关于利用洛必达法则求极限的几点探讨
洛必达法则是《高等数学》中求极限问题的重点也是一个难点问题,因此在教学过程中,应用洛比达法则求解极限问题时,有几点需要注意加强讲解和探讨,列举如下,以供参考。一、使用洛必达法则求极限的条件及适用范围1、洛必达法则定理:设在某一极限过程中⑴limf(x)=0,limg(x)=0,00limf(x)=∞,limg(x)=∞,∞∞⑵在该极限过程中,f'(x),g'(x)存在⑶lim gf''((xx))存在或为无穷大,则有lim gf((xx))=lim gf''((xx))2、使用洛必达法则求极限的适用范围极限中00,∞∞,0.∞,∞-∞,0°,∞°,1∞这七种未定式均可用洛必达法则求解。未定式的基本类型:00,∞∞型可直接利用洛必达法则定理求解;未定式的其它类型:0.∞,∞-∞,0°,∞°,1∞型⑴对于0.∞型,可将乘积化为除的形式,即化为00或∞∞型的未定式来计算。⑵对于∞-∞型,可利用通分化为00型的未定式来计算。⑶对于0°,...&
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1引言极限是贯穿高等数学中的一条重要主线,将高等数学中的各个知识点连接在一起。所以,掌握极限的解决方法是学好高等数学的前提条件。到目前为止,有很多研究者对极限的求取方法进行研究,归纳一下大致有十几种方法。其中在求取极限的所有方法中,最为重要的还是使用洛必达法则求极限。要想学好高等数学,就必须熟练掌握求极限的方法。洛必达法则作为众多方法的一种,对极限的求解有着重要作用。在高等数学中,洛必达法则求极限不仅是一个重点,同时还是一个难点。2洛必达法则的基本认识洛必达(L'Hospital)法则是由瑞士数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli)提出的,是指在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。其定义为:设函数f(x)以及F(x)满足下列条件:①limx→a(fx)=0或者无穷大,limx→aF(x)=0或者无穷大,②在点a的某去心领域内f’(x)以及F’(x)都存在,并且F’(x)不等于0,③limx→...&
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两个无穷小量或两个无穷大量之比在给定的极限过程中，随着这些无穷小量或无穷大量类型的不同，可以有完全不同的变化状态，这种类型的极限称为未定式，洛必达法则就是求这种未定式的一种有效方法。用洛必达法则求极限，其特点是通过求极限号下分式的分子、分母的导数(一次或多次)的方法达到消去未定因素的O目的。该法则是求解二U的或一未定式的使用最广泛的有效方法。下面介绍如何利用洛必达法则求此类极限的一些方法与技巧。一、综合一些重要极限或应用等价无穷小求之’洛必达法则就是求未定式的一种有效方法，但最好能与其它求极限的方法结合使用，可以综合一些重要极限或应用等价无穷sinx一_.__1 /J、水心，只目llm—=l，llmll+尤】人x冲U Xx冲U可以简化运算。例1、设厂(x)具有一阶连续导数，=。，lim竺上1=1等，这样x冲oX且了(o)二o，尸(0)二2，，._f(1一cosx)求llm—x冲。lanX-解原式: f(l一cosx、=1lln—...&
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在高等数学里,极限是大一新生一开始就要接触而且非常重要的内容。其中有一类未定式的极限不能用“商的极限等于极限的商”这一法则,而要用洛必达法则。洛必达法则内容很简单,使用起来也方便有效,但在具体使用过程中,一旦疏忽了以下几点,解题就可能出错。首先,只有分子、分母都趋于零或都趋于无穷大时,才能直接使用洛必达法则。其次,每次使用洛必达法则前都要检验是否满足次法则条件,只要满足此法则条件,就可连续使用此法则,直到求出结果或为无穷大。例如:limx→∞xnex=xl→im∞nxenx-1=xl→im∞n(n-e1x)xn-2=…=xl→im∞ne!x=0(n∈Z+)此题用了n次法则。再者,使用洛必达法则求极限是应及时化简,主要指代数、三角恒等变形,约去公因子,具有极限不为零的因子分离出来,等价无穷小代换,变量代换等。下面通过例子说明。例:limx→∞(1+x)e1#x-x$1x=t=limx→∞%(1+1t)et-1t&=lt→im0te...&
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思考1:在用洛必达法则求罟型或要型的未定式极限时非常方便,但为什么洛必达法则只能用于求未定式的极I;}{,各种版本的教材对于这个问题都是一带而过,未从理论上深入探讨。在教学过程中学生也容易产生一些困惑、本文就此进行一些研究,并引出三个重要定理,为了便于说明,仅以当x—a时,求罟型极限的洛必达法则为例,首先看定理l。 定理l:如果函数f(x)及F(x)满足下列条件: (1)limf(x)烹C1’limF(x)=C2’ … ㈣ (2)在点a的某个去心邻域内,f’(x)及F,(x)都存在,且F’(x)≠O‘ (3)j等导暑存在(或为无穷大); 那么磐黼=卿器, 证明:因为求黼当x—a时的极限与f(a)及F(a)无关,所以可以假定f(a)一c,,F(a)一c:。由条件(1)、(2)可知道,f(x)及F(x)在点a的某一邻域内是连续的,设x是这邻域内的一点,那么f(x)及F(x)在以x及a为端点的区间上,柯西中值定理的条件均满足,因此存在...&
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极限计算中,等价无穷小代换、洛必达法则是常用的两种方法。而这两种方法的使用是有条件的,使用时如果不注意条件的验证,就会使计算出现错误。下面结合具体实例,对如何正确地使用两个法则,做如下探析。1用无穷小代换求极限的探讨如果能恰当地使用等价无穷小代换,则可使某些极限的计算大大简化,但如果使用不当,也会出现错误。看下边的例题:例1 limx→0tanx-sinx3x错解:当x→0时,有tanx~x,sinx-x,故limx→0tanx-sinx3x=limx→0x-x3x=0分析:错误的原因在于对分子中的tanx与sinx分别使用了无穷小代换,并忽视了“0作为无穷小是比任何无穷小都高阶的无穷小”这个结论。正解:当x→0时,有tanx~x,1-cosx1~12x2,limx→0tanx-sinx3x=limx→0tanx(1-cosx)3x=limx→012x23x=12这说明,求“00”型的极限时,如果分子、分母是连乘、连除的形式时,...&
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用洛必达法则求极限。题目如图。
答案似乎应该是-1吧。
1/(1-x)-3/(1-x^3)
=（x^2+x+1-3)/(1-x^3)
=(x^2+x-2)/(1-x^3)
=(x+2)(x-1)/(1-x^3)
=-(x+2)/(x^2+x+1)
显然，当x→1时，-(x+2)/(x^2+x+1)的极限为-1.
注意用洛必达法则求极限时，要首先化为0/0或∞/∞型。
显然(x^2+x-2)/(1-x^3)是0/0型，对其分子和分母分别求一阶导数，得：
(x^2+x-2)'/(1-x^3)'=(2x+1)/(-3x^2)
再对(2x+1)/(-3x^2)求极限。显然，当x→1时其极限仍为-1.
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（1）在着手求极限以前,首先要检查是否满足0/0或∞/∞型构型.当不存在时（不包括∞情形）,就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则不适用,应从另外途径求极限.比如利用泰勒公式求解.（2）若条件符合,洛必达法则可连续多次使用,直到求出极限为止.（3）洛必达法则是求未定式极限的有效工具,但是如果仅用洛必达法则,往往计算会十分繁琐,因此一定要与其他方法相结合,比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等.（4）洛必达法则常用于求不定式极限.基本的不定式极限：0/0型；∞/∞型（x→∞或x→a）,而其他的如0*∞型,∞-∞型,以及1^∞型,∞^0型和0^0型等形式的极限则可以通过相应的变换转换成上述两种基本的不定式形式来求解.（5）满足其条件的是0比0型或者无穷大比无穷大型.如果是0乘以无穷大型的,你可以把其中一个变成分之1,就好了,但是前题是要可导且存在,并且分子或者分母一般不能是加减式子.
其实很简单，首先看极限是否是0/0或∞/∞型，如果满足，则对分子分母分别求导，若求导后的极限存在，则罗必达法则成立。也就是说“能不能用，用了再说，用完极限存在，则罗必达法则成立”。希望能对您有帮助}