高数无穷级数问题,判别下列级数是绝对收敛,条件收敛还是发散._作业帮
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高数无穷级数问题,判别下列级数是绝对收敛,条件收敛还是发散.
高数无穷级数问题,判别下列级数是绝对收敛,条件收敛还是发散.
2.|An|≤1/n^2 级数1/n^2收敛,原级数绝对收敛3.|A(n+1)/An|=2/(1+1/n)^n趋于2/e
（2）（4 ）条件收敛（3）发散
答案我有，就是不会做，要过程。而且是（2）（3）绝对收敛（4）条件收敛限 limx ?0sin x1 x ?。4.已知 limx?2x 2 ? ax ? b ? 2 ，则 a ? x2 ? x ? 21 2 3,b ?。5.已知 x ? 0 时， (1 ? ax ) ? 1 与 cos x ? 1 是等价无穷小，则常数 a = 6.设 x ? z ? y? ( ) ，其中 ? 可微，则2 2z y?z = ?y。7.设 u ? e x yz 2 ，其中 z ? z ( x, y ) 由 x ? y ? z ? xyz ? 0 确定的隐函数，则?u ?x( 0 ,1)?。8.设 z ?1 ?2 z f ( xy ) ? y? ( x ? y ), f , ? 具有二阶连续导数，则 ? x ?x?y2 2。 。 。9.函数 f ( x, y) ? xy ? xy ? x y 的可能极值点为 10.设 f ( x, y) ? x 2 sin y ? ( x 2 ? 1) | xy | 则 f ' y(1,0)?2 11. x sin 2 xdx ?和?12. 在区间[0, ? ]上曲线y ? cos x, y ? sin x之间所围图形的面积为 13.若。??? 0e ? kx dx ?2 21 ，则 k ? 2。14.设Ｄ： x ? y ? 1 ，则由估值不等式得2 2? ?? ( x 2 ? 4 y 2 ? 1)dxdy ?15.设 D 由 y ? x , y ? 2x , y ? 1, y ? 2 围成（ x ? 0 ） ，则 为 和?? f ? x, y ? d? 在直角坐标系下的两种积分次序DD。16.设 D 为 0 ? y ? 1 ? x,0 ? x ? 1，则?? f ?Dx 2 ? y 2 dxdy 的极坐标形式的二次积分为?。第 1 页共 10 页17.设级数?nn ?1?12? p收敛，则常数 p 的最大取值范围是。18.?1 0x(1 ?x2 x4 x6 ? ? ? ?)dx ? 1! 2! 3!。 。19.方程dx 1? x2?dy 1? y2? 0 的通解为20．微分方程 4 y?? ? 20 y? ? 25 ? 0 的通解为 21.当 n=。时，方程 y'? p( x) y ? q( x) y n 为一阶线性微分方程。 。 。22.若 4 ? 4 阶矩阵 A 的行列式为 | A |? 3, A* 是 A 的伴随矩阵,则 | A* |? 23.设 A n?n 与 B m?m 均可逆，则 C= ??2 3? ? ??A 0? ?1 ? 也可逆，且 C ＝ 0 B ? ?。24.设 A ? ?3 1? ，且 AX ? E ? 3 X ，则 X =? 2 -1 2? 25.矩阵 ?4 0 2? 的秩为 ?0 -3 3 ? ? ?。1),其内积为 26.向量 ? =(-1,0,3,-5),? =(4,-2,0,27.n 阶方阵 A 的列向量组线性无关的充要条件是。 。28.给定向量组 ?1 ? ?1 1 1? , ?2 ? ? a 0 b? , ?3 ? ?1 3 2? , ，若 ?1 ,? 2 ,? 3 线性相关，则 a，b 满足关 系式 。 。29.已知向量组(Ⅰ)与由向量组(Ⅱ)可相互线性表示，则 r(Ⅰ)与 r(Ⅱ)之间向量个数的大小关系是 30.向量 ? =(2,1)T 可以用 ? =(0,1)T 与 ? =(1,3)T 线性表示为 31.方程组 Ax=0 有非零解是非齐次方程组 AB=b 有无穷组解的 32.设 A 为 m×n 矩阵,非齐次线性方程组 Ax ? b 有唯一解的充要条件是 r(A) 。 条件。 r(A|b )=。 。33.已知 n 元线性方程组 AX ? b 有解，且 r ( A) ? n ，则该方程组的一般解中自由未知量的个数为 34.设 ?0 是方阵 A 的一个特征值，则齐次线性方程组 ??0 E ? A?x ? 0 的 35.若 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，2，-3，则 A ?1 的特征值为 36.设 A 是 n 阶方阵，|A|≠0, A 为 A 的伴随矩阵,E 为 n 阶单位矩阵，若 A 有特征值 ?0 ,则 A**都是 A 的属于 ?0 的特征向量.? ?3? 2E 必有第 2 页共 10 页特征值 λ=。37.? ， ? 分别为实对称矩阵 A 的两个不同特征值 ?1 , ? 2 所对应的特征向量 , 则 ? 与 ? 的内积（ ?,? ） = 。 。38.二次型 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ? x1 x4 ? x2 x3 的秩为?4 2 0? ? ? 39.矩阵 A = ? 2 4 λ ? 为正定矩阵,则 ? 的取值范围是 ?0 λ 1? ? ?。2 2 2 40.二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) ? 2x1 ? 3x2 ? tx3 ? 2x1x2 ? 2x1x3 是正定的,则 t 的取值范围是。41.A、B、C 代表三事件，事件“A、B、C 至少有二个发生”可表示为 42.事件 A、B 相互独立，且知 P ? A? ? 0.2, P ? B ? ? 0.5 则 P ? A。 。 。B? ?43.若随机事件 A 和 B 都不发生的概率为 p，则 A 和 B 至少有一个发生的概率为44.在相同条件下，对目标独立地进行 5 次射击，如果每次射击命中率为 0.6，那么击中目标 k 次的概率为 ( 0 ? k ? 5 )。 45.设随机变量 X 服从泊松分布，且 P ?X = 1? = P ?X = 2? ，则 P ?X = 3? = 。? x ?? 0 ? x ? 1 ? 46.设随机变量 X 的分布密度为 f ( x) ? ?a ? x ? 1 ? x ? 2 ，则 a = ? 0 ? 其它 ?47.若二维随机变量（X，Y）的联合分布律为： Y 1 X 1 2 1/16 3/16 b ,b = 。 。 2。a且 X，Y 相互独立，则常数 a = 48.设 X 的分布密度为 f ( x ) ，则 Y ? X 的分布密度为349.二维随机变量（X，Y）的联合分布律为：第 3 页共 10 页Y 1 X 1 2 则 ? 与 ? 应满足的条件是 2?0.2 0.3 ，当 X，Y 相互独立时， ? ＝ 。 。 。?1)。令 Z=-Y+2X+3，则 D ( Z ) = 50.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X ? N(1,2),Y ? N(0,51.已知随机变量 X 的数学期望 E( X ) ? 1, E( X 2 ) ? 4 .令 Y＝2X－3，则 D (Y ) =二、单项选择题： 1.设 f ( x ) ? x ? 1 ，则 f ( f ( x) ? 1) = A.x B.x + 1 C.x + 2 D.x + 3 [ C. y ? ] [ ]2.下列函数中， （ ）不是基本初等函数。 A. y ? ( )1 exB. y ? ln x 2sin x cos xD. y ? 3 x 5 [ ]3.下列各对函数中， （ ）中的两个函数相等。 A. y ?x ln(1 ? x) ln(1 ? x) 与g ? 2 x xB. y ? ln x 2 与 g ? 2 ln x D. y ?C. y ? 1 ? sin 2 x 与 g ? cos x 4.设 f ( x) 在 x ? x0 处间断，则有 A. f ( x) 在 x ? x0 处一定没有意义；x( x ? 1) 与 y ? x ( x ? 1)[ ]f ( x ) ? lim f ( x ) )； B. f ( x0 ? 0) ? f ( x ? 0) ; (即 lim ? ?x ? x0 x ? x0C. lim f ( x ) 不存在，或 lim f ( x) ? ? ；x ? x0 x ? x0D.若 f ( x) 在 x ? x0 处有定义，则 x ? x0 时， f ( x) ? f ( x0 ) 不是无穷小?1 ? 1 ? 2 x , x?0 ? 5.函数 f ( x) ? ? 在 x = 0 处连续，则 k = x ?k , x?0 ?第 4 页共 10 页[]A.-2 6.若 f ( x ) ? A.1B.-1C.1D.2 [ ]ex ? a ， x ? 0 为无穷间断点， x ? 1 为可去间断点，则 a ? x( x ? 1)B.0 C.e D.e-12 2 2 2 (x + y - 2)? 4 ? x ? y 的定义域为 7.函数 z ? R[ D. 2 ? x2 ? y 2 ? 4 []A. x 2 ? y 2 ? 2 8.二重极限 limxy2 2 4B. x2 ? y 2 ? 4C. x2 ? y 2 ? 2x ?0 y ?0x ?y]A.等于 0B.等于 1C.等于1 2D.不存在9.利用变量替换 u ? x, v ?y ?z ?z ? z 化为新的方程 ，一定可以把方程 x ? y x ?x ?y ?z ?z ?vC. u[]A. u?z ?z ?uB. v?z ?z ?vD. v?z ?z ?u[ ]10．若 f ( x) ? ? f (? x) ，在 (0,??) 内 f ' ( x) ? 0, f ' ' ( x) ? 0, 则 f ( x) 在 (??,0) 内 A. f '( x) ? 0, f ''( x) ? 0 C. f '( x) ? 0, f ''( x) ? 0 B. f '( x) ? 0, f ''( x) ? 0 D. f '( x) ? 0, f ''( x) ? 011.设 f ( x)在x ? 0 的某个邻域内连续,且 f (0) ? 0 , limx ?0f ( x) x 2 sin 22? 1 ,则在点 x ? 0 处 f ( x )[]A.不可导B.可导,且 f ?(0) ? 0C.取得极大值D.取得极小值 ]12.设函数 f ( x ), g ( x ) 是大于零的可导函数，且 f ?( x) g ( x) ? f ( x ) g ?( x ) ? 0 ，则当 a ? x ? b 时，有 [ A. f ( x) g (b) ? f (b) g ( x) C. f ( x) g ( x) ? f (b) g (b) 13. 设f ( x)是连续函数 , 且F ( x) ? A. ? e C. e?x ?xB. f ( x) g (a) ? f (a) g ( x) D. f ( x) g ( x) ? f (a) g (a)?e? x xf (t )dt, 则F ?( x) ?B. ? e D. e?x[]f (e ? x ) ? f ( x )f (e ? x ) ? f ( x )f (e ? x ) ? f ( x )?xf (e ? x ) ? f ( x )第 5 页共 10 页14.设 f ( x)在? 1,2? 上具有连续导数，且 f (1) ? 1, f (2) ? 1, A.2 B.1 C.-1? f ( x)dx ? ?1 ，则 ? xf ?( x)dx ?1221[]D.-215.设 f ( x)在?a, b? 上二阶可导，且 f ( x) ? 0, f ?( x) ? 0, f ??( x) ? 0. 记S1 ? ? f ( x)dx ， S2 ? f (b)(b ? a) ， S3 ?abf (a ) ? f (b) (b ? a ) ，则有 2C. S3 ? S1 ? S2 D. S1 ? S3 ? S2[]A. S1 ? S2 ? S3 16.设幂级数B. S2 ? S3 ? S1?an ?1?n( x ? 1) n 在 x ? ?1 处收敛，则此级数在 x ? 2 处B.条件收敛 C.发散 D.收敛性不能确定[]A.绝对收敛 17.下列命题中,正确的是 A.若级数[? ?]? un与? vn 的一般项有 un ? vn (n ? 1,2?), 则有 ? un ? ? vnn ?1 n ?1 n ?1 n ?1??B.若正项级数?un ?1?n满足? un ?1 ? 1(n ? 1,2,?),则? un 发散 un n ?1C.若正项级数??un ?1n?n收敛，则 limn ??un ?1 ?1 unan an ?1n??D.若幂级数??a xn ?1n的收敛半径为 R(0 ? R ? ??) ，则 lim?? R。[ ]18.设级数? (?1)n an 2n 收敛，则级数 ? ann ?1 n ?1A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不确定 [ ]19.微分方程 ?x ? y ??dx ? dy? ? dx ? dy 的通解是 A. x ? y ? ln ? x ? y ? ? c C. x ? y ? ln ? x ? y ? ? c B. x ? y ? ln ? x ? y ? ? c D. x ? y ? ln ? x ? y ? ? c20.设 y ? f ( x) 满足微分方程 y ?? ? 5 y ? ? 5 y ? 0 ，若 f x0 ? 0, f ? x0 ? 0 ，则函数 f ? x ? 在点 x0 [ A.取极大值 B.取极小值 C.附近单调增加 D.附近单调减少.? ?? ?]21.函数 y ? y?x ? 在点 x 处的增量满足 ?y ?y?x ? o ? ?x ?? ?x ? 0 ? 且 y ? 0? ? ? ，则 y ?1? ? （D）[ 1 ? x2第 6 页共 10 页]A. 2? ;B. ? ;?C. e 4 ;D. ?e 4 . [ D.r&s [ ] ]?22.若含有 s 个向量的向量组线性相关，且该向量组的秩为 r，则必有 A.r=s B.r&s C.r=s+123.已知向量组 ?1 ? (1,1,1,0),?2 ? (0, k ,0,1),?3 ? (2, 2,0,1),?4 ? (0,0, 2,1) 线性相关,则 k = A. ?1 24.向量组 ?1 ,?2 , A. ?1 ,?2 , B. ?1 ,?2 , C. ?1 ,?2 , D. ?1 ,?2 , B. ?2 C. 0 D. 1,? s 线性相关的充分必要条件是[],? s 中含有零向量 ,? s 中有两个向量的对应分量成比例 ,? s 中每一个向量都可由其余 s ? 1 个向量线性表示 ,? s 中至少有一个向量可由其余 s ? 1 个向量线性表示, αr ), ，因为 0α1 ? 0α2 ?B.线性相关25.对于向量组 (α1 , α2 , A.全为零向量? 0αr ? 0 ，所以 α1 , α2 ,D.任意, αr 是[]C.线性无关26.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=O，则必有 A.A=O 或 B=O B.|A|=0 或|B|=0 C.A+B=O D.|A|+|B|=0 [ D.秩(A）=秩( A )[]27.若非齐次线性方程组 Am×n X = b 的( )，那么该方程组无解 A.秩(A) ＝ n B.秩(A)＝m4? ? 2?]C.秩(A）?秩( A )?1 ? 28.若线性方程组的增广矩阵为 A ? ? ?2 1A.1 B.4，则当 ? ＝（ ）时线性方程组有无穷多解。 []C.2D.1 2[ ]29.设λ=2 是非奇异矩阵 A 的特征值,则 ( A ) 有一个特征值是1 32 ?1A.4 3B.1 2C. 34D.1 4[ ]2 2 2 30.若二次型 f ( x1, x2 , x3 ) ? (k ? 1) x1 正定，则 ? (k ? 2) x2 ? (k ? 3) x3A. k ? ?1B. k ? 1C. k ? 2D. k ? 3第 7 页共 10 页?2 1 1? ? ? 31.已知 ? ? (1, k ,1) 是矩阵 A = 1 2 1 的特征向量,则 k = ? ? ?1 1 2 ? ? ?T[]A.1 或 2B.-1 或-2C.1 或-2D.-1 或 2 [ ]32.在随机事件 A，B，C 中，A 和 B 两事件至少有一个发生而 C 事件不发生的随机事件可表示为 A. ACBCB. ABCC. ABC ABC ABCD. A B C ]33.袋中有 5 个黑球，3 个白球，大小相同，一次随机地摸出 4 个球，其中恰有 3 个白球的概率为 [ A.3 8B. ? ??3? 1 ?8? 854 C. C8 ? ?? 3? 1 ?8? 83D.5 4 C8[ ]34.设 A、B 互为对立事件，且 P ? A? ? 0, P ? B ? ? 0, 则下列各式中错误的是 A. P B | A ? 0??B. P ? A | B ? ? 0C. P ? AB? ? 0D. P ? AB? ? 1[ ]35.离散型随机变量 X 的分布列为 P{ X = k } = ak , k = 1,2,3,4.则 a ? A.0.05 B.0.11C.0.2D.0.2536.设随机变量 X 的分布函数为 F ( x) ? a ??arctan x ( ?? ? x ? ?, a为常数) 则 P ?-?3? 3& X & 3? =? ?[]A.1 6B.1 3C.1 2D.2 3[ ]37.设随机变量 X 服从 N ? ?,4? ,则P ?X ? 2 ? ?? ，的值 A.随 ? 增大而减小 B.随 ? 增大而增大 C.随 ? 增大而不变 D.随 ? 减少而增大. [ C. N ?2 38.设随机变量 X ~ N (?, ? ) ，则 Y ? aX ? b 服从]A. N (?, ? 2 )B. N (0,1)?? ? 2? ,( ) ? ?a b ?D. N (a? ? b, a2? 2 )39.对目标进行 3 次独立射击，每次射击的命中率相同，如果击中次数的方差为 0.72，则每次 射击的命中率等于 A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 [ ]1 ? ? 40.设随机变量 X 的概率密度为 f ( x) ? ?? a 2 ? x 2 ? 0 ?| x |? a | x |? a, a ? 0 ，则 E ( X ) =[]第 8 页共 10 页A.-1 三、解答题：B.0C.1D.以上结论均不正确?a ? x 2 ? 1.设 f ( x) ? ?1 ?ln(b ? x 2 ) ?x?0 x ? 0 ，已知 f ( x) 在 x ? 0 处连续可导， x?0试确立 a , b 并求 f ?( x ) 2.设 z ? f (2 x ? y, y sin x) ，其中 f (u , v) 具有二阶连续偏导数，求? xy ,x2 ? y 2 ? 0 讨论 f(x,y)在（0，0） ? 2 2 f ( x, y ) ? ? x ? y ? 2 2 ?0, x ? y ? 0?2z 。 ?x ?y3.设（1）偏导数是否存在。 （2）是否可微。 4.在过点 P(1,3,6) 的所有平面中,求一平面,使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小。 5. 6.??2 0x cos 2 xdx2?? | x? y 2 ? 4 |d? ，其中 D 为圆域 x2 ? y 2 ? 9 。1 2 R ?0 R2 2 7.设 f ( x, y) 在 x ? y ? 1 上连续，求证： limx2 ? y 2 ? R2??f ( x, y)d? ? ? f (0,0) 。证明： D ? {( x, y) | x2 ? y 2 ? R2 } 8.求幂级数(?1) n?1 ( x ? 4) n 收敛区间及和函数 S ( x ) ： ? n n ?1?1 ? y2 9.求解 y? ? ,y(1) ? 0 。 xy ? x3 y10.求解 xy ? ? x tany ? ? y ? 0, y (1) ? 。 x 211.求解 4 y?? ? 4 y? ? y ? 0 满足 y ? 0? ? 2, y? ? 0? ? 0 。 12.求解 y?? ? 3 y? ? 2 y ? 2e 满足 y ? 0? ? 1, y? ? 0? ? ?1。x13.设二阶常系数线性微分方程 y?? ? ?y? ? ?y ? ?e 的一个特解为 y ? ex2x? ?1 ? x ?e x ，试确定 ? , ? , ? ，并第 9 页共 10 页求该方程的通解。 14.计算下列行列式cos ? sin ?2 1 2 0- sin ? cos ?4 2 3 6。1 1 2 2。15.计算下列行列式3 -1 1 5116.证明： a1 b31 c =(a + b + c)(b - a)(c - a)(c - b) c3ab3?1 0 1? 17.设 AX+E=A2+X，且 A= ? 0 2 0 ? ，求 X 。 ? ?1 0 1? ? ? ?18.已知矩阵 ??a 1? ?b 1 ? ?6 7? ，求常数 a，b。 ?? 2? ? ? a 0? ? ?0 b ? ? ?6 3? ?19.将向量 ? 表示成 ?1 , ? 2 , ? 3 的线性组合： （1） ?1 ? (1,1,?1),? 2 ? (1,2,1), ? 3 ? (0,0,1), ? ? (1,0,?2) 20.问 ? ， ? 取何值时，齐次方程组? ?x 1 ? x 2 ? x 3 ? 0 ? ? x 1 ? ?x 2 ? x 3 ? 0 ?x ? 2?x ? x ? 0 2 3 ? 1有非零解？ 21.设线性方程组?2 x1 ? x 2 ? x 3 ? 1 ? ?? x1 ? 2 x 2 ? x 3 ? ?1 ? x ? 3x ? 2 x ? c 2 3 ? 1试问 c 为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解。 22.求一个正交变换化下列二次型为标准型：2 2 f ? 2x1 ? 3x 2 2 ? 3x 3 ? 4x 2 x 323.某工人看管甲、乙、丙 3 台机器，在 1 小时内，这 3 台机器不需照管的概率分别为 0.8，0.9，0.6，设 这三台机器是否需照管是相互独立的，求在 1 小时内：(1)有机床需要工人照管的概率；(2) 机床因无第 10 页共 10 页人照管而停工的概率？ 24.设随机变量 X 的分布密度为 f ( x) ?A 1 ? x2(?? ? x ? ??) 求：(1)常数 A；(2)X 的分布函数；25.设二维随机变量（X，Y）在区域 0 ? x ? 1, y 2 ? x 内服从均匀分布。求： (1)（X，Y）的联合分布密度； (2)X 与 Y 的边缘分布密度，并问它们是否相互独立？ 26.设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为?1, 0 ? x ? 1 f X ( x) ? ? ? 0, 其它?e ? y , y ? 0 fY ( y ) ? ? ? 0, y ? 0求随机变量 Z＝X＋Y 的概率密度函数。x ?1 ?1 ? e 4 27.某工厂生产的一种设备的寿命 X（以年计）服从指数分布，密度函数为 f ( x) ? ? 4 ? 0 ?0? x x?0为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换，若售出一台设备，工厂获利 100 元， 而调换一台则损失 200 元.求工厂出售一台设备赢利的数学期望。 28.设随机变量（X，Y）服从正态分布，且 X 和 Y 分别服从正态分布 N (1,3 ) 和N (0, 4 ) ，X 与 Y 的相关 系数 ? XY ? ?2 21 X Y , Z ? ? ,求 Z 的数学期望 E ( Z ) 和方差 D(Z ) ； 2 3 2第 11 页共 10 页参考答案一、填空题： 1.设 f ( x) ?a x ? a?x ，则函数的图形关于 2对称。解： f ( x) 的定义域为 (??,??) ，且有f ( ? x) ?a ? x ? a ?( ? x ) a ? x ? a x a x ? a ? x ? ? ? f ( x) 2 2 2即 f ( x) 是偶函数，故图形关于 y 轴对称。 2.若 y ? ??sin x2?2? x ?0?x ? 1 0 ? x ? 2，则 y ( ) ??2解： 1 ??24。x 2 sin3.极限 limx ?0sin x1 x ?。1 x ? lim( x sin 1 x ) ? lim x sin 1 ? lim x ? 0 ? 1 ? 0 解： lim x ?0 x ?0 x ?0 sin x x sin x x x?0 sin x 1 注意： lim x sin ? 0 （无穷小量乘以有界变量等于无穷小量） x ?0 x x 2 sinlimx ?0x 1 1 1 sin x ? lim ? ? ? 1 ，其中 lim =1 是第一个重要极限。 x ? 0 x ? 0 sin x sin x 1 sin x x lim x ?0 x xx 2 ? ax ? b ? 2 ，则 a ? _____, b ? _____。 4.已知 lim 2 x?2 x ? x ? 2由所给极限存在知, 4 ? 2a ? b ? 0 ,得 b ? ?2a ? 4 ,又由limx ?2x 2 ? ax ? b x?a?2 a?4 ? lim ? ? 2 , 知 a ? 2, b ? ?8 2 3 x ? x ? 2 x ?2 x ? 11 2 35.已知 x ? 0 时， (1 ? ax ) ? 1 与 cos x ? 1 是等价无穷小，则常数 a =?1 ? ax ? 解：? limx ?0?1 ? lim x ?0 cos x ? 11 2 32ax 2 ? ? x 2 ??1 ? ax ?2 2 3? ? ?1 ? ax ?1 2 32 3 ? ? a ? 1,? a ? ? . 3 2 ? ? 1? ?第 1 页共 24 页6.设 x ? z ? y? ( ) ，其中 ? 可微，则2 2z y?z = ?y。?z ? y ? z ?1 ?z ?y 解： 2 z ? ? ? y? ? ? ?y y2 z ? ? ?? ?z y ? ?y 2 z ? ? ?7.设 u ? e x yz 2 ，其中 z ? z ( x, y ) 由 x ? y ? z ? xyz ? 0 确定的隐函数，则 解：?u ?z ? e x yz 2 ? 2 ze x y ? ?x ?x?u ?x( 0 ,1)?。1? 0 ??z ?1 ? yz ?z ?z ? ? yz ? xy ? 0 ， ? x 1 ? xy ?x ?x?u ?1 ? yz ? e x yz 2 ? 2 ze x ? y ?x 1 ? xyx ? 0, y ? 1 时， z ? ?1?z ?x?1(0,1)8.设 z ?1 ?2 z f ( xy ) ? y? ( x ? y ), f , ? 具有二阶连续导数，则 ? x ?x?y?z ?x 2 ? z ? ?1 y ' ' f ( xy ) ? f ( xy ) ? y? ( x ? y ) 2 x x ? ?1 ' 1 ' '' ' '' f ( xy ) ? f ( xy ) ? yf ( xy ) ? ? ( x ? y ) ? y? ( x ? y ) x x。解：?x?y'' '' ' ? y[ f ( xy ) ? ? ( x ? y )] ? ? ( x ? y )9.函数 f ( x, y) ? xy ? xy 2 ? x 2 y 的可能极值点为? f x ? y ? y 2 ? 2 xy ? y(1 ? 2 x ? y) ? 0 ? x ? 0 ? 解： ? ? 2 ? ? f y ? x ? 2 xy ? x ? x(1 ? x ? 2 y) ? 0 ? y ? 0?x ? 0 ? ?y ?1和?x ? 1 ? ?y ? 0。1 ? ?x ? 3 ? ? ?y ? 1 ? 3 ?fxx ? ?2 y ， fxy ? 1 ? 2 y ? 2 x ， fyy ? ?2 x ， H ? ?1 ? 2 y ? 2x ? ? ?2 y ? 1 ? 2 y ? 2 x ?2 x ? ?? ?2 / 3 ?1/ 3 ? H ?? ? ? ?1/ 3 ?2 / 3 ??0 1? ? ? 2 ?1 ? ? 0 ?1 ? 1 1 (0, 0) H ? ? ? 不是, (0,1) H ? ? ? 不是 (1, 0) H ? ? ? 不是 ( , ) 1 0 ? 1 0 ? 1 ? 2 3 3 ? ? ? ? ? ?负定，极大值1 1 （ ， ） 3 310.设 f ( x, y) ? x 2 sin y ? ( x 2 ? 1) | xy | 则 f ' y (1, 0) ?第 2 页共 24 页。解：因为 f (1, y ) ? sin y ，故 f y?(1,0) ? cos y y ?0 ? 12 11. x sin 2 xdx ??。2解：原式 ?1 1 d (? cos 2 x) ? ? x 2 cos 2 x ? ? x cos 2 xdx 2 2 1 1 1 1 1 ? ? x 2 cos 2 x ? ? xd ( sin 2 x) ? ? x 2 cos 2 x ? x sin 2 x ? ? sin 2 xdx 2 2 2 2 2 1 1 1 ? ? x 2 cos 2 x ? x sin 2 x ? cos 2 x ? C . 2 2 4?x12. 在区间[0, ? ]上曲线y ? cos x, y ? sin x之间所围图形的面积为 解： A ?。??0cos x ? sin x dx ? ? 4 (cosx ? sin x)dx ? ?? (sin x ? cos x)dx0 4???4 ? (sin x ? cos x) 0 ? (? cos x ? sin x) ? ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 2. 4?13.若??? 0e ? kx dx ?1 ，则 k ? 2。b 0答案：∵ ∴k ? 2?? 1 1 b 1 ? ? e ? kx dx ? lim ? ? e ? kx d( ?kx ) ? lim ? e ? kx 0 b ? ?? b ? ?? 2 k 0 k?1 1 1 ? lim e ? kb ? k b??? k k14.设Ｄ： x ? y ? 1 ,则由估值不等式得2 2? ?? ( x 2 ? 4 y 2 ? 1)dxdy ?D解： f ( x, y) ? x2 ? 4 y 2 ? 1 ? 4( x2 ? y 2 ) ? 1 ，又D : x2 ? y 2 ? 1? max { f ( x, y)} ? 4 ?1 ? 1 ? 5 ， min { f ( x, y)} ? 1( x, y )?D ( x, y )?D由 m? ? ?? f ( x, y )d? ? M ? ， ? ? SD ? ? ?1 ? ?D∴? ? I ? 5?2 215.设 D 由 y ? x , y ? 2 x , y ? 1, y ? 2 围成（ x ? 0 ） ，则 为 和 。?? f ? x, y ? d? 在直角坐标系下的两种积分次序D? 1 ? x ?1 ? ? ?1 ? x ? 2 解：D： （X―型）=D1+D2， D1 ? 2 ， D2 ? 2 ? ?1 ? y ? 2 x 2 ?x ? y ? 2 ?I ? ? dx ?11 212 x2f ( x, y)dy ? ?1 dx ?x f ( x, y)dy222第 3 页共 24 页?1 ? y ? 2 ? D： （Y―型） ? y ?x? ? ? 2yI ? ?1 d y ?2y y 2f( x , y )dx16.设 D 为 0 ? y ? 1 ? x,0 ? x ? 1，则?? f ?Dx 2 ? y 2 dxdy 的极坐标形式的二次积分为?。? ? 0 ?? ? 1 ? ? ? 2 解：D： ? ， I ? ?02 d? ?0sin? ?cos? f (r )rdr 1 ?0 ? r ? ? sin ? ? cos ? ?17.设级数?nn ?1?12? p收敛，则常数 p 的最大取值范围是?。解：由 p 级数的敛散性知，仅当 2 ? p ? 1 即 p ? ?1 时，级数?nn ?112? p收敛，其他情形均发散.18.?1 0x(1 ?x2 x4 x6 ? ? ? ?)dx ? 1! 2! 3!2 x2 x4 x6 ? ? ? ? ? e ?x ， 1! 2! 3!。解：因为 1 ?所以原积分 xe0?1? x22 1 1 2 dx ? ? ? e ? x d (? x 2 ) ? ? e ? x 20 211 01 ? ? (e ?1 ? 1) 219.方程dx 1? x2?dy 1? y2? 0 的通解为 arcsinx ? arcsiny ?5 x 220.微分方程 4 y?? ? 20y? ? 25 ? 0 的通解为 y ? ?c1 ? c2 x ?e.21.当 n=_________时，方程 y'? p( x) y ? q( x) y n 为一阶线性微分方程。 解n ? 0 或 1.* *22.若 4 ? 4 阶矩阵 A 的行列式为 | A |? 3, A 是 A 的伴随矩阵,则 | A |? __________。 答案：27 23.设 A n?n 与 B m?m 均可逆，则 C = ??A 0? ?1 ? 也可逆，且 C ＝ 0 B ? ?。第 4 页共 24 页答案： ?? A ?1 ? 00 ? ?; B ?1 ?。24.设 A ? ?3 1? ，且 AX ? E ? 3 X ，则 X =?2 3? ? ?1? ? 0 ? 答案： 2? ? ? ?1 0 ??2 ? 1 2? ? ? 25.矩阵 4 0 2 的秩为 ? ? ? ?0 ? 3 3? ?。解答：将矩阵化成阶梯形，可知填写：2。 26.向量 ? ? (?1,0,3, ?5), ? ? (4, ?2,0,1) ,其内积为____________。 答案： ?9 27.n 阶方阵 A 的列向量组线性无关的充要条件是 。答案：r=n,或|A|≠0; 28.给定向量组 ?1 ? ?1 1 1?,? 2 ? ?a 系式 。 答案：a-2b=0 29.已知向量组(I)与由向量组(II)可相互线性表示，则 r(I)与 r(II)之间向量个数的大小关系是 答案：相等 30.向量 ? =(2,1)T 可以用 ? =(0,1)T 与 ? =(1,3)T 线性表示为 答案： ? ? ?5? ? 2? ; 。 。0 b?,? 3 ? ?1 3 2?, ，若 ?1 ,? 2 ,? 3 线性相关，则 a，b 满足关31.方程组 Ax=0 有非零解是非齐次方程组 AB=b 有无穷组解的 答案：必要不充分;条件。第 5 页共 24 页32.设 A 为 m×n 矩阵,非齐次线性方程组 Ax ? b 有唯一解的充要条件是 r(A) 答案： r ( A) ? r ( A?b) ?r(A|b )=。33.已知 n 元线性方程组 AX ? b 有解，且 r ( A) ? n ，则该方程组的一般解中自由未知量的个数为 解答： n ? r ( A) 34.设 ?0 是方阵 A 的一个特征值，则齐次线性方程组 ??0 E ? A?x ? 0 的 答案：非零解; 35.若 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，2，-3，则 A ?1 的特征值为 答案： 1, 1 ,? 1 ;2 3。都是 A 的属于 ?0 的特征向量。。36.设 A 是 n 阶方阵，|A|≠0, A 为 A 的伴随矩阵,E 为 n 阶单位矩阵，若 A 有特征值 ?0 ,则 A**? ?3? 2E 必有特征值 ? ? . 答案： (。A?0)3 ? 2 .37.?，?分别为实对称矩阵 A 的两个不同特征值 ?1 , ? 2 所对应的特征向量,则?与? 的内积（?,?）= 答案： 0 38.二次型 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ? x1 x4 ? x2 x3 的秩为 答案：4. 。.?4 2 0 ? ? ? 39.矩阵 A ? ? 2 4 ? ? 为正定矩阵,则 ? 的取值范围是_________。 ?0 ? 1? ? ?答案： ? 3 ? ? ? 3 40.二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) ? 2x1 ? 3x2 ? tx3 ? 2x1x2 ? 2x1x3 是正定的,则 t 的取值范围是_____。2 2 2答案： t ?3 5。 。41.A、B、C 代表三事件，事件“A、B、C 至少有二个发生”可表示为 AB+BC+AC 42.事件 A、B 相互独立，且知 P ? A? ? 0.2, P ? B? ? 0.5 则 P ? A 解：∵A、B 相互独立， ∴P(AB)=P(A)P(B)第 6 页共 24 页B? ?∴P(A∪B)=P(A)+P(B)CP(AB)=0.2+0.5C0.1=0.6 43.若随机事件 A 和 B 都不发生的概率为 p，则 A 和 B 至少有一个发生的概率为 解：P(A+B)=1CP ( A ? B) ? 1 ? P( A B ) ? 1 ? p 44.在相同条件下，对目标独立地进行 5 次射击，如果每次射击命中率为 0.6，那么击中目标 k 次的概率为 ( 0 ? k ? 5 )。 解：设 X 表示击中目标的次数，则 X 服从二项分布，其分布律为： 45.设随机变量 X 服从泊松分布，且 P? X =1 ? ? P? X =2?, 则 P? X =3? = 解：∵X 服从泊松分布，其分布律为 P{X=k}= 。 。e ? ? ?k （k=0, 1, 2， ?, ? &0） k!∴ P{X=3}=由已知得：e ? ? ?1 e ? ? ?2 ? ，求得 ? =2 1! 2!e ?2 2 3 4e ?2 ? 3! 30 ? x ?1 ? x ? 1 ? x ? 2 ，则 a = 46.设随机变量 X 的分布密度为 f ( x) ? ? a ? x ? 0 其它 ?解：由性质 即：0.?????f ( x)dx ? 11 2 ??? 0dx ? ? xdx ? ? (a ? x)dx ? ??? 0 12x2 0dx ? 0 ? 2?1 0? x2 ? ? ?0 ?? ax ? ? 2 ? ? ?121 1 ? 2a ? 2 ? a ? ? a ? 1 ? 1 2 2解得：a=2 47.若二维随机变量（X，Y）的联合分布律为： Y 1 X 1 2 1/16 3/16 b ,b = . 2a且 X，Y 相互独立，则常数 a =第 7 页共 24 页解：∵ X，Y 相互独立 ∴ P(X=1，Y=1)=P(X=1) ? P(Y=1) 即：1 ?1 3 ?? 1 ? ? ? ? ?? ? a ? 16 ? 16 16 ?? 16 ?3 16∴ a=又 ∵ ? ? pij ? 1 i j ∴1 3 ? ? a ?b ?1 16 16 9 ∴ b= 16348.设 X 的分布密度为 f ( x ) ，则 Y ? X 的分布密度为 解：∵P{Y≤y}=P(X3≤y)=P(X≤ 3 y )=Fx( 3 y ) ∴Y=X3 的分布密度为.1 ? ? ( y ) ? y 3 f ( y 3 ) ，y≠0 ? (y)= FX 332149.二维随机变量（X，Y）的联合分布律为： Y 1 X 1 2 则 ? 与 ? 应满足的条件是 解：∵ 2?0.2 0.3 ，当 X，Y 相互独立时， ? ＝ 即有 ? ? ? =0.5 。??? Pl jij=1∴ ? ? ? ? 0.2 ? 0.3 =1当 X，Y 相互独立∴P(X=1, Y=1)= P(X=1)P(Y=1) ∴ a =( a +0.2)( a + ? ) ∴ a =0.2 。50.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X ~ N (1, 2), Y ~ N (0,1). 令 Z = -Y + 2X +3，则 D(Z ) =第 8 页共 24 页解：∵ X 与 Y 相互独立，∴ D(Z)=D(CY+2X+3)=D(CY)+D(2X+3) =(C1)2D(Y)+4D(X)=1+4×2=9。 51.已知随机变量 X 的数学期望 E( X ) ? 1, E( X 2 ) ? 4 .令 Y＝2X－3，则 D (Y ) = 解：D(Y)=D(2XC3)=4D(X)=4{E(X2)C[E(X)]2}=4(4C12)=12。 二、单项选择题： 1.设 f ( x ) ? x ? 1 ，则 f ( f ( x) ? 1) =（ A. x B. x ?1 C. x ? 2 ） ． D. x ? 3 。解:由于 f ( x ) ? x ? 1 ，得 f ( f ( x) ? 1) ? ( f ( x) ? 1) ? 1 ＝ f ( x) ? 2 将 f ( x ) ? x ? 1 代入，得 f ( f ( x) ? 1) = ( x ? 1) ? 2 ? x ? 3 正确答案：D 2.下列函数中， （ ）不是基本初等函数。 A. y ? ( )1 exB. y ? ln x 2C. y ?2sin x cos xD. y ? 3 x 5解：因为 y ? ln x 2 是由 y ? ln u ， u ? x 复合组成的，所以它不是基本初等函数。 正确答案：B 3.下列各对函数中， （ ）中的两个函数相等。 A. y ?x ln(1 ? x) ln(1 ? x) 与g ? 2 x x2 B. y ? ln x 与 g ? 2 ln xC. y ? 1 ? sin 2 x 与 g ? cos x 解： A 4.设 f ( x) 在 x ? x0 处间断，则有（ ） A. f ( x) 在 x ? x0 处一定没有意义；D. y ?x( x ? 1) 与 y ? x ( x ? 1)f ( x ) ? lim f ( x ) )； B. f ( x0 ? 0) ? f ( x ? 0) ; (即 lim ? ?x ? x0 x ? x0C. lim f ( x ) 不存在，或 lim f ( x) ? ? ；x ? x0 x ? x0第 9 页共 24 页D.若 f ( x) 在 x ? x0 处有定义，则 x ? x0 时， f ( x) ? f ( x0 ) 不是无穷小 答案：D?1 ? 1 ? 2 x , x?0 ? 5.函数 f ( x) ? ? 在 x = 0 处连续，则 k = x ?k , x?0 ?A.-2 答案：B 6.若 f ( x ) ? A.1 B.-1 C.1 D.2。ex ? a ， x ? 0 为无穷间断点， x ? 1 为可去间断点，则 a ? （ x( x ? 1)C.e C.e-1x ?0）.B.0x 解：由于 x ? 0 为无穷间断点 , 所以 (e ? a )? 0 , 故 a ? 1 . 若 a ? 0 , 则 x ? 1 也是无穷间断点.由 x ? 1 为可去间断点得 a ? e .故选(C).7.函数z ? ln( x 2 ? y 2 ? 2) ? 4 ? x 2 ? y 2的定义域为（ C． x ? y ? 22 2）。 D． 2 ? x ? y ? 42 2A． x ? y ? 22 2B． x ? y ? 42 22 2 ? ?x ? y ? 2 ? 0 解：z 的定义域为： ? 2 2 ? ?4 ? x ? y ? 0? 2 ? x2 ? y 2 ? 4(选 D)8.二重极限 limx ?0 y ?0xy 2 （ x2 ? y 4）A.等于 0 解： limB.等于 1C.等于1 2(选 D)D.不存在x ? ky 2 y ?0xy 2 k ? 与 k 相关，因此该极限不存在 2 4 x ?y 1? k 29.利用变量替换 u ? x, v ?y ?z ?z ?y ? z 化为新的方程( ，一定可以把方程 x x ?x ?y ?z ?z ?v ?z ?z ?v ?z ?z ?u)A. u?z ?z ?uB. vC. uD. v第 10 页共 24 页解：z 是 x，y 的函数，从 u ? x ， v ?y y 可得 x ? u ， y ? uv ，故 z 是 u，v 的函数，又 u ? x ， v ? 故 x xz 是 x,y 的复合函数，故左边= x?z ?z ?z 1 ?z ?z ?z ? y ? ? 0 ? ? ，从而 ? ?1 ? ? 2 ， ?y ?u ?v x ?x ?u ?v x?z ?z ?z y ?z y ?z ?z ?z ?y ?x ? ? ?x ?u ?x ?y ?u x ?v x ?v ?u ?u因此方程变为：u?z ?z ?u(选 A) ）.10.若 f ( x) ? ? f (? x) ，在 (0,??) 内 f ' ( x) ? 0, f ' ' ( x) ? 0, 则 f ( x) 在 (??,0) 内（ A. f ' ( x) ? 0, f ' ' ( x) ? 0; C. f ' ( x) ? 0, f ' ' ( x) ? 0, 解：(选 C) 11.设 f ( x)在x ? 0 的某个邻域内连续，且 f (0) ? 0 ， limx ?0B. f ' ( x) ? 0, f ' ' ( x) ? 0; D. f ' ( x) ? 0, f ' ' ( x) ? 0,f ( x) x 2 sin 22? 1 ，则在点 x ? 0 处f ( x) （ ） 。A.不可导 解：因为 limx ?0B.可导,且 f ?(0) ? 0C.取得极大值D.取得极小值f ( x) x 2 sin 22? 1 ,则 f ( x) ? 0 ? f (0) 在 x ? 0 的邻域内成立, 所以 f (0) 为 f ( x) 的极小值,故选 D。 12.设函数 f ( x), g ( x) 是大于零的可导函数， 且 f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 ， 则当 a ? x ? b 时， 有 （ ） 。 A. f ( x) g (b) ? f (b) g ( x) C. f ( x) g ( x) ? f (b) g (b) 解：考虑辅助函数 F ( x) ? B. f ( x) g (a) ? f (a) g ( x) D. f ( x) g ( x) ? f (a) g (a)f ( x) f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) , 则F ?( x) ? ? 0, g ( x) g 2 ( x)f ( x) f (b) ? , g ( x) g (b)则F ( x)严格单调减少函数 。 当x ? b时,即有f ( x) g (b) ? g ( x) f (b).应选( A).e? x f (t ) dt , 则F ?( x) ? ( 13. 设f ( x )是连续函数, 且F ( x ) ? ? x)。第 11 页共 24 页A. ? e ? x f (e ? x ) ? f ( x) C. e ? x f (e ? x ) ? f ( x)B. ? e ? x f (e ? x ) ? f ( x) D. e ? x f (e ? x ) ? f ( x)解：由积分上限函数的导数可得 F ?( x) ? ?e ? x f (e ? x ) ? f ( x) ，故选（A）. 14.设 f ( x)在? 1,2? 上具有连续导数，且 f (1) ? 1, f (2) ? 1, A.2 解：因为 B.1 C.-12 2? f ( x)dx ? ?1 ，则 ? xf ?( x)dx ? （1221） 。D.-22?21xf ?( x)dx ? ? xdf ( x) ? xf ( x) 1 ? ? f ( x)dx ? 2 f (2) ? f (1) ? ? f ( x)dx1 1 12? 2 ? 1 ? (?1) ? 2 ，故应选（A）15.设 f ( x)在?a, b? 上二阶可导，且 f ( x) ? 0, f ?( x) ? 0, f ??( x) ? 0. 记S1 ? ? f ( x)dxabS2 ? f (b)(b ? a) ， S3 ?B. S2 ? S3 ? S1f (a ) ? f (b) (b ? a ) ，则有（ 2C. S3 ? S1 ? S2）.A. S1 ? S2 ? S3D. S1 ? S3 ? S2解：依题意，函数在上严格单调减少，且其图形是向上凸的曲线。依据几何图形可得 S2 ? S3 ? S1 ， 故选 B。 16.设幂级数?an ?1?n( x ? 1) n 在 x ? ?1 处收敛。则此级数在 x ? 2 处(B.条件收敛 C.发散).A.绝对收敛 解：选 A。C.收敛性不能确定17.下列命题中,正确的是（ A.若级数） 。? u 与? vn ?1 n n ?1 ? n ?1 ???,2?), 则有 n 的一般项有 un ? vn (n ? 1? un ?1 ? 1(n ? 1,2,?),则? un 发散 un n ?1?u ? ?vn ?1 n n ?1??nB.若正项级数? un 满足 ?un ?1 nC.若正项级数收敛，则 limun ?1 ?1 n ?? u n第 12 页共 24 页D.若幂级数?a xn ?1 n?n的收敛半径为 R(0 ? R ? ??) ，则 liman an ?1n??? R.解： 由? u n ?1 因此 lim u n ? 0 ， 从而 ? u n 发散。 故选 （B） 。 ? 1(n ? 1,2,?) 有 un ? u1 ? 0(n ? 1,2,?) ， n ?? un n ?1 ? ?18.设级数?n ?1(?1) an 2 收敛，则级数n n?an ?1n（）.A.绝对收敛 解：因为?B.条件收敛?C.发散D.敛散性不确定? (?1)n an 2n 收敛，即幂级数 ? an x n 在 x ? ?2 处收敛，由 Able 定理知，幂级数在 x ? 1 处n ?1 n ?1绝对收敛，亦即?an ?1?n绝对收敛.故选（A）.19.微分方程 ?x ? y ??dx ? dy? ? dx ? dy 的通解是（ A. x ? y ? ln?x ? y ? ? C. x ? y ? ln?x ? y ? ? 解：D）B. x ? y ? ln?x ? y ? ? D. x ? y ? ln?x ? y ? ? c.20.设 y ? f ( x) 满足微分方程 y?? ? 5 y? ? 5 y ? 0 ,若 f ?x0 ? ? 0, f ??x0 ? ? 0 ,则函数 f ? x ? 在点 x0 （ A.取极大值 解：B 21.函数 y ? y?x ? 在点 x 处的增量满足 ?y ? （A） 2? ; （B） ? ; B.取极小值 C.附近单调增加 D.附近单调减少.） 。y?x ? o??x ? 1? x2???x ? 0? 且 y?0? ? ? ，则 y?1? ? （D）（D） ?e 4 .??（C ） e 4 ;dy dx ? ? y ? Ce arctanx ， C ? ? ， y?1? ? ?e 4 ，故选（D） 解：令 ?x ? 0 ，得 。 y 1? x222.若含有 s 个向量的向量组线性相关，且该向量组的秩为 r，则必有( A.r=s 答案：D B.r&s C.r=s+1 D.r&s )。第 13 页共 24 页23.已知向量组 ?1 ? (1,1,1,0),?2 ? (0, k ,0,1),?3 ? (2, 2,0,1),?4 ? (0,0, 2,1) 线性相关,则 k =( A.-1 答案：(C) 24.向量组 ?1 ,?2 , A. ?1 ,?2 , B. ?1 ,?2 , C. ?1 ,?2 , D. ?1 ,?2 , 答案：(D) 25.对于向量组 (α1 , α2 , A.全为零向量 答案： D; 26.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=O，则必有 A.A=O 或 B=O 答案：B 27.若非齐次线性方程组 Am×n X = b 的( )，那么该方程组无解。 A.秩(A)＝n B.秩(A)＝m C.秩(A）?秩( A ) D.秩(A）=秩( A ) ( B.|A|=0 或|B|=0 C.A+B=O D.|A|+|B|=0 （ ） B.-2 C.0 D.1),? s 线性相关的充分必要条件是(),? s 中含有零向量 ,? s 中有两个向量的对应分量成比例 ,? s 中每一个向量都可由其余 s ? 1 个向量线性表示 ,? s 中至少有一个向量可由其余 s ? 1 个向量线性表示, αr ), ，因为 0α1 ? 0α2 ?C.线性无关? 0αr ? 0 ，所以 α1 , α2 ,D.任意., α r 是()B.线性相关)解：根据非齐次线性方程组解的判别定理，得 Am×n X = b 无解 ? 秩(A) ? 秩( A ) 正确答案：C 28.若线性方程组的增广矩阵为 A ? ? ?2 ? A.1 B.4? 1 ? 2? ? ，则当 ? ＝（ ）时线性方程组有无穷多解。( 1 4? ?C.2 D.)1 2解：将增广矩阵化为阶梯形矩阵，? 2? ? 1 ? 2? ?1 ? ? A ?? ? ? ? 2 1 4 ? ? 0 1 ? 2? 0 ? ? ? ? ?第 14 页共 24 页此线性方程组未知量的个数是 2，若它有无穷多解，则其增广矩阵的秩应小于 2，即 1 ? 2? ? 0 ， 从而 ? ＝1 ，即正确的选项是 D。 21 32 ?129.设λ=2 是非奇异矩阵 A 的特征值,则 ( A ) 有一个特征值是 A.（ D.）4 3B.1 2C. 341 4答案：C2 2 2 30.若二次型 f ( x1, x2 , x3 ) ? (k ? 1) x1 正定，则（ ? (k ? 2) x2 ? (k ? 3) x3）A. k ? ?1 答案：(D)B. k ? 1C. k ? 2D. k ? 3?2 1 1? ? ? 31.已知 ? ? (1, k ,1) 是矩阵 A ? ? 1 2 1 ? 的特征向量,则 k =( ?1 1 2 ? ? ? (A) 1 或 2 (B) ?1 或 ?2 (C) 1 或 ?2T) (D) ?1 或 2答案：(C) 32.在随机事件 A， B， C 中， A 和 B 两事件至少有一个发生而 C 事件不发生的随机事件可表示为 （ （A） AC ）BC（B） ABC（C） ABCABC ABC（D） AB C解：由事件间的关系及运算知，可选（A） 33.袋中有 5 个黑球， 3 个白球， 大小相同， 一次随机地摸出 4 个球， 其中恰有 3 个白球的概率为 （ （A） ）3 8（B） ? ??3? 1 ?8? 854 （C） C8 ? ?? 3? 1 ?8? 83（D）5 4 C84 1 解：基本事件总数为 C8 ，设 A 表示“恰有 3 个白球”的事件，A 所包含的基本事件数为 C5 =5，故P(A)=5 ，故应选（D） 。 C 84）34.设 A、B 互为对立事件，且 P ? A? ? 0, P ? B ? ? 0, 则下列各式中错误的是（ （A） P B | A ? 0??（B） P ? A | B ? ? 0（C） P ? AB ? ? 0（D） P ? AB? ? 1解：因为 A、B 互为对立事件，所以 P(A+B)=1，P(AB)=0，又 P(A) ? 0 ，P(B)&0， 所以 B =A，因而 P( B |A)=P(A|A)=1，故选（A）第 15 页共 24 页35.离散型随机变量 X 的分布列为 P{ X = k } = ak , k = 1,2,3,4.则 a ? ( （A）0.05 （B）0.1 （C）0.24)（D）0.25解：由概率分布性质可知，常数 a 应满足 选（B） 。 36.设随机变量 X 的分布函数为 F ( x) ? a ?? P( X ? k ) ? 1 ，∴ a+2a+3a+4a=1，即有 a=0.1，故应k ?11?arctan x(?? ? x ? ?, a为常数) 则? 3 ? ? ? P ?? ? X ? 3 ? ＝（ ） ? 3 ? ? ?（A）1 6（B）1 3（C）1 2（D）2 3解：∵ P ??? ??1 ? ? ? ? 3 3? ?1 3? ? ? ? arctan 3 ? a ? ?? ? ? a? ? x ? 3? ? F ( 3) ? F ? ? ? arctan ? ? ? 3 ? ?? ? 3 ? 3 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??1 ? 1 ? ?? 1 1 1 。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，故应选（C） ? 3 ? ? 6? 3 6 2）37.设随机变量 X 服从 N ? ?,4? ,则P ?X ? 2 ? ?? ，的值（ （A）随 ? 增大而减小； （C）随 ? 增大而不变； 解：∵X～N( ? , 4) （B）随 ? 增大而增大； （D）随 ? 减少而增大.∴P[X≤2+ ? ]=P ??X ?? 2?? ?? ? ? ? 1? ? ? (1) ，而 ? (1) 值不随 ? 的变化而 2 ? 2 ?变化，∴P{X≤2+ ? }值随 ? 增大而不变，故应选（C） 。 38.设随机变量 X ~ N (? , ? 2 ) ，则 Y ? aX ? b 服从( （A） N (?, ? )2) （D） N (a? ? b, a2（B） N (0,1)（C ） N ??? ? 2? ,( ) ? ?a b ?? 2)解 选（D） ，∵ E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=a ? +bD(Y)=D(aX+b)=a2D(X)=a2 ? 2∴ Y～N(a ? +b，a2 ? )。2第 16 页共 24 页39.对目标进行 3 次独立射击，每次射击的命中率相同，如果击中次数的方差为 0.72，则每次射击的命 中率等于（ ） （A）0.1 ( B ) 0.2 ( C ) 0.3 ( D ) 0.4解：选（D） ；由题意知：X～B(3, p)，而 D(X)=3 ? p ? (1Cp)=0.72 ∴ p=0.4。1 ? ? 40.设随机变量 X 的概率密度为 f ( x) ? ?? a 2 ? x 2 ? 0 ?（A）-1 （B）0 （C）1a| x |? a | x |? a, a ? 0 ，则 E ( X ) =()。（D）以上结论均不正确解： 选 （B） ； ∵E(X)=?????xf ( x)dx ? ?x?a? a2 ? x2而被积函数为对称区间上的奇函数， ∴ E(X)=0。 dx ，三、解答题：?a ? x 2 ? 1.设 f ( x) ? ?1 ?ln(b ? x 2 ) ?试确立 a , b 并求 f ?( x )x?0 x ? 0 ，已知 f ( x) 在 x ? 0 处连续可导， x?0f ?x ? ? lim ln b ? x 解： lim ? ?x ?0 x ?0?2? ? ln b ， lim f ?x ? ? lim ?a ? x ? ? a ，? f ?x? 在 x ? 0 处连续，2 x ?0 ? x ?0 ?∴ ln b ? a ? 1 ，即 a ? 1, b ? e 。2 当 x ? 0 时， f ?? x ? ? ln e ? x? ???? ?2x ， e ? x2当 x ? 0 时， f ??x ? ? 2 x ， 当 x ? 0 时， f ?? ?0? ? lim ?x ?0f ?0 ? x ? ? f ?0? ln e ? x 2 ? 1 ? lim ? 0， x ?0 ? x x??f ?? ?0? ? lim ?x ?0f ?0 ? x ? ? f ?0? 1? x2 ?1 ? lim ? 0 ，故 x ?0 ? x x2 x, x ? 0 ? ? 。 f ??x ? ? ? 2 x ,x?0 2 ? ?e ? x第 17 页共 24 页2.设 z ? f (2 x ? y, y sin x) , 其中 f (u , v) 具有二阶连续偏导数，求 解：?2z . ?x ?y?z ? 2 f1 ? y cos xf 2 , ?x?2z ? 2(? f11 ? sin xf12 ) ? cos xf 2 ? y cos x(? f 21 ? sin xf 22 ) ?x?y? ?2 f11 ? (2 sin x ? y cos x) f12 ? cos xf 2 ? y sin x cos xf 22 .3.设xy ? , x 2 ? y 2 ? 0 讨论 f(x,y)在（0，0） ? 2 2 f ( x, y ) ? ? x ? y ? 2 2 ?0, x ? y ? 0（1）偏导数是否存在。 （2）是否可微。 解： （1） fx(0,0) ? limf ( ?x,0) ? f (0,0) 0?0 ? lim ?0 ?x ?0 ?x ?x?x ?0同理可得 fy(0,0) ? 0 ，偏导数存在。 （2）若函数 f 在原点可微，则?z ? dz ? f (0 ? ?x,0 ? ?y) ? f (0,0) ? fx?(0,0)?x ? fy ?(0,0)?y ?应是较 ? 高阶的无穷小量，为此，考察极限 lim 此极限不存在，因而函数 f 在原点不可微。?z ? dz ? lim?x?y ?x 2 ? ?y 2?x?y ，由前面所知， ?x 2 ? ?y 2? ?0?( ?x, ?y ) ?( 0,0)4.在过点 P(1,3,6) 的所有平面中,求一平面, 使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小。 解：设平面方程为 Ax ? By ? Cz ? 1 , 其中 A, B, C 均为正, 则它与三坐标平面围成四面体的体积为V ?1 1 ,且 A ? 3B ? 6C ? 1 ,令 F ( A, B, C, ? ) ? ABC ? ? ( A ? 3B ? 6C ? 1) ,则由 6 ABC? ?F ? ?A ? BC ? ? ? 0 ? ?F ? ? AC ? 3? ? 0 ? ，求得 ? ?A ? ?F ? AB ? 6? ? 0 ? ? ?A ? ? A ? 3B ? 6C ? 11 ? ?A ? 3 ? 1 ? ?B ? 9 ? 1 ? ?C ? 18 ?第 18 页共 24 页由于问题存在最小值, 因此所求平面方程为x y z 1 ? ? ? 1 , 且 Vmin ? ? 3 ? 9 ? 18 ? 81 . 3 9 18 65.??2 0x cos 2 xdx?2 0解：?2 1 1 x cos 2 xdx = x sin 2 x ? ? 2 sin 2 xdx 2 0 2 0??2 1 1 1 ? 0 ? cos 2 x ? (?1 ? 1) ? ? 4 4 2 0?6.?? | x2? y 2 ? 4 |d? ，其中 D 为圆域 x2 ? y 2 ? 9 。2 2 2 2 解：将区域 D 分为 D1 , D2 ，其中 D1 ? ( x, y ) | x ? y ? 4 , D2 ? ( x, y ) | 4 ? x ? y ? 9 。于是?????? | xD 2?2? y 2 ? 4 |d? ? ?? (4 ? x 2 ? y 2 )d? ? ?? ( x 2 ? y 2 ? 4)d?D1 D2 2 2? 2?? d? ? (4 ? r0 0)rdr ?? d? ? ( r0 232? 4)rdr3 21 1 2 ? 2? (2r 2 ? r 4 ) 0 ? 2? ( r 4 ? 2r 2 ) 4 4 41 ? ? 22 2 7.设 f ( x, y) 在 x ? y ? 1 上连续，求证： lim1 R22R ?0x ? y ?R??2f ( x, y)d? ? ? f (0,0) 。2证明： D ? {( x, y) | x2 ? y 2 ? R2 } 由重积分中值定理，?(? , y) ? D ， 使得 ?? f ( x, y)d? ? f (? , y)? ? ? R 2 f (? , y) ， 当 R ? 0 时，(? , y) ? (0,0)D由 f 的连续性，知 lim f (? , y) ? f (0,0) ，从而有：k ?0limr ?01 R2x ? y22?? f ( x, y)d?? limr ?01 ?R 2 f (? , y) ? ? lim f (? , y) 2 r ?0 R1 ? R 2 f (? , y ) ? ? lim f (? , y) R ?0 R2 ? ? f (0, 0) ? limk ?08.求幂级数(?1) n?1 ( x ? 4) n 收敛区间及和函数 S ( x ) ： ? n n ?1?第 19 页共 24 页解： R ? liman n ?1 ? lim ? 1 ，所以， ? 1 ? x ? 4 ? 1 ， 3 ? x ? 5 . n ?? a n ?? n n ?1当 x ? 3 时，级数成为? (? n ) ，由调和级数知发散；n ?1?1(?1) n 当 x ? 5 时，级数成为 ? ，由交错级数的 Leibniz 判别法知此级数是收敛的. 所以收敛区间 n n ?1?为 (?3,5] 。 设 S ( x) ?? 1 1 (?1) n?1 n ? ，则 ， S ( x ) ? (?1) n ?1 ( x ? 4) n ?1 ? ? ( x ? 4 ) ? ? 1 ? ( x ? 4) x ? 3 n n ?1 n ?1?所以， S ( x) ? ln(x ? 3), 9.求解 y ? ?(3 ? x ? 5) .1? y2 , y(1) ? 0; xy ? x 3 yydy dx ，两边积分得 ? 2 2 1? y x 1? x2解：原方程可化为??1 1 x2 ln 1 ? y 2 ? ln ? ln c1 ，即 1 ? y 2 1 ? x 2 ? cx2 , c ? c12 。由 y?1? ? 0 得 c ? 1 ，故 2 2 2 1? x?????????1 ? y ??1 ? x ? ? x2 22即为所求。10.求解 xy ? ? x tany ? ? y ? 0, y (1) ? 。 x 2 y y y cos udu dx ? ? , 两边积分 解：原式可化为 y ? ? tan ? ? 0 ，令 ? u ，得 xu ? ? ? tan u ，即 x x sin u x x c y c ? 得 ln sin u ? ? ln x ? ln c ，即 sin u ? ， sin ? ，由 y (1) ? 得 c ? 1 ， x x x 2 y 1 故所求特解为 s i n ? 。 x x11.求解 4 y?? ? 4 y? ? y ? 0 满足 y?0? ? 2, y??0? ? 0.?1, 2 解： 特征方程为 4? ? 4? ? 1 ? 0 ，2? x 1 ?? ， 故通解为 y ? ?C1 ? C2 x ?e 2 ， 由 y?0? ? 2, y ??0? ? 0 21得 C1 ? 2, C2 ? 1 ，故 y ? ?2 ? x ?ex1 ? x 2为所求特解。12.求解 y?? ? 3 y? ? 2 y ? 2e 满足 y?0? ? 1, y??0? ? ?1;第 20 页共 24 页解：对应的齐次方程的通解为 Y ? C1e x ? C2 e 2 x ，设特解为 y * ? Axex 代入原方程得 A ? ?2 ，故 原方程通解为 y ? C1e x ? C2 e 2 x ? 2 xe x ，由 y?0? ? 1, y ??0? ? ?1 得 C1 ? 1, C2 ? 0 ， ∴ y ? ?1 ? 2x ? ex 。 13.设二阶常系数线性微分方程 y?? ? ?y? ? ?y ? ?e x 的一个特解为 y ? e 2 x ? ?1 ? x ?e x ，试确定 ? , ? , ? ， 并求该方程的通解. 解：将 y ? e 2 x ? ?1 ? x ?e x ， y ? ? 2e 2 x ? e x ? ?1 ? x ?e x ， y ?? ? 4e 2 x ? 2e x ? ?1 ? x?e x ，代入原方程 得 ?4 ? 2? ? ? ?e 2 x?4 ? 2? ? ? ? 0 ? ? ?3 ? 2? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?x?e x ? ?e x ，故 ?3 ? 2? ? ? ? ? ? 1?? ? ? ? 0 ??? ? ?3, ? ? 2, ? ? ?1，方程为 y ?? ? 3 y ? ? 2 y ? ?e x ，故通解为y ? C1e x ? C2 e 2 x ? e 2 x ? ?1 ? x?e x 。14.计算下列行列式cos ? sin ?- sin ? cos ?。解：cos ? ? - sin ? sin ? cos ?2= cos 2 ? + sin 2 ? =11 4 2 3 61 0 01 1 2 24 6 6 1 2 0 2 5 5 6 6 2 0 =0 215.计算下列行列式3 -1 1 5 2 02 = 5 -3 521 2 04 2 3 61 1 2 2解：3 -1 1 50 -5= -3 - 5116.证明： 证：1 b b31 c ? (a ? b ? c)(b ? a )(c ? a )(c ? b) c3a a3第 21 页共 24 页1 a a31 b b31 1 c ?0 b?a c?a ? (b ? a)(c ? a ) b(b ? a ) c(c ? a ) c 3 0 b(b 2 ? a 2 ) c(c 2 ? a 2 )1111? (b ? a)(c ? a)1 1 ? (a ? b ? c)(b ? a)(c ? a)(c ? b) 0 c(c ? a) ? b(b ? a)17.设 AX+E=A2+X，且 A= ? 0 2 0 ? ，求 X 。?1 0 1? ? ? ?1 0 1?解：由AX+E=A2+X，得(ACE)X=A2CE，而?2 0 1? ACE 可逆，故 X=A+E= ? 0 3 0 ? 。 ? ? ?1 0 2?18.已知矩阵? a 1 ? ?b 1 ? ?6 7 ? ? 2? ? ? ? ，求常数 a，b ． ? ? a 0? ? ? ? 0 b ? ?6 3 ?解：因为 ? 所以? a 1? ?b 1 ? ? ab a ? b2 ? ?6 7? ?? ??? ??? ? 2? a ? ? 6 3? ? a 0? ?0 b ? ? aba ? 3, ab ? 6 ，得 b = 2 ．19.将向量 ? 表示成 ?1 , ? 2 , ? 3 的线性组合： （1） ?1 ? (1,1,?1),? 2 ? (1,2,1),? 3 ? (0,0,1), ? ? (1,0,?2) 解：设 ? ? k1?1 ? k 2? 2 ? k3? 3 ，按分量展开得到k1 ? k 2 ? 1 ? ? ? k1 ? 2 k 2 ? 0 ?? k ? k ? k ? ?2 2 3 ? 1求解得到 k 2 ? ?1, k1 ? 2, k3 ? 1，即 ? ? 2?1 ? ? 2 ? ? 3 20.问 ? ， ? 取何值时，齐次方程组? ?x 1 ? x 2 ? x 3 ? 0 ? ? x 1 ? ?x 2 ? x 3 ? 0 ?x ? 2?x ? x ? 0 2 3 ? 1有非零解？ 解：齐次方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零，故第 22 页共 24 页?1 1110 1 ? ?? 1 ? ?? 1?1 2? 1 0? ?1 0?1 ? ?? 1 ? ??0? ? ? (1 ? ? )即 ? ? 0 或 ? ? 1 齐次方程组有非零解。 21.设线性方程组?2 x1 ? x 2 ? x 3 ? 1 ? ?? x1 ? 2 x 2 ? x 3 ? ?1 ? x ? 3x ? 2 x ? c 2 3 ? 1试问 c 为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解。? 2 ?1 1 1 ? ?? 1 ? 2 1 ? 1 ? ?1 2 ? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 解： A ? ? 1 ? 2 1 ? 1 ? 0 ? 5 3 ? 1 ? 0 ? 5 3 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 3 2 c 0 ? 5 3 c ? 1 0 0 0 c ? ? ? ? ? ? ? ?可见，当 c = 0 时，方程组有解。且1 ? ?1 0 5 ? 3 A ? ?0 1 ? 5 ? 0 0 0 ? ? ?原方程组的一般解为3? 5? 1? ? 5? 0? ? ?3 1 ? x ? ? x3 1 ? ? 5 5 （x3 是自由未知量） ? 1 3 ?x ? ? x 2 3 ? 5 5 ?22.求一个正交变换化下列二次型为标准型： （1） f ? 2x1 ? 3x 2 ? 3x 3 ? 4x 2 x 32 2 2解：对应的矩阵为2?? 0 0 ? 2 0 0? ? ? A ? ? 0 3 2 ? A ? ?E ? 0 3?? 2 ? (2 ? ? )(5 ? ? )(1 ? ? ) ? 0 ? 0 2 3? 0 2 3?? ? ?，特征值为 ?1 ? 2, ?2 ? 5, ?3 ? 1第 23 页共 24 页? ? ?1 ? P ? ?0 ? ?0 ? ? 正交矩阵为0 1 2 1 2? ? 0 ? 1 ? ? 2 ? 1 ? ? 2 2 2 ? 2 ? ，标准型为 f ? 2 y1 ? 5 y2 ? y323.某工人看管甲、乙、丙 3 台机器，在 1 小时内，这 3 台机器不需照管的概率分别为 0.8，0.9，0.6， 设这三台机器是否需照管是相互独立的，求在 1 小时内：(1)有机床需要工人照管的概率；(2)机床 因无人照管而停工的概率. 解： (1)设 Ai 表示“甲、 乙、 丙三台机床无需照管”i=1, 2, 3， 则有机床需要工人照管的事件为 A1 A2 A3 ， 因而P( A1 A2 A3 ) ? 1 ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? 1 ? 0.8 ? 0.9 ? 0.6 =0.568(2)以 B 表示“机床因无人照看而停工”P(B) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 )=0.2×0.1×0.6+0.2×0.9×0.4+0.8×0.1×0.4+0.2×0.1×0.4 =0.124 24.设随机变量 X 的分布密度为 f ( x) ? 解： (1)由性质 即：A 1 ? x2(?? ? x ? ??) 求：(1)常数 A；(2)X 的分布函数； .?????f ( x)dx ? 1?? ???A dx ? A ? arctan x ?? 1 ? x 2 1??? A? ? 1? 1 1 (2)由(1)知 f(x)= ? 1? x2∴ F(x)=∴ A=1 dx ?? ?? ? 1 ? x 2 1 1 1 ? x ? arctan x ? arctan x ? ? ? ? ? ? ? 2?xf ( x)dx ? ?x1?第 24 页共 24 页?1 1 ? arctan x 2 ?(C∞&x&+∞)25.设二维随机变量（X，Y）在区域 0 ? x ? 1, y 2 ? x 内服从均匀分布.求 (1)（X，Y）的联合分布密度； (2)X 与 Y 的边缘分布密度，并问它们是否相互独立？ 解：(1)区域 0≤x≤1，y2≤x 的面积 A 由图如示： 则： A ? 2?10xd x ? 4/3?1 2 2 ? , 0 ? x ? 1, y ? x ?3 / 4, 0 ? x ? 1, y ? x 依题意有： f ( x, y ) ? ? A ?? ?0, 其它 ? ?0, 其它(2)∵ f X ( x) ??????3 ? x 3 x, 0 ? x ? 1 ??? x d y ? f ( x, y )d y ? ? 4 2 ? 其它 ?0, 3 ?1 3 2 ??y 2 d x ? (1 ? y ), ? 1 ? y ? 1 f ( x, y)d y ? ? 4 4 ? 其它 ?0, ?3 2 ? (1 ? y ), ? 1 ? y ? 1 f Y ( y) ? ? 4 ? 其它 ?0,f Y ( y) ? ??????3 x, 0 ? x ? 1 ? ∴ f X ( x) ? ? 2 ? 其它 ?0,又∵ f X ( x) ? f Y ( y) ? f ( x, y) ∴X, Y 不相互独立.26.设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为?1, 0 ? x ? 1 f X ( x) ? ? ? 0, 其它?e ? y , y ? 0 fY ( y ) ? ? ? 0, y ? 0求随机变量 Z＝X＋Y 的概率密度函数. 解：设 Z 的密度函数为 fZ(z)，则由卷积公式得f Z ( z) ? ? f Y ( z ? x)d x ??????01令z ? x ?tzz ?1f Y (t ) d ta)当 z&0 时，f Y (t)=0，∴f Z (z)=0第 25 页共 24 页b)当 0≤z&1 时，z-1&0，z≥0f z ( z) ? ?0z ?10d t ? ? e ?t d t ? 1 ? e ? z0zc)当 z≥1 时，z-1≥0f Z ( z) ? ?zz ?1e ?t d t ? e1? z ? e ? z ? (e ? 1)e ? z0, z?0 ? ? ?z 0 ? z ?1 综述： f Z ( z ) ? ? 1 ? e , ? z ?(e ? 1)e , z ?1 ?27.某工厂生产的一种设备的寿命 X（以年计）服从指数分布，密度函数为x ?1 ?1 ? e 4 f ( x) ? ? 4 ? 0 ?0? x x?0为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换，若售出一台设备，工厂获利 100 元，而调换一台则损失 200 元.求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 解：法一：P{X≥1}= 的分布律为???1f ( x)dx ? ???1? 1 ?4 e dx ? e 4 ，设 Y 表示厂方出售一台设备的赢利数，则 Y 4x1Y P∴ E(Y)= 100? e? 1 4100－200e?1 41? e? 1?1 4? (?200)(1 ? e 4 ) ? 300e1 x?1 4? 200 ? 33.64。x法二：E(Y)=?? 1 ? 1 ? ?0 (?200) ? 4 e 4 dx ? ?1 100? 4 e 4 dx? x 4 1 0= 200 e?100 e?x 4 ?? 1? 300 e?1 4? 200 ? 33.64。228.设随机变量（X，Y）服从正态分布，且 X 和 Y 分别服从正态分布 N (1,3 )1 X Y 和N (0, 42 ) ，X 与 Y 的相关系数 ? XY ? ? , Z ? ? ,求 Z 的数学期望 E ( Z ) 和方差 D(Z ) ； 2 3 2解：E(Z)= E ?1 1 1 1 ?X Y? 1 ? ? ? E ( X ) ? E (Y ) ? ? 1 ? ? 0 ? ； 2 3 2 3 ? 3 2? 3第 26 页共 24 页D(Z)= D??X Y? ?X? ?Y ? ?X Y? ? ? ? D? ? ? D? ? ? 2 cov? , ? ? 3 2? ?3? ?2? ? 3 2?1 1 1 1 D( X ) ? D(Y ) ? 2 ? ? cov(X , Y ) 9 4 3 2 1 1 1 1 ? 1? ? ? 3 2 ? ? 4 2 ? ? ? XY ? D( X ) ? D(Y ) ? 1 ? 4 ? ? ? ? ? ? 3 ? 4 ? 3 9 4 3 3 ? 2? ?第 27 页共 24 页
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