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losangeles是什么
呵呵，应该是Los Angeles吧？洛杉机呀，也简称LA，美国西海岸第一大城市。
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andPreparataCodes*；A.R.Calderbank；MathematicalSciencesRese；AT&TBellLaboratories；A.R.Hammons,Jr.；HughesAircraftCompany；8433FallbrookAvenue,Cano；P.VijayKumar；CommunicationScience
　andPreparataCodes*A.R.CalderbankMathematicalSciencesResearchCenterAT&TBellLaboratories,MurrayHill,NJ07974U.S.A.A.R.Hammons,Jr.HughesAircraftCompany8433FallbrookAvenue,CanogaPark,CA91304U.S.A.P.VijayKumarCommunicationScienceInstitute,EE-SystemsUniversityofSouthernCalifornia,LosAngeles,CA90089U.S.A.N.J.A.SloaneMathematicalSciencesResearchCenterAT&TBellLaboratories,MurrayHill,NJ07974U.S.A.PatrickSol′eCNRSCI3S,250rueA.Einstein,b?atiment4SophiaCAntipolis,06560Valbonne,FranceABSTRACTTheNordstrom-Robinson,Kerdockand(slightlymodi?ed)Preparatacodesareshowntobelinearover4,theintegersmod4.TheKerdockandPreparatacodesaredualsover4,andtheNordstrom-Robinsoncodeisself-dual.Allthesecodesarejustextendedcycliccodesover4.Thisprovidesasimplede?nitionforthesecodes,andexplainswhytheirHammingweightdistributionsaredualtoeachother.First-andsecond-orderReed-Mullercodesarealsolinearcodesover4,butHammingcodesingeneralarenot,noristheGolaycode.andPreparataCodesA.R.CalderbankMathematicalSciencesResearchCenterAT&TBellLaboratories,MurrayHill,NJ07974U.S.A.A.R.Hammons,Jr.HughesAircraftCompany8433FallbrookAvenue,CanogaPark,CA91304U.S.A.P.VijayKumarCommunicationScienceInstitute,EE-SystemsUniversityofSouthernCalifornia,LosAngeles,CA90089U.S.A.N.J.A.SloaneMathematicalSciencesResearchCenterAT&TBellLaboratories,MurrayHill,NJ07974U.S.A.PatrickSol′eCNRSCI3S,250rueA.Einstein,b?atiment4SophiaCAntipolis,06560Valbonne,France1IntroductionSomeofthebest-knownexamplesofnonlinearbinaryerror-correctingcodesthatarebet-terthananylinearcodesaretheNordstrom-Robinson,KerdockandPreparatacodes[Ke72],[NR67],[Pr68],[MS77].Besidestheirexcellenterror-correctingcapabilitiesthesecodesareremarkablebecausetheKerdockandPreparatacodesare‘formalduals’,inthesensethatal-thoughthesecodesarenonlinear,theweightdistributionofoneistheMacWilliamstransformoftheweightdistributionoftheother[MS77,Chap.15].Themainunsolvedquestionconcern-ingthesecodeshasalwaysbeenwhethertheyaredualsinsomemorealgebraicsense.Manyauthorshaveinvestigatedthesecodes,andhavefoundthat(exceptfortheNordstrom-Robinsoncode)theyarenotunique,andindeedthatlargenumbersofcodesexistwiththesameweightdistributions[BLW83],[Ca89],[Ka82],[Ka82a],[Ka83],[VL83].Kantor[Ka83]declaresthatthe“apparentrelationshipbetweenthese[familiesofcodes]ismerelyacoincidence.”Althoughthismaybetrueformanyversionsofthesecodes,wewillshowthat,whenproperlyde?ned,KerdockandPreparatacodesarelinearover4(theintegersmod4),andthatas4-codestheyareduals.Allthesecodesareinfactjustextendedcycliccodes.TheversionoftheKerdockcodethatweuseisthestandardone,whileourversionofthePreparatacodedi?ersfromthestandardoneinthatitisnotasubcodeoftheHammingcodebutofanonlinearcodewiththesameweightdistributionastheHammingcode.Sincethenewconstructionissosimple,weproposethatthisisthe‘correct’waytode?nethesecodes.KerdockandPreparatacodesexistforalllengthsn=4m≥16.Atlength16theycoincide,givingtheNordstrom-Robinsoncode[NR67].Theisthe‘octacode’,aself-dualcodeoflength8over44versionoftheNordstrom-RobinsoncodethatisobtainedwhentheLeechlatticeisdecomposedintoeightcopiesoftheface-centeredcubiclattice.Thisresultwasannouncedin[FST93].(Theoctacodeitselfisdescribedin[CS92],[CS93]andSection3below.)Theverygoodnonlinearcodesofminimaldistance8discoveredbyGoethals[Go74],[Go76],andthehighminimaldistancecodesofDelsarteandGoethals[DG75],alsohaveasimpledescriptionascodesover4(see[HKCSS]).Thisworkdevelopedoutofthediscoverythatfour-valuedsequenceshaveexcellentcorre-lationproperties([So89],[Bo90],[BHK92]),andwascarriedoutindependentlybyHammonsandKumar[HK93],and(veryslightlylater)bytheotherthreeauthors.Theorems4,5and6appearinHammons’dissertation[Ha92].Inviewoftheconsiderableoverlap,wehavenowjoinedforces.Thisannouncementisacompositumofourresults,andfulldetailswillbegivenin[HKCSS].Forunde?nedterminologyfromcodingtheory,see[MS77].2Codesover4n.4Aquaternarylinearcodeisanadditivesubgroupofi 123Dualityisde?nedwithrespecttotheinnerproducta?b=a1b1+???+anbn(mod4).Wede?nethreemapsfromα(i)β(i)γ(i)4to2byThenweconstructbinarycodesfromquaternarycodesusingthemapφ:φ(a)=(β(a),γ(a)).Abinarycodeisn4→2n2givenby(1)4-linearifitscoordinatescanbepermutedsothatitistheimageunderthismapofalinearcodeover4.Theorem1(a)Thebinaryimageφ(D)ofaquaternarylinearcodeDislinearifandonlyifa,b∈D?2α(a)?α(b)∈D,where?iscomponentwisemultiplication.(b)AbinarylinearcodeCofevenlengthisifandonlyifitscoordinatescanbepermutedsothatu,v∈C?(u+s(u))?(v+s(v))∈C,wheresisthe‘swap’mapthatinterchangestheleftandrighthalvesofavector.Theorem2BinaryReed-Mullercodesoflengthn=2m≥2andorders0,1,2,m?1,mare(2)4-linear(3)4-linear.Theorem3ExtendedHammingcodesoflengthsn=2m≥32arenotGolaycodeoflength24.4-linear,noristheRemark.In(3),ifu,varerepresentedbyBooleanfunctionsofdegreer,and(u+s(u))?(v+s(v))=0,then(u+s(u))?(v+s(v))isaBooleanfunctionofdegree2r?2.Soanr-thorderReed-Mullercodewithr≤m/2satis?es(3)providedr≤2,andweconjecturedoesnotsatisfy(3)if3≤r≤m?2.The?rstassertionofTheorem3establishesthat(m?2)nd-orderReed-Mullercodesarenot4-linearform≥5.ofCtobeC⊥4=φ(D⊥),whereD⊥denotestheLetDbeaquaternarylinearcodeandC=φ(D)thecorrespondingbinarycode.IngeneralCisnotlinear,butwede?nethedualcodetoD,asinthediagramD???dual????→φ4-dualC=φ(D)D⊥?→C⊥4=φ(D⊥)ThefamiliarHammingweightenumeratorforabinarylinearcodeCwillbedenotedbyWC(x,y).Thisweightenumeratorisalsowell-de?nedforbinarynonlinearcodesprovidedtheyaredistance-invariant[MS77].ThesymmetrizedweightenumeratorofaquaternarylinearcodeDissweD(x,y,z)=??a∈DφxN0(a)yN1(a)zN2(a),whereNi(a)isthenumberofcomponentsofacongruentto±i(mod4).Then(see[CS93],[Kl87])sweD⊥(x,y,z)=1|C|3WC(x+y,x?y).(6)Kerdock,PreparataandNordstrom-RobinsoncodesLeth2(X)∈2[X]beaprimitiveirreduciblepolynomialofdegreem.Thereisauniquemonicpolynomialh(X)∈4[Z]ofdegreemsuchthath(X)≡h2(X)(mod2)andh(X)di-videsXn?1(mod4),wheren=2m?1[So89],[Ya90].Letg(X)bethereciprocalpolynomialto(Xn?1)/((X?1)h(X)).Theorem5Thecycliccodegeneratedbyg(X),extendedbyanoverallparitycheck,isaquaternarycodeDoflength2mcontaining4m+1words.Formodd≥3thecorrespondingbinarycodeK=φ(D)istheKerdockcodeoflength2m+1containing22m+2wordsandwithminimaldistance2m?2(m?1)/2.TheproofisbyshowingthatDhasasimplede?nitionintermsoftherelativetracefunctionfrom4[ξ]to4,whereξisarootofh(X)(cf.[Bo90],[BHK92]),andinthisformitagreeswiththede?nitionoftheKerdockcodegivenin[MS77,pp.457C458].Theorem6Thecycliccodegeneratedbyh(X),extendedbyanoverallparitycheck,isaquaternarycodeD⊥dualtoD.Formodd≥3,thecorrespondingbinarycodeP=φ(D⊥)haslength2m+1,contains2kwords,k=2m+1?2m?2,hasminimaldistance6,andhasthesameweightenumeratorasthePreparatacode.Pisthe4-dualofK,bothcodesaredistanceinvariant,andtheweightdistributionofoneistheMacWilliamstransformoftheweightdistributionoftheother.??5??25i,g(X)=iForexamplewhenm=5wemaytakeh(X)=hXi=0ii=0giX,whereh0...andg0...are323001and13.Inthiscasethelinearspanof包含各类专业文献、专业论文、文学作品欣赏、各类资格考试、中学教育、幼儿教育、小学教育、高等教育、应用写作文书、生活休闲娱乐、58UniversityofSouthernCalifornia,LosAngeles,CA90089U.S.A. N.J.A.Sloane等内容。　
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