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过三角形ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC.
过三角形ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC.
（1）若PA=PB=PC，∠C=90°，则点O是AB边的_______点.
（2）若PA=PB=PC,则点O是三角形ABC的________心.
（3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是三角形ABC的________心
提问者：Momster
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证明：1、 PA=PB=PC====》OA=OB=OC（斜线相等，则射影也相等）==》O点是外心。
角C=90°，外心在斜边的中点。
2、OA=OB=OC（斜线相等，则射影也相等）==》O点是外心。
3、 ∵PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，
∴PC⊥平面APB，
∵AB∈平面APB
∴PC⊥AB，
∵PO⊥平面ABC，AB∈平面ABC
∴PO⊥AB，
∵PC∩PO=P
∴AB⊥平面PCO，
∵CO∈平面POC，
∴AB⊥CO，
同理BC⊥AO，AC⊥BO，
AO,BO,CO是三条高的一部分,
三条高必交于一点,
∴O是三角形ABC的垂心。
回答者：teacher012
答：（1）中点。因为P离三个点的距离相同，所以O距三个点的坐标也相同。而一个直角三角形中，斜边的中点就是距离相等
（2）O是三角形的外心，外心就是外接圆的圆心，根据一个圆圆心与圆上任意一点的距离都是半径，而3个点都在圆上，所以是外心
（3）因为 PA垂直于PB,PA垂直于PC,
所以 PA垂直于面PBC.
所以 PA垂直于BC.
而 由题意，AO为PA在面ABC内的射影，
所以 AO垂直于BC.
同理 BO垂直于AC.
由垂心定义，O为垂心。
回答者：teacher054三角形五心定律 _百度百科
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三角形的，外心，垂心，内心和称之为三角形的五心。三角形五心定理是指，，，，的总称。三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用证明，十分简单。（原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）
重心的性质：
1、到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。三角形的圆心，叫做三角形的外心。
1、三角形的三条边的交于一点，该点即为该。
2、若O是△ABC的，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为时，外心在三角形内部；当三角形为时，在三角形外部；当三角形为时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算的应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点的。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
1、三角形三个顶点，三个，这7个点可以得到6个四点圆。
2、O、重心G和H，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的（Euler line））
3、到三角形一顶点距离为此到此顶点距离的2倍。
4、分每条高线的两部分乘积相等。
已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE相交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB
连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E ∴∠ADE=∠ABE
∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC　∴ΔAEO∽ΔADC
∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度　∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB
因此，垂心定理成立！三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
内心的性质：
1、三角形的三条内交于一点。该点即为三角形的内心。
2、的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
3、P为ΔABC所在空间中任意一点，点0是ΔABC内心的充要条件是：P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).
4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
5、()⊿ABC中，R和r分别为为和的，O和I分别为其和内心，则OI^2=R^2-2Rr．
6、（内分三边长度关系）
△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、 ∠C的内分别交BC、AC、AB于Q、P、R，　则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.
7、内心到三角形三边距离相等。三角形的（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。
1、三角形一内和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
2、每个三角形都有三个。
3、到三边的距离相等。
如图，点M就是△ABC的一个。三角形任意两角的外和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个，而且一定在三角形外。
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时，内心，，，四心合一。三角形五心歌（重外垂内旁）
三角形有五颗心，重外垂内和， 五心性质很重要，认真掌握莫记混．
三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“”，重心性质要明了，
分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活运用掌握好．
三角形有六元素，三个有三边． 作三边的中垂线，三线相交共一点．
此点定义为，用它可作． 内心外心莫记混，内切外接是关键．
三角形上作三高，三高必于交． 高线分割三角形，出现直角三对整，
有十二，构成六对相似形， 图中有，细心分析可找清.
三角对应三顶点，角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形， 此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．
五心性质别记混，做起题来真是好。
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