冬天，爸爸为了节省灯油，吃完晚饭就要他上床睡
觉，高斯自己做了个油灯，在微弱的灯光下全神贯注地读书到深
夜。15岁时，他就读了牛顿、欧拉、拉格朗日等著名数学家的数
学著作，并熟练地掌握了微积分理论。高斯的成功，不是天上掉
下来的，而是刻苦学习得来的。他把科学研究工作看得高于一
切。妻子病重时，高斯正在钻研一个深奥的数学问题。仆人几次
来叫他：“如果您不马上过去，就不能见她最后一面了!”高斯却
说：“叫她等一下，等到我过去”。直到他把手头的研究告一段
落，这才勿勿跑去看望妻子。
高斯就是这样，天资聪明，更勤奋好学，终于成为著名的数
学家，被誉为“数学王子”。日，高斯逝世，终年78
历史上间或出现神童。神童常常出现在数学、音乐、棋艺等方面。卡尔·弗
雷德里希·高斯，一位数学神童，是各式各样的天才里最出色的一个。就像狮子
号称万兽之王，高斯在数学家之林中称王，他有一个美号——数学王子。高斯不
仅被公认为是十九世纪最伟大的数学家，并且与阿基米德、牛顿并称为历史上三
个最伟大的数学家。现在阿基米德和牛顿的名字早已进入了中学的教科书，他们
的工作或多或少成为大众的常识，而高斯和他的数学仍遥不可及，甚至于在大学
的基础课程中也不出现。但高斯的肖像画却赫然印在10马克——流通最广泛的德
国纸币上，相应地出现在美元和英镑上的分别是乔治·华盛顿和伊丽莎白二世。
日，高斯出生在德国下萨克森洲的不伦瑞克（Braunscheig
），他的祖先里没有一个人可以说明为什么会产生高斯这样的天才。高斯的父
亲是个普通的劳动者，做过石匠、纤夫、花农，母亲是他父亲的第二个妻子，当
过女仆，没有受过什么教育，但她聪明善良，有幽默感，并且个性很强，她以97
岁高寿仙逝，高斯是她的独养儿子。据说高斯3岁时就发现父亲帐簿上的一处错
误。高斯9岁那年在公立小学读书，一次他的老师为了让学生们有事干，叫他们
把从1到100这些数加起来，高斯几乎立刻就把写好结果的石板面朝下放在自己的
桌子上，当所有的石板最终被翻过时，这位老师惊讶地发现只有高斯得出了正确
的答案：5050，但是没有演算过程。高斯已经在脑子里对这个算术级数求了和，
他注意到了1＋100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101……这么一来，就等于50个
101相加，从而答案是5050。高斯在晚年常幽默地宣称，在他会说话之前就会计
算，还说他问了大人字母如何发音，就自己学着读起书来。
高斯的早熟引起了不伦瑞克公爵的注意，这位公爵是个热心肠的赞助人。高
斯14岁进不伦瑞克学院，18岁入哥廷根大学。当时的哥廷根仍默默无闻，由于高
斯的到来，才使得这所日后享誉世界的大学变得重要起来。起初，高斯在做个语
言学家抑或数学家之间犹豫不决，他决心献身数学是日的事了。当
他差一个月满19岁时，他对正多边形的欧几里德作图理论（只用圆规和没有刻度
的直尺）做出了惊人的贡献，尤其是，发现了作正十七边形的方法，这是一个有
着二千多年历史的数学悬案。高斯初出茅庐，就已经炉火纯青了，而且以后的五
十年间他一直维持这样的水准。高斯所处的时代，正是德国浪漫主义盛行的时代。
高斯受时尚的影响，在其私函和讲述中，充满了美丽的词藻。高斯说过：“数学
是科学的皇后，而数论是数学的女王。”那个时代的人也都称高斯为“数学王
子”。事实上，纵观高斯整个一生的工作，似乎也带有浪漫主义的色彩。
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2楼对自然数的迷恋
数论是最古老的数学分支之一，主要研究自然数的性质和相互关系。从毕达
哥拉斯时代人们就沉湎于发现数的神秘关系之中，优美、简洁、智慧是这门科学
的特点。就像其他数学神童一样，高斯首先迷恋上的也是自然数。高斯在1808年
谈到：“任何一个花过一点功夫研习数论的人，必然会感受到一种特别的激情与
狂热。”现代数学最后一个“百事通”——大卫•希尔伯特的传记作者在谈到大
师放下代数不变量理论转向数论研究时指出：“数学中没有一个领域能够象数论
那样，以它的美——一种不可抗拒的力量，吸引着数学家中的精华。”画家瓦西
里•康定斯基也认为：“数是各类艺术最终的抽象表现。”我注意到一些不曾研
究过数论的伟大数学家，如帕斯卡尔、笛卡尔、牛顿和莱布尼兹，他们都把后半
生的精力奉献给了哲学或宗教，唯独费尔马、欧拉和高斯这三位对数论有着杰出
贡献的数学家，却终其一生都不需要任何哲学和宗教，因为他们心中已经有了最
纯粹、最本质的艺术——数论。
这里我想引用印度数学天才拉曼纽扬的故事来说明数论学者与自然数的“情
谊”，这位泰戈尔的同胞来自印度最南端的泰米尔纳德邦，是个贫穷的办事员，
从没有受过高等教育，但他具有快速并且深刻地看出复杂的数的关系的惊人才华。
著名的英国数学家G•H•哈代在1913年“发现”了他，并于次年把他邀请到英国，
入剑桥大学。哈代有一次去探望病中的拉曼纽扬时对他讲，自己刚才乘坐的出租
汽车车号1729似乎没有什么意义，但愿它不是一个不祥的预兆。拉曼纽扬却回答：
“不，这是一个很有意思的数，1729是可以用两种方式表示成两个自然数立方和
的最小的数（既等于1的三次方加上12的三次方，又等于9的三次方加上10的三次
方）。哈代又问，那么对于四次方来说，这个最小数是多少呢？拉曼纽扬想了想，
回答说：“这个数很大，答案是。”（既等于59的四次方加上158的四
次方，又等于133的四次方加上134的四次方）
《算术研究》：数论的法典
1801年，年仅24岁的高斯出版了《算术研究》，从而开创了现代数论的新纪
元。书中出现了有关正多边形的作图，方便的同余记号以及优美的二次互反律的
首次证明等。这部伟大的著作曾经寄到法国科学院而被拒绝，但高斯自己把它发
表了。和高斯的前期作品一样，它是用拉丁文写的，这是当时科学界的世界语，
然而由于受十九世纪初国家主义的影响，高斯后来改用德文写作。如果他和其他
研究者坚持使用拉丁文，也许今日我们就可以免除语言上的困扰了。在那个世纪
的末端，集合论的创始人康托这样评价：
《算术研究》是数论的宪章。高斯总是迟迟不肯发表他的著作，这给科学带
来的好处是，他付印的著作在今天仍然像第一次出版时一样正确和重要，他的出
版物就是法典。比人类其它法典更高明，因为不论何时何地从未发觉出其中有任
何一处毛病，这就可以理解高斯暮年谈到他青年时代第一部巨著时说的话：
“《算术研究》是历史的财富。”他当时的得意心情是颇有道理的。
关于《算术研究》，还流传着这样一个故事，日，哥廷根大学
为高斯获得博士学位五十周年举行庆祝会。当进行到某一程序时，高斯准备用
《算术研究》的一张原稿点烟，当时在场的数学家狄里克雷（后来继承了高斯的
职位），像见到渎圣行为一样吃了一惊，他立刻冒失地从高斯手中抢下这一页纸，
并一生珍藏它；他的编辑者在他死后从他的论文中间找到了这张原稿。
和艺术家一样，高斯希望他留下的都是十全十美的艺术珍品，任何丝毫的改
变都将破坏其内部的均衡。他常说：“当一幢建筑物完成时，应该把脚手架拆除
干净。”高斯对于严密性的要求也非常苛刻，使得一个定理从直觉的形式到完整
的数学证明，中间有一段很长的过程。此外，高斯十分讲究组织结构，他希望在
每一个领域中，都能树立起一致而普遍的理论，从而将不同的定理联系起来。鉴
于上述原因，高斯很不乐意公开发表他的东西。他的著名的警句是：宁肯少些，
但要成熟。为此，高斯付出了高昂的代价，包括把非欧几何学和最小二乘法的发
明权让给了罗巴切夫斯基、鲍耶和勒让德，就如同费尔马把解析几何和微积分的
发明权让给了笛卡尔和牛顿、莱布尼兹。
从做出有关正多边形发现的那天起，高斯开始了著名的数学日记，他以密码
式的文字记载下许多伟大的数学发现。高斯的这本日记直到1898年才被找到，它
包括146条很短的注记，其中有数值计算结果，也有简单的数学定理。例如，关
于正多边形作图问题，高斯在日记中写到：
圆的分割定律，如何以几何方法将圆十七等分。
又如日的记载，
num＝△＋△＋△
意指“每个自然数都是三个三角形数之和”。就像莫扎特一样，高斯年轻时
候风起云涌的奇思妙想使他来不及做完一件事，另一件又出现了。
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3楼多才多艺
高斯不仅是数学家，还是那个时代最伟大的物理学家和天文学家之一。在
《算术研究》问世的同一年，即1801年的元旦，一位意大利天文学家在西西里岛
观察到在白羊座（A r ie s）附近有光度八等的星移动，这颗现在被称作谷神星
（C e re s）的小行星在天空出现了41天，扫过八度角之后，就在太阳的光芒下
没了踪影。当时天文学家无法确定这颗新星是彗星还是行星，这个问题很快成了
学术界关注的焦点，甚至成了哲学问题。黑格尔就曾写文章嘲讽天文学家说，不
必那么热衷去找寻第八颗行星，他认为用他的逻辑方法可以证明太阳系的行星，
不多不少正好是七颗。高斯也对这颗星着了迷，他利用天文学家提供的观测资料，
不慌不忙地算出了它的轨迹。不管黑格尔有多么不高兴，几个月以后，这颗最早
发现迄今仍是最大的小行星准时出现在高斯指定的位置上。自那以后，小行星、
大行星（海王星和冥王星）接二连三地被发现了。
在物理学方面高斯最引人注目的成就是在1833年和物理学家韦伯发明了有线
电报，这使高斯的声望超出了学术圈而进入公众社会。除此以外，高斯在力学、
测地学、水工学、电动学、磁学和光学等方面均有杰出的贡献。即使是数学方面，
我们谈到的也只是他年轻时候在数论领域里所做的一小部分工作，在他漫长的一
生中，他几乎在数学的每个领域都有开创性的工作。例如，在他发表了《曲面论
上的一般研究》之后大约一个世纪，爱因斯坦评论说：“高斯对于近代物理学的
发展，尤其是对于相对论的数学基础所作的贡献（指曲面论），其重要性是超越
一切，无与伦比的。”
高处不胜寒
在高斯的时代，几乎找不到什么人能够分享他的想法或向他提供新的观念。
每当他发现新的理论时，他没有人可以讨论。这种孤独的感觉，经年累月积存下
来，就造成他高高在上、冷若冰霜的心境了。这种智慧上的孤独，在历史上只有
很少几个伟人感受过。高斯从不参加公开争论，他对辩论一向深恶痛绝，他认为
那很容易演变成愚蠢的喊叫，这或许是他从小对粗暴专制的父亲一种心理上的反
抗。高斯成名后很少离开过哥廷根，他曾多次拒绝柏林、圣彼德堡等地科学院的
邀请。高斯甚至厌恶教学，也不热衷于培养和发现年轻人，自然就谈不上创立什
么学派，这主要是由于高斯天赋之优异，因而心灵上离群索居。可这不等于说高
斯没有出类拔萃的学生，黎曼、狄里克雷都堪称伟大的数学家，戴特金和艾森斯
坦也对数学作出了杰出贡献。但是由于高斯的登峰造极，在这几个人中，也只有
黎曼（在狄里克雷死后继承了高斯的职位）被认为和高斯比较亲近。
和高斯同时代的伟大数学家雅可比和阿贝尔都抱怨高斯漠视了他们的成就。
雅可比是个很有思想的人，他有一句流传至今的名言：“科学的唯一目的是为人
类的精神增光”。他是高斯的同胞，又是狄里克雷的丈人，但他一直没能和高斯
攀上亲密的友情。在1849年哥廷根那次庆祝会上，从柏林赶来的雅可比坐在高斯
身旁的荣誉席上，当他想找话题谈数学时，高斯不予理睬，这可能是时机不对，
当时高斯几杯甜酒下肚，有点不能自制；但即使换个场合，结果恐怕也是一样。
在给他兄弟论及该宴会的一封信中，雅克比写到，“你要知道，在这二十年里，
他（高斯）从未提及我和狄里克雷……”
阿贝尔的命运很惨，他与后来的同胞易卜生、格里格和蒙克一样，是在自己
领域里唯一取得世界性成就的挪威人。他是一个伟大的天才，却过着贫穷的生活，
毫无同时代人的了解。阿贝尔20岁时，解决了数学史上的一个大问题，即证明了
用根式解一般五次方程的不可能性，他将短短六页“不可解”的证明寄给欧洲一
些著名的数学家，高斯自然也收到了一份。阿贝尔在引言中满怀信心，以为数学
家们会亲切地接受这篇论文。不久，乡村牧师的儿子阿贝尔开始了他一生唯一的
一次远足，当时他想以这篇文章作敲门砖。阿贝尔此行最大的愿望就是拜访高斯，
但高斯高不可攀，只是将论文瞄了几行，便把它丢在一旁，仍然专心于自己的研
究工作。阿贝尔只得在从巴黎去往柏林的旅途中，以渐增的痛苦绕过哥廷根。
高斯虽然孤傲，但令人惊奇的是，他春风得意地度过了中产阶级的一生，而
没有遭受到冷酷现实的打击；这种打击常无情地加诸于每个脱离现实环境生活的
人。或许高斯讲求实效和追求完美的性格，有助于让他抓住生活中的简单现实。
高斯22岁获博士学位，25岁当选圣彼德堡科学院外籍院士，30岁任哥廷根大学数
学教授兼天文台台长。虽说高斯不喜欢浮华荣耀，但在他成名后的五十年间，这
些东西就像雨点似的落在他身上，几乎整个欧洲都卷入了这场授奖的风潮，他一
生共获得75种形形色色的荣誉，包括1818年英王乔治三世赐封的“参议员”，
1845年又被赐封为“首席参议员”。高斯的两次婚姻也都非常幸福，第一个妻子
死于难产后，不到十个月，高斯又娶了第二个妻子。心理学和生理学上有一个常
见的现象，婚姻生活过得幸福的人，常在丧偶之后很快再婚，一生赤贫的音乐家
约翰•塞巴斯蒂安•巴赫也是这样。
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