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如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD； （2）求证：B1C1⊥平面ABB1A1； （3）设E是CC1上一点，试确定E的位置使平面A1BD⊥平面BDE，并说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：江苏同步题
解：（1）证明：连接AB1与A1B相交于M，则M为A1B的中点，连接MD，又D为AC的中点，∴B1C∥MD，又B1C平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD．（2）∵AB=BB1，∴四边形ABB1A1为正方形，∴AB1⊥A1B，又∵AC1面A1BD，∴AC1⊥A1B，∴AB1⊥面AB1C1，∴AB1⊥B1C1，又在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥B1C1，∴B1C1⊥平面ABB1A1．（3）当点E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面BDE，∵D、E分别为AC、CC1的中点，∴DE∥AC1，∵AC1⊥平面AB1D，∴DE⊥平面AB1D，又DE平面BDE，∴平面AB1D⊥平面BDE．
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据魔方格专家权威分析，试题“如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为A..”主要考查你对&&直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面平行的判定与性质，平面与平面垂直的判定与性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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直线与平面垂直的判定与性质直线与平面平行的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质
线面垂直的定义：
如果一条直线l和一个平面α内的任何一条直线垂直，就说这条直线l和这个平面α互相垂直，记作直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。
线面垂直的画法：
画线面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示：
&线面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。（线线垂直线面垂直）
符号表示：
& 如图所示，
&线面垂直的性质定理：
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 （线面垂直线线平行） 线面垂直的判定定理的理解：
(1)判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性语句，一定要记准．(2)如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面，这个结论是错误的．(3)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面，这个结论也错误，因为这无数条直线可能平行.
证明线面垂直的方法：
(1)线面垂直的定义拓展了线线垂直的范围，线垂直于面，线就垂直于面内所有直线，这也是线面垂直的必备条件，利用这个条件可将线线垂直与线面垂直互相转化，这样就完成了空间问题与平面问题的转化．(2)证线面垂直的方法①利用定义：若一直线垂直于平面内任一直线，则这条直线垂直于该平面．②利用线面垂直的判定定理：证一直线与一平面内的两条相交直线都垂直，③利用线面垂直的性质：两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面，④用面面垂直的性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．⑤用面面平行的性质定理：一直线垂直于两平行平面中的一个，那么它必定垂直于另一个平面．⑥用面面垂直的性质：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面的交线垂直于第三个平面．⑦利用向量证明．线面平行的定义：
若直线和平面无公共点，则称直线和平面平行。
图形表示如下：
线面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。 线线平行线面平行
符号语言：
&线面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 线面平行线线平行
&符号语言：
&证明直线与平面平行的常用方法：
(l)反证法，即&(2)判定定理法，即&(3)面面平行的性质定理，即&(4)向量法，平面外的直线的方向向量n与平面的法向量n垂直，则直线与平面平行，即 平面和平面垂直的定义：
如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。如图，面面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（线面垂直面面垂直）
面面垂直的性质定理：
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直线面垂直）
性质定理符号表示：
&线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化关系：
&证明面面垂直的方法：
证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的，在关于垂直问题的论证中要注意三者之间的相互转化，必要时可添加辅助线，如：已知面面垂直时，一般用性质定理，在一个平面内作出交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后转化为线线垂直，故要熟练掌握三者之间的转化条件及常用方法．线面垂直与面面垂直最终归纳为线线垂直，证共面的两直线垂直常用勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质；证不共面的两直线垂直通常利用线面垂直或利用空间向量．常用结论：
（1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，此结论可以作为性质定理用，（2）从该性质定理的条件看出：只要在其中一个平面内通过一点作另一个平面的垂线，那么这条垂线必在这个平面内，点的位置既可以在交线上，也可以不在交线上，如图．
发现相似题
与“如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为A..”考查相似的试题有：
621126568304255201329778338840287583第四章相似形课时作业相似,课时,作业,课时作业,第4课时,形相似,作业作业,课时作业本
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第四章相似形课时作业
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3秒自动关闭窗口如图,在三角形abc中,角bac等于九十度,ad垂直于bcab等于十厘米,ac等于二四_百度知道
如图,在三角形abc中,角bac等于九十度,ad垂直于bcab等于十厘米,ac等于二四
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出门在外也不愁如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．在图（1）中，点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：h1+h2+h3=h．在图（2），（3），（4），（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．（1）请探究：图（2），（3），（4），（5）中，h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）图②-⑤中的关系依次是：h1+h2+h3=h；h1-h2+h3=h；h1+h2+h3=h；h1+h2-h3=h；（2）证明图（2）所得结论；（3）证明图（4）所得结论；（4）（附加题2分）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60°，RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h1、h2、h3、h4，桥形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为：h1+h3+h4=mh/m-n．图（4）与图（6）中的等式有何关系．-乐乐题库
& 等腰梯形的性质知识点 & “如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△...”习题详情
258位同学学习过此题，做题成功率66.6%
如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．在图（1）中，点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：h1+h2+h3=h．在图（2），（3），（4），（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．（1）请探究：图（2），（3），（4），（5）中，h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）图②-⑤中的关系依次是：h1+h2+h3=h；h1-h2+h3=h；h1+h2+h3=h；h1+h2-h3=h；（2）证明图（2）所得结论；（3）证明图（4）所得结论；（4）（附加题2分）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60°，RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h1、h2、h3、h4，桥形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为：h1+h3+h4=mhm-n．图（4）与图（6）中的等式有何关系．　
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2007-白银
分析与解答
习题“如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．在图（1）中，点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：h1+h2+h3=h．在...”的分析与解答如下所示：
（1）图②-⑤中的关系依次是：h1+h2+h3=h；h1-h2+h3=h；h1+h2+h3=h；h1+h2-h3=h；（2）由图（2）有S△ABP+S△ACP=S△ABC根据等边三角形的性质，及面积公式得出结论；（3）由图（4）有S△ABP+S△BCP+S△ACP=S△ABC，根据等边三角形的性质，及面积公式得出结论；（4）延长BR、CS交于A，由（3）有h1+h3+h4=mhm-n．
解：（1）图②-⑤中的关系依次是：h1+h2+h3=h；h1-h2+h3=h；h1+h2+h3=h；h1+h2-h3=h；（4分）（2）图②中，h1+h2+h3=h．证法一：∵h1=BPsin60°，h2=PCsin60°，h3=0，（6分）∴h1+h2+h3=BPsin60°+PCsin60°=BCsin60°=ACsin60°=h．（8分）证法二：连接AP，则S△APB+S△APC=S△ABC．（6分）∴12AB×h1+122=123=0，AB=AC=BC，∴h1+h2+h3=h；（8分）证明：（3）图④中，h1+h2+h3=h．过点P作RS∥BC与边AB、AC相交于R、S．（9分）在△ARS中，由图②中结论知：h1+h2+0=h-h3．∴h1+h2+h3=h．（10分）说明：（2）与（3）问，通过作辅助线，利用证全等三角形的方法类似给分；（4）由（3）可知：h1+h3+h4=mhm-n．（11分）让R、S延BR、CS延长线向上平移，当n=0时，图⑥变为图④，上面的等式就是图④中的等式，所以上面结论是图④中结论的推广．（12分）
本题是一个探究性很强的题目，主要考查等边三角形的性质，及结论在等腰梯形中的推广．
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如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．在图（1）中，点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：h1+h2+h...
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经过分析，习题“如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．在图（1）中，点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：h1+h2+h3=h．在...”主要考察你对“等腰梯形的性质”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
等腰梯形的性质
（1）性质：①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线；②等腰梯形同一底上的两个角相等；③等腰梯形的两条对角线相等．（2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质．
与“如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．在图（1）中，点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：h1+h2+h3=h．在...”相似的题目：
如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=115°．将线段BC绕点B顺时针旋转，使点C与DC延长线上的E点重合．（1）求∠E的度数；（2）判断四边形ABED的形状，并说明理由．&&&&
如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，若∠ABD=30°，则∠BAD=&&&&°．
下列不属于等腰梯形特征的是&&&&同一底上的两个角相等对角线相等对角线互相平分是轴对称图形
“如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△...”的最新评论
该知识点好题
1下列命题是假命题的是&&&&
2下列命题正确的是&&&&
3等腰梯形的下底是上底的3倍，高与上底相等，这个梯形的腰与下底所夹角的度数为&&&&
该知识点易错题
1下列说法中正确的是&&&&
2已知：如图，梯形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AD=BC，AC⊥BC，BE⊥AB交AC的延长线于E，EF⊥AD交AD的延长线于F，下列结论：①BD∥EF；②∠AEF=2∠BAC；③AD=DF；④AC=CE+EF．其中正确的结论有&&&&
3下列说法中，正确的说法有&&&&①对角线相等的平行四边形是矩形；②等腰三角形中有两边长分别为3和2，则周长为8；③依次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形；④点P（3，-5）到x轴的距离是3；⑤在数据1，3，3，0，2中，众数是3，中位数是3．
欢迎来到乐乐题库，查看习题“如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．在图（1）中，点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：h1+h2+h3=h．在图（2），（3），（4），（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．（1）请探究：图（2），（3），（4），（5）中，h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）图②-⑤中的关系依次是：h1+h2+h3=h；h1-h2+h3=h；h1+h2+h3=h；h1+h2-h3=h；（2）证明图（2）所得结论；（3）证明图（4）所得结论；（4）（附加题2分）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60°，RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h1、h2、h3、h4，桥形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为：h1+h3+h4=mh/m-n．图（4）与图（6）中的等式有何关系．”的答案、考点梳理，并查找与习题“如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．在图（1）中，点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：h1+h2+h3=h．在图（2），（3），（4），（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．（1）请探究：图（2），（3），（4），（5）中，h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）图②-⑤中的关系依次是：h1+h2+h3=h；h1-h2+h3=h；h1+h2+h3=h；h1+h2-h3=h；（2）证明图（2）所得结论；（3）证明图（4）所得结论；（4）（附加题2分）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60°，RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h1、h2、h3、h4，桥形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为：h1+h3+h4=mh/m-n．图（4）与图（6）中的等式有何关系．”相似的习题。如图，三角形ABC在平面a外，AB交a=P,BC交a=Q,AC交a=R,求证：P，Q，R三点共线_百度知道
如图，三角形ABC在平面a外，AB交a=P,BC交a=Q,AC交a=R,求证：P，Q，R三点共线
证明：设面ABC∩α=m,∵AB ∩ α = P ∴P ∈ 面ABCP ∈ 平面α∴P ∈ m同理证Q ∈ mR ∈ m∴PQR三点共线即都面ABC与平面α交线
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证明：P∈AB⊂面ABCP∈α⇒P面ABC与α公共点同理Q面ABC与α公共点R面ABC与α公共点⇒P、Q、R三点都面ABC与α交线．
&&证明：如图所示设面ABC与平面α的交线为m∵AB&∩&平面α&=&P&=&&P&∈&AB∴P&∈&平面α，&且P&∈&面ABC∴P&∈&m同理可证，Q&∈&m，R&∈&m∴P，Q，R三点共线。
三点共线的相关知识
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