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最近在复习线性代数，为了以后方便和大家方便 把里面我觉得比较重要的
概念记录下来。本文属于原创文章，转载请注明：& 谢谢！！！
<span style="color:#.和矩阵的差别体现在它的阶数行和列必须相等，而且它代表的是一个数
& 这一点和矩阵很大区别，他用||符号表示。
2.对换性质：
& & （1）一个排序中的任意两个元素对换，排序改变奇偶性
& & （2）行列式与它的转置行列式相等
& & （3）互换行列式的两行（列），行列式变号（所以出现相同行或列就会使行列式=0，使其不可逆）
& & （4）行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数K，等于用数K乘此行列式
& & （5）行列式中如果两行（列）成比例，行列式等于0
& & （6）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个数后加到另一列（行）对应的元素上，
& & & & & & & 行列式不变。
<span style="color:#.矩阵为方阵时才可以当成行列式计算
2.矩阵相乘 AB &A矩阵的列数必须等于B的行数
<span style="color:#.注意一点：(AB)C=A(BC) 但是不能写成 (AB)C=(AC)B 之类的（要保持原来的顺序）
4.转置问题：记住转置也是一种运算就行了，特别是&(AB)T=BTAT
5.对称阵：AT=A（注意与正交阵的区别（AT=A^-1））
6.伴随阵：记住这个东西是由方阵才能够生成的，即为方阵各个元素的代数余子式组成
& & & & & & & & & 例如：A为方阵 &既有 AA*=A*A=|A|E
<span style="color:#.逆矩阵：必须是方阵才有逆矩阵的存在（也就是说满秩的情况下）
& & & & & & & & &|A|!=0时 & &A^-1=1/|A| A*
8.求解比较复杂的矩阵时可以用：分块法
三。矩阵初等变换
1.任何矩阵都可以经过初等变换最终变成标准型
<span style="color:#.反正不管是初等行变换还是初等列变换，都是左乘或右乘一个可逆矩阵（方阵）&
& 最终变成标准型（E）来实现的
3.矩阵的秩：在矩阵中有一个不等于0的r阶子式D且所有r&#43;1阶子式全等于0，这个r就是秩了。
四.向量组的相关性
1.向量B 能用向量A表示的充要条件 就是秩相等 即 R(A)=R(A,B),且R(B)&=R(A)
2.向量组a1,a2,....,am线性相关的充要条件是 向量组构成的矩阵的秩小于m,线性无关则是秩等于m
3.矩阵的秩等于它的列向量组的秩也 等于行向量组的秩
4.设m*n矩阵A的秩R（A）=r,则n元弃次线性方程组Ax=0的解集S的秩Rs=n-r
<span style="color:#.向量空间：n维向量集合对于向量的加法及乘法运算封闭的，则此空间为向量空间。
6.这一章需要掌握的还有 自然基，过渡矩阵。
五.相&#20284;矩阵及二次型
1.内积：[ x,y]=x1y1&#43;x2y2&#43;.....&#43;xnyn,有[x,y]=xTy
2.范数（长度):||x||=sqrt([x,x])=sqrt(x1^2&#43;x2^2&#43;....&#43;xn^2)
3.n维向量x与y之间的夹角为 &ceta=arccos([x,y]/(||x||*||y||))
4.正交规范基：设n维向量e1,e2,....,en是向量空间V的一个基，如果e1,e2,...,en两两正交，且都是单位向量，则
& & & & & & & & & & & & & e1,e2,....,en是V的一个规范正交基。且V中的向量a 的坐标有 nadai=eiTa=[a,ei]
& & & & & & & & & & & & &过程还涉及到 《施密特正交化过程》
5.正交阵：ATA=E (A^-1=AT)
6.正交变换：若P为正交矩阵，则线性变换y=Px 称为正交变换。有||y||=sqrt(yTy)=sqrt(xTPTPx)=sqrt(xTx)=||x||
& & & & & & & & & & &这一点狠重要，说明正交变换并不改变向量的长度（范数）
7.重要定理：若n维向量a1,a2,....,ar是一组两两正交的非零向量，则a1,a2,....,ar线性无关。
<span style="color:#.设A是n阶矩阵，如果数d和n维非零列向量x使得关系式:(注意A必须是方阵才能存在特征&#20540;特征向量）
& & & & & & & & & & & & & & & & Ax=dx&
& &成立，则数d称为矩阵A的特征&#20540;，非零向量x称为A的对应于特征&#20540;d的特征向量
& &可以进一步写成：(A-dE)x=0
& & 则 |A-dE|=0 称为特征方程 &|A-dE| 称为特征多项式
& &定理：设d1,d2,...,dn为方阵A的m个特征&#20540;，p1,p2...,pn依次是与之对应的特征向量，如果d1,d2,..,dn
& & & & & & & &各不相等，则p1,p2,..,pm线性无关
<span style="color:#.相&#20284;矩阵:设A,B都是n阶矩阵（注意这里是方阵才存在相&#20284;矩阵），若有可逆矩阵P（方阵）使得
& & & & & & & & & & P^-1AP=B,则B与A相&#20284;矩阵
& & & & & & & & &定理1：若n阶矩阵A与B相&#20284;，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征&#20540;亦相同
& & & & & & & & &定理2：n阶矩阵A能对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。
10.对称阵的特征&#20540;为实数。
11.设d1,d2是对称阵A的两个特征&#20540;，p1,p2是对应的特征向量，且d1!=d2，则p1与p2正交。
12.设A为n阶对称阵，则必有正交阵P 使得 P^-1AP=PTAP=U,其中U是以A的n个特征&#20540;为对角元的对角阵
13.正定二次型的形式为f=xTAx,具体要参考相关书籍
六。线性空间与线性变换
1.线性空间和向量空间概念差不多，不过对于加法和乘法运算满足八条规律就行了（和运算封闭有点区别）
& &且在向量空间中向量是有序数组，因此范围更加狭窄，可以这么说向量空间只是线性空间的一个特殊情况。
2.如果在线性空间V中，存在n个元素a1,a2,...,an满足：1.a1,a2,..,an线性无关2.V中元素都可以用他们线性表示
& &那么a1,a2,...,an称为线性空间V的基，n 为维数。
3.基变换公式：(b1,b2,...,bn)=(a1,a2,...,an)P &;其中P称为过渡矩阵
4.线性变换： T(da)=dT(a)
5.线性空间Vn中，取定两个基：
& & & & & a1,a2,.....,an
& & & & & b1,b2,.....,bn
& &有a到b的过渡矩阵为p ,vn中的线性变换T在这两个基下的矩阵依次为A和B，那么B=P^-1AP
6.正定矩阵，正定二次型。
时间有限，水平有限，精神有限，先写到这里，以后慢慢补充。
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上海交通大学 线性代数教材 课后答案 习题五.doc30页
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1.试判断下列集合对所指定的运算是否构成实数域R上的线性空间:
1 实数域R上的全体n阶实对称矩阵之集合, 对矩阵的加法和数乘;
2 平面上不平行于某一向量的全体向量集合, 依照二维向量的加法和数乘;
3 平面上全体向量对于通常的向量加法和数乘;
4 全体复数集合依照数的加法及数的乘法作数乘.
1 是；因为实数域R上的全体n阶实对称矩阵之集合，关于矩阵的加法和数乘封闭，且易证满足8条性质。
2 否；因为关于加法不封闭。
3 否；不满足性质 5 .
4 是；全体复数集合依照数的加法封闭，依照数的乘法作数乘封闭，且易证满足8条性质。
2.设C R 是实数域R上所有实函数的集合. 对任意, 定义
对于这两种运算, C R 构成R上的线性空间.问下列子集是否是C R 的子空间, 为什么?
1 所有连续函数的集合;
2 所有可微函数的集合;
3 所有偶函数的集合;
4 所有奇函数的集合;
1 是；因为所有连续函数的集合关于这里定义的加法和纯量乘法封闭。
2 是；因为所有可微函数的集合关于这里定义的加法和纯量乘法封闭。
3 是；因为对任意,
即，所有偶函数的集合关于这里定义的加法和纯量乘法封闭。
4 是；因为对任意,
即，所有奇函数的集合关于这里定义的加法和纯量乘法封闭。
5 是；因为对任意,
即，关于这里定义的加法和纯量乘法封闭。
6 否；因为对任意,
即，关于这里定义的加法不封闭。
3.在线性空间中, 取一个固定矩阵A, 试证:与A可交换的全体矩阵构成的一个子空间.
证 记与A可交换的全体矩阵为W，对于任意，任意
即，，从而W使的一个子空间.
4.设，均是V的子空间，试证：亦为V的子空间的充要条件是或。
证 充分性显然。
必要性。反证。假设且，那么
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证: 设 k0α+k1Aα+k2A^2α+…+k(n-1)A^(n-1)α=0
(*)等式两边左乘A^(n-1), 由A^nα=0得k0A^(n-1)α = 0而 A^(n-1)α≠0, 所以 k0=0.代入(*)式得 k1Aα+k2A^2α+…+k(n-1)A^(n-1)α=0
(**)同理, 等式两边左乘A^(n-2), 由A^nα=0得k1A^(n-1)α = 0而 A^(n-1)α≠0, 所以 k1=0.代入(**)式得 k2A^2α+…+k(n-1)A^(n-1)α=0
(**)如此类推, 得 k0=k1=...=k(n-1)=0.所以向量组α,Aα,A^2α,…,A^(n-1)α线性无关.第七章 线性变换 基础训练和答案 一&#46; 对下列的线性空间和线性变换, 求线性变换..
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第七章线性变换基础训练和答案
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矩阵理论 第一章线性空间与线性变换
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