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用正交变换化实二次型为标准形方法研究求一个正交变换X=PY ,把下列二次型化为标准形
杨小宝7472
二次型f的矩阵A=(4 0 0,0 3 1,0 1 3);则矩阵A的特征多项式为|A-kE|=|4-k 0 0,0 3-k 1,0 1 3-k|=-(4-k)^2(k-2)
；即A的特征值 ：k1=k2=4,k3=2；对于k1=k2=4,解齐次线性方程组（A-4E）x=0,得对应的特征向量为a1=（0,1,1）,a2=(1,0,0)；对于k3=2,解齐次线性方程组（A-2E）x=0,得对应的特征向量为a3=(0,1,-1);由于a1,a2,a3为正交向量组,单位化为B1=(0,1/√2,1/√2）B2=(1,0,0) B3=(0,1/√2,-1/√2)令矩阵P=（B1,B2,B3）=(0,1/√2,1/√2；1,0,0；0,1/√2,-1/√2)则P为正交矩阵.且二次型f的标准形为f=4y1^2+4y2^2+2y3^2.
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扫描下载二维码用正交线性替换化下列二次型为标准形，并求出所作的正交线性变换&&说明：（1）先将二次型表成矩阵形式（2分）；（2）求出其二次型的矩阵&的所有特征值（5分）；（3）求出对应于特征值的特征向量（6分）；（4）将这些特征向量正交单位化（3分）；（5）最后写出所作的正交变换和标准型（4分）。请按此5步顺序给出解题过程（共20分）。
解: 二次型的矩阵 A= 1 -2
3 |A-λE|=λ-1
λ-3 r1-(1/2)(λ-1)r2 - r3 0
-(1/2)(λ-1)(λ-2)
-2(λ-2) 2
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线性代数 用正交变换法换二次型为标准型
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