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年硕士生入学考试《高等数学》线性代数部分试题汇编及答案
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你可能喜欢行列式例 1 ： 若 α1 , α 2 , α 3 , β1 , β 2 都 是 四 维 列 向 量 ， 且 四 阶 行 列 式α1α 2α 3 β1 = m, ，α1α 2 β 2α 3 = n ，四阶行列式 α 3α 2α1 β1 + β 2 等于多少？例 2：设 A 是 n 阶方阵，且 A = 0 ，则 A 中(
) ： ( A) (B) (C ) (D) 必有一列元素全为零； 必有两列元素成比例； 必有一列向量是其余列向量的线性组合； 任一列向量是其余列向量的线性组合.例 3：设 A = ( aij ) 3×3 ， Aij 为 a ij 的代数余子式，且 Aij = a ij ，并且 a11 ≠ 0 ，求 A . ： 例 4：设四阶方阵 A = ( a ij ) 4×4 ， f ( x) = ：3 λ4 的系数； （2） λ 的系数； （3）常数项.T 例 5：设 A 为 n 阶方阵， E 是 n 阶单位矩阵， AA = E ， A & 0 ，计算 A + E . ：λE ? A ，其中 E 是 n 阶单位矩阵，求： （1）例 6：设 A ， B 为 n 阶正交矩阵，若 A + B = 0 ，证明 A + B 是降秩矩阵. ：1矩 阵?1 0 0? ? ? n n?2 + A2 ? E . 例 1：设 A = 1 0 1 ，证明当 n ≥ 3 时，恒有 A = A ： ? ? ?0 1 0 ? ? ?T n 例 2：设 α = (1,2,3,4), β = (1, , , ) ， A = α β ，计算 A . ：1 1 1 2 3 4?1 ?3 ? ?1 例 3：设三阶方阵 A ， B 满足关系 A BA = 6 A + BA ，且 A = ? 0 ： ? ?0 ? ? 1 ?1 * 例 4：设 A 是三阶方阵， A = ，求 (3 A) ? 2 A ： 2例 5：证明：若实对称矩阵 A 满足条件 A = O ，则 A = O ：20 1 4 0? 0? ? 0 ? ，求 B ? 1? 7? ?例 6：设 A = E ? ξξ ' ，其中 E 是 n 阶单位矩阵， ξ 是 n 维非零列向量，证明： ： （1） A 2 = A 的充要条件是 ξ ' ξ = 1 ； （2）当 ξ ' ξ = 1 时， A 是不可逆矩阵.3 ?1 例 7：已知 n 阶方阵 A 满足 2 A( A ? E ) = A ，求 ( E ? A) ：?1 0 ?0 1 例 8：设 A* = ? ： ?1 0 ? ?0 ? 30 0? 0 0? ? ，且 ABA?1 = BA ?1 + 3E ，求 B . 1 0? ? 0 8??1 0 0? ? ? 2 100 例 9：设 f ( x ) = 1 + x + x + L + x ， A = 0 0 0 ，求 f ( A), f ( f ( A)) . ： ? ? ?0 1 0 ? ? ?例 10：设 A, B 是 n 阶方阵，且满足 AB = A + B ，证明： AB = BA ： 例 11：设 A 是 n 阶方阵，是否存在 B ≠ E ，使得 AB = A ，若存在 B ，指出求 B 的办 ： 法，若不存在，说明理由.2? a11 ?a 21 例 12：设 A = ? ： ? a31 ? ?a 41a12 a 22 a 32 a 42a13 a 23 a33 a 43a14 ? ? a14 ? ?a a 24 ? 24 ，B = ? ? a34 a 34 ? ? ? a 44 ? ?a 44a13 a 23 a 33 a 43a12 a 22 a 32 a 42a11 ? a 21 ? ? a 31 ? ? a 41 ??0 ?0 P1 = ? ?0 ? ?10 0 1? ?1 ? ?0 1 0 0? ， P2 = ? ?0 0 1 0? ? ? 0 0 0? ?00 0 0? 0 1 0? ? 1 0 0? ? 0 0 1?其中 A 可逆，则 B ?1 = （ ） ( A ) A ?1 P P2 ；( B ) P A ?1 P2 ；( C ) P P2 A ?1 ；( D ) P2 A ?1 P . 1 1 1 1 例 13：设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第一列与第二列交换得 B ，再把 B 的第二列加到第三 ： 列得 C ，则满足 AQ = C 的可逆矩阵为?0 1 0? ? ? （ A ）? 1 0 0 ? ?1 0 1? ? ??0 1 0? ? ? （ B ）? 1 0 1 ? ?0 0 1? ? ??0 1 0? ? ? （ C ）? 1 0 0 ? ?0 1 1? ? ?2 2?0 1 1? ? ? （ D ）? 1 0 0 ? ?0 0 1? ? ?例 14：设 A, B 是 n 阶方阵，已知 B 可逆，且满足 A + AB + B = 0 ，证明 A 和 A + B ： 都是可逆矩阵，并求它们的逆. （ 例 15 ： 设 A, C 分 别 是 m 阶 和 n 阶 非 奇 异 方 阵 ， B 是 m × n 矩 阵 ， 证 明 ： 1 ）? A ?1 ? A B? ?1 ? 为可逆矩阵； M =? （2） M = ? ? 0 C? ? 0 ? ? ?0 0L 0 1例 16：求 n 阶行列式 ：? A ?1 BC ?1 ? ? ? C ?1 ?1 0L 0 0 0 1L 0 0M M M M中所有元素的代数余子式的和.0 0L 1 0例 17：设 A 是 n 阶方阵，且存在正整数 m ，使 A = 0 ，又 B 是 n 阶可逆矩阵，证明 ：m矩阵方程 AX = XB 只有零解. 例 18： ）设 A, B 是 n 阶方阵，且 AB = 0 ，证明： R( A) + R( B) ≤ n ： （1） （ （2）设 A 是 n 阶方阵，且 A 2 ? A = 2 E ，证明： R(2 E ? A) + R( E + A) = n3? 1 2 3? ? ? 例 19：已知 Q = 2 4 t ， P 为三阶非零矩阵，且 PQ = 0 ，则（ ） ： ? ? ?3 6 9? ? ?( A ) t = 6 时， P 的秩必为 1；( B ) t = 6 时， P 的秩必为 2； ( C ) t ≠ 6 时， P 的秩必为 1；( D ) t ≠ 6 时， P 的秩必为 2. 例 20：设 A 是 n × m 矩阵， B 是 m × n 矩阵，其中 n & m ，若 AB = E ，证明 B 的列 ： 向量线性无关. 例 21：求 n(n ≥ 2) 阶方阵 A 的秩，其中 ：?a b L b ? ?b a L b ? ? A=? ?M M M? ? ? ?b b L a ?例 22：求设 A, B, C , D 是和 n 阶方阵， G = ? ： ?C ? 行列式 A ≠ 0 ，求证： n ≤ R(G ) & 2n . 例 23：设 A 是 m × n 矩阵， B 是 n × s 矩阵，并且 R ( A) = n ，证明： ：?AB? ? ，且 AC = CA, AD = CB ，又 D? ?R ( AB) = R( B )例 24 ： 设 n 维 列 向 量 组 α 1 , α 2 , L，α s 线 性 无 关 ， 向 量 组 β 1 , β 2 , L，β t 可 用α 1 , α 2 , L，α s 线性表示，表示矩阵为 C ，证明：（1） R ( β 1 , β 2 , L，β t ) = R (C ) （2）当 t = s 时，有β1 , β 2 , L，β s 线性无关 ? C 是可逆矩阵.T T T T 例 25： α , β 为三维列向量,矩阵 A = αα + ββ , 其中 α , β 分别是 α , β 的转置. ：设证明: (1) 秩 r ( A) ≤ 2 (2) 若 α , β 线性相关,则秩 r ( A) & 2 （2008 年数学一） 例 26：设 A, B 均为 2 阶方阵， A*,B * 分别为 A, B 的伴随矩阵,若 ：A = 2, B = 3 ,则分4块矩阵 ? ?? O A? ? 的伴随矩阵为 ? ? B O?.? O 3B* ? ? ( A )? * ? 2A O ? ? ? ? O 3A* ? ?. (C )? * ? 2B O ? ? ?? O 2B* ? ?. ( B )? * ? 3A O ? ? ? ? O 2 A* ? ?. ( D )? * ? 3B O ? ? ?(答案: B) （2009 年数学一、二、三）5向 量例 1： 设向量组 α 1 , α 2 , α 3 线性无关，证明向量组 β1 = α 1 + α 2 ， β 2 = α 2 + α 3 ， ：β 3 = α 3 + α 1 也线性无关.例 2：设向量组 α 1 , α 2 , L，α m 线性无关，讨论向量组 β1 = α 1 + α 2 ， β 2 = α 2 + α 3 ， ：L，β m = α m + α 1 的线性相关性.例 3：设向量组 α 1 , α 2 , L，α m 线性无关，向量组 α 1 , α 2 , L，α m，β 线性相关，则向 ： 量 β 可由向量组 α 1 , α 2 , L，α m 线性表示. 例 4： 设向量 α = (a1 , a 2 , L , a n )' ， A 为 n 阶矩阵，如 A ：m ?1α ≠ 0 ， A mα = 0 ，则α , Aα , A 2α , L , A m ?1α 线性无关.例 5：设 A 为 n 阶矩阵，证明 R ( A n ) = R ( A n +1 ) ：L 例 6：设向量组 α 1 , α 2 , L，α m ?1 ( m ≥ 3) 线性相关，向量组 α 2 , α 3， ，α m 线性无关， ：问（1）α 1 能否由 α 2 , α 3， ，α m ?1 线性表示？ L （2）α m 能否由 α 1 , α 2， ，α m ?1 线性表示？ L 例 7：设向量组 α 1 , α 2 , L，α l 线性无关，向量 β1 可由它线性表示，向量 β 2 不能由它 ： 线性表示，证明 l + 1 个向量 α 1 , α 2 , L，α l , kβ 1 + β 2 线性无关. 例 8：设向量组 A = {α 1 , α 2 , L，α m } 与向量组 B = {β 1 , β 2 , L，β l } 的秩相同，且向 ： 量组 A 可由向量组 B 线性表示，证明 A 与 B 等价. 例 9 ： 设 A 为 n 阶 矩 阵 ， α 1 , α 2 , L，α s 是 一 组 n 维 向 量 ， 满 足 Aα 1 = α 1 ，Aα i = α i ?1 + α i , i = 2,3, L , s ，并且 α 1 ≠ 0 ，证明向量组 α 1 , α 2 , L，α s 线性无关.例 10：设 α 1 , α 2 , α 3 是线性无关的 5 维向量组， β1 , β 2 , β 3 也是 5 维向量组，满足 ：(α i , β j ) = 0, i, j = 1,2,3 。证明 β1 , β 2 , β 3 线性相关.如果 α 1 , α 2 , L , α s 与 β1 , β 2 , L , β t 是两个线性无关的 n 维向量组， 并且每个 α i 与 例 11： ：β j 都正交，证明向量组 α 1 , α 2 ,L , α s , β 1 , β 2 ,L , β t 线性无关.6例 12：设有向量组 α 1 = (1,?1,2,4), α 2 = (0,3,1,2), α 3 = (3,0,7,14), α 4 = (1,?2,2,0) ， ：α 5 = (2,1,5,10) ，求该向量组的秩及极大线性无关组，并用极大无关组来表示组中诸向量. 设 例 15： α 1 = (1,2,0) , α 2 = (1, a + 2,?3a ) , α 3 = ( ?1,?b ? 2, a + 2b) , β = (1,3,?3) ：T T T T讨论当 a, b 为何值时， （I） β 不能由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示； （II） β 可由 α 1 , α 2 , α 3 惟一地线性表示，并求出表示式； （III） β 可由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式. （2004 年数学三）7线性方程组例 1：已知三阶矩阵 B ≠ O ，且 B 的每一个列向量都是以下方程组的解 ：? x1 + 2 x 2 ? 2 x3 = 0 ? ?2 x1 ? x 2 + λx3 = 0 ? 3x + x ? x = 0 2 3 ? 1（1）求 λ 的值； （2）证明 B = 0 例 2：设向量组 α 1 , α 2 , L，α t 是齐次方程组 AX = O 的一个基础解系，向量 β 不是方 ： 程组 AX = O 的解，即 Aβ ≠ O 。试证明向量组 β ， β + α 1 ， β + α 2 ， L，β + α t 线性 无关. 例 3：设 n 阶矩阵 A 的行列式 A = 0 ，且有一个代数余子式 Aij ≠ 0 ，证明：线性方程 ： 组 AX = O 的所有解为 k ( Ai1 , Ai 2 , L , Ain )' ， k 为任意常数. 例 4：设 α 1 , α 2 , L，α s 是齐次方程组 AX = O 的一个基础解系， β1 = t1α 1 + t 2α 2 ， ：β 2 = t1α 2 + t 2α 3 ，L， s = t1α s + t 2α 1 ， β 其中 t1 ,t 2 为实常数。 试问 t1 ,t 2 满足什么关系时， β1 , β 2 ,L , β s 也是方程组 AX = O 的一个基础解系.例 5：设 m & n ，且 ：? a11 ?a A = ? 21 ? M ? ?a m1a12 a 22 M am2L a1n ? ? bi1 ? ? ?b ? L a2n ? i2 ， β i = ? ? ， i = 1,2, L, n ? m ? ?M ? M M ? ? ? L a mn ? ?bin ?又已知齐次方程组 AX = O 的基础解系就是 β1 , β 2 , L , β n? m ，求齐次线性方程组b11 y1 + b12 y 2 + L + b1n y n = 0 ? ? b y + b y +L+ b y = 0 ? 21 1 22 2 2n n ? M M M M ? ?bn? m ,1 y1 + bn ? m , 2 y 2 + L + bn? m ,n y n = 0 ?的基础解系，并说明理由. 例 6：设 α i = ( ai1 , ai 2 , L , a in ), i = 1,2, L , m, β = (b1 , b2 , L , bn ) ：8? a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = 0 ? a x + a x +L+ a x = 0 ? 21 1 22 2 2n n 证明：如果 ? M M M M ? ?a m1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = 0 ?的解全是方程b1 x1 + b2 x 2 + L + bn x n = 0的解，则向量 β 可由向量组 α 1 , α 2 , L，α m 线性表出. 已知四元两个方程的线性方程组的基础解系为 ξ1 = [1,2,3,4]T , ξ 2 = [ ?1,1,2,?3]T ， 例 7： ： 求原方程组. 例 8：已知线性方程组 ：? x1 + x 2 ? 2 x3 + 3 x 4 = 0 ? 2 x + x ? 6 x + 4 x = ?1 ? 1 2 3 4 ? ?3 x1 + 2 x 2 + px3 + 7 x 4 = ?1 ? x1 ? x 2 ? 6 x3 ? x 4 = t ? 讨论参数 p, t 取何值时，方程组有解、无解；当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解. 例 9 ： 已 知 α 1 = (1,0,2,3), α 2 = (1,1,3,5), α 3 = (1,?1, a + 2,1), α 4 = (1,2,4, a + 8) 及β = (1,1, b + 3,5)（1） a, b 取何值时， β 不能表示成 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 的线性组合？ （2） a, b 取何值时， β 有 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 的惟一的线性表示式？并写出该表示式. 例 10：已知下列非齐次线性方程组 ：? x1 + x 2 ? 2 x 4 = ?6 ? （Ⅰ） ?4 x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 = 1 ? 3x ? x ? x = 3 1 2 3 ?? x1 + mx 2 ? x3 ? x 4 = ?5 ? （Ⅱ） ? nx 2 ? x3 ? 2 x 4 = 1 ? x3 ? 2 x 4 = 1 ? t ?（1） 求解方程组（Ⅰ） ；用其导出组的基础解系表示通解. （2） 当方程组（Ⅱ）中的参数 m, n, t 为何值时，方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）同解. 例 11： 已知四阶矩阵 A = (α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) ， α 1 , α 2 , α 3 , α 4 均为 4 维列向量，其中 ：α 2 , α 3 , α 4 线性无关， 1 = 2α 2 ? α 3 ， β = α 1 + α 2 + α 3 + α 4 ， α 如果 求线性方程组 AX = β的通解. 若 则对于任何 n 维列向量 β ， 例 12： n 线性方程组 AX = b 对任何 n 维列向量 b 均有解， ： 方程组 A * X =β 必有唯一解，其中 A * 是 A 的伴随矩阵.9设有向量组 （Ⅰ） 1 = (1,0,2) , α 2 = (1,1,3) , α 3 = (1,?1, a + 2) 和向量组 α （Ⅱ） 例 13： ：T T Tβ 1 = (1,2, a + 3) T , β 2 = (2,1, a + 6) T , β 3 = (2,1, a + 4) T 。 试问： a 取何值时， 当 向量组 （Ⅰ）与（Ⅱ）等价？当 a 取何值时，向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）不等价？?1 2 3? ? ? 已知三阶矩阵 A 的第一行是 (a, b, c) ， , b, c 不全为零， a 矩阵 B = ? 2 4 6 ?（ k 例 14： ： ?3 6 k ? ? ?为常数） ，且 AB = O ，求线性方程组 AX = 0 的通解.（2005 年数学一） 例 15：确定常数 a ，使向量组 α 1 = (1,1, a) ， α 2 = (1, a,1) ， α 3 = ( a,1,1) 可由向量 ：T TTT T 组 β1 = (1,1, a) ， β 2 = ( ?2, a,4) ， β 3 = ( ?2, a, a ) 线性表示，但向量组 β1 ， β 2 ， β 3 不T能由向量组 α 1 ， α 2 ， α 3 线性表示.（2005 年数学二） 例 16：已知齐次线性方程组 ：? x1 + 2 x 2 + 3 x3 = 0 ? (Ι) ?2 x1 + 3 x 2 + 5 x3 = 0 ? x + x + ax = 0 2 3 ? 1和 （Ⅱ） ?x1 + bx 2 + cx3 = 0 2 ?2 x1 + b x 2 + (c + 1) x3 = 0 ?（2005 年数学三）同解，求 a, b, c 的值.? 1 ?1 ?1? ? ?1? ? ? ? ? 1 ? , ξ1 = ? 1 ? 例 17：设 A = ? ? 1 1 ： ? 0 ? 4 ? 2? ? ? 2? ? ? ? ?(Ι) 求满足 Aξ 2 = ξ1 , A 2ξ 3 = ξ1 的所有向量 ξ 2 , ξ 3 ;（Ⅱ）对 (Ι) 中的任意向量 ξ 2 , ξ 3 ,证明 ξ1 , ξ 2 , ξ 3 线性无关. （2009 年数学一、二、三） 例 18 ： 设 有 向 量 组 α 1 = (1,0,1) , α 2 = (0,1,1) , α 3 = (0,3,5)T T T不能由向量组β 1 = (1,1,1) T , β 2 = (1,2,3) T , β 3 = (3,4, a) T 线性表示.（Ⅰ）求 a 的值； （Ⅱ）将 β1 ， β 2 ， β 3 用 α 1 ， α 2 ， α 3 线性表示. （2011 年数学一、二、三）10例 19：设 A = (α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ) 四阶矩阵， A * 是 A 的伴随矩阵. 若 (1,0,1,0) 是方程 ：T组 AX = O 的基础解系, 则 A * X = O 的基础解系可为 ( A ) α1 ,α 3 ( C ) α1 ,α 2 ,α 3 (答案: ( D )) (B)α1 , α 2( D ) α 2 ,α 3 ,α 4（2011 年数学一、二）11矩阵的特征值与特征向量例 1：假定 n 阶矩阵 A 的任意一行的 n 个元素之和都是 a ，试证 λ = a 是 A 的特征值， ： 且 (1,1, L,1)' 是 A 的属于 λ = a 的特征向量。当 a ≠ 0 时，又问此时 A 的行和为多少？?1?1 c ? ? a ? 5 b 3 ? ，又 A = ?1 ，又 A * 有一个特征值 λ0 ，属于 λ0 的 例 2：设矩阵 A = ： ? ? ?1 ? c 0 ? a ? ? ?一个特征向量为 α = ( ?1,?1,1) T ，求 a, b, c, λ0 的值. 例 3：设向量 α = ( a1 , a 2 , L , a n ) ， β = (b1 , b2 , L , bn ) 都是非零向量，且满足条件 ：T Tα T β = 0 ， A = αβ T ，求（1） A 2 ； （2）矩阵 A 的特征值与特征向量； （3）问 A 相似与对角矩阵吗？ 例 4：设矩阵 A 与矩阵 B 相似，其中 ：?? 2 0 0 ? ?? 1 0 0 ? ? 2 x 2? ， B = ? 0 2 0 ? A=? ? ? ? ? 3 1 1? ? 0 0 y? ? ? ? ?（1） 求 x和y 的值； （2） 求可逆矩阵 P ，使得 P ?1 AP = B?0 0 1 ? ? ? 例 5：设 A = x 1 y 有 3 个线性无关的特征向量，求 x和y 应满足的条件. ： ? ? ?1 0 0 ? ? ? ?1? ? 2 ?1 2 ? ? ? ? a 3 ? 的一个特征向量， 例 6：已知 ξ = 1 是 A = 5 ： ? ? ? ? ?? 1? ?? 1 b ? 2? ? ? ? ?（1） 试确定参数 a, b 及特征向量 ξ 所对应的特征值； （2）A 相似与对角矩阵吗？说明理由.已知 λ1 = 6, λ 2 = λ3 = 3 是实对称矩阵 A 的三个特征值， 且对应于 λ 2 = λ3 = 3 的 例 7： ： 特征向量为 α 2 = ( ?1,0,1) T , α 3 = (1,?2,1) , 求 A 对应于 λ1 = 6 的特征向量及矩阵 A .T例 8：若任一 n 维非零列向量都是 n 阶矩阵 A 的特征向量，证明 A 是一个数量矩阵. ：12例 9：如果 n 阶矩阵 A 满足 ：( A ? aE )( A ? bE ) = 0其中 a ≠ b ，证明 A 可以对角化. 例 10： 设三阶实对称矩阵 A 的秩为 2，已知 λ1 = λ2 = 6 是 A 的二重特征值，若 ：α 1 = (1,1,0) T , α 2 = (?1,2,?3) T 都是 A 的属于特征值 6 的特征向量.（1）求 A 的另一个特征值和对应的特征向量； （2）求矩阵 A . 例 11：设矩阵 ：? 3 2 2? ?0 1 0 ? ?2 3 2? ， P = ?1 0 1? ， B = P ?1 A* P ，求 B + 2 E 的特征值与特征向量， A=? ? ? ? ? 2 2 3? ?0 0 1 ? ? ? ? ?其中 A * 为 A 的伴随矩阵. 例 12 ： 设 λ1 , λ2 是 矩 阵 A 的 两 个 不 同 的 特 征 值 ， 对 应 的特 征 向 量 为 α 1 , α 2 ， 则α 1 , A(α 1 + α 2 ) 线性无关的充分必要条件是（ A）λ1 ≠ 0（B）λ2 ≠ 0 （ A ） λ1 = 0（ A）λ2 = 0（2005 年数学三）? 1 2 ? 3? ? ? 例 13：设矩阵 A = ? ? 1 4 ? 3 ? 的特征方程有一个二重根，求 a 的值，并讨论 A 是 ： ?1 a 5 ? ? ?否可以相似对角化. （2004 年数学一） 例 14： 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 λ1 = 1, λ2 = 2，λ3 = ?2 ， α1 = (1,?1,1)T 是 A 的 ： 设 且 属于 λ1 的一个特征向量.记 B = A5 ? 4 A3 + E ,其中 E 为三阶单位矩阵. （Ⅰ）验证 α1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量. （Ⅱ）求矩阵 B . （2007 年数学一、二、三、四）例 15：设 A 为 3 阶矩阵, ：α1 , α 2 为 A 的分别属于特征值 ? 1,1 特征向量,向量 α 3 满足Aα 3 = α 2 + α 3 .（Ⅰ）证明 α 1 , α 2 , α 3 线性无关. （Ⅱ）令 P = (α 1 , α 2 , α 3 ) ,求 P ?1 AP . （2008 年数学二、三）例 16：设 A 为 3 阶实对称矩阵， A 的秩为 2，且 ：13? 1 1? ? ?1 1? ? ? ? ? A? 0 0 ? = ? 0 0 ? ? ?1 1? ? 1 1? ? ? ? ?（I）求 A 的所有特征值与特征向量； （II）求矩阵 A （2011 年数学一、二、三）二次型例 1：设二次型 ：f = x1 + x2 + x3 + 2αx1 x2 + 2βx2 x3 + 2 x1 x32 2 2经正交变换 X = PY 化成2 2 f = y2 + 2 y3其中 X , Y 为三维列向量， P 是正交矩阵.试求常数 α , β . 例 2：设 A 为 m × n 实矩阵， B = λE + A A ，试证当 λ & 0 时，矩阵 B 为正定矩阵. ：T例 3：设 A 为 m × n 实矩阵， R ( A) = n ，试证明 ： （1） 矩阵 AT A 非奇异； （2） 矩阵 AT A 为对称正定矩阵. 例 4：设实对称矩阵 A 为正定矩阵，证明存在可逆矩阵 U ，使 A = U U . ：T例 5：如果 A 为 n 阶正定矩阵， B 为 n 阶实对称矩阵，证明： ： （1） 存在可逆矩阵 P ，使得 P T AP 和 P T BP 都是对角矩阵； （2） 当 ε 充分小时， A + εB 仍是正定矩阵. 例 6：已知二次型 f ( x1 , x 2 , x3 ) = (1 ? a ) x1 + (1 ? a ) x 2 + 2 x3 + 2(1 + a ) x1 x 2 的秩为 2。 ：2 2 2（I）求 a 的值； （II）求正交变换 X = PY ，把 f ( x1 , x 2 , x3 ) 化成标准形； （III）求方程 f ( x1 , x 2 , x 3 ) = 0 的解. （2005 年数学一）14例 7：设 D = ? T ： ?C ?? AC? ? 为正定矩阵，其中 A, B 分别为 m 阶， n 阶对称句矩阵， C 为 B? ?? A ?1C ? ? En ? ?T ?1m × n 矩阵.? Em （I）计算 P DP ，其中 P = ? ?O ?T（II）利用（I）的结果判断矩阵 B ? C A C 是否为正定矩阵，并证明你的结论. 例 8：设二次型 ：f ( x1 , x 2 , x3 ) = ax1 + ax 2 + (a ? 1) x3 + 2 x1 x3 ? 2 x 2 x32 2 2（I）求二次型 f 的矩阵的所有特征值;2 （II）二次型 f 的规范形为 y12 + y 2 ,求 a 的值.15
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研究生入学考试线性代数试题详解
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