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已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线上的一点，且其纵坐标为4，|PF|=4．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）&设点A（x1，y1），B（x2，y2）（yi≤0，i=1，2）是抛物线上的两点，∠APB的角平分线与x轴垂直，求△PAB的面积最大时直线AB的方程．
题型：解答题难度：中档来源：浙江模拟
（I）∵|PF|=4，∴xP+P2=4，∴P点的坐标是（4-P2，4），∴有16=2P（4-P2）=>P=4，∴抛物线方程是y2=8x．（II）由（I）知点P的坐标为（2，4），∵∠APB的角平分线与x轴垂直，∴PA、PB的倾斜角互补，即PA、PB的斜率互为相反数，设PA的斜率为k，则PA：y-4=k（x-2），k≠0y2=8xy-4=k(x-2)=>y2-8ky-16+32k=0，方程的解为4、y1，由韦达定理得：y1+4=8k，即y1=8k-4，同理y2=-8k-4，kAB=y1-y2x1-x2=8y1+y2=-1，设AB：y=-x+b，y2=8xy=-x+b=>y2+8y-8b=0，由韦达定理得：y1+y2=-8，y1y2=-8b，|AB|=1+1|y1-y2|=8b+2，点P到直线AB的距离d=|6-b|2，S△ABP=22×(b+2)(6-b)2，设b+2=t则（b+2）（b2-12b+36）=t3-32t-64-（3t-8）（t-8），∵△=64+32b＞0=>b＞-2，y1oy2=-8b≥0=>b≤0，∴-2＜b≤0，设t=b+2∈（0，2]，则（b+2）（b2-12b+36）=t3-16t2+64t=f（t），f′（t）=3t2-32t-64=（3t-8）（t-8），由t∈（0，2]知f′（t）＞0，∴f（t）在（0，2]上为增函数，∴f（t）最大=f（2）=72，∴△PAB的面积的最大值为22×72=24，此时b=0，直线AB的方程为x+y=0．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线上的一点，且其纵坐..”主要考查你对&&抛物线的标准方程及图象，圆锥曲线综合&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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抛物线的标准方程及图象圆锥曲线综合
抛物线的标准方程及图像(见下表)：
抛物线的标准方程的理解：
①抛物线的标准方程是指抛物线在标准状态下的方程，即顶点在原点，焦点在坐标轴上；②抛物线的标准方程中的系数p叫做焦参数，它的几何意义是：焦点到准线的距离．焦点到顶点以及顶点到准线的距离均为③抛物线的标准方程有四种类型，所以判断其类型是解题的关键，在方程的类型已确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，所以只需一个条件就可以确定一个抛物线的方程；④对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析，得出其异同点。共同点：a．原点在抛物线上；b．焦点都在坐标轴上；c．准线与焦点所在轴垂直，垂足与焦点分别关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的不同点：a．焦点在x轴上时，方程的右侧为±2px，左端为y2；焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x2；b．开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同，焦点在x轴（或y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口方向与x轴（或y轴）的负半轴相同，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号．
求抛物线的标准方程的常用方法：
（1）定义法求抛物线的标准方程：定义法求曲线方程是经常用的一种方法，关键是理解定义的实质及注意条件，将所给条件转化为定义的条件，当然还应注意特殊情况．（2）待定系数法求抛物线的标准方程：求抛物线标准方程常用的方法是待定系数法，为避免开口不确定，分成(p&0)两种情况求解的麻烦，可以设成（m，n≠0），若m、n&0，开口向右或向上；m、n&0，开口向左或向下；m、n有两解，则抛物线的标准方程各有两个。
&圆锥曲线的综合问题：
1、圆锥曲线的范围问题有两种常用方法： （1）寻找合理的不等式，常见有△＞0和弦的中点在曲线内部； （2）所求量可表示为另一变量的函数，求函数的值域。 2、圆锥曲线的最值、定值及过定点等难点问题。直线与圆锥曲线的位置关系：
(1)从几何角度来看，直线和圆锥曲线有三种位置关系：相离、相切和相交，相离是直线和圆锥曲线没有公共点，相切是直线和圆锥曲线有唯一公共点，相交是直线与圆锥曲线有两个不同的公共点，并特别注意直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时，并不一定是相切，如直线与双曲线的渐近线平行时，与双曲线有唯一公共点，但这时直线与双曲线相交；直线平行（重合）于抛物线的对称轴时，与抛物线有唯一公共点，但这时直线与抛物线相交，故直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时可能是相切，也可能是相交，直线与这两种曲线相交，可能有两个交点，也可能有一个交点，从而不要以公共点的个数来判断直线与曲线的位置关系，但由位置关系可以确定公共点的个数．(2)从代数角度来看，可以根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数确定位置关系．设直线l的方程与圆锥曲线方程联立得到ax2+bx+c=0．①若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合．②若当Δ&0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交．当Δ=0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切．当Δ&0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离．
直线与圆锥曲线相交的弦长公式：
若直线l与圆锥曲线F(x，y)=0相交于A，B两点，求弦AB的长可用下列两种方法：(1)求交点法：把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点A，B的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦AB的长，一般来说，这种方法较为麻烦．(2)韦达定理法：不求交点坐标，可用韦达定理求解．若直线l的方程用y=kx+m或x=n表示．&
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已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线上的一点，且纵坐标为4，|PF|=4．（1）求抛物线的方程；
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提问者采纳
（1）设点P（x0，4），∵|PF|=4，∴由抛物线的定义得0+p2＝4．又∵42=2px0，二式联立解得x0=2，p=4．故此抛物线的方程为y2=8x．（4分）（2）由（1）知点P的坐标为（2，4），由∠APB的角平分线与x轴垂直，知PA，PB的斜率互为相反数．（5分）设直线PA的方程为y-4=k（x-2），（k≠0）由2＝8x，消去x得ky2-8y-16k+32=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则1+4＝8k，即1＝8k?4，同理2＝?8k?4．（7分）∴直线AB的斜率为AB＝y2?y1x2?x1＝8(y2?y1)y22?y12＝8y1+y2＝?1．（8分）设直线AB的方程为y=-x+b，把x=-y+b代入抛物线方程，得y2+8y-8b=0，由题意知△=64+32b＞0，且y1y2=-8b≥0，从而-2＜b≤0．又y1+y2=-8，∴2?|y1?y2|＝8<div style="width:6background: url('/zhidao/pic/item/c2cec3fdfcadbbc1e25f6.jpg') no-repeat
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