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作者简介 ? ? ? ? ? ?
　　M?克莱因，美国纽约大学柯朗数学研究所的荣誉教授，曾任《数学杂志》的副主编，《精确科学史档案的主编，它的著作还有《西方文化中的数学》、《古今数学思想》等。自从欧几里得建立了现代数学的明确模式以来，他是比任何人都更好地理解了数学的思想家。 目录 ??????
引论第一章 数学真理的起源第二章 数学真理的繁荣 第三章 科学的数学化 第四章 第一场灾难：真理的丧失 第五章 一门逻辑科学不合逻辑的发展? ? ? ? ? ?
引论第一章 数学真理的起源第二章 数学真理的繁荣 第三章 科学的数学化 第四章 第一场灾难：真理的丧失 第五章 一门逻辑科学不合逻辑的发展第六章 分析的困境 第七章 世纪的困境 第八章 天堂之门 第九章 天堂受阻：理性的新危机 第十章 逻辑主义与直觉主义 第十一章 形式主义与集合论公理化基础 第十二章 灾难第十三章 数学的孤立 第十四章 数学向何处去 第十五章 自然的权威人名索引参考文献? ? ? ? ? ? 书评： 09:19:07 　　来自: Skottie 数学：确定性的丧失的评论 && 　　如果只历经十几年的普通教育，我们只能看见数学在阳光下的枝叶苁蓉，花果缤纷。本书会带你一路向下，沉入土壤，看看数学基础的根系出了什么问题。数学的确定性，竟然可以丧失！ 　　 　　p.s.1.可以当作一本数学发展史来看 　　 2.涉及不少数学专业术语，尤其是后半部，不容易理解。 　　 3.作者最后提出了如何看待“数学”的观点，即使它可能是不确定的。
16:46:14 　　来自: 求索 (博观而约取，厚积而薄发) 数学：确定性的丧失的评论 && 　　第十四章的标题是：数学将何去何从？读这一章时，我想的是：我将何去何从？ 　　 　　直到初二，我还是一直没有搞清楚到底数学是什么。初二暑假，参加了一届数学夏令营，对此有了朦朦胧胧的认识，但很快，初三时，我的兴趣就很快转移到了物理上来，一知半解地啃着相对论和量子力学。 　　 　　两本书促使我开始思考数学与自然科学的关系，其一是爱因斯坦的《狭义广义相对论浅说》，开头他关于几何与物理的关系让我看得饶有兴致，第二本是《可怕的对称》（许多人也提到了），看完后，数学真理的信念便深深根植在了我的脑海中。 　　 　　然而，看完这本书，它又被打破了。 　　 　　我感到很迷惘，年少时立志成为科学家（数学家）的热情正在一点点销蚀。马上进入高中，离成人也越来越近，何去何从？普通点，钻研三年奥数/物理，上个国内知名大学，专业自然是与数理有关的；困难点，出国深造，但似乎也只有自己在数理上有过人的优势。我身上是有那么多缺点：意志力较差、不善于文字表达、社会经验少……现在看来，连我最引以为豪的数理方面的直觉优势，看了这本书后，也显得微不足道。 　　 　　抛开个人――好，就算我拥有了顽强的意志力，就算我拥有了令人羡慕的知识，受到所有人的敬仰，那，又怎么样？未来的世界还需不需要数学家？数学，到底是人类对自然最好的颂歌，还是最笨拙的创造？ 　　 　　那么，抛开数学，抑或不去想它？当个电脑工程师、经济学家、作家，或是目标更低的，普通公司职工或是教师？但这未免太痛苦了，因为我抛弃的是人类智慧的一大宝库。也可以想见，就算我将来真的成了一个平平庸庸的人（这是很有可能的），我也许仍会捧起这本《数学：确定性的丧失》，想想宇宙，想想人生。 　　 　　抑或，迷惘，却又充实地生活；抑或，平和，却又不免平庸的过活？选择，应是不言而喻吧。 　　 　　好吧，这不能称上是一段书评；但至少这是我，一个处于迷惘中的中学生的真实所想。 　　 　　好书就是如此。往往，它是一面铜镜，当你欣赏完它美丽的花纹后，你的心灵便也通过它照射出来了。 　　
09:32:25 本浅达　　以楼主的天份 再过几年看自己的评论肯定会微微一笑。 18:06:34 　　来自: 阿澈 (读读书，想想事) 数学：确定性的丧失的评论 && 　　数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难　　　　　　数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难　　　　　　　　数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难　　　　数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难　　　　　　数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难　　　　　　数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难　　　　　　数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难数学真是难
23:09:42 　　来自: jerry 数学：确定性的丧失的评论 && 　　http://www.kepu.net.cn/gb/basic/szsx/8/8_82/8_82_1010.htm
08:49:01 　　来自: qhors苗广飞 (我爱我的家) 数学：确定性的丧失的评论 && 提示: 有关键情节透露　　 确定性的丧失已将有200余年了，因此才有确定性，因此才能分辨有理事件和无理事件，因此才有明天的存在，否则就没有真知灼见，因此感谢不确定性吧！因为他给予我们以自由平等的氛围，因此才有自己的存在。
00:29:18 　　来自: Chunhao 数学：确定性的丧失的评论 && 　　看完这本书，忍不住写书评了。 　　 　　从这本书的标题来看，它是讲数学的缺陷的。而当把这本书读完，才发现它讲的是一部数学的历史。 　　 　　和一般的数学历史书不一样，这本书没有复杂的公式，没有深奥的定理，它从人类认识和理解自然这个伟大的角度讲述数学的发展、思想，以及数学和科学的关系。 　　 　　看完这本书，你就会对数学的来龙去脉有一个比较全面的了解，你就会知道数学的历史并不是一帆风顺，你就会明白看似严密的数学却充满着各种各样的不稳定性。当然，这种不稳定性丝毫没有减少人们对自然、数学的热爱。 　　 　　这本书还告诉了你：数学是什么。在此，就不得不提到另一本书：《什么是数学》。如果说《什么是是数学》这本书是从“自底向上”的方法向读者讲述什么是数学，那么这本书就是用“自顶向下”的方法讲述什么是数学。就好比从飞机上鸟瞰一座宫殿，你首先被它的宏伟的气势震撼，被它精妙的布局吸引，然后就有走进去了解它的冲动。这就是“自顶向下”的魅力，也是这本书的魅力。 　　 　　看完这本书，就想把《数学分析》再重新看一遍，也想把《什么是数学》也重新看一遍。 　　 　　就像书中说的： 　　 　　“音乐能激起或平静认得心灵，绘画能愉悦人的视觉，诗歌能激发人的感情，哲学能使思想得到满足，工程技术能改善人的物质生活，而数学则能做到所有这一些。” 　　 　　在看这本书的过程中，你就会发现，“数学”两个字越来越吸引人了。 　　 　　http://blog.chunhao.net/review-math-the-loss-of-certainty
15:54:59 　　来自: 林子熙 (改名字改的大家都不认识了哎。) 数学：确定性的丧失的评论 && 　　简短的说一下，这是一本精彩的数学史作品，由即定的主题选择性的使用了简单易懂的题材。 　　虽然仍然是严肃的知识性话题，故事本身的乐趣和可读性都超过了任何一本我过去所读的数学书籍。
21:51:11 　　来自: xiaocao1015 (努力学习) 数学：确定性的丧失的评论 && 　　数分老师一上大学就推荐我们读这本书，我直到大三才把它买回来。好像是我的第一本科普书。学数学一回，好得看看这本书。书中包含了数学的发展，印象很深的毕达哥拉斯学派发现了无理数，康托关于无穷大小的比较。
01:40:05 　　来自: 山抹微云 数学：确定性的丧失的评论 && 　　克莱因本人是个工程师，推崇的是那种直接从物理现实里提炼的数学模型和思想，对抽象之抽象有很大的不满 　　 　　实际上，数学本质上是一种有应用潜力的娱乐，还是有娱乐性的应用工具，这就是应用数学和纯数学的不同观点区别之所在。而在20世纪里，它们之间分化程度加大到老死不相来往的地步 　　 　　我个人认为这种对纯理论的应用前景的过分担忧是不必要的，但作者的看法是比较悲观的
00:50:09 基地老狼　　我觉得作者不是担忧，确定性的丧失是一种事实 15:26:27 　　来自: Cartman 数学：确定性的丧失的评论 && 　　高中时代的装比丛书第一册，曾经喜欢把它放在课桌上--当然，要翻过来封面朝下放。晚自习时无聊了可以翻翻看看。 　　但主要是静候有人走过来--看到这本书--翻过来看看封面--皱着眉头看了几页--最后夸奖我说你好有品味看这么深奥的书。 　　我心中顿时就会像磕多了大白兔奶糖一样甜丝丝的，但是表面一定要装作若无其事（这点是关键中的关键）。最后随口点评本书几句，要褒中带贬欲扬先抑。礼成。 　　本书的段落大意中心思想我已经忘怀了，不过好像还蛮通俗的，在饭堂吃饭时也可以和人一本正经的讨论数学。 　　不过总之那些都不重要。 　　重要的是书名要读对了，rt。 　　
18:51:24 瓦罐里的老虎　　好书 　　好书啊！
22:13:52 leafhopper　　我倒，这是啥评论～～ 　　
13:01:10 无为狂人　　我心中顿时就会像磕多了大白兔奶糖一样甜丝丝的，但是表面一定要装作若无其事（这点是关键中的关键）。 　　狂顶
18:57:17 hacker47　　平常喜欢拿本汇编或者TAOCP唬人也是一个道理， 　　其实自己看的不多。（呵呵） 　　
00:53:26 基地老狼　　又碰到个可爱的朋友
18:35:33 婷婷　　我也觉得，太可爱了~~ 　　
01:05:17 Rubick　　我喜欢你！
09:37:08 橙色的[]　　~~~。。~
21:05:46 羁世　　这个事初中装逼专用的
11:04:32 lao5　　一针见血的心理分析 16:33:58 　　来自: xiaowei 数学：确定性的丧失的评论 && 　　/a.htm?www.douban.com/subject/2298747/?i=0 　　 　　克莱因的数学科普书都很好看，可惜大学里没遇见，否则对学习数学是很有帮助的。
22:59:37 Forhiding　　我也是本科之后才看到这本《确定性的丧失》的，觉得有点看得有点晚，不过之前如果没有学过一些大学数学的话，许多内容会不理解或者没有感觉的 22:33:35 　　来自: lazybird 数学：确定性的丧失的评论 && 　　http://www.brsbox.com/filebox/down/fc/fae57480a4b5c3660e5e
17:55:20 竞技游戏心理　　xiexie ~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!~!!!!!!!!!~~~~~~~!!~~~~~~~~~~~~~~
21:09:46 maximjoker　　虽然买了书，但还是想要电子版。谢谢 08:30:55 　　来自: 沙丁鱼2 (等待年底黄子华20周年栋笃笑) 数学：确定性的丧失的评论 && 　　欧式空间（现象学）及康德 　　 　　那天，当老师回答某同学关于是否有人质疑过弗洛依德如何得知小孩的auto-eroticism，他说：Well, you know, 所有理论都必须有一个预设。就如数学公理，过一条不在直线L上的某一点，有些只有一条直线；又或者是，两点之间距离最短是直线。这些公理能证明吗？无法证明，但我们可以从这些公理出推论出许多定理。 　　嘿嘿，你知道吗，听到这个答复后，我对老师的敬佩之情又多加了几分！当然我敬佩的不是他知道这些（呵呵，我也知道啊），而是他可以很自然的用数学体系方面的东西来回答文学（哲学）问题～～这一点最令我欣赏。 　　《数学：确定性的丧失》这书的第四章恰好就涉及到这两个欧式几何的公理以及康德的哲学。尤其下面这段话（P94-95）：“他肯定所有的数学公理和定理都是真理……所谓时间和空间只是我们感知的一种模式【有些类似Husserl的现象学：现象学要把握的是事物的普遍类型或本质，完全纯粹的把握任一现象就是把握其中本质性和不变性的东西。它把自己当作一门关于人类意识的科学，这一意识并非被设想为特定个人的感觉经验，而是被设想为心灵本身的“深层结构”（――这一点又有些像结构主义了）】既然空间的直接来源于心智，那么心智自动地接受空间的某些属性，诸如直线是两点间的最短路径…康德既然从人的大脑中创造出了空间，那他也就看不出有什么理由不让它是欧式空间……至于上帝，康德说上帝的本质不在理性知识范围内，但我们还是应该相信上帝。康德在几何上的轻率超过他在哲学上的大胆。他没有到过离东普鲁士城市哥尼斯堡他的家65千米以外的地方，然后他却假定他能决定世界的几何形状。” 　　你不觉得最后一句话说得很妙吗？ 　　 　　 数学与哲学 　　 　　（数学对人类最初认识世界的推动） 　　作为一个独立知识体系的数学起源于古希腊，关于数和几何图形的庞大理论体系为数学提供了一个看来似乎永无休止的确定性前景。 　　数学从不证自明的公理出发进行演艺推理。它的实质是，若公理为真，则可以保证由它演绎出的结论为真。 　　数学已显示了人类理性的能力、根源和力量。所以为什么不把这种方法用到由权威、风俗、习惯控制的领域，比如哲学、申雪、伦理学、美学及社会科学中去寻找真理呢？因此，在称作理性时代的启蒙时代，数学方法甚至加上一些数学概念和定理，用到了人文事务。 　　（但是希腊天才的片面性，也结合着数学一起表现了出来：它是根据自明的东西而进行演绎的推理，而不是根据已观察到的事物而进行归纳的推理。它运用这种方法所得到的惊人的成就不仅仅把古代世界，而且也把大部分近代世界引入了歧途。根据对于特殊事实的观察以求归纳地达到某些原则的科学方法，代替了希腊人根据哲学家头脑得出的显明公理而进行演绎推理的信念，这原是经历了漫长的过程的――罗素《西方哲学史》） 　　（数学与哲学是怎么联系起来的？） 　　地球自然现象及人类的归宿、人生的目的，这些问题在早期文明由宗教来回答，只有古希腊文明例外。希腊人发现了推理的作用。 　　当希腊人把推理用于政治体系、伦理道德、法律、教育和其它方面，他们决定性影响后代文明的贡献是接受了对推理最强有力的挑战，知道了自然界有规律可言。在这之前，人们认为自然是混乱、恐怖的，自然现象无法解释，只有用祈祷、祭祀和其它宗教仪式来解脱。 　　希腊的智者对自然的态度是理性的、批判的和反宗教的。 　　毕达哥拉斯Pythagoras：万物皆数。（我怀疑《数字追凶》（numb3r）的编导是该信徒。） 　　
18:27:51 火火　　公理是符合经验的预设，而不是不证自明的。 　　 　　顶一个~
17:47:51 掐出新鲜　　老师的确很牛逼，为啥不反问下，你又不是弗洛伊德，你怎么知道弗洛伊德不知道？ 　　当然，我觉得这样的解释太取巧了。这样的解释能解释任何无法解释的东西了。老师应该说说弗洛伊德是怎么观察推理出来的这个结论。而不是用这种万金油的解释。 16:58:39 　　来自: may 数学：确定性的丧失的评论 && 　　 真正的数学是什么？ 　　 为什么数学依然有效？ 　　 我们再用不完美的工具制造奇迹吗？ 　　 如果人类已经被欺骗了，大自然也会受骗而屈服于人类的数学工具吗？ 　　 　　 这是一部数学史，克莱因用文学和历史的手法写的这部数学史，让数学生动，简单，而荡气回肠。 　　 　　
11:05:59 CC　　这个评论很精辟 00:28:14 　　来自: 朝颜 数学：确定性的丧失的评论 && 　　在电影《Fracture》里，有一架颇具象征意味的仪器。灯光幽暗的大屋一角，金属架构蜿蜒盘旋，水晶玻璃小球自高处一路缓慢滑下，闪闪烁烁，衬着老安东尼诡秘的微笑，简直有魅惑人心的力量。在两位主人公漫长的对决中，这个镜头反复出现，以一个精确的、缓慢的、优美的姿态。也许是想说一种秩序，也许是想说一个定局。而我之所以会在这里提到它，是因为它的神秘、精准、有序、看似的无懈可击都与数学暗中契合，而那种因看似的完美所产生的脆弱感，也如M?克莱因在《数学：确定性的丧失》一书中所提到的不确定性一样，足以摇撼整个系统赖以建立的根基。 　　 　　也许这种类比本身是无谓的。毕竟从克莱因另一著作《西方文化中的数学》中可以看到，数学在人类生活中的应用是如此广泛，而语言的功能今天已经过分强大，几乎无物不可打上数学精神的烙印：精确、简洁、和谐。且不论建屋造船、铺路修桥，便在绘画与音乐这样的纯艺术领域，数学也无处不在。毕达哥拉斯学派发现一根拉紧的弦发出的声音取决于弦的长度，而当两根弦的长度成整数比时，它们发出的声音就是和谐的，是谓和弦。还记得小时候看钢琴师傅调音，琴盖打开的刹那，看到洁白的音锤与金属琴弦分列两边，其精密庄严令人肃然起敬。如此恢宏磅礴的乐器得以制成，并演绎无数传世经典，起点却是那一点数量关系的原理。月亮和气球都具有球体的各种性质，酒坛和垃圾桶也可以有相同的体积。在古希腊人那里，各种事物都具有数学上的联系，数是宇宙的质料和形式。它使得自然趋于理性化，使精确的法则和规律的描述成为可能，它来自探索与思考，却走向未知与无解。 　　 　　数学的发展史如同一场华丽纷繁的冒险。它发现一切，解释一切，包容一切。直到18世纪末，数学的尊贵与荣耀都是无与伦比的。如果说上帝创造了宇宙，那么数学就是那张设计图纸。从古希腊开始的探索之路此时仿佛已经走到了尽头，海洋潮汐、日升月落、空气的流动与光线的传播，所有这些都已经得到了充分合理的解释，这些解释都归于数学。再也不可能有比这更光辉的时刻了。难怪拉普拉斯要说，牛顿是最幸运的一个人，因为只有一个宇宙，而他成功地发现了它的定律。从这个角度来看，也许数学家们比教士更适合传达上帝的旨意。 　　 　　人的力量始终是不安分的，随着数学的进一步发展和越来越多成果的展示，神的启示越来越少，上帝的形象日渐模糊，对纯粹的数学结果的追求取代了对上帝的设计的关注。首先受到冲击的是欧氏几何，两千多年来它一直与客观事实完美地互相印证，人们相信它就是物理空间惟一的诠释者。然而在欧几里得提出的五个公理中，平行公理的合理性一直令人生疑。早在希腊时代人们就试图给出它的证明，数学家们耗费了大量的时间和精力却始终未果，以致数学家达兰贝尔在1759年称平行公理问题是“几何原理中的家丑”，它的复杂、尴尬和浑沌简直令数学家们心虚。 　　 　　就是这样一个暗点，终于演变成了数学史上第一次真理的丧失。19世纪20年代德国数学家高斯、匈牙利数学家J?鲍耶和苏联喀山大学的数学教授罗巴切夫斯基几乎同时确认了非欧几何的存在，这种几何的证明由罗巴切夫斯基率先发表，被称为罗巴切夫斯基几何。他去掉了欧氏几何中的平行公理，代之以一个完全矛盾的假设，然后在新的公理假设基础上展开一系列推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新定理，并形成了新的理论。这个理论像欧氏几何一样完善和严密，非欧几何由此产生。它证明了人们长久以来所认定的真理也许只是经验的抽象化表达，一种脱离经验的逻辑几何的存在是完全可能的。不止如此，高斯的弟子黎曼继续研究非欧几何，他的论文证明了非欧几何不仅仅是逻辑意义上的存在，而且完全可以适用于物理空间。人们不再能够肯定究竟哪一种几何是正确的，宇宙的设计也许有必要重新改写。 　　 　　除了几何，已有的代数的地位也岌岌可危。人们在反思中发现，只有经验能够告诉我们，普通的算术何时适用于常见的物理现象；然而如果抛开经验，完全可以建立一种全新的算法并同样实用。就像我们习惯了十进制，但二进制、八进制和十六进制同样也有各自的意义所在，这是无可否认的。无可否认的结论是：数学中没有现实世界普适法则意义上的真理。 　　 　　18世纪被称为数学史上的英雄时代，希腊人的数学大厦经过印度人和阿拉伯人的建构，早已不复牢固，欧洲的数学家们就在缺乏逻辑结构的情况下，探索和创建了一个又一个新的领域，其形其状颇似麦哲伦的环球旅行，成就不可不谓非凡。然而这些不断从思想中抽离的概念与证明，尽管自有其体系，却缺乏一个彼此相容的逻辑基础。在以逻辑严密而著称的欧氏几何也遭到质疑之后，19世纪下半叶，数学家们开始致力于数学的公理化运动，试图给摇摇欲坠的数学大厦建立一个统一的逻辑基础。就在这个过程中，出现了四种独立的知识体系：逻辑主义、直觉主义、形式主义和集合论公理化主义。并进一步出现了关于数学究竟是一个超验的存在，还是只是人类思想的产物之争；换句话说，数学到底是天然的钻石，还是人工宝石？ 　　 　　数学课本中永远看不到这些争论。作为一门基础学科，数学直接贴近我们生活的一面不过以四则运算为上限，卑微到令人忽略的地步。但是谁也不能否认“数学是人类为获得精确有效的思维所做出的最广博和最深刻的努力”，而数学所取得的成就是“人类思维能力的量度”。在数字和矩阵背后隐藏着的，不是顺理成章信手拈来的推导，而是更为深邃与光荣的探索；假如你把目光放远一些，你会看到时间与空间的运行。它可以为万物命名，它的浩瀚更胜苍穹，它容许你质疑所有已知的存在，这才是我们一度认为是枯燥乏味的数学的真正面目。 　　 　　全书共分十五章，如果说前十四章是令人着迷的，那么最后一章便是伟大的。在探讨了数学发展过程中令人沮丧和担忧的一切困难之后，克莱因不无骄傲地谈起电磁学理论、相对论和量子理论，作为二十世纪最伟大的科学创造，它们无一例外地广泛使用了现代数学。他曾在前面的章节中忧心忡忡地谈论纯数学与应用数学的分歧，而在这一章中他骄傲地说“数学仍然是可用的最好的知识的典范”，这一刻他难得地让我们窥见了他的赤子之心。如帕斯卡所言，人类不知自己为何来自一无所有，又将如何卷入无穷无尽，他孤立无援地存在于一个陌生的宇宙中，内心惊骇不已。对人类来说，数学即使丧失了其确定性，丧失了真理的身份，也仍然是探幽发微、抵达未知的最好武器。它在赋予人类思维的同时，也赋予了他们无尽的勇气。 　　 　　 　　“音乐能激起或平静人的心灵，绘画能愉悦人的视觉，诗歌能激发人的感情，哲学能使思想得到满足，工程技术能改善人的物质生活；” 　　 　　“而数学则能够做到这一切。” 　　 　　――克莱因
12:41:59 Luvega　　冒险，我们的前进永远要冒险的～
13:17:09 骚人不是客　　华丽的冒险，完美的追求！
08:32:32 弃言　　“音乐能激起或平静人的心灵，绘画能愉悦人的视觉，诗歌能激发人的感情，哲学能使思想得到满足，工程技术能改善人的物质生活；” 　　　　 　　　　“而数学则能够做到这一切。” 　　　　 　　　　――克莱因 　　就是这样
11:26:48 孟劳　　喜欢这样写的数学史 08:44:58 　　来自: hanbhong (每一只笼子，在等待每一只鸟。) 数学：确定性的丧失的评论 && 　　（我的一篇旧文，见笑。） 　　 　　天上方一日，人间已千年。口口流传，都是这么说。古人因此对牛郎织女产生了诸多疑问，我粗粗研究了一下这个相对论，大致成果如下： 　　一、如果两人一年相会一次，按照每年365天，每天相当于人间千年计算，也就是说，他们每365000年（人间时间）才能相会一次。俗话说：小别胜新婚，这两位如此这般的聚少离多，“金风玉露一相逢，便胜却人间无数”，那是没的话说。 　　二、如果天上每日24小时，每小时60分钟，那么一天也是1440分钟。这段时间相当于人间千年，有一千次七夕，意味着牛郎织女每1.44分钟（天上时间）就要相会一次。在不到90秒时间里要完成前戏后戏，几乎是不可能的任务吧。 　　一种是快动作，一种是慢动作，想来想去，的确蛮搞脑子的。 　　
11:19:58 适兕　　典型的女人思维。。
19:59:56 神仙　　听说天上一日地上一年…… 　　
12:30:47 废小鸡　　为什么说是女人的思维？ 20:19:11 　　来自: 小新 数学：确定性的丧失的评论 && 　　阅读这本书，尤其是后面部分，需要一点数学基础方面的知识（注意，不是基础知识，是“数学基础”的知识），不然看起来会很吃力。
15:09:26 鬼迷心窍　　唉，我初中的时候买的这本书 很吃力啊，真的很难看懂 22:21:50 　　来自: chenge (南非-Spain) 数学：确定性的丧失的评论 && 　　“数学不是天然的宝石，只是人工的”，对这句话的印象很深。这本书对于深化对数学本质的理解很有帮助。 　　 　　非欧几何的出现撼动了欧氏几何的绝对真理宝座，数学只是天才的想象和人为的选择。 　　 　　
23:34:31 eighteendays　　记得第一次知道费欧几何是在大一，内心的震动，至今记忆犹新；同样的震动还有哥德尔的拿到证明，记得那时还在中学 21:24:06 　　来自: adherent (忙碌) 数学：确定性的丧失的评论 && 　　说数学史的，以这本最为经典了，很值得去读。克莱因作为优秀的数学家，通过对历史上三次数学危机的描述，阐述了数学起源以及其思想变迁的大致过程。 　　不过全书透漏着一种悲观气息，好像数学确定性的丧失将必然给数学带来灾难一样。可我们知道，第三次危机之后，数学依然取得了长足的进步，尽管数学的根基性问题似乎并没有得以解决。 　　另外，通书行文，多用长句，读起来不大顺口，对于喜欢休闲的人们，这不是个好消息。
11:03:41 hxl268　　不懂原理的浅薄会使人犯指金为粪的重大错误 　　黄小宁 　　通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱 邮编510631 　　“变数y=f(x)”是说某数集D各元x均有对应数y(x)。可见，变量x所取各数也均由x代表，变量x的变域就是能由此x代表的数的全体组成的集合。D内各元都有一个共同的“名字”叫x，所以x不但是变量，而且同时也代表D内任一定量，故其具有既是变量同时也是定量的两重性。x ≡2（x/2）&0的变域D，是一切可由此x代表的数组成的集合，即由形如x≡2（x/2）的正数的全体组成，凡可表为x= x/2+x/2的正数x都可纳入D内。 　　“任何正数x”中的x可代表(取)任何正数。注！任何定量都是变量：只能取一个数的变量。若对任何正数x均有y&x，则y必可变至&任何（所有）正数而取非正数；说不等式中的x可取任何正数，就是说式中y可&任何正数。使人高分低能的应试教育使不少人无力认识与理解这一语文与代数常识。此常识用C代表。下述太重大的发现来自于此太浅显的C。有傻瓜相机，也有傻瓜常识啊!!! 学数学最关键的是须明白代数式所代表的全部内容，否则就是鹦鹉学舌，从而成为数学王国里的睁眼瞎。反复强调：若代数式y&x中的x代表任何正数，则此式所代表的内容之一：有数y&任何正数。否定此事实者是因其不知代数式中的变量就是至少能代表2个数的字母，正如不识字者不知“你犯错误了”表示你犯错误了一样。关键是只能代表1个数的y“是数”，不仅能代表1个数的变量y更“是数”！y&x中的x代表了一切可由其代表的数，y代表比x小的数。 　　 连傻瓜常识也认识不了的人是什么样的人？？扼杀创见的应试教育严重摧残人的智力与学力。 　　博士生导师刘坤林等说：“若对任意ε＞0，均有OAO＜ε，则必有A=0。”（刘坤林、谭泽光《大学数学――概念、方法与技巧》，清华大学出版社，页）这里的“任意ε＞0”显然是说不论哪一正数均能由ε代表，即说ε代表任何正数，因为在非负的实数中只有0才能＜任何正数。若A恒≠0则ε非任意正数。 　　应试教育使不少“内行”本末倒置的满足于只知导师的结论，却不管导师是依据什么原理得到此结论的。其实，原理比结论重要得多！导师所依据的原理就是上述的傻瓜常识C：若对任何正数ε，均有代表数的y=OAO&ε，则y必可变至&任何（所有）正数而取非正数，若y 只代表一个数，则其必只能是非正数，因为只有0与负数才能&任何正数；若y至少能代表2个数，则因其必可变至&任何（所有）正数，故其必可代表非正数，即其变域内必至少有一非正数。原理就是语文常识：说任何（个个）正数都有数比其小，就是说有数&任何正数。 　　 否定此理者是因其不知变量y与定量y的区别只是：前者是至少能代表2个数的字母，后者是只能代表1个数的字母；从而不知道代数式“（代表数的）y＜ε=任何正数”一目了然的代表：有数y小于任何正数。关键：不论y能代表多少个数，只要其可一个不漏地遍比任何正数都小，则其必可代表非正数。 　　不是死记而是真正理解导师上述教导的人就能理解与认识C。其实0 & 任何正数x，直接表达有数0 & 任何正数。同样，“y&任何正数x”也一目了然地直接表达有数y&任何正数，只不过这里是用字母y代表&x的数罢了。 　　初中数学断定0 & y = x/2 & x （变域为D，D各元x&0均有对应数x/2 = y）中的x可取任何正数，D含所有正数：0 & y = x/2 & x = 任何正数（x可取y的变域Z内的任何正数吗？）。 　　上述傻瓜常识表明这是重大错误：断定式中y 必可变至&任何（一切）正数而取非正数。“可取一切正数”的x当然包括可取y的变域Z内的一切数，这样一来就是说式中y可变至& Z内的一切数，即说其可取自己变域外的数。矛盾！所以 　　 0 & y = x/2 & x = D的任何元……………………………….S 　　中的x绝对不可取一切正数！这间接表明y的定义域D外还有正数！因为D由一切形如x =2 (x/2)的正数组成，所以D外正数x必 ≠ 2(x/2)而无对应数x/2！S式石破天惊地直接表达变量y必可取D外正数y &D的任何正数x。这显然是比无理数更“无理”的更无理数。关键是式中x可一个不漏地遍取D内一切正数使y必可一个不漏地遍比D内任何正数都小; x被限制于是y的反函数使其不能不受任何限制地取正数这个因，造成了x不可取全部正数这个果。而上述导师的ε却可不受任何限制地任意取正数 　　凡视力正常的人都能一眼看出光身的皇帝光身啊！ 　　所以语文常识与傻瓜常识显示数学有史几千年来一直断定的“任何正数x =2（x/2）&x/2 = y”其实是重大错误！建立在此定论之上的理论必是错上加错的更重大错误。并非任何正数都能由S式中的x代表。形成鲜明对比的是“任何正数x&x-1=y”就是真理，式中x可取任何正数。 　　搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。 　　只知结论不懂原理的低层次浅薄会使人犯指金为粪的重大错误：极其无知地将千载难逢、光耀千秋的重大革命发现斥之为遗臭万年的重大错误，将敢于刊登重大发现的编辑斥之为：搞学术腐败的败类！ 　　参考文献 　　[1] 黄小宁 “任何正数x=2?x/2”是个重大错误,见：全国教育教学论文暨教案选萃，北京：中国环境科学出版社，。 　　[2] 黄小宁 极浅显常识揭示数轴上的点远远不能与各实数一一对应，学习方法报?教研版，,总第588期。 　　初稿完成于2006.１２.１６ 电联：020C（下午）电子邮箱：（hxl中的l是英文字母） 　　
10:04:27 hxl268　　在超凡越圣的伟人眼中无穷大n总≈0 　　――――符合实际的全新数学必取代几千年井底蛙数学 　　黄小宁 　　通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱 邮编510631 　　科学史上那些千载难逢的重大革命发现造福全人类，但发现的方法是“渔”，远比发现本身更有价值。思想方法上的革命能使人的科学洞察力一下子提高无穷大倍，从而获超凡越圣的革命发现。扩充数域是数学发展史上的重大转折与飞跃。本文揭示数学中，用而不知的“骨干”数远远多于已知数。例如，如无&任何标准正数的非标准数及其倒数就绝无非标准微积分一样，若无&“任给定正数”M的数x 及其倒数，就绝无无穷大变量x&M及其倒变量，从而更无微积分，因为变量x&M是说x所取各数x均大于M。古人不知无氧气就无人类，今人不知无…就无…。 　　有傻瓜相机也有傻瓜数学：据语文常识，“对数集W的一切（个个）数n都有y&&n”明确表示y必可&&W的一切数n，即y的变域内必有数y&&W的一切数n；这表明形如y（x）&&x =D的任何元中的函数y必可在x的变域D外取值y&&D的一切（任何）x（D内各元均由x代表）。 　　负数有无穷多个，说y&x中的x可取一切负数显然就是说y可&一切负数；同理，说y&&n中的n可取1、2、3这3个数就是说y可&&这3个数即y必可在n的变域外取值，说n可一个不漏地遍取一切正整数就是说y可&&一切正整数。 　　人类最早认识的数是非0自然数n，对这类数的认识与研究已有几千年。下式中的n可由小到大取一切正整数吗？这纯粹是一初3数学问题。 　　y = y1 + y2 = n + 100…0n（亿亿倍于n）≈ 0+100…0n&&n=1,2,3，…是说式中n???→∞所取各数：1,2,3,…相比下全都是可忽略不计的极小正数，即说首项动点y1→∞与动点y2相比实在是总距0太近了以致于可视其为0而忽略。常识：若一正数集B内各元（相比下）全都是≈0的极小正整数，则必有n&&B的所有数n，因为有小必有大。然而几千年数学却一直断定式中可视其为0的n≈0可取一切非0自然数。依据是几千年的公理A：任何自然数n均有对应自然数kn(k&1)。极浅显近似计算常识使人一眼看出这是几千年重大错误！此错误使康脱推出更重大错误说含一切自然数的N各元n可与其真子集各元100…0n一一对应。注，公理A中的n与kn均是数学内的数。 　　这也就是说以上近似式中的n可取一切非0自然数。可见，康脱理论实质上就是公理A等公理，故其不仅是现代数学的基础，而且其核心部分也是古代数学的基础。因为上式中的y可&&式中数列内的一切n，所以说上式右端中的n=1,2,3,…可取一切正整数显然就是说式中y可变至&&一切正整数，即说其变域内有正整数y&&一切正整数n――几千年数学一直隐含此重大病句！这使康脱推出脱离健康的病上加病的极荒唐病态理论。 　　数学主要研究变量。研究变量x都能取些什么数是最根本的问题，最根本的搞错了必然会全盘皆错。注！大小极悬殊的2个正数，小的与大的相比是0的近邻。 　　蚂蚁身高n + 甲人身高1000n≈0+1000n是因n相比下实在是太小了，以至于可视其为0而忽略。飞机上的人看摩天大楼如蚂蚁那么小表明若蚁与甲同时同步地无穷变高（蚁增高n倍的同时甲也增高n倍），使n由1→∞，则甲看蚁的身高没有任何变化：总是紧贴于地面的小不点，因n→∞被限制于一成不变地总为1000n的1/1000。这表明变量与另一变量相比也可有相对不变是定量的另一面，正如地球的同步卫星相对于地球是不动的一样。这使S式 　　n + 1000n ≈ 0 + 1000n（n由1→∞） 　　石破天惊地直接表达n→∞相比下总≈0，根本不能任意变大。然而身高不变的乙人却看见蚁能“任意变高” ，继而根据数学断定S式中的n可任意变大取一切非0自然数，将甲所看到的“n总贴近0（相比下）”斥之为：缺乏起码数学常识，是骗子在搞伪科学！关键：S式中的首项可视为定量0，因其相比下是0的近邻，其变域内各数n都有性质：n&&1000n。目光太短浅者无法认识此n→∞相比下总贴近0，正如目光太短浅、视野太狭窄者无法认识脚下大地是球体且远比某星星更渺小一样。 　　上述y轴上的动点y1→∞被限制于总远远地落在点y2的后面，使y2“看” y1 总贴近于定点y=0,能说y1可距0任意远取一切正整数？动点y = y1 + y2 = n + 100…0n总近于动点y2 ；说两点间的距离y-y2 = n可距0任意远取一切正整数，就是说两点必有变至使彼此相距极远从而远无近似相等关系的变化阶段。这是常识性错误。傻瓜物理常识等常识表明乙人被表面假象所迷惑严重歪曲了事物的本来面目，而且还将重大发现斥为伪科学。站在甲的肩膀上，乙人就能一眼看出自己是多么的幼稚可笑啊！此时凭肉眼，近视的他永远也不能察觉“任意变高”的蚁的客观存在性。将是否取得世人共识作为真理的标准是非常幼稚的。科学革命的特征就是推翻举世公认的理论。伟人甲的目光太远大超凡了，以致被迷信“科学皇后”的太渺小的“权威”斥为吹牛的骗子。甲的视野可无穷大倍于乙的视野，使任何已知正数都不能定量描述甲的认识水平比乙的极低下认识水平高多少倍。 　　目光太短浅的“肉眼数学”对“无穷”的认识太幼稚片面，有极其重大的根本错误。上述y1虽可变至总&“任给定正数”M，但近似常识表明此y1&M所取各数y1&M全都是可忽略不计的极小正数。科学极不发达期地球的极伟大性掩盖了它的极渺小性，数学极不发达期y1??→∞的无穷变大性掩盖了其相比下总≈0的性质。乙的井底蛙之见比甲的宇宙伟人超凡越圣之见落后几千年。在居高临下的伟人甲眼中上述无穷大n 总微不足道。当理论与实际严重对立时必表明理论有重大错误。 　　科学的思维方法是能放大无穷大倍的思维显微镜、望远镜，能使人的认识能力由乙人的肉眼直观层次，一下子提高无穷大倍到甲的水平，从而能一眼看出上述蚁相比下总贴近于地面，即n→∞与另一变量相比总贴近于0；能一眼看出相应的1/n→0也有相比下总距0极远的另一面，更谈不上能距0任意近（同一线段，肉眼下短至几乎为一点，显微（望远）镜下却很长。）。这必使数学及其教学能由因目光太短浅而严重歪曲了事物的本来面目的几千年极幼稚阶段，一步登天地一下子突变到能正确反映现实世界、宇宙的空间形式与数量关系的成熟阶段。问题是超越时代太远的太伟大的科学太易遭太渺小的“科学警察”诬蔑为危害太重大的伪科学啊！特别是当太伟大科学家的出身太“卑贱”时更是如此。当年的红军“高贵”权威剥夺天才军事家毛泽东的发言权，就是因为其是没上过一天军校的“土包子” ，在军事科学领域是典型的从“山沟沟里” 出来的“民科” 。 　　美国著名数学史家M?克莱因教授很有代表性地断定：“实数系统已经用了五千多年，无数关于实数的理论均被证明，仍未发现任何矛盾。实数公理产生了许多著名定理，…[1]”。以上居高临下的科学思维方法表明这是“当局者迷”的重大误解。肉眼下蛋壳天衣无缝，显微镜下却是漏洞百出的。人类由断定任何自然数n均有对应自然数1000n到发现这是重大错误，竟须历时五千年！但若担心初三生阅此文后还不能一眼看出S式中相比下可视其为0的n绝对不可取一切自然数，那就是担心广大群众是弱智群体了。思想方法上的革命使人能一下子就打破“五千年数学公理绝对不能被推翻”的千年神话。在高精度近似计算中凡有变量可略必表明其变域内个个数相比下全都≈0。 　　说上述y1→∞可任意变大取一切正整数等价于说其必能变大至不可忽略即不可视其为0的程度，然而人们在近似计算中却将其视为0实际上就是纠正了这一重大错误。人们在近似推理：x+10000x≈0+10000x＞＞x（变域为R+）的过程中不自觉无意识地否定了百年R完备定理：断定R+各元x相比下均为可略的极小正数。可见，世人用而不知的远比R内数多得多的R外实数一直都在数学中起关键作用。人们言行不一，否则就要在…中犯常识性错误啊！这就是为什么纯数学大厦的根基是歪的，使其不堪一击，而数学却能在科学实践中发挥重大作用的奥秘。在科学中起作用的是真正的数学而不是严重歪曲事物本来面目的伪数学。能放大无穷大倍的思维显微镜、望远镜的发明使常人的科学洞察力一下子提高无穷大倍，从而能一眼看出前人几千年都不能发现的重大错误。 　　几千年举世公认的n+1&n=任何自然数，其实是病句：有自然数&任何自然数。 　　注！说恒取自然数的n可变至总&“任给定正数”M就是间接肯定有自然数n&M。用而不知地失察此类起决定性作用的数，使数学自相矛盾，正如2500年前数学家对无理数用而不知一样。没有&M的数何来恒&M的变量（至少可取2个数的量称为变量）及其倒变量？从而又何来微积分?!极限论断定无穷数列1，2，3，… ，…中有数n&M。 　　各已知正自然数n &&10 0…0n&&100…0，00…0n&&…&&…表明其相比下全都是极小极小…（无穷多个极小）的无穷小正自然数，虽然其中有不少n都&“任给定正数”M。所以，所有已知n组成的N仅为数学内的自然数宇宙中的一颗星球！以球为宇是近于宇宙那么大的错误。此重大错误没能及时发现必使人推出错上加错的一系列更重大错误论断，例如使康脱“推翻”最起码科学常识：部分&全体。常识性错误是最重大根本错误！从而使“数学中没有真理[2]” 。这是从西方传进来的严重脱离实际的数学总极难学难教的真正原因。无怪乎不少学数学者不是在理解原理上下工夫，而是在死记硬背上下工夫，从而养成了盲从的陋习。此陋习会使其丧失正常的思维能力，受害终生。 　　对数的认识的极惊人浅薄必使人化简为繁、化清为浊，从而使学生们不得不将大量的时间与精力用在学习数学上，严重影响了专业课的学习。深入才能浅出，浅入就只能深出。“大道至简至易”是至理名言啊！自相矛盾的小道至繁至难，使人花大量的时间与精力还是不知其所云（光是一个极限论就耗费了多少人的多少时间与精力啊！）。 　　数学革命的爆发必使数学发生翻天覆地的质变！全新的东方数学必是朴实的科学真理，从而易学易教将学生从沉重的学习负担中解放出来，特别是能终结旧理论使学习者养成盲从的陋习（注，不懂原理的文盲同样能舞枪弄炮）这一重大伤害。进而必能缩短学制从而创造出巨大的经济效益。 　　设在数学研究中所需用到的一切n组成W，若W各元n均有对应数100…0n&&n，则由上述傻瓜数学可知并非所有的100…0n都能还在W内，有许多100…0n都“更无理”地突破了W的框框。这类数是额外派生出来的数学无需用到的数学以外的另类数，因为事先已规定W含数学内的一切n。有内必有外，数学外若还有自然数，则这类数不能与W内的数混为一谈。若将这类数纳入数学内，同样的原因又会额外派生出新的数学以外的数。将两类性质不同的数混为一谈就要铸成大错。详论见[3]。 　　　　说明：本文实际上是文献［3］的一小部分。 　　参考文献 　　[1]M?克莱因著、李宏魁译 数学：确定性的丧失[M]，长沙市：湖南科技出版社，-195. 　　[2]同[1]书，89页。 　　[3]黄小宁 一眼看出有最小、大正数一下子推翻百年集合论、破解2500年芝诺著名世界难题，发明与创新增刊[C]，。 　　[4]黄小宁 教科书有一系列不堪一击的极重大致命错误――书上各取正数的无穷大均相比下≈定量0，见： 中国学校教育研究? 数学? 计算机卷[C]，北京：中国民主法制出版社，。 　　电子信箱: （hxl中的l是英文字母） 电联:020-(下午) 初稿完成于，最后修订于。 　　
17:12:47 adherent　　没有必要吧!!
22:05:11 史幽探　　用长句是翻译的错，而不是克莱因的错，呵呵。
17:44:36 zhengl06　　黄小宁，滚！
16:23:03 zxn0　　黄小宁，滚！
11:34:14 尸体发火　　“不过全书透漏着一种悲观气息，好像数学确定性的丧失将必然给数学带来灾难一样。”作者并不因为这个而悲观吧，作者不满的是现在的大多数数学家只热衷于空中楼阁，而忽视了实际应用。至于数学的基础，虽然无法证明其真理性，作者认为只要它是有效的就足够了 11:19:03 　　来自: shuaiye 数学：确定性的丧失的评论 && 　　克莱因写的最好的书，我觉得比《古今数学思想》还要好。 　　这几乎就是一部文学作品，跌宕起伏，峰回路转。还有很多 　　这个行业的小故事，我觉得这是一部史诗似的著作，描绘了 　　特别生动的数学世界。其中数学大家在历史上的一些错误会让 　　你有一些小小的膨胀，因为你是在克莱因这条船上的，似乎你们的 　　船正在成功的避开那些暗礁，而那些大家却浑然不觉。有时你不得不 　　偏爱那些本身就是那个行业的牛人写的书，他们特别善于去除那些 　　虚假的光环，而给你展示真正美的东西。我在看阿?热的《可怕的对称》 　　时也有这样的感觉。
15:21:55 跳格子　　找来看看
14:22:23 健柒　　看到后会买的,谢!
22:24:56 Everett　　我要声明一下，《可怕的对称》一书原名Fearful Symmetry，作者为徐一鸿，湖南科技出版社不曾征得作者的同意，以盗版的方式翻译并出版了这本书，而且居然编造了“阿?热”这样一个完全没有根据的作者名，严重损害了原作者的版权。 　　当然，这样的行为也影响到了我们读者的利益。书中的翻译很不规范，且有多处错误。如：Action被译作“作用”，学过力学的人都知道，“作用量”和“作用”不是一回事。
15:35:41 shuaiye　　:O ,好像是真的哦。谢谢提醒。
01:09:32 达不溜博士　　偶也很喜欢！}