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（1）定理：若函数f（x）的图象在区间[a，b]上连续，且在（a，b）内可导，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）成立．应用上述定理证明：①1-xy＜lny-lnx＜yx-1(0＜x＜y)；②nk-21k＜lnn＜n-1k-11k(n＞1)．（2）设f（x）=xn（n∈N*）．若对任意的实数x，y，f（x）-f（y）=f′（x+y2）（x-y）恒成立，求n所有可能的值．
题型：解答题难度：中档来源：佛山二模
证明：①f（x）=lnx，f′（ξ）=1ξ，x＜ξ＜y&&&&&&&&&&&&&&&…（1分）（注1：只要构造出函数f（x）=lnx即给1分）故lny-lnx=y-xξ，又y-xy＜y-xξ＜y-xx…（*）&&&&…（2分）即1-yx＜lny-lnx＜yx-1（0＜x＜y）&&…（3分）②证明：由（*）式可得2-12＜ln2-ln1＜2-11，3-22＜ln3-ln2＜3-22，…n-(n-1)n＜lnn-ln（n-1）＜n-(n-1)n-1，…（6分）上述不等式相加，得nk-21k＜lnn＜n-1k-11k（n＞1）…（8分）（注：能给出叠加式中的任何一个即给（1分），能给出一般式n-(n-1)n＜lnn-ln（n-1）＜n-(n-1)n-1，给出2分）（2）下证当n≥3时，等式f（x）-f（y）=f′（x+y2）（x-y）不恒成立．（注：能猜出n≥3时等式不恒成立即给1分）当n=1时，f（x）-f（y）=f′（x+y2）（x-y）显然成立．…（9分）当n=2时，f（x）-f（y）=x2-y2=2（x+y2）（x-y）=f′（x+y2）（x-y）．…（10分）下证当n≥3时，等式f（x）-f（y）=f′（x+y2）（x-y）不恒成立．不妨设x=2，y=0，则已知条件化为：2n-1=n．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&…（11分）当n≥3时，2n-1=（1+1）n-1=C0n-1+C1n-1+…+Cn-1n-1≥2+C1n-1=n+1＞n，…（13分）因此，n≥3时方程2n-1=n无解．故n的所有可能值为1和2．…（14分）
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据魔方格专家权威分析，试题“（1）定理：若函数f（x）的图象在区间[a，b]上连续，且在（a，b）内可导..”主要考查你对&&数学归纳法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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数学归纳法
对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法叫做归纳法。归纳法包括完全归纳法和不完全归纳法。
数学归纳法：
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）证明当n取第一个值n0（n0∈N*）时命题成立； （2）假设当n=k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立； 完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法叫做数学归纳法。 数学归纳法的特点:
①用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，两步同样重要，两步骤缺一不可； ②第二步证明，由假设n＝k时命题成立，到n=k+1时．必须用假设条件，否则不是数学归纳法； ③最后一定要写“由（1）（2）……”。
数学归纳法的应用：
（1）证明恒等式； （2）证明不等式； （3）三角函数； （4）计算、猜想、证明。
发现相似题
与“（1）定理：若函数f（x）的图象在区间[a，b]上连续，且在（a，b）内可导..”考查相似的试题有：
569413444472558313412108400808327246您还未登陆，请登录后操作！
导数证明：
证明：如果函数f（x）在(a，+∞)内可导，且Ｌｉｍf′（x）＝A(x→+∞)，则Ｌｉｍf（x）/x＝A(x→+∞)。
要求用微分中值证明是什么意思？
这题其实挺麻烦的
以上两位证明有误
连续可导函数的导函数不一定连续
此题用罗比达法则证明
但首先要证明lim[x->+∞]f(x)也趋向无穷大
由Ｌｉｍf′（x）＝A(x→+∞)，
当A不等于0时
存在常数x0 使得x>x0时
在x0，x上用拉格朗日定理
得到f(x)=f(x0)+f'(a)(x-x0)
两边取极限
limf（x)(x→+∞)=lim[f(x0)+f'(a)(x-x0)](x→+∞)
=f（x0）+Alim（x-x0）(x→+∞)
=f（x0）-Ax0+Alimx(x→+∞)
再用罗比达发则得Ｌｉｍf（x）/x＝limf'(x)=A(x→+∞)
由上面分析可得limf（x)[x->+∞]=f(x0)为常数
所以Ｌｉｍf（x）/x=0=A
x→+∞时，不一定有a→+∞！x0&a&x，当x变动时，a也可能变动，但不知道是如何变动的。
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设函数f(x)在区间(a,b)内二阶可导，f(x)的二阶导数大于等于0，证明：任意x,x0属于(a,
b),f(x)于等于f(x0)+f(x0)阶导数乘(x-x0)
提问者采纳
利用泰勒值定理 f(x)=f(x0) +f'(x0)(x-x0)
+f''(t)(x-x0)²/2 t∈（x,x0）f(x)二阶导数于等于0所f(x)于等于f(x0)+f(x0)阶导数乘(x-x0)
可不可以不用泰勒公式，这个我们没有学。。。。
设g(x)=f(x) -f(x0)-f'(x0)(x-x0)则g'(x)=f'(x)-f'(x0)g''(x)=f''(x)g'(x0)=0,g''(x0)=f''(x0)&0所以g(x)在x0取极小值所以g(x)&=g(x0)=0即f(x) -f(x0)》=f'(x0)(x-x0)
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