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2014中考试题的价值与发展
中考试题的价值与发展主讲人
江西师大附中
宁文苑中考试题除为高一级学校输送人才外，还为学校的教育起到一种引领作用．试题的价值不仅仅是考试表层面上的，更有其无法看到的内在的、深远的价值．有的影响到本学科的发展，有的会有跨学科的意外之喜，尤其是在试验阶段命制的试题，其意义更是不同凡响，以下从早年的几个中考试题中谈一点试题的价值与发展．一、中考试题的价值1．开创新颖试题，教学方式得以改变作为一种新生事物，开放题一出现就受到追“新”族的好奇与关注，内容、形式的新颖性折射出其应有的魅力，并为自身的发展提供了发挥创新精神的广阔空间，对解题者创新能力的培养提供了良好的机遇．例1（2001年2江西）如图，YABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其它条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程（要求：推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）．试题价值：首次引入的开放题大多停留在表层的条件开放、结论开放、策略开放等三大结构上，尽管本题采取“多中选一”的方式写出“新的结论，并进行证明”，但对于“常见的常规题”仍具有一定的开放性、自主性，虽然图形过于呆板、结构显得陈旧，难于展现开放题的更大功能，但对于创新的学生来说仍有促进作用．在2000年――2001年全国31个省市中，涉及开放题的只有50%，平均分不到4分，能出彩的优秀开放题更是少之又少．在其后的几年更多的省市加入到这一行列之中，江西除多年一直沿袭几何试题开放外，每年的代数试题都会有新的开放创新，尤其在2008年达到了一种顶峰，9个大题有6个涉及开放题，分数也达到25分．但2009年后这一优势的开放试题正在逐渐消失，取而代之的是一般常规题．例2（2012年2江西）如图，已知两个菱形ABCD、CEFG，其中点A、C、F在同一直线上，连接BE、DG．（1）在不添加辅助线时，写出其中的两对全等三角形；（2）证明：BE=DG．试题价值：三角形或四边形的开放题作为一个固定的模型出现在中考试卷上一直延用了相当一段时间，本试题从给定的图形隐含的丰富信息中可以发现还有许多全等的三角形，这些全等的三角形无形加深了学生对图形的好奇，继而对试题进行深入研究，通过解题提升能力，在享受过程中培养兴趣．2．构造巧妙设问，内在价值得以提升巧妙的设问能激起学生求知的欲望，寻找具有价值的信息能打开学生新的思考方式，并在不同的方式下，给考生一片新的天地，一种从未有过的全新感觉．例3（2002年2江西）请你先化简，再选取一个使原式有意义，而你又喜欢的数代入求x3?x21?x2?值．2． x?xx?1试题价值：该题从学生的情感出发，采用了多年难得的设问，看似仅是一句话的改变，实际上把字母的取值的赋值权轻松地交给了学生自己，从而增加了试题的亲和力，体现了一个公民的基本素养：只有在遵守社会道德的前提下，才能谈得上你喜欢的生活方式，从而试题又起到了一种教育功能，也克服了代数式求值的语言格式化的陈旧感和重复感，给考生耳目一新、清新凉爽的感觉，
对中考命题的语言要求有一种新的导向作用．此后，这一新的设问方式在其它省市中考命题中也开- 1 -
始频繁出现，在各类练习册中也都经常能见其踪迹了．例4（2006年2江西）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，OD⊥BC于点E，?于点D． 交BC（1）请写出四个不同类型的正确结论；（2）连结CD，设∠CDB=?，∠ABC=?，试找出?与?之间的一种关系式，并给予证明．试题价值：题目结论的开放，可使学生自主探索、自由发展，根据自身的学习经验和思考方式写出适合自己认知的结果，答案的多样性对数学知识的整合、思维的稠密有相当的益处，它可以让学生死学、死做，教师满堂灌死教的方式得以改变，让知识性的问题从根本上得到解决，让教师的“教”和学生的“学”都变得一件很轻松愉快的事情．虽然语言只要求“写出四个不同类型的正确结论”或寻找“?与?之间的一种关系式”，但给了学生极大的自主选择权，有利于学生的水平发挥．3．亮化试卷版面，情感世界得以交流生活中有许多美好的事物，且在这些美好事物的背后深藏着许多数学的奥秘，数学以其特有的高度抽象，极其简洁的形式和思想反映了客观世界内在的震撼人心的美，美在处处，美在数学中．例5（2002年2福州）已知：图A、图B分别是636正方形网格上的两个轴对称图形（阴影部分），其面积分别为SA、SB（网格中最小的正方形面积为一个平方单位），请观察图形并解答下列问题：
C①填空：SA:SB的值是②请在图C的网格上画出一个面积为8个平方单位的中心对称图形．
试题价值：8和18这一串吉祥数字与外来语OK在中国人民心中永远都是一种“美好”的意义，该题从心理角度出发，让18与OK演变成一幅数字化的锦绣画面，伴随着整场考试，既体现了一种人文关怀和一种良好的祝愿，又增进学生对美好的事物、美好的数字、美好的画面产生的一种亲切感，具有一种亲和力，也使兴起的一种网格图案设计起到了一种宣传作用，加上试卷版面亮丽，美不胜收，更让新课标倡导的“关注生活中数学，关注数字化的语言”得到淋漓尽致的体现，对中考图形设计有一种促进和借鉴作用，答案的点缀，更衬托其文化内含和永久的想象，同时也说明一份优秀试卷除试题的质量外，版面亮化也是不可少的．
例6（2012年2南昌）如图，有两个边长为2的正方形，将其中一个正方形沿对角线剪开成两个全等的等腰直角三角形，用这三个图形分别在网格备用图的基础上（只要再补画出两个等腰直角三角形即可），分别拼出一个三角形、一个四边形、一个五边形、一个六边形．
试题价值：拼图作为一种智力游戏从孩时就已开始，学生对这一问题并不陌生，再加上对多边形的认识，一般这一类试题都不难解决．当然，个别学生在理解凹多边形时会有一点小障碍，以致失去不必要的分数，但拼图试题仍值得大家一起开发与引用．4．数学融洽美育，优秀文化得以传承拼图的世界丰富多彩，从拼图中找灵感、找方法、找快乐，是许多研究者一直在寻找的途径，如何让数学变得好学、好用、好玩更是学者需要研究的课题，勾股定理的中“赵爽”弦图法、“布达哥拉斯”法都充分说明了这一点．例7（2002年2江苏泰州）以给定的图形“○○、△△、＝”（两个圆、两个三角形、两条平行线段）为构件，构思独特且有意义的图形．举例：如下图左框中是符合要求的一个图形，你还能构思出其他的图形吗？请在右框中画出与之不同的一个图形，并写上一两句贴切、诙谐的解说词．
解说词： 两盏电灯
解说词：试题价值：根据已知给定条件和配制图形的提示，通过类比与联想，分解与组合，考查学生对未知的拼图进行一种再创作，使学生的创新思维得到了应有的发展，也使学生隐含的优良品质得以凸现，从而得到考分之外的另一份惊喜．以下是分类中的部分答案，希望给大家有所启迪．（1）人物类：
（2）动物类：
小鸭戏水（3）实物类：
飞向蓝天（4）抽象类：
时间等于金钱
一千零一夜
表里如一（5）宣传类：
（6）诗情类：
东边日出，
小鸡啄大山，
三毛他哥：
小鱼：“我会在水里西边雨
“三毛你在哪儿？”
吹泡泡，你呢？”
大红灯笼高高挂
小小雨伞传真情
飞箭双双中红心
情深意密俏舞伴从上述的答案中，既有对事物的直面解说，也有对文学的语言追求；既包含学生幽默的个性特点，也有学生关注时代的政治背景；既有很直接的告白，也有诙谐的搞笑．这一试题的引入，对拼图、折纸、设计、格点的试题的创立功不可没，使试题的功能价值得到了更好的体现和推广．江西试题在其感照下就出现了一系列与之有关的亮点试题．例如2003年江西第14小题是借用赵爽弦图，运用“七巧板”的思维，拼成各种式样造型的动态飞机，给版面一种清新脱俗的美化点缀，这是今后中考试题有待于开发的一类新题型，也是新课标倡导的生活中的数学，数学中的生活再现．例8（2003年2江西）设将一张正方形纸片沿图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中是中心对称图形的是（
（D）5．开辟统计市场，生活素养得以丰富数据统计、图形统计是生活中必不可缺少的，它帮助我们了解周围的世界现状和变化规律，没有统计，难于想象我们的生活会变成什么？近十年中考试卷的统计试题，主要是计算“平均数、中位数、众数”，有时添加“自定义概念”说明，偶尔也会对“统计图形、统计图表”进行分析．例9（2008年2江西）为了了解甲、乙两同学对“字的个数”的估计能力，现场对他们进行了5次测试，测试方法是：拿出一张报纸，随意用笔画一个圈，让他们看了一眼后迅速说出圈内有多少个汉字，但不同的是：甲同学每次估计完字数后不告诉他圈内的实际字数，乙同学每次估计完字数后告诉他圈内的实际字数．根据甲、乙两同学5次估计情况可绘制统计图如下：
（1）观察、分析上图，写出三条不同类型的正确结论；
（2）若对甲、乙两同学进行第6次测试，①请你用统计知识分别预测他们估计字数的偏差率（从一个角度预测即可）；②若所圈出的实际字数为100，请根据①中预测的偏差率推算出他们估计的字数所在的范围．试题价值：估计能力的测量有多种方法，用统计的方式设计更贴近实际生活，从不同角度预测偏差率，给了学生很大的自由度，学生可根据自己的认知、自己的熟悉程度去选择适合自己的方式进行问题的解答．本试题在设计上力求创新，突破常规，从另一个方面说明：考查学生的能力有多种多样，不仅仅是学生的学习能力，也有生活中的观察能力、分析能力及应变能力，这为今后统计试题的命制指明了一个全新的方向．例10（2012年2江西）我们约定：如果身高在选定标准的±2%范围之内都称为“普通身高”．为了解某校九年级男生中具有“普通身高”的人数，我们从该校九年级男生中随机选出10名男生，分别测量出他们的身高（单位：cm），收集并整理如下统计表：
根据以上表格信息，解答如下问题：（1）计算这组数据的三个统计量：平均数、中位数和众数；（2）请你选择其中一个统计量作为选定标准，找出这10名男生中具有“普通身高”的是哪几位男生？并说明理由；（3）若该年级共有280名男生，按（2）中选定标准，请你估算出该年级男生中具有“普通身高”的人数约有多少名？试题价值：考查平均数、中位数、众数，这是众多省市中考统计题中一种常态，尽管本试题与2004年、2007年类似，但花样翻新、与众不同．本试题的设计更要学生对上述知识的灵活掌握，也要学生对身边“普通身高”的定义从不同方面作出自己的正确判断．6．评分标准改革，个性品质得以张扬1982年山西太原，2001年杭州，这类实行奖励加分的试题，对于鼓励学生创新、发展学生的创新意识，激发并开发学生的潜能，促进学生发展的理念，增加试题的效度非常有用．可惜，这一类型试题在全国中考命题中很少应用，江西在这一方面率先做出了表率．例11（2003年2江西）有一长方形餐厅，长10米，宽7米，现只摆放两套同样大小的圆桌和椅子，一套圆桌和椅子占据的地面部分可看成半径为1.5米的圆形（如下图所示）．在保证通道最狭窄处的宽度不小于0.5米的前提下，此餐厅内能否摆下三套或四套同样大小的圆桌和椅子呢？请在摆放三套或四套的两种方案中选取一种，在下方14×20方格纸内画出设计示意图．提示：①画出的圆应符合比例要求；②为了保证示意图的清晰，请你在有把握后才将设计方案正式画在方格纸上．说明：正确地画出了符合要求的三个圆得5分，正确地画出了符合要求的四个圆得8分．试题价值：本试题在设计方案上样式不多，只需要学生在“摆放三套或四套的两种方案中选取一种”，再加上一提示、一说明，无形中将试题的难度降低了，体现了命题者对学生的关爱程度．作为江西在中考试题上首次引入“根据设计问题的难易程度评分”方案，多多少少会影响教师在教学过程中的思维转变，也会引起其它命题者的关注．这一创举评分改革的做法，在江西中考试卷上扎扎实实地坚持了4年，直到2006年才告一段落．- 6 -
例12（2004年2江西）如图，已知△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB
，BC＝1，连接BF，分别交AC、DC、DE于点P、Q、R．（1）求证：△BFG∽△FEG，并求出BF的长；（2）观察图形，请你提出一个与点的问题，并进行解答（根据提出问．．P相关．．题的层次和解答过程评分）．试题价值：由于考生学习经验和思考角度不同，所提出的新结论和理由必然是多样的、多层次的，根据提出问题的层次和解答过程评分，尽可能多用知识点多得分的原则，无形中把学生创作激情迸发出来，结果一些奇特的、有创见的答案就跃然纸上了，这一做法值得鼓励，体现了新课标中不同学生在数学上有不同的发展这一目标要求，当然，需要注意的是，此类问题存在评分标准难以制定和对阅卷者要求较高等方面的问题，在命题时需要特别注意．例13（2006年2江西）问题背景
某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题： ①如图1，在正三角形ABC中，M、N分别是CA、AB上的点，BM与CN相交于点O，若 ∠BON=60°，则BM=CN．②如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、DA上的点，BM与CN相交于点O，若 ∠BON=90°，则BM=CN．然后运用类比的思想提出了如下命题：③如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，则BM=CN．任务要求（1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；（说明：选①做对的得4分，选②做对的得3分，选③做对的得5分）（2）请你继续完成下面的探索：①请在图3中画出一条与CN相等的线段DH，使点H在正五边形的边上，且与CN相交所成的一个角是108°，这样的线段有几条？（不必写出画法，不要求证明）②如图4，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、EA上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，请问结论BM=CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
试题价值：作为中考“课题学习”试题首次引入，一开始就以“评分改革方案”出现，呈现了两大信息：一是“评分改革方案”告一段落，二是“课题学习”试题正式进入中考．也是从这一年开始，“课题学习”试题在中考试卷上大放异彩，形成了代数中的“二次函数综合问题”与几何中 “课题学习试题”双剑合璧的状况．这一规范搭配形成的一种很好的默契，有利于命题的长远规划．本题从特殊性归纳出一般性的结论，然后对另一种不同类型问题进行研究，充分体现了对正多边形的旋转不变性与类比思想方法的深刻认识，考查学生从更高层次上对数学知识与数学思想的认识及运用，有利于引导老师加强数学知识与思想方法的整合教学．层次性问题的系列，允许不同水平的学生表达他们自己的探索过程，这样既保障不同层次的学生得到不同的评价，又有利于激发学生的思维激情和潜能，充分体现了新课改的理念．
二、中考试题的发展近年来，中考试题的格式变化不大，有的是选择题、填空题置换了位置，有的是部分题型发生了微调，但命题的难度，整体保持平衡，开放试题太多回归到常规试题，课本深得命题者关注，实际问题的试题在各种题型上都得到了体现，命题的发展也主要围绕以下几个问题进行展开．1．关注课标精神，体现试题基础性中考数学试题命制以《数学课程标准》为导向，以完善学生的数学学习方式、提高学生的学习效率为目标．试题涉及内容覆盖初中学段的各部分知识，大多数试题是把课本例题、习题作适当的调换与引申，用一种活泼清新的模式亮相．例14（2006年2江西）下列图案都是由字母“M”经过变形、组合而成的，其中不是中心对称图形的是（
试题发展：用民间剪纸造型，配与数学知识考查学生中心对称性质，改变了数学计算的模型，一来从图形抽取字母“M”的个数中考查中心对称性质，二来揭示了数学最本质的东西，引导学生关注生活中的数学．例15（2008年2江西）下列四个三角形中，与右图中的三角形相似的是（
试题发展：网格的试题在江西中考试卷上一直经久不衰，变化的仅仅是网格的形状而已．有三角形网格、有四边形网格等，构造的图形有线段、有三角形、有四边形．本问题需在四个选项中找到与给定的图形相似的三角形，只需根据三角形相似的判断方法就可作出决定．例16（2010年2南昌）某人从某处出发，匀速地前进一段时间后，由于有急事，接着更快地、匀速地沿原路返回到原处，这一情境中，速度v与时间t的函数图象（不考虑图象端点情况）大致为（
试题发展：将生活的情境用图象的方式表示，更能将隐含的问题表示出来，这一问题的要求，不仅是课标所需具备的一种能力，更是生活中必不可少的想象问题的一种需要，它可以帮助学生从繁杂的思维中解放出来，克服一种死做试题、僵化被动的局面，从根本上解决思考方式．这一类型在近几年中考中频繁出现需引起关注．2．关注社会热点，体现试题时代性设置关注社会发展的热点、焦点，贴近生活实际，以此考查学生的观察、想象、运用数学知识的能力试题，有利于学生关注生活中数学，有利于培养学习数学的兴趣，养成从数学角度思考问题的习惯．
例17（2006年2江西）小杰到学校食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多（设为a人，a＞8），就站在A窗口队伍的后面排队，如图所示．过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人．（1）此时，若小杰继续在A窗口排队，则他到达A窗口所花的时间是多少（用含a的代数式表示）？（2）此时，若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面重新排队，且到达B窗口所花时间比继续在A窗口排队到达A窗口所花的时间少，求a的取值范围（不考虑其他因素）．试题发展：用学生亲身经历的食堂买饭的情境设计问题，学生感到温馨易于接受，只要学生认真读懂题意，是能够列出简单的方程和不等式求解的，但学生在用字母a表示时间过程中会遇到理解上的一些误区，当年该试题的得分，平均只有2.4分，与预设的难度系数相差很大．例18（2007年2江西）2008年北京奥运会的比赛门票开始接受公众预订．下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格．某球迷准备用8000元预订10张下表中比赛项目的门票．
（1）若全部资金用来预订男篮门票和乒乓球门票，问他可以订男篮门票和乒乓球门票各多少张？（2）若在现有资金8000元允许的范围内和总票数不变的前提下，他想预订下表中三种球类门票，其中男篮门票数与足球门票数相同，且乒乓球门票的费用不超过男篮门票的费用．求他能预订三种球类门票各多少张？试题发展：用北京奥运这一真实情境设计问题，学生有一种亲切感，构建的方程组也符合学生的认知要求，便于作答，学生在解答试题过程中既有一种亲临看比赛的开心，又有一种国家举办奥运会所带来荣誉的自豪感．当然对于擦边球的一些知识，在平时复习中也可以适当告知一二，让学生在处理问题中能泰然应对，不会失去不必要的分数，本试题涉及的不定方程也说明这一点．例19（2008年2南昌）甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过P点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”；乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？试题发展：“托球赛跑”是学生比较熟悉的一种游戏，本问题无疑把学生带进了一个运动的世界，让学生在玩的过程中体验解题的快乐，让学生在思考的过程中感受比赛的兴奋，从而经历“在玩中学、在学中玩”的梦幻情境．例20（ 2010年2江西）剃须刀由刀片和刀架组成．某时期，甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀（刀片不可更换）和新式剃须刀（刀片可更换）．有关销售策略与售价等信息如下表所示：
某段时间内，甲厂家销售了8400把剃须刀，乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的50倍，乙厂家获得的利润是甲厂家的两倍，问这段时间内乙厂家销售了多少把刀架？多少片刀片？试题发展：该题从销售策略的方式构造命题，从情境上来看比较新颖，也符合当代气息，但从新
式剃须刀刀架的销售来看，是独立的亏本销售，还是与刀片捆绑销售，在语言上是否会引起考生的争议，值得商榷．例21（2012年2江西）小华写信给老家的爷爷，问候“八一”建军节．折叠长方形信纸、装入标准信封时发现：若将信纸如图①连续两次对折后，沿着信封口边边线装入时，宽绰有3.8cm；若将信纸如图②三等分折叠后，同样方法装入时，宽绰1.4cm．试求信纸的纸长与信封的口宽．
试题发展：“折纸装信”这是每个人都经历过的事情，将信平整完好装入信封中，使信纸折叠三等分还是四等分这也是孩时写信时常做的一件事．该题用这一熟悉情境，将情感融洽于方程或方程组的构造中，使解题轻松自然，也符合命题的一种多元化的发展．3．关注身边实物，体现试题随机性命题者在开创原题过程中，受周边环境或所携带资料等限制，命制试题有时会有一定的约束，设计情境多与命题者身边的一些可见实物有关，如计算器、拖鞋、遮阳伞、水桶、晒衣架等等．例22（2010年2江西）图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米，BC=2.0分米．设AP=x分米．（1）求x的取值范围；（2）若∠CPN=60°，求x的值；（3）设阳光直射下，伞的阴影（假定为圆面）面积y，求y关于x的关系式（结果保留?）．
试题发展：遮阳伞是学生很常见的一种物体，但其中隐含的数学信息常被忽视，没有进行过深入的研究，用身边的实物建立数学模型进行解题，无形中给学生一种暗示，要学好数学，可从身边一点点知识，身边一件件物体中寻找灵感、寻找方法．例23（2011年2江西）有一种用来画圆的工具板（如图所示），工具板长21cm，上面依次排列着大小不等的五个圆（孔），其中最大圆的直径为3cm，其余圆的直径从左到右依次递减0.2cm．最大圆的左侧距工具板左侧边缘1.5cm，最小圆的右侧距工具板右侧边缘1.5cm，相邻两圆的间距d均相等．（1）直接写出其余四个圆的直径长；（2）求相邻两圆的间距．
试题发展：用学生熟识的画圆工具板作为问题的背景，亲切自然，操作简便，学生只要有一定的分析问题的能力和简单的计算能力，通过列一元一次方程就能快速求解．当然本问题的出现，也传达了另一种信息，方程的应用题不一定只在代数中，在几何中素材同样丰富．例24（2011年2江西）图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴对称图形．当点O到BC（或DE）的距离大于或等于⊙O的半径时（⊙O是桶口所在圆，半径为OA），提手才能从图甲的位置转到图乙的位置，这样的提手才合格，现用金属材料做了一个水桶提手（如图丙A－B?，其余是线段）－C－D－E－F，C－D是CD，O是AF的中点，桶口直径AF=34cm，AB=FE=5cm，∠ABC=∠FED=149°．请通过计算判断这个水桶提手是否合格．（参考数据
：17.72,tan73.6??3.40,sin75.4??0.97.）
试题发展：用学生劳动工具中常见的水桶作为背景，让学生有一种熟悉之感，也可以以此激发学生探究问题．该问题的出现，延续了近三年命题结构的改革，由单纯的“三角形或四边形的证明”转化成“解直角三角形或相似形中的实际问题计算”，当然对该试题的解决，关键是要构造直角三角形，尤其是试题中出现的非特殊的角或特殊的值，既可反映情境中数据的真实性，又有利于计算器进入中考的必要性起到一个实例的佐证，对于思维从层面上拓展也是今后的一个试题发展方向．例25（2012年2江西）如图①，小红家的阳台上放置了一个晒衣架．如图②是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点立于地面，经测量：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF=32cm．（1）求证：AC∥BD；（2）求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数（精确到0.1°）；（3）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．（参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan28.1°≈0.533，可使用科学计算器）
试题发展：晒衣架是生活中很常见的一种物体，将生活实物图案通过侧面示意图的方式呈现一
种常见的几何图形，学生通过相似形或解直角三角形并借助于计算器的方式可以很快得到问题的解- 11 -
答．例26（2009年2江西）问题背景
在某次活动中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中的一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式=2602）．
试题发展：用三个小组测量作为问题的背景，引导学生进行比较，以此寻求三个方案中的隐含关系，加上友情提示，无形中降低了计算的难度，使学生节省了宝贵的时间（类似的2011年第23题水桶提手也提供了一组参考数据，有引导、提示作用）．作为当年一个课题学习题放置在倒数第3题来考，既有意颠覆课题学习题作为压轴题放在最后一题的规定，也有意让更多类似问题出现在其它位置上．4．关注教改动态，体现试题稳定性二次函数是数形结合的典型代表，是进入高中学习函数最基础、最有用的知识之一，每年在中考试题设计中份量很重，一直作为代数压轴题，以倒数第二题的方式出现，多年来，一直与翻折、旋转、平移结合，并配以几何中的三角形或四边形进行命制，但2013年这一格式发生了根本的变化，维持了多年的格局有望打破，需加以关注．例27（2011年2江西）将抛物线c1
：y?2x轴翻折，得抛物线c2，如图所示．（1）请直接写出抛物线c2对应的函数表达式；（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．① 当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；② 在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．试题发展：用翻折方式构造的两个抛物线作为背景，利用x轴的对称性写出新抛物线的解析式，再借助两个抛物线的左右平移得到的交点与顶点，构造的新图有类似的2008年中考试题的模型，所不同的是问题提出的角度有所改变而已．2008年是探索四点的对称关系，本题是探索四点构成的矩形，但本题与当年南昌命制的类似试题有姐妹互补的作用．例28（2011年2南昌）如图，抛物线m：y?ax2?b（a＜0，b＞0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．
（1）当a=－1，b=1时，求抛物线n的解析式；（2）求证：四边形AC1A1C是平行四边形；（3）四边形AC1A1C可能是矩形吗？若能，请求出a，b应满足的关系式；若不能，请说明理由．试题发展：用旋转方式构造的两个抛物线作为背景，采用求特殊点得关键点的方式，再借用图象的对称性的原理得到所求的抛物线的解析式，利用四点的关系论证平行四边形与特殊四边形，以此得到a，b的关系式．例29（2012年2南昌）如图，已知二次函数L1：y?x2?4x?3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数L2：y?kx2?4kx?3k（k≠0）．①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．试题发展：本试题与同年江西试题只是在设问方式上有一点小区别，都是从二次函数解析式的结构差异中及画出图象中寻找关键的共性，这对于学生正确理解二次函数的性质有一定的要求，而由直线与抛物线的交点关系中求EF的长度，实际上转化成二元二次方程组的问题来解决，可见边缘化的知识在新课上适当引伸一点还是需要的．例30（20132南昌）已知抛物线yn??(x?an)2?an（n为正整数，且0＜a1＜a2＜?＜an）与x轴的交点为An?1(bn?1,0)和An（bn，0），当n=1时，第1条抛物线y1??(x?a1)2?a1与x轴的交点为A0（0，0）和A1（b1，0），其他依次类推．（1）求a1，b1的值及抛物线y2的解析式；（2）抛物线y3的顶点坐标为（
）；依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为（
）（用含n的式子表示）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是．（3）探究下列结论：①若用An?1An表示第n条抛物线被x轴截得的线段长，直接写出A0A1的值，并求出An?1An；
②是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．试题发展：用顶点系的方式命制二次函数试题，对于初中生来说是一个很陌生的课题，对于考生的能力要求上升到了一个更高的层次，这就要求教师在知识传授的过程中，能力的培养要提得更早、题型的开发要做得更多、解题的方法要讲得更广、学习的困难要想得更远．5．关注数学过程，体现试题探究性创新是中考命题的主旋律，“提供新材料，创设新情境，提出新问题”已成为中考命题的新特点，创新试题实际上就是在原有知识的基础上，通过创设新颖的问题情境，构造出具有一定深度和广度的问题，让学生进行自主探索，自由发挥，从而使中考成为一个比较完善、科学的评价方式．例31（2008年2江西）如图①，正方形ABCD和正三角形EFG的边长都是1，点E、F分别在线段AB、AD上滑动，设点G到CD的距离为x，到BC的距离为y，记∠HEF为?（当点E、F分别与B、A重合时，记?=0°）．
（1）当?=0°时（如图②所示），求x、y的值（结果保留根号）；（2）当?为何值时，点G落在对角线AC上？请说出你的理由，并求出此时x、y的值（结果保留根号）；（3）请你补充完成下表（精确到0.01）：
（4）若将“点E、F分别在线段AB、AD上滑动”改为“点E、F分别在正方形ABCD边上滑动”．当滑动一周时，请使用（3）的结果，在图④中描出部分点后，勾画出点G运动所形成的大致图形．≈1.732，sin15°试题发展：以特殊的“正三角形”在“正方形”模型中的滑动作为命题的展开，并借用15°角的倍数关系构造命题，让学生从特殊情况下寻找x、y之间的关系，以此勾画整个图形问题，既考查了学生在模拟操作过程中的思维能力，又考查了正三角形与正方形组合的运动思想；既提示了非特殊角的参考数值，又显示了计算器引入到中考中的作用．从这一年开始，解直角三角形的试题才真正得到重视．例32（2009年2江西）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E 是AB的中点，过点
EF∥BC交CD于点F，AB=4，BC=6，∠B=60°．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x．①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
图4（备用）
图5（备用）试题发展：以等腰梯形作为问题背景，以中位线上的动点作为问题元素，借助平行线构造三角- 14 -，sin75°）
形，题型新颖别致，富有创造．结论的多样性，更给优秀的学生提供了展示才能的机会，使学生的差异性凸现了出来，有利于高一级学校选拔人才．例33（2010年2江西）课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题．实验与认证设旋转角∠A1A0B1=?（?＜∠A1A0A2），?3,?4,?5,?6所表示的角如图所示．（1）用含?的式子表示：?3?4?5（2）图1――图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想设正n边形A0A1A2LAn?1与正n边形A0B1B2LBn?1重合（其中，A1与B1重合），现将正n边形A0B1B2LBn?1绕顶点A0逆时针旋转?（0????180?）． n（3）设?n与上述“?3,?4,L”的意义一样，请直接用含?的式子表示?n；（4）试猜想在正n边形的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．
试题发展：用多边形旋转的方式作为问题的背景，探究旋转角与两条线段夹角的关系，再加上自定义的方式、规律性的研究，使问题结构层次设计更为分明、探索问题方式变得更有规律、内容拓展更有深层．从2007年综合压轴题在设问方式上，常用一种填空题的结构出现，无形中降低了试题的难度和效度，也节约了考生有限的书写时间．例34（2011年2江西）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC=?（0°＜?＜90°）．现将小棒依次摆放在两射线AB、AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上．活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：
（填“能”或“不能”）．（2）设AA1=A1A2=A2A3=1．①?②若记小棒A2n?1A2n的长度为an（n为正整数，如A1A2=a1，A3A4=a2，?），求出此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）．活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1． 数学思考：（3）若已经向右摆放了3根小棒，则?1?2?3（用含?的式子表示）
（4）若只能摆放4根小棒，求?的范围．
试题发展：用常规的图形构造课题学习题，学生易入手、好操作，得分高．作为当年的压轴题，试题解法过于简单，加之计算量少，通过学生的模拟操作，一般都能得到高分．例35（2012年2江西）已知，纸片⊙O的半径为2，如图①，沿弦AB折叠操作．AB经过圆心O时，求?AB的长； （1）如图②，当折叠后的?AB所在圆的圆心O′到弦AB的距离；
（2）如图③，当弦AB=2时，求折叠后?（3）在图①中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．?与?AB所在圆外切于点P时，设点O到弦AB、CD的
①如图④，当AB∥CD，折叠后的CD距离之和为d，求d的值；?与?AB所在圆外切于点P时，设点M为AB②如图⑤，当AB与CD不平行，折叠后的CD的中点，点N为CD的中点．试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．
试题发展：从2006年课题学习题作为中考最后压轴题，一直是以旋转、平移、折叠的形式呈现，而以折纸的方式构造垂径定理的模型来探究两个圆之间的关系，并运用分类的思想方法研究各种不同的关系确是首次应用，从课题转化综合，这是今后压轴题的一种导向、一种趋势．例36（20132南昌）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：（1）操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是
（填序号即可）①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．（2）数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量关系？请给出证明过程；（3）类比探究：（）在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：
（）在三边互不相等的△ABC中（见备用图），仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作（非等腰）直角三角形ABD和（非等腰）直角三角形ACE，M是BC的中点，连接MD和ME，要使（2）中的结论此时仍然成立，你认为需增加一个什么样的条件？（限用题中字母表示）并说明理由．
试题发展：本题以常见的样图作为蓝本，分别从给定的“△ABC”的外侧与内侧作特殊的“等腰直角三角形”过渡到作一般的“直角三角形”，以此来研究三角形的拓展图形，再加上在设问上采取了复合的填空方式，保证了解题的时间．
中考命题改革的新特点和主旋律，给我们传递了一个新信息，在全面推进素质教育的过程中，一方面要关注中考命题、要研究中考命题，要注意试题的价值、要注意试题的发展，更要不断更新我们的教育理念、教育方式．另一方面要求学生在平时学习中重视基础、重视基本技能、重视数学素养，不仅要学会解题，更要关注身边的每一物中的数学信息、学会思考与质疑，进而在数学解题能力、思维能力上得到长久的发展．
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