当a=2分之1，b=5分之1时,(a+b）除以（1—ab）的值等于多少?_百度知道
当a=2分之1，b=5分之1时,(a+b）除以（1—ab）的值等于多少?
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(1-1&#47=(1/2+1/5)/10)=7/5)=(7/2×1/(9/10)&#47
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(a+b）除以（1—ab）=7/10÷9/10=7/9
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a&0;=a&=0;0综上述,可分为两种情况,
x1*x2=-1&#47,有一正实数;a&0;a&gt,有两正实数,解得-4&4,x2(1)有一正实数 x1*x2=-1&#47,即a&a&0(2)有两正实数 16+4a&gt,当a不等于0解 当a=0时,不妨设二根为x1,x=1/0
x1+x2=-4&#47
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当a二1.8时,b二0.6,x二2.5时求下列各式的值4x十a,怎么写
4x+a=4*2.5+1.8=10+1.8=2.8第六章 极值问题
所谓极值，简单地说，是指一群同类量中的最大量(或最小量)．对于极值问题的研究，历来被视为一个引人入胜的课题．波利亚说过：“尽管每个人都有他自己的问题，我们可以注意到，这些问题大多是些极大或极小问题．我们总希望以尽可能低的代价来达到某个目标，或者以一定的努力来获得尽可能大的效果，或者在一定的时间内做最大的功，当然，我们还希望冒最小的风险。我相信数学上关于极大和极小的问题，之所以引起我们的兴趣，是因为它能使我们日常生活中的问题理想化．”波利亚，《数学与猜想》，第一卷，第133页我们将看到，许多实际问题和数学问题，都可归结为形形色色的极值问题，才能得到统一地解决．
§1 凸函数与极值
&&& 一 凸函数的定义及性质
凸函数是一类有着广泛应用的特殊函数，具有许多特殊的性质我们先来讨论一元的凸函数，然后再讨论多元的凸函数.
&&& 定义1.1
设函数y=f(x)定义在某区间I上,对于任意的x1,x2∈I以及任意的α∈(0，1)，有
&&&&&&&&&&&
f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2)&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
恒成立，则称y=f(x)为下凸函数.若
&&&&&&&&&&&&&
f(αx1+(1-α)x2)≥αf(x1)+(1-α)f(x2)，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
则称y=f(x)是上凸函数
&&& 下凸函数与上凸函数统称为凸函数,如果(1)与(2)是严格不等式，则称f(x)是严格凸函数
凸函数的图象称为凸曲线从几何观点看，下凸曲线的任意一段弧都不在这段弧所对的弦的上方；上凸曲线的任意一段弧都不在这段所对的弦的下方。
凸函数的概念可以从一元函数推广到多元函数。但是，这需要多元函数的定义域是凸的.
&&& 定义1.2
设集合SRn，若对于任意的x1,x2∈S以及任意的α∈(0,1),有
&&&&&&&&&&&
xα=αx1+(1-α)x2∈S&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(3)
则称集合S是凸集
&&& 由定义易知，S是凸集，当且仅当连接S中任意两点的线段在S中.
&&& 凸集具有下列的简单性质.
&&& 性质1.1
集合SRn是凸集的充要条件是对于任意自然数n≥2,若点x1,x2,…，xn∈S，则其非负线性组合
&&&&&&&&&&&
∑nk=1αkxk∈S，
其中αk≥0，且∑nk=1αk=1
&&& 证明 此性质的证明留给读者
&&& 性质1.2
任意个凸集的交集是凸集.
&&& 证明 显然
两个凸集的并集未必是凸集
&&& 定义1.3
设A，BRn，则定义
&&&&&&&&&&&
λA+μB=｛c｜c=λa+μb,a∈A，b∈B｝.
&&& 性质1.3
设A，B(Rn)是凸集，λ，μ是实数，则λA+μB是凸集
设x1,x2∈λA+μB，则存在a1,a2∈A，b1,b2∈B，使得
&&&&&&&&&&& xi=λai+μbi,i=1,2,
对于α∈(0,1),因A，B为凸集，故αa1+(1-α)a2=a∈A，αb1+(1-α)b2=b∈B,从而有
&&&&&&&&&&& αx1+(1-α)x2=αλa1+αμb1+(1-α)λa2+(1-α)μb2
&&&&&&&&&&& =λ(αa1+(1-α)2)+μ(αb1+(1-α)b2)
&&&&&&&&&&& =λa+μb∈λA+μB
故λA+μB是凸集
&&& 定义1.4
设SRn是一非空凸集，f:S→R，若对于任意的x1,x2∈S及任意的α∈(0,1),有
&&&&&&&&&&& f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2),&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
则称f(x)在集合S上是下凸函数.若
&&&&&&&&&&& f(αx1+(1-α)x2)≥αf(x1)+(1-α)f(x2)，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (5)
则称f(x)在集合S上是上凸函数
&&& 上凸函数与下凸函数统称为凸函数若(4)与(5)中为严格不等式，则称f(x)为严格凸函数
&&& 定理1.1
设SRn是凸集，f:S→R则f(x)是下凸函数当且仅当对于任意的自然数n≥2，xk∈S,k=1,2,…，n，有
&&&&&&&&&&& f(∑nk=1αkxk)≤∑nk=1αkf(xk),(6)
其中αk≥0,∑nk=1αk=1
&&& 证明 充分性显然
&&& 下面证明必要性使用数学归纳法
&&& ① 由下凸函数的定义，当n=2时，(6)式成立
&&& ② 假设n=m时(6)式成立
&&& ③ 当n=m+1时，我们来证明
&&&&&&&&&&& f(∑m+1k=1αkxk)≤∑m+1k=1αkf(xk)&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&& 令α=∑m+1k=1αk,则α≥0,若α=0,显然(6′)成立若α＞0，则α+αm+1=1因为f(x)是下凸函数，故有
&&&&&&&&&&& f(∑m+1k=1αkxk)=f(∑mk=1αkxk+αm+1xm+1)
&&&&&&&&&&& =f(α?∑mk=1αkxk/a+αm+1xm+1)
&&&&&&&&&&& ≤αf(∑mk=1αkxk)+αm+1f(xm+1)&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
由归纳假设及∑mk=1αk/α=1，有f(∑mk=1αkxk)≤∑mk=1αkαf(xk)
将此式代入(7)，即得到(6′)式。
f(x)是上凸函数当且仅当与(6)式相反的不等式成立.
&&& 定理1.2
设fi(x)是凸集S上的下凸函数，i=1,2,…，n，又αi≥0，i=1,2,…，n则f(x)=∑ni=1αifi(x)是下凸函数
易证，留给读者
&&& 定理1.3
设f:Rn→R是下凸函数，φ:R→R是非减下凸函数，则复合函数φ[f(x)]是Rn上的下凸函数
易证，留给读者，
&&& 对于一个给定的具体函数，利用定义判断其是否是凸函数，常常是不容易的。但是，对于可导的函数，我们有如下的判别方法：
&&& 定理1.4 设SRn是非空开凸集，f是S上的可微函数，对于任意两点x1，x1∈S，若
&&&&&&&&&&& f(x2)≥f(x1)+(x2-x1)T?△f(x1)，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(8)
则f在S上是下凸的，其中，(x2-x1)T表示是向量(x2-x1)的转置，且
&&&&&&&&&&& f(x)=(δf/δx1(x)，…，δ/δx1f(x))T&&&
注：δ表积分中的符号。
&&& 证明 证明可参见文献〔8〕
&&& 若f(x)是S上的二次可微的函数，记
&&&&&&&&&&&&&&&
A(x)=(aij(x)),aij(x)=δ2f(x)xixj，
称A(x)为f(x)在点x的Hessian矩阵
&&& 定理1.5 设SRn是非空开凸集，f是S上的二次可微函数，则对任意的x1,x2∈S,若
&&&&&&&&&&&&&&&
xT2A(x1)x2≥0，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
则f(x)在S上是下凸函数
若(8)与(9)式相反的不等号成立，则f(x)是S上的上凸函数.
&&& 推论1.1
若f(x)是(a,b)内二次可微的函数，若f″(x)≤0，则f(x)是上凸的函数,若f″(x)≥0，则f(x)是下凸函数.
&&& 我们来考察基本初等函数的凸性
&&& 1 幂函数f(x)=xα,x＞0
&&& 因f″(x)=α(α-1)xα-2.当α≥1时，有f″(x)≥0，故f(x)是下凸函数；当α≤1时，有f″(x)≤0，故f(x)是上凸函数当α=1时，f(x)既是上凸的，又是下凸的
&&& 一般地，线性函数f(x)=ax+b是既上凸又下凸的函数
&&& 2 指数函数f(x)=ax(a＞0,a≠1)，因f″(x)=ax(lna)2＞0，故f(x)是下凸函数
&&& 3 对数函数f(x)=logαx(a＞0,a≠1)，x＞0
&&& 因f″(x)=-1lna1x2当a＞1时，f″(x)＜0，故f(x)是上凸的；当0＜a＜1时，f″(x)＞0，故f(x)是下凸的
&&& 4 三角函数f(x)=sinx对于任意整数k，在区间〔2kπ，(2k+1)π〕内，f(x)是上凸的，在区间[(2k+1)π，2(k+1)π]内，f(x)是下凸的
&&& 众所周知，有界闭区域上的连续函数一定能够取到最大值与最小值，但最大值点与最小值点可能在区域的任意点。但是对于凸函数来说，它的最大(小)值有着一些特殊的性质
&&& 定理1.6
设SRn是一非空有界闭凸集f:S→R是下凸函数
&&& (i) 若x0是f(x)在S上的局部极小值，则x0是f(x)在S上的最小值
&&& (ii) 若f(x)是严格下凸函数，则它在S上的最小值点是唯一的
&&& 证明 (i) 若x0是f(x)的一个局部极小值点，则存在x0的一个邻域N(x0，δ)，对于x∈N(x0,δ)，有f(x)≥f(x0).
x1∈S，有充分小的α，0＜α＜1,使得
&&&&&&&&&&& (1-α)x0+αx1∈N(x0,δ)，
&&&&&&&&&&& f((1-x)x0+αx1)≥f(x0)
又由f(x)是下凸的函数，故有
&&&&&&&&&&& f(x0)≤(1-α)f(x0)+αf(x1).
移项即可得，f(x0)≤f(x1),故f(x0)在S上取最小值
&&& (ii) 假设f(x)在S上的两个点x0,x1取到最小值，即f(x0)=f(x1)=min｛f(x)｜x∈S｝因S是凸集，故对于α∈(0,1),αx0+(1-α)x1∈S又由f(x)是严格下凸的，则有
f(αx0+(1-α)x1)＜αf(x0)+(1-α)f(x1)=f(x0)
这与f(x0)在S上取最小值矛盾。
&&& 定理1.7
有界闭凸集S上的下凸函数f(x)必在S的边界δS上取到最大值
&&& 证明 设x0∈SRn，f(x0)=max｛f(x)｜x∈S｝,若x0∈S,则定理得证,否则，x0∈S的内点，过x0任做一“直线”，由有界闭凸集的性质，该“直线”必与边界S交于两点，设x1，x2于是存在正数α，β且α+β=1，使x0=αx1+βx2由假设知，f(x1)≤f(x0),f(x2)≤f(x0),故f(x0)≤f(αx1+βx2)≤αf(x1)+βf(x2).
若f(x2)&f(x0),则f(x0)&αf(x1)+βf(x0),即(1-β)f(x0)&αf(x1).
从而有f(f0)&f(x1).这与点x0为最大值点矛盾，故f(x2)=f(x0).
同理f(x1)=f(x2)=f(x0)=max｛f(x)｜x∈S｝
由(10)式可以看出，若f(x)在S的内点x0取最大值，则在S上，f(x)=f(x0).也就是说，若f(x)在S上是非常值函数，则f(x)不能在S的内部取到最大值.
&&& 定理1.8 设SRn为有界凸多面体，x1,x2，…，xN为S的顶点.f(x)为S上的下凸函数，则f(x)的最大值必在S的顶点上取到，即
&&&&&&&&&&& max｛f(x)｜x∈S｝=max｛f(xi)｜1≤i≤N｝
&&& 证明 由定理1.7知，存在x0∈S，使f(x0)=max｛f(x)｜x∈S｝
设x0在S的某一侧面π上，则π的顶点是S的顶点中的一部分.若x0是π的顶点，则结论已成立,若x0不是π的顶点，设x1，…，xm是π的顶点，则存在α1≥0，…，αm,≥0，α1+α2+…+αm=1，且x0=α1x1+…+αmxm.由f(x)的凸性知，f(x0)=f(∑mi=1αixi)≤∑mi=1αif(xi)≤f(x0)，由此可知f(x0)=f(xi)i=1,2,……,m
若f(x)是上凸函数，则f(x)在凸多面体上的最小值必在该多面体的顶点得到.
&&& 推论1.2 若f(x)是有界凸多面体SRn上的线性函数，则f(x)的最大、最小值都在该多面体的顶点上取到。
&&& 二 求解极值问题
&&& 例1 已知函数f(x)=ax2-c，满足
-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5证明，-1≤f(3)≤20
我们先将该问题做个转化：令
F(a,c)=f(3)=9a-c,其中，a与c满足约束条件
&&&&&&&&&&&
-4≤a-c≤-1，
-1≤4a-c≤5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
事实上，约束条件(10)给出了点(a,c)的变化区域S(如图6.1)，它是一个凸四边形区域,而F(a,c)是在域S上的最大值与最小值要在S的顶点取到,我们可以见到，在直线l1上，
F(a,c)=9a-c=8a-1，故有F(x0)＜F(x3).而在直线l2上，有
F(a,c)=9a-c=5a+5，故有F(x3)＜F(x2),即F(x0)＜F(x3)＜F(x2)同理可得，F(x0)＜F(x1)＜F(x2)求得
&&&&&&&&&&& F(x0)=F(0,1)=-1,
&&&&&&&&&&& F(x2)=F(3,7)=20
故-1=F(x0)≤F(a,c)=f(3)≤F(x2)=20
&&& 例2 设a,b,c为实数，当｜x｜≤1时，有不等式｜ax2+bx+c｜≤1，试证
，当｜x｜≤1时，恒有｜2ax+b｜≤4
此问题转化为在约束条件
&&&&&&&&&&&
-1≤a+b+c≤1,
&&&&&&&&&&&
-1≤a-b+c≤1,
&&&&&&&&&&&
下(见图62)，求证
&&&&&&&&&&&
-4≤2a+b≤4，
&&&&&&&&&&&
-4≤-2a+b≤4.
约束条件构成(a,b,c)的区域为一平行六面体，设为S
&&&&&&&&&&& f1(a,b,c)=2a+b,
f2(a,b,c)=-2a+b
为定义在S上的线性函数由推论1.2可知，
&&&&&&&&&&&
max｛f1(a,b,c)｜(a,b,c)∈S｝=max｛f1(xi)｜1≤i≤8｝=f1(2,0,-1)=4,
&&&&&&&&&&&
min｛f1(a,b,c)｜(a,b,c)∈S｝=min｛f1(xi)｜1≤i≤8｝&
=f1(-2,0,1)=-4.
&&&&&&&&&&&
max｛f2(a,b,c)｜(a,b,c)∈S｝
=max｛f2(xi)｜1≤i≤8｝=f2(-2,0,1)=4,
&&&&&&&&&&&
min｛f2(a,b,c)｜(a,b,c)∈S｝& =min｛f2(xi)｜1≤i≤8｝=f2(2,0,1)=-4
已知x,y满足下列不等式：&&&
x-2y+7≥0，4x-3y-12≤0，x+2y-3≥0求，f(x,y)=x2+y2的最大值和最小值
约束条件构成(x,y)的区域为图63中以A(9，8)，B(-2，5
2)，C(3，0)为顶点的三角形闭域S
&&& 我们来证明f(x,y)是S上的下凸函数对于任意的M1(x1,y2)与M2(x2,y2),由定
理1.5及(x2,y2)A(x1,y1)(x2/y2)=2(x22+y22)=2(x22+y22)≥0
可知，f(x,y)是S上的下凸函数
&&& 由定理1.8，可得max｛f(x,y)｜(x,y)∈S｝=max｛f(A),f(B),f(C)｝=f(A)=f(9,8)=145
&&& 为求min｛f(M)｜M∈S｝，首先注意到，对于M∈S，根号f(M)表示点M到坐标
原点的距离,故
&&&&&&&&&&&
min｛根号f(M)｜M∈S｝=OH=｜-3｜/根号(12+22)
&&&&&&&&&&&
min｛f(x,y)｜(x,y)∈S｝=95
&&& 下面举例说明定理1.1及注1.2的应用.
证明，在圆的内接n边形中，以正n边形的面积为最大.
&&& 证明 设圆的半径为r，内接n边形的面积为An,各边所对的圆心角分别为θ1,…,θn，则可得到
&&&&&&&&&&& Sn=1/2r2(sinθ1+sinθ2+…+sinθn)
&&& 设f(x)=sinx，由于它在(0，π)内上凸，于是有
&&&&&&&&&&& sinθ1+sinθ2+…+sinθn≤nsin(1/n(θ1+…+θn))=nsin2π/n&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
所以当θ1=θ2…=θn时，Sn取最大值，也就是以正n边形的面积为最大
&&& 特别地，若A，B，C为三角形三内角时，由(12)式，有
&&&&&&&&&&&
sinA+sinB+sinC≤3根号3/2，
&&&&&&&&&&&
sinA/2+sinB/2+sinC/2≤3/2
类似地，读者不难验证
&&&&&&&&&&&
cosA+cosB+cosC≤3/2
&&&&&&& &&& sinA/2?sinB/2?sinC/2≤1/8
&&& 例5 设xi＞0，i=1,2,…，n，证明
&&&&&&& (x1,x2…xn)1n≤1/n(x1+x2+…+xn)&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&& 证明 由前面讨论知，对于a＞1，f(x)=logax是上凸函数.由定理1.1及注1.2得
&&&&&&&&&&& ∑ni=1αif(xi)≤f(∑ni=1αixi)
特别地，取α1=α2=…=αn=1/n，有
&&&&&&&&&&&
1/n(logax1+…+logaxn)≤loga1/n(x1+…+xn)
由对数的运算性质以及单调递增性质，故有(13)式成立。
(13)式的左端为n个正数的几何平均，(13)式的右端为n个正数的算术平均，即n个正数的几
何平均不超过这几个正数的算术平均,从(13)式，我们有如下的命题：
&&& 命题1：设xi＞0，i=1,2,…，n且x1x2…xn=k(常数)则当x1=x2=…=xn时，和x1+x2+…+xn有极小值
&&& 命题2 设xi＞0，i=1,2,…，n，且x1+x2+…+xn=k(常数)，则当x1=x2=…=xn时，积x1x2…xn有极大值
当x＞1时，求y=2x(x+1)/(x-1)的最小值
&&& 解 y=2x(x+1)/(x-1)=(2x2+2x)/(x-1)=1/(x-1)[2(x-1)2+6(x-1)+4]=2(x-1)+4/(x-1)+6
&&& 因为x＞1，所以2(x-1)＞0，4/(x-1)＞0，且2(x-1)?4/(x-1)
=8为定值,由命题1，当2(x-1)=4/(x-1),即当x=1+根号2时，2(x-1)+4/(x-1)有最小值4根号2，从而y有最小值6+4根号2}