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收藏 查看&建构系定理本词条缺少概述、信息栏、名片图，补充相关内容使词条更完整，还能快速升级，赶紧来吧！ 建构系定理 “人是通过析解事物的反复现象来预期事件的”（凯利1955，第50页）
一个人一生中发生的事件具有某种规律。例如，一个友好的人倾向于维持友好的态度；日以继夜；冬天天气寒冷；在某种环境中的某些物体倾向于维持原状，如电冰箱也许明天还放在厨房里。尽管没有两件事情竟然会完全相同（“人不能两次踏进同一条河流”），然而，却存在着一些贯穿于各种事件之中并使它们连接起来的主题。正是依据这些主题，我们才能形成各种建构，并对未来做出预测。换句话说，如果在我们生活中没有发生某些有规律的事件，那么要形成体现它们的建构是不可能的。
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＞＞＞生活中经常用高压锅来炖煮一些不易熟的食物，其原理是利用了____..
生活中经常用高压锅来炖煮一些不易熟的食物，其原理是利用了______．
题型：填空题难度：中档来源：房山区一模
高压锅密闭较好，内部压强大，水的沸点高，这样高压锅内的温度就会更高一些，就会更快煮熟食物．所以高压锅是利用液体的沸点随气压的增大而升高的原理来提高锅内温度的．故答案为：液体的沸点随气压的增大而升高．
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据魔方格专家权威分析，试题“生活中经常用高压锅来炖煮一些不易熟的食物，其原理是利用了____..”主要考查你对&&沸点与大气压的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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沸点与大气压的关系
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与“生活中经常用高压锅来炖煮一些不易熟的食物，其原理是利用了____..”考查相似的试题有：
1861416154647934217523243177281555godel定理 _百度百科
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godel定理属于数学领域，是指大家公认而不用证明的公里性质的定理。理&&&&论theory一&&&&致consistent
理论，theory
陈述，statement
在理论中可证明，provable in the theory
一致，consistent
可构造，can be constructed
Godel命题，Godel sentence
基本算术，elementary arithmetic
理论，是指由一些陈述构成的集合，其中可能有无穷多个陈述。理论中的某些被设置为公理而无需证明。某些陈述可由这些公理导出，这样的陈述称之为一个定理。定理等价于真(true)的陈述。一个公理体系的全部出发点实际上不仅仅包含公理，还包含其基本的记号以及定义。由此可知Godel定理中的证明一词的含义和我们通常理解的并不相同。
可以证明，确切地说，在某个给定的理论体系中是可以证明的，其含义是指，可以由该理论体系的基本记号、定义以及公理，使用标准一阶逻辑导出。一个理论被称为一致，是指在这个理论中，不能证明互相矛盾的陈述。
可以构造的陈述，是指，存在一些机械的过程，可以由给定的公理、原始记号、定义以及一阶逻辑，构造出该陈述。
真的但是不可证明的陈述被称为“Godel命题”。事实上，存在无穷多个这样的“Gedel命题”。基本算术体系，是指在自然数集合上，赋予加法和乘法两种运算的理论体系。
通常对于Godel不完备定理的讨论，严谨的说法是其定理否定了Hilbert计划。不严谨的说法比比皆是，比如认为Godel不完备定理证明了机器能力的局限等等。
Hilbert计划起源于以证明了不动点定理而闻名的荷兰数学家Brouwer提出的一个数学哲学观点，称之为直觉主义。Brouwer认为存在性的证明是不完美的，或者说是值得怀疑的。比如其本人所证明的不动点定理，单位球到自身的连续映射必定有一个不动点。定理断言存在一个不动点，然而无论是该定理还是定理的证明都没有告诉我们这个不动点到底是空间中的哪个点。换言之，这个证明不是一个构造性的证明。我们再举个例子来看构造和非构造证明。 Weierstrass构造了一个连续然而处处不可导的函数，这是一个构造性的证明，我们可以明确的看到这个函数。Banach则证明了，几乎所有连续函数函数都是处处不可微的。这个证明就是非构造性的。虽然这种函数很多，但由Banach的证明，我们一个这样的函数都没有看到。在Brouwer看来， Banach定理是无意义的。Brouwer后来更是走向极端，宣称放弃他赖以成名的不动点定理，因为它不是构造性的。再如，微分方程解的存在性， Brouwer认为必需把解构造出来才是有意义的。通常证明存在性的方法是，假定不存在，然后导致矛盾。然后由这个矛盾得到存在性。这当然是无懈可击的证明。但是对于Brouwer来说，既然他已经反对了这种非构造新证明，他就必须反对这种证明方式。因为这样的证明必然导致非构造性的存在性。从逻辑上看，通过矛盾来反证的基础是排中律。排中律的含义是一个陈述P, 则P或者NotP(P的否定)必有而且只有一个成立。放弃排中律给证明带来了很大的困难。放弃排中律得到的形式逻辑体系是不完备的。放弃排中律导致一个命题否定两次不一定回到原命题，即NotNotP不一定和原命题P等价。这是很糟糕的。为此，Brouwer在他的直觉逻辑体系中又增加了否定之否定即原命题这一条。这一行为被讽刺为“Brouwer荒谬之荒谬”。
Brouwer进一步认为，全部数学理论应该建立在其直觉逻辑的基础之上。Brouwer由此否认几乎全部的数学，事实上只有少数理论可以由 Brouwer的直觉逻辑体系得到。虽然Brouwer的观点看起来不那么惹人喜欢。但这不代表其没有影响力。Brouwer的观点激怒了很多的数学家，包括Hilbert. 作为回击，Hilbert提出一个计划，希望由有限、组合的方式，先证明最简单的算术是一个内部一致的理论，然后以此为基础证明数学分析的一致性，尔后进一步证明整个数学的一致性。Hilbert计划中的证明就是纯粹构造式的。由前面的分析可知，这个计划中的数学证明没有排中律参与。
用现在的语言来叙述，Hilbert计划实际上是要寻求一些算法，这些算法可以构造出真的算术命题。Penrose举过一个例子。1966年美国数学家罗伯特.伯格尔(Robert Berger)证明了平面上能够按某些给定的基本图形拼图(tiling)的多米诺问题(Domino Problem)，却不可能由预先设计好的计算程序给出来。也就是说，只能一步一步用人的脑筋去拼合，这实际上就是直接证明了存在一个不可计算的数学方法。但是也可以用机器的电脑一步一步拼接出来，没有任何理由可以说明机器一定不能拼出来。
另一个非构造性的例子，复变函数理论中对于代数基本定理的证明。我们知道可以由Cauchy不等式来证明，也可以由简单的代数拓扑来证明，其完全不同的证明方式不下5个。但这些证明都不告诉我们多项式的解到底是什么。而Galois证明的代数方程一般无根号解实际上就是在某种程度上否认了可构造解的存在性。
我个人认为可构造性是理解Godel不完备定理中的关键。对于直觉主义，一个更好的称呼是：有限可构造主义。
Kronecker是最早的直觉主义者，他只接受整数，认为自然数是上帝创造的，整数是直觉上清楚的因而是可以接受的。Kronecker认为其他都是人造的，可疑的，因而是不可接受的。基于其哲学观点，Kronecker以其全部力气反对Cantor的集合论。Kronecker甚至认为应该从数学中将无理数砍掉，因为无理数不能够通过有限多个步骤构造出来。
Poincare对直觉主义有不少的嘲讽。不述。
H.Weyl也是持有直觉主义观点的数学家。
Brouwer给出了直觉主义的最系统的阐述。简而言之，直觉主义的观点就是通过有限多个步骤可以构造，才是有意义的。直觉主义认为数学定理的正确性和有效性存在于人类的智力中。
无限，确切的说，完成了的无限，实的无限，是直觉主义不允许的。比如，下述的两个陈述：
1，素数只有有限多个；
2，素数有无限多个。
在一个正常人看来，这两个陈述必有而且只有一个成立。但是在Brouwer看来不然，他认为这两个陈述都是没有意义的。
再如，直觉主义认为，无限多个自然数中必有一个取到最小值这样的命题也是没有意义的。
我们可以如此总结直觉主义，摒弃排中律，否定实无限，坚持可构造性。
当然，直觉主义并不完全否定无限。但直觉主义认可的无限是指潜在的没有完成的无限。比如数学归纳法中的无限，由n到(n+1), 在直觉主义看来，这不代表无限，仅仅是一个符号而已。
Hilbert计划其实就是要完成直觉主义。理论的一致性也就是无矛盾，确切的说该理论中不能导出互相矛盾的两个命题。如何证明一个理论体系是无矛盾的呢？举几个例子。
非欧几何的无矛盾性是通过归结到欧氏几何来完成的。亦即通过Poincare模型或者Klein模型，在欧氏几何中重新解释其中的某些术语，这些术语可以与非欧几何的术语一一对应。因而只要欧氏几何无矛盾，则非欧几何也是一致的。这是相对一致性。因为欧氏几何的一致性还需要证明。
欧氏几何的一致性可以由解析几何实现为三维欧氏空间上的代数体系的无矛盾性。进而可以归结为实数系统的一致性。再进一步，由实数理论，又可以归结为自然数体系的一致性。这些都是相对一致性。
所以剩下的就是证明自然数体系的一致性。
上述的归结过程必然需要在某个地方终止，也就是说不可能一直使用相对一致性。终止过程对应的理论的无矛盾性不再可以通过其他的理论来证明，只能在其自身范围内完成。所以，问题是如何在自然数体系内完成其一致性的证明。
Hilbert在1922年提出他的计划，并认为很快就可以得到这个一致性的证明。Hilbert的计划是，由形式化来完成这个任务。
附，Poincare的直觉主义和Weyl,Brouwer,Kronecker的直觉主义完全不是一回事。所以上一个帖子中特别提出，后面几个人的直觉主义可以叫做有限可构造主义。Poincare也讽刺罗素等人的逻辑主义，认为这些人是要把数学归结为同义反复。
一个形式体系的构成要素为：初始符号、形成规则、初始公式/公理、变形规则。
我们来看一个简单的形式体系。下述的形式体系记作SFT. (simple formal theory).
初始符号只有一个：X
所谓形成规则是指由初始符号如何构成有意义的字符串。对SFT而言，不需要形成规则，或者说所有的字符串都是有意义的。
变形规则，一共两条：
D1, 可由X变形为XX.
D2, 可由XX变形为Xx.
由公理X出发，通过变形得到的就是这个形式体系中的定理。例如，由公理A与变形规则D1可证明定理XX. 再用一次D1可证明定理XXX. 注意到变形规则D2并不产生新的定理。
容易看出这个简单体系的全部定理为，
X, XX, XXX, XXXX, …
显然可以简单的给上述定理一个编号。比如，X=0, XX=1, XXX=2, …于是我们看到这个形式体系可以实现为自然数体系。而变形规则D1表示计算自然数n的后继n’=n+1.
有很多人认为，形式体系中的定理比如SFT中的XXXX, 是没有意义的，仅仅是一个符号串而已。只有将之实现为自然数或其他具体的体系时，才被认为是有意义的。我个人认为形式体系仍然是有意义的。形式体系和具体的公理体系之间的关系，可以用理论物理与客观世界之间的关系来类比，虽然则两种关系并不完全一致，但其中包含的核心精神是相同的。
为了更好的理解形式体系。我们进一步分析上述简单体系。
首先，SFT体系中的全部定理我们已经列出了，除此以外都不是。比如X(XX)不是SFT体系中的定理。因为括号不是这个体系中的符号。
其次，定理XXX的证明是由初始公式X使用两次变形规则D1得到的。
我们给出一个另外的证明。假设XXX不是定理，并由此导致矛盾。这个矛盾就说明了XXX是一个定理。考虑XX, 若XX是定理，则由变形规则D1可知XXX为定理。既然我们假设XXX不是定理，所以必然有XX也不是定理。同样的论证可知，X也不是定理。但这与SFT 体系的初始公式相矛盾。这就证明了XXX确实是一个定理。
显然的确给出了XXX是一个定理的证明。
但是这个证明在形式主义看来是不合法的，或者说是没有意义的。因为形式体系中的证明只能由已经证明的定理通过变形规则得到。
再论形式体系
我们已经指出在形式体系中，新定理只能通过对已经证明的定理使用变形规则得到。没有其他的证明方式。这是一种很强的构造性。即使纯粹演绎逻辑的三段论也是不允许的，除非在变形规则中包含了三段论。Hilbert的形式体系与Brouwer的直觉主义相比而言，对于证明有更加严格、狭窄的含义。不仅仅其中没有排中律，而且规定了定理只能通过变形规则得到。新的定理只能通过已经被证明的定理变形得到。这是一种很强的构造性。
形式体系的其他例子
Lorenzen体系。
初始符号：a,b
形成规则，也称为语法规则：由a,b构成的有限长度的字符串。
初始公理：abL1, 若X是一个定理，则aXa也是一个定理。
L2, 若X是一个定理，则Xb也是一个定理。
这是一个稍稍复杂点的体系。容易决定这个体系中哪些有意义的字符串是可由初始公理变形得到的定理。
初始符号：象棋的棋子以及棋盘以及一个放置死掉棋子的篓子。这里每一个符号都只有一个。虽然其中卒有10个-每一方各5个，但我们认为这10个卒是互不相同的，同时这些卒的走法是相同的。
初始公理：棋子最初放置在棋盘上的位置。注：通常的比赛中棋子一开始处于固定的位置。但我们也可以研究残局，这时棋子的位置就依赖于残局的选取了，并且一部分棋子在篓子中。
语法规则：棋子在棋盘以及篓子中，棋盘上每一个位置只能放置最多一个棋子，但可以不放。
变形规则：象棋的棋规。比如，兵卒一次只能移动一步，没过河以前不能横着移动；马只能跳“日”字；象只能飞“田”字；以及红黑棋子轮流移动；吃子法则-将某些子放入篓子中；棋局终止法则，等等。
因而象棋是一个形式体系。这个体系中有很多有意义但不是定理的棋子放置方式。比如一方的象在另一方的半个棋盘内。
算术体系的形式化
算术体系的形式化。我们通常使用的算术体系是在一种朴素的水平上进行的。直到Peano给出算术的公理体系，这种状况才发生了变化。Peano给出5条公理来描述算术，从而使得算术建立在公理体系之上。我们仅仅叙述Peano的第4个公理：对任意自然数m,n, 若m’=n’,则m=n.此处，m’表示m的后继，亦即m+1.
但这还不是形式化体系。形式化体系将所有的对象都当作一个符号或者符号串。对算术体系，其中的符号为：
逻辑符号: $\forall$表示任意，$\neg$表示逻辑非，$--&$表示逻辑蕴涵。
括号: (表示左括号,)表示右括号。括号充分反映了形式化的特点，亦即所有的对象包括括号都要被形式化。
等号，$P_1^2$表示等号=
变元符号，$x_1,x_2,…$一共可数无限多个变元。
常元符号，$a_1$表示数0.
函数符号，$f_1^1$表示后继运算，亦即$f_1^1(x_1)=x_1+1$. $f_1^2$表示求和，为二元函数，即$f_1^2(x_1,x_2)=x_1+x_2$. $f_2^2$表示乘积，即$f_2^2(x_1,x_2)=x_1x_2$.
注意，对形式体系而言，上面的说法是不严谨的。比如\forall并具有什么特别的含义，仅仅是一个符号而已。我们给出的解释语言是为了理解起来方便一些。
这样，Peano的公理4就可以用形式化的语言叙述为，
(\forall x_1)(\forall x_2)((f_1(x_1)=f_1(x_2))--&(x_1=x_2))
同样Peano的其他公理以及加法、乘法公理也都可以明确表述出来。
当然还需要给出语法规则和变形规则。我们略掉这些繁琐的细节。
现在我们有两个体系，其一是用Peano公理表述，其二是用形式化的语言表述的算术体系。前者可以看作后者的一个模型、一个解释。通常的自然数1,2,3在形式化体系中表示为
f_1^1(a_1),f_1^1(f_1^1(a_1)),f_1^1(f_1^1(f_1^1(a_1)))
这种书写方式比较累赘，在不引起混淆时，人们依然采用通常的记号1,2,3来表示这些对象。同样的记号也用在函数$f_1,f_2,f_3$上。
这样的一个形式化体系称为一阶算术，或者基本算术。其中只有求和以及相乘两种运算。在这样的算术体系中，素数是没有意义的概念。这个体系中全部的记号、定义、规则都已经给出了，不能再加入新的对象。加入新的定义，比如定义素数，得到的将是另一个形式体系。当然新的形式体系可以看作基本算术体系的一个扩张。
Godel不完备性定理之一
一共有两个不完备性定理。
Godel的第一个不完备定理：在包含基本算术且一致的形式体系中，存在一个命题P, 使得，P以及notP都不是该形式体系中的定理。或者可以等价地说该形式体系不是完备的。
为了准确的理解这个定理，我们作一些解释。
一个形式体系包含基本算术，是指，可以将基本算术体系嵌入到这个形式体系中。
命题P是指符合语法规则的一个陈述。
notP是指命题P的否定，亦即“命题P是错误的”。
形式体系中的定理，是指可由形式体系中的公理，经过有限多次变形得到的命题。
形式体系中的命题如果是一个定理，则称为一个可以证明的命题。因而在一个形式体系总，证明一词的含义是指，可由初始公理通过有限多次使用变形规则得到。和我们通常理解的证明并不相同。
一致，是指不存在命题P,使得P以及notP都是该形式体系中的定理。
由这些解释，Godel不完备定理也常常被叙述为
Godel第一不完备定理的第二个叙述方式：在包含基本算术且一致的形式体系中，存在一个命题P, 使得，P以及notP都不能在形式体系内部得到证明。
我们进一步作一些解释。无论如何，一个命题或者正确，或者错误。正确的命题，称为真的命题。而错误的命题则称为假的或者非真的命题。考虑Godel不完备定理中的命题P. 如果P是真命题，则我们得到该形式体系中的一个真的但不可证明的命题，这个命题就是P. 如果P是假命题，则notP是真命题，因而我们仍然得到该形式体系中的一个真的但不可证明的命题，这个命题就是notP.因而我们得到Godel不完备定理的另一个叙述方式
Godel第一不完备定理的第三个叙述方式：在包含基本算术且一致的形式体系中，存在真的但不可证明的命题。
很多人对于Godel不完备定理的讨论都以此为出发点，但却很少去深究这个看起来简单明了的叙述方式中每一个词语的准确含义。这是导致Godel不完备定理被夸大到不恰当的程度的一个主要原因。另一方面，Godel定理中的用语，特别是“真”、“证明”这两个词的意义与我们通常看到的并不相同，这也是造成混乱的一个重大原因。究其缘由，应该与Hilbert有关。因为这些基本术语来源于Hilbert形式化计划。而Hilbert本人深信，其形式化计划最终可以给出数学严格性的终极证明。事实上，如果Hilbert形式化计划不是被否定，而是得到了肯定的话，我想将没有任何人可以任何理由反对数学具有彻底的完全的一致性和完备性。既然是Hilbert提出了这个计划，以及这个计划的基础知识和准备工作，也是Hilbert为之命名，同时Hilbert又深信这个计划最终可以得到数学严格性的终极证明，因而原本应该称作“可构造”的，却被Hilbert命名为“可证明”。关于Godel定理或者说形式体系中 “证明”这个词语的来源，在此要特别说明，纯属个人揣测，至少迄今我没有见到任何文献提及此事。
将Godel不完备性定理中的“证明”一词换作不容易引起混淆的“构造”，可以给出
Godel第一不完备定理的第四个叙述方式：在包含基本算术且一致的形式体系中，存在真的但不可构造的命题。
如果我们见到的Godel定理是这样叙述的，肯定会减少很多不必要的混乱。
不好意思，又来批判Penrose,记得以前有人曾专门发起一个批判Penrose的粒子物理学的运动。:)
对于Godel不完备定理，有大量荒谬的推论。其中之一是以此来证明人工智能是不可能的，或者机器不可能具有思考能力。比如Penrose在其《The Emperor's New Mind》中的论证。这些论证通常如下进行。
机器是Turning机。
由不完备定理，存在真的、不可证明的命题。因为形式体系与Turing机本质上是等价的。因而这些命题不能由机器证明。
但是人可以证明这些命题。所以人的思维不能被机器或者一个公理体系充分表达。因而人不是会计算的机器，所有的机器也不能拥有和人一样的智力。
上述论证中的每一个都可以承认，除了最后的结论。
Penrose的书出版于1989年。但是Turning早在1947年就已经指出上述论证的错误。事实上，Godel不完备定理需要的条件：体系的内部一致性。然而人类是极其容易犯错误的。人类的直觉极易犯错。比如那些最牛的逻辑学家：Frege,Curry,Church,Rosser先后提出了庞大的公理体系，但是后来被证明是错误的。如果允许电脑犯错，那么Godel定理的条件不再成立，其结论也就没有意义了。附，顺便说几句Penrose的&皇帝新脑&一书。
Penrose的《皇帝新脑》一书，出版于1989年，中文版出版于1993年。中文版的前言称该书的出版是国际书界的一件大事，剑桥大学在几年后曾专门为此书召开了一次学术会议。本书的内容从人工智能、逻辑到物理学、宇宙学以及神经科学，当然还有哲学。Penrose的目标是讨论哲学、科学上最重大的问题之一，人类的意识问题。Martin.Gardner为此书写的前言中称Penrose的书，是到该书出版为止，对于强人工智能做出的最有力的攻击。 Penrose极力反对强人工智能。强人工智能认为机器可以具有人的意识和智能。弱人工智能认为机器可以表现得像一个人，但是不具有人的意识和智能。还有一种更强的观点，声称人就是一台机器。Penrose对于强人工智能的攻击从几个方面进行。其一，基于Searle中文屋子这个思想试验。其二，基于 Godel不完备性定理。Penrose又一次展示了大无畏的革命精神。对于Penrose的论证，我只有一个评语：惨不忍睹。有兴趣的读者可以自己去翻阅该书的前几章，并以挑出其中的逻辑漏洞来训练自己的推理能力。当然效果不一定好，因为那些漏洞比较简单。难以想象Penrose为什么老犯这些低级错误。
而那些数理逻辑专家则见猎心喜，有不少针对Penrose的反驳意见。首先，Penrose是大人物，对之搞批斗很有意义；其次， Penrose犯了低级错误，批判起来容易。这和物理学家批判Penrose的粒子物理，何其相似。简直都有点搞笑了。
Penrose引用的Searle中文屋子的思想试验被Martin.Davies在&逻辑的引擎》一书的最后一章批得体无完肤。而他基于Godel不完备定理的论证又被Turning早在40年前就批判了。真的很惨。
通常很多人认为Godel定理中的那个命题是很抽象而且不能具体写出来的。这是严重的错误。在基本算术体系中，可以明确地写出来一个真的但不可证明的命题。比如Goodstein定理。可参考
我们在所有的帖子中都在使用“构造”这样的说法，并一直在解释这是形式体系中“证明”一词的真正含义。构造，也可以叫做，算法，二者表达的是同一个含义，都表示在有限多个步骤之后得到结论。荒谬的推论1
Hawking等人认为，Godel不完备性定理表明终极理论是不可能的。Hawking的错误比起Penrose来更加不着边际，看起来就像犯了不完备恐惧症，或者可以叫做不完备焦虑症。物理学甚至数学都不是形式体系，Godel定理的条件并不满足。Hawking的观点可以参考其本人在2002年的 Dirac讲座上的演讲
Hawking, &G?del and the end of physics&
然而Hawking不是孤立的，Freeman Dyson持有类似观点。Freeman Dyson在纽约书评上为Brian Greene的The Fabric of the Cosmos写道：
G?del’s theorem implies that pure mathematics is inexhaustible. No matter how many problems we solve, there will always be other problems that cannot be solved within the existing rules. … because of G?del's theorem, physics is inexhaustible too. The laws of physics are a finite set of rules, and include the rules for doing mathematics, so that G?del's theorem applies to them. [NYRB,May 13, 2004].
按照Dyson的论证，很容易推论出TOE是不存在的。
又比如Scientific America的一个senior, John Horgan在其所著The End of Science一书中写道：
G?del's theorem denies us the possibility of constructing a complete,consistent description of physical reality.
以及Stanley L. Jaki, A Late Awakening to G?del in Physics.
我反对这些人的论证，并不代表赞同有一个TOE. 仅仅是想表明，Godel定理不蕴含这些夸张的推论。
荒谬的推论2
有人认为，Godel定理给出了人类知识的绝对上限。对此，可以对比Heisenberg不确定原理。Heisenberg不确定原理给出了人类对于世界的认识的一个绝对的界限吗？没有。因为那就是世界的本来面貌。客观世界的不确定性与我们测不测没有任何关系。
荒谬的推论3
有人认为，Godel定理告诉我们有一些真的数学定理是永远无法证明的。甚至有人猜测Goldbach猜想或者Riemann假设就是这样的命题。想一想在Wiles之前有不少人把Fermat问题也作为其中的一个命题就知道这纯属无稽之谈了。反面的例子，比如Gooodstein定理，这是一个被严格证明了的数学定理，但在形式系统中不可“证明”。
由于“存在不可证明的数学定理”，某些后现代主义据此怀疑客观实在性。所以当我们在沾沾自得的用Godel不完备定理得到某些炫目的结论时，应该想到自己仅仅是全世界各种各样的具有不完备情结的人之一。
基督教会则据此为自己辩护：theologians can be comforted in their failure to systematize revealed truth because mathematicians cannot grasp all mathematical truths in their systems either. 看来教会对数学家的评价很高嘛。不完备定理还被用来证明上帝的存在性，因为只有他能决定哪些是真理。然而我们也可以反过来使用不完备定理，并以此证明上帝不是全能的。
荒谬的推论4
Godel本人的错误。在1960的Gibbs讲座上G?del本人宣称：“either mind infinitely surpasses any finite machine or there are absolutely unsolvable number theoretic problems.” 可以看出Godel使用了隐含假设：精神不能杯机器实现，然而这是无法证明的，至少Godel没有给出一个可以和他的不完备定理的证明同样坚实的证明。
这个系列基本上到此为止。一个简单的后记。写这个系列的一个原因是Godel定理本身是很有趣的，但遭到了广泛的误解和夸张。另外，写这个系列是作为曾经计划写的一些其他内容，比如热力学第二定律中的小概率这个部分以及概率论中的各种概率分布函数，并没有完成，也没有打算继续写这些相关内容。因而将 Godel定理的讨论作为一个补偿。Godel定理与其他领域也有关系，比如计算机理论特别是Turning机的停止问题，以及信息论中也有相应的表现形式。有兴趣的读者可以自己作进一步的了解，当然也可以发贴上来讨论。
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