平面直角坐标系_百度百科
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在平面内两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系rectangular coordinates system简称外文名Plane rectangular coordinate system简&&&&称直角坐标系应用学科数学应用领域函数
平面直角坐标系rectangular coordinate system
定义在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条构成平面直角坐标系通常两条数轴分别置于位置与铅直位置取向右与向上的方向分别为两条数轴的水平的数轴叫做X轴或垂直的数轴叫做Y轴或纵轴X轴和Y轴统称为它们的公共原点O称为直角系的在平面二维内画两条互相垂直并且有公共原点的数轴简称平面直角坐标系有两个其中为X轴(x-axis)取向右方向为正方向为Y轴y-axis)取向上为正方向坐标系所在平面叫做坐标平面两坐标轴的公共原点叫做平面直角坐标系的原点X轴和Y轴将坐标平面分成了四个quadrant右上方的部分叫做其他三个部分按逆时针方向依次叫做和象限以数轴为界横轴纵轴上的点及原点不在任何一个象限内一般情况下x轴和y轴取相同的单位长度但在特殊的情况下也可以取不同的单位长度在直角坐标系中对于平面上的任意一点都有唯一的一个即点的(coordinate)与它对应反过来对于任意一个有序数对都有平面上唯一的一点与它对应
对于平面内任意一点C过点C分别向X轴Y轴作垂线垂足在X轴Y轴上的对应点a,b分别叫做点C的横坐标纵坐标有序数对(ordered pair)a,b叫做点C的坐标一个点在不同的象限或坐标轴上点的坐标不一样
特殊位置的点的坐标的特点
1.x轴上的点的纵坐标为零y轴上的点的横坐标为零
2.在任意的两点中如果两点的横坐标相同则两点的连线平行于纵轴如果两点的纵坐标相同则两点的连线平行于横轴
3.点到轴及原点的距离
点到x轴的距离为|y| 点到y轴的距离为|x|点到原点的距离为x的平方加y的平方的还可以写成Ⅰ还可以写成Ⅱ还可以写成Ⅲ也可以写成Ⅳ
.第一三象限上的点横纵坐标相等第二四象限角平分线上的点横纵坐标互为1.关于x轴成轴对称的点的坐标横坐标相同纵坐标互为相反数横同纵反
2.关于y轴成轴对称的点的坐标纵坐标相同横坐标互为相反数横反纵同
3.关于原点成中心对称的点的坐标横坐标与横坐标互为相反数纵坐标与纵坐标互为相反数横纵皆反横坐标 纵坐标
第一象限++正正
第二象限-+负正
第三象限--负负
第四象限+-正负
x轴正半轴+0
x轴负半轴-0
y轴正半轴0+)
y轴负半轴 (0-
x轴上的点的纵坐标为0y轴上的点的横坐标为0
注以数对形式xy表示的坐标系中的点如2-42是x轴坐标-4是y轴坐标坐标的思想是数学家也是一名哲学家所创立的
有一天笛卡尔Descartes 15961650法国生病卧床但他头脑一直没有休息在反复思考一个问题图形是直观的而则比较抽象能不能用几何图形来表示方程呢这里关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组数挂上钩他就拼命琢磨通过什么样的办法才能把点和数联系起来突然他看见屋顶角上的一只拉着丝垂了下来一会儿蜘蛛又顺着丝爬上去在上边左右拉丝蜘蛛的表演使笛卡尔思路豁然开朗他想可以把蜘蛛看做一个点它在屋子里可以上下左右运动能不能把蜘蛛的每个位置用一确定下来呢他又想屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条直线如果把地面上的墙角作为起点把交出来的三条线作为三根数轴那么空间中任意一点的位置不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗反过来任意给一组三个有顺序的数例如321也可以用空间中的一个点 P来表示它们同样用一a b可以表示上的一个点平面上的一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示于是在蜘蛛的启示下笛卡尔创建了直角坐标系为了方便工程的规划设计与施工我们需要把测区投影到上来使测量计算和绘图更加方便而地理坐标是球面坐标当测区范围较大时要建平面坐标系就不能忽略地球曲率的影响把地球上的点位化算到平面上称为地图投影地图投影的方法有很多目前我国采用的是又称高斯正形投影简称高斯投影它是由德国数学家高斯提出的由克吕格改进的一种分带投影方法它成功解决了将面转换为平面的问题投影的方法是将按经线划分为带称为投影带是从首子午线开始的分6°带和3°两种每隔6°划分一带的叫6°带每隔3°划分一带的叫3°带我国位于东经72°∽136°之间共包括了11个6°带即13∽23带22个3°投影带即24∽45带
设想一个卷成横圆柱套在地球外如图1－5a)所示 通过高斯投影将中央子午线的投影作为
纵用x表示将赤道的投影作横坐标轴用y表示两轴的交点作为坐标原点由此构成的平面直角称为高斯平面直角坐标系如图1－5b) 所示每一个投影带都有一个独立的高斯平面直角坐标系区分各带坐标系则利用相应投影带的带号在每一个投影带内y坐标值都有正有负这对于计算和使用都不方便为了使y坐标都为正值故将纵坐标轴向西500㎞并在y坐标前加上投影带的带号 6°带投影是从英国开始自西向东每隔经差6°分为一带将地球分为60个带其编号分别为123…60任意带的中央子午线经度为Lo它与投影带号N的关系如下所示
Lo=(6N-3°)
式中N6°带的带号
离越远长度变形越大在要求较小的投影变形时可采用3°投影带3°带是在6°带的基础上划分的如图所示每3°为一带从1°30′开始共120带其中央子午线在奇数带时与6°带的中央子午线重合每带的中央子午线可用下面的工式计算
式中N′3°带的带号
为了避免y坐标出现3°带的坐标原点同6°带一样向西移动500㎞并在y坐标前加3°带的带号应当注意的是高斯投影没的角度变形但有长度变形和面积变形离中央子午线越远变形就越大其主要特点有以下三点
1投影后中央子午线为直线长度不变形其余经线投影对称并且凹向于中央子午线离中央子午线越远变形越大
2赤道的投影也为一直线并与中央子午线正交其余的经纬投影为凸向赤道的对称曲线
3经纬投影后仍然保持相互垂直的关系投影后有角度无变形用直角坐标原理在投影面上确定地面点平面位置的坐标系
与数学上的直角坐标系不同的是它的横轴为X轴纵轴为Y轴在投影面上由投影带的投影为调轴为Y轴以及它们的交点为原点的直角坐标系称为否则称为
坐标方法的简单应用
1.用坐标表示地理位置
2.用坐标表示平移
在测量学中使用的平面直角坐标系统rectangular plane coordinate system包括和独立平面直角坐标系
通常选择高斯投影平面(在时)或测区内平均水准面的切平面(在独立地区时)作为坐标平面纵坐标轴为x轴向上(向北)为正横坐标轴为y轴向右(向东)为正角度(方位角)从x轴正向开始按顺时针方向量取也按逆时针方向编号1.坐标平面内的点与有序实数对一一对应
2. 一三象限角平分线上的点横纵坐标相等
3.二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数
4.一点上下平移横坐标不变即平行于y轴的上的点横坐标相同
5.y轴上的点横坐标都为0
6.x轴上的点纵坐标都为0
7.坐标轴上的点不属于任何象限
8.一个关于x轴对称的点横坐标不变纵坐标变为原坐标的相反数反之同样成立
9.一个关于原点对称的点横纵坐标均为原坐标相反数
10.与x轴做轴对称变换时x不变y变
11.与y轴做轴对称变换时y不变x变
12.与原点做轴对称变换时y与x都变一选择题每题3分　　1下列各点中在第二象限的点是
A23 B(2,－3) C(－2,3) D(－2, －3)　　2已知坐标平面内点M(a,b)在第三象限那么点N(b, －a)在
A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限
3点P位于x轴下方y轴左侧距离x轴4个单位长度距离y轴2个单位长度那么点P的坐标是
A42 B－2－4 C－4－2 D24　　4点Ea,b到x轴的距离是4到y轴距离是3则有
　　Aa=3, b=4 Ba=±3,b=±4 Ca=4, b=3 Da=±4,b=±3　　5若点Px,y的坐标满足xy=0(x≠y)则点P在
　　A原点上 Bx轴上 Cy轴上 Dx轴上或y轴上　　6已知点Pa,b,ab&0,a+b &0,则点P在
　　A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限　　7点Pm+3, m+1在直角坐标系的x轴上则点P坐标为
　　A0－2 B 20 C 40 D0－4　　8平面直角坐标中和有序实数对一一对应的是
　　Ax轴上的所有点 By轴上的所有点　　C平面直角坐标系内的所有点 D x轴和y轴上的所有点　　9如果点M到x轴和y轴的距离相等则点M横纵坐标的关系是
　　A相等 B互为相反数 C互为倒数 D相等或互为相反数　　10已知点Px, 则点P一定
　　A在第一象限 B在第一或第四象限 C在x轴上方 D不在x轴下方　　11已知点A2－3线段AB与坐标轴没有交点则点B的坐标可能是
　　A－1－2 B 3－2 C12 D－23　　12点E与点F的纵坐标相同横坐标不同则直线EF与y轴的关系是
　　A相交 B垂直 C平行 D以上都不正确　　13将某图形的横坐标都减去2纵坐标不变则该图形
　　A向右平移2个单位 B向左平移2 个单位　　C向上平移2 个单位 D向下平移2 个单位　　14点A0－3以A为圆心5为半径画圆交y轴负半轴的坐标是
　　A80 B 0－8 C08 D－80　　15一个点的横纵坐标都是整数并且他们的乘积为6满足条件的点共有
　　A2 个 B4 个 C8 个 D10 个　　二填空题每空2分　　1在电影票上如果将8排4号记作84那么1015表示_______________　　2用123可以组成有序数对______对　　3点A－35在第_____象限到x轴的距离为______到y轴的距离为_______　　关于原点的对称点坐标为_________关于y轴的对称点坐标为_________　　4已知x轴上点P到y 轴的距离是3则点P坐标是________________　　5一只蚂蚁由00先向上爬4个单位长度再向右爬3个单位长度再向下爬2个单位长度后它所在位置的坐标是_________　　6已知长方形ABCD中AB=5BC=8并且AB‖x轴若点A的坐标为－24则点C的坐标为__________________________( 2分) 若点B(ab)的坐标满足 则点B在[ ]　　Ax轴上 By轴上 Cx轴或y轴上 D坐标原点　　2. ( 4分) 下列各对点在同一个象限的是[ ]　　A(12)(21) B(30)(34)　　C(55)(－4－4) D(1－2)(－21)　　3. ( 4分) 下列与点(34)关于y轴对称的点是[ ]　　A(－34) B(－3－4)　　C(3－4) D(－43)　　4. ( 4分) 若图形上有一点(11)的坐标变为(21)下列哪种变换符合这种要求[ ]　　A(xy)→(2xy) B(xy)→(x2y)　　C(xy)→(2x2y)　　D(xy)→(x+1y+1)　　5. ( 4分) 下列点中与点(－3 4)关于y轴对称的是[ ]　　A(34) － B(－34)　　C(3－4) D(－4－3)　　6. ( 4分) 下列各点中在第四象限的点是[ ]　　A(23) B(2－3) C(－2－3) D(－23)　　二填空题(共 30 分)　　7. ( 4分) 生活中人们通常用______和________的方法来确定物体的位置　　8. ( 4分) 在直角坐标系中如果△ABC的三个顶点的坐标分别为A(04)B(－1－1)C(1－1)则点B与点C关于________对称△ABC是________对称图形它的对称轴是________　　9. ( 4分) 直角坐标系中点M(12)可由点N(10)怎样平移得到_________.　　10. ( 6分) (1)在直角坐标系中描出如下各点并顺次用线段连接各点(00)(13)(20)(33)(40)(2)将上面各点的横坐标保持不变纵坐标分别乘以－1所得图形与原图形一起组成了什么样的图案　　11. ( 6分) 长方形ABCD长6宽4建立适当的直角坐标系使其中B点的坐标为(－3－2)并利用这个直角坐标系表示其余顶点的坐标　　12. ( 10分) 在直角坐标系中描出下列点　　A(11)B(51)C(33)D(－33)E(1－2)F(14)G(32)H(3－2)I(－1－1)J(－11)　　连结ABCDEFGHIJ找出它们中点的坐标将上述中点的横坐标和纵坐标分别与对应线段的两个端点的横坐标和纵坐标进行比较你发现它们之间有什么关系写出你的发现并与其他同学交流
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如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM=x。
（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S； （2）如图2，当x为何值时，⊙O与直线BC相切？ （3）如图3，在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
题型：解答题难度：偏难来源：同步题
解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C，∴ △AMN∽△ABC，∴，即，∴，∴（0＜＜4）。
（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO=OD=MN，，由（1）知 △AMN∽△ABC，∴，即，∴，，过M点作MQ⊥BC 于Q，则，在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，∴ △BMQ∽△BCA，&∴，∴，，∴，当时，⊙O与直线BC相切。
（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点，∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM=∠APC，∴ △AMO∽△ABP，∴，AM=MB=2，故以下分两种情况讨论： ①，∴，② 当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F，∵ 四边形AMPN是矩形，∴ PN∥AM，PN=AM=x，&又∵ MN∥BC，∴ 四边形MBFN是平行四边形，∴ FN=BM=4-x，∴，又△PEF∽△ACB，∴，∴，，当2＜x＜4时，，∴，。
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据魔方格专家权威分析，试题“如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重..”主要考查你对&&求二次函数的解析式及二次函数的应用，直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离），相似三角形的性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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求二次函数的解析式及二次函数的应用直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）相似三角形的性质
求二次函数的解析式：最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况： （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式； （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。 二次函数的应用：（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。 二次函数的三种表达形式：①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h&0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况：当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
③交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。由一般式变为交点式的步骤：二次函数∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),∴y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]=a(x-x1)(x-x2).重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a&0时，开口方向向上；a&0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；能熟练地运用二次函数解决实际问题。二次函数的其他表达形式：①牛顿插值公式:f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。双根式y=a(x-x1)*(x-x2)若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2，则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。③三点式已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)）则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)与X轴交点的情况当△=b2-4ac&0时，函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0);当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。Δ=b2-4ac&0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）二次函数解释式的求法：就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。
1.巧取交点式法：知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。点拨：解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，∵过点（2，8），∴8＝a(2+2)(2-1)。解得a=2，∴抛物线的解析式为：y＝2(x+2)(x-1)，即y＝2x2+2x-4。②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。点拨：在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。
2.巧用顶点式：顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。点拨：解∵顶点坐标为（-1，-2），故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）。把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。∴a=3。∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。②典型例题二：如果a&0，那么当 时，y有最小值且y最小=；如果a&0，那么，当时，y有最大值，且y最大=。告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。点拨：析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3。将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。例如：（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式. （2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式. （3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式. （4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。点拨：解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。直线与圆的位置关系:直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离。 （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点AB与⊙O相交，d&r； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离,AB与圆O相离，d&r。（d为圆心到直线的距离）直线与圆的三种位置关系的判定与性质： （1）数量法：通过比较圆心O到直线距离d与圆半径的大小关系来判定， 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有： 直线l与⊙O相交d&r； 直线l与⊙O相切d=r； 直线l与⊙O相离d&r； （2）公共点法：通过确定直线与圆的公共点个数来判定。 直线l与⊙O相交d&r2个公共点； 直线l与⊙O相切d=r有唯一公共点； 直线l与⊙O相离d&r无公共点 。圆的切线的判定和性质&&& （1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 直线与圆的位置关系判定方法:平面内，直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B，（其中B不等于0），代入x2+y2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程如果b2-4ac&0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。如果b2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。如果b2-4ac&0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x2+y2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）2+（y-b）2=r2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1&x2，那么：& 当x=-C/A&x1或x=-C/A&x2时，直线与圆相离；当x1&x=-C/A&x2时，直线与圆相交。&相似三角形性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。(2)相似三角形的对应边成比例。(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。(4)相似三角形的周长比等于相似比。(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。(6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方(7)若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中项(8)c/d=a/b 等同于ad=bc.(9)不必是在同一平面内的三角形里①相似三角形对应角相等，对应边成比例.②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.③相似三角形周长的比等于相似比
定理推论：推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
发现相似题
与“如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重..”考查相似的试题有：
421563195397141604507812478371186351（2007o南昌）实验与探究：
（1）在图1，2，3中，已知平行四边形ABCD的三小顶点A，B，D的坐标（如图所示），求出图1，2，3中的第四小顶点C的坐标，已求出图1中顶点C的坐标是（5，2），图2，3中顶点C的坐标分别是，；
（2）在图4中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标（C点坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）；
归纳与发现：
（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪手位置，当其顶点坐标为A（a，b），B（c，d），C（m，n），D（e，f）（如图4）时，则四个顶点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为
（不必证明）；运用与推广：
（4）在同一直角坐标系中有抛物线y=x2-（5c-3）x-c和三个点，，H（2c，0）（其手c＞0）．问当c为何值时，该抛物线上存在点P，使得以G，S，H，P为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P点坐标．
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