域Ω上的方阵分解为两个对称阵的乘积的一个定理
文〔1〕证明了任意域夕上的方阵必可分解为个数不超过4个的、域g上的对称阵的乘积。我们巳经知道,实数域(复数域)上的方阵必可分解为实数域(复数域)上两个对称阵的乘积,那么在任意域习上是否仍有相似的结果呢?本文构造性地证明了下面的结论: 定理特征P手2的域.上的任一方阵必可分解为域。上的两个对称阵的乘积,且其中之一为可逆的。‘ 定理的证明是通过以下3个引理给出的。· 引理1域习上的矩阵一a卫 1一夕2 0气a3 0一a一么‘、O一口.一 O0.…00一口”一口一l一a一2.……‘.,.……‘...……t…‘…‘.....................……00的不变因子组为1~—一~一、…,1 O,d(久)一口z一a几 ,上 、一n甘nd(幻二护+1,习a,。,一,。其中 2)几。一l+(E aja卜一)久。一2+…i=0i=0a;a。二一;)凡+n一1‘习a;a卜:i=0(口。=1)11 nM一叉=尤。名 了t、 +。e气。江西大...&
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关于方阵分解为一个对称阵与一个对合阵的乘积冯肇华李样明（广东教育学院数学系广州５１０３０３）摘要提出如下有趣的猜想：任意域上的方阵均可以分解为一个对称阵与一个对合阵的乘积。证明了当方阵的阶为２，３时，方阵为次线对称阵时，方阵为亚正定，亚半正定时猜想成立。关键词次线对称阵，对合阵，亚正定矩阵，亚半正定矩阵，合同变换分类号Ｏ１５１?２１矩阵的乘积分解是矩阵论中有意义的问题之一，〔１〕中证明了任意域上的方阵可表为两个对称阵与一个对合阵的乘积，〔３〕中证明了任意域上的方阵可表为两个对称阵的乘积，很自然地，我们有如下猜想：猜想任意域上的方阵可表为一个对称阵与一个对合阵的乘积。本文首先证明了当方阵为次线对称阵时或阶为２时，猜想成立，再限制在实数域上，运用矩阵的合同变换，证明了当方阵为亚正定，亚半正定等情形时，猜想成立。本文所有结论的证明都是构造性的。设Ｆ为一域，Ｍｎ（Ｆ）是Ｆ上ｎ×ｎ矩阵的集合，Ｇｎ（Ｆ）是Ｍｎ（Ｆ）中非奇异矩阵的全体。设Ｓ...&
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文〔l]讨论了方阵分解成对称矩阵之积的问题,得到定理:任何域上的方阵皆可表成有限个对称方阵的乘积.最后〔11的作者留了两个待解决的问题,其中之一是:对任一域,矩阵分解为对称因子的个数,其最小数应是多少?并且在[1〕中,作者给出了初步猜测,这个数大约不超过6,但没给出证明.本文对这一问题给出了完满的回答,指出,任何域上的方阵都可表成不超过两个对称矩阵的乘积,从而给出了这个最小数应为2的结果.5 1.尤-矩阵的定义及若干性质 定义.域F上的方阵A称为K一矩阵,如果存在域F上的非奇异对称方阵K满足 KA~‘AK,这里‘A表A的转置矩阵. 在下面的证明中要用到K一矩阵的以下性质: 1.若A为K一矩阵,且B相似于A,则B也是K一矩阵. 2.若A:,AZ,…,A,都是K一矩阵,且尸为非奇异方阵,则p一ldiag{A:,AZ,…,A,}P也是K一矩阵. 3.任何域F上的K一矩阵都可表成不超过两个对称方阵的乘积. 以上的定义及性质的证明在文章【...&
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1　引言矩阵理论是近代数学的工具 ,在越来越多的科学领域得到广泛应用。而特殊矩阵是矩阵理论的重要组成部分 ,因此 ,研究新的特殊矩阵很有意义。近年来人们发现了许多新的特殊方阵 ,文〔1〕给出了次对称阵与反次对称阵 ,本文进一步把次对称阵与反次对称阵特殊化 ,得到双重对称阵及反双重对称阵 ,研究了其性质与关系 ,得到一些有意义的结果。2　双重对称阵一个n阶方阵A =(aij)叫次对称 :若aij =an + j+ 1,n-i+ 1(i,j=1,2… ,n)〔1〕定义 1　一个n阶方阵A叫做双重对称阵 ,若A是对称阵又是次对称阵。例如 :1　 2　 12　 3　 21　 2　 1是实数域上的三阶双重对称阵。性质 1　若A为双重对称阵 ,则A′及A 也是。性质 2　若A是一个可逆双重对称阵 ,则A- 1也是性质 3　A、B是两双重对称阵 ,则AB是双重对称阵的充要条件是AB =BA性质 4　A、B是两双重对称阵 ,则aA ,A +B ...&
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由文献［１］知，对任何域Ｆ上的方阵Ａ，均存在域Ｆ上的非奇异对称方阵Ｋ满足ＫＡ＝Ａ′Ｋ（Ａ′表示Ａ的转置）．显然，此时ＫＡ是对称矩阵．这表明，任何域Ｆ上的方阵Ａ，均可用一个非奇异对称阵Ｋ使其乘积ＫＡ对称化．于是，选择特定类型的Ｋ，就得到特定类的可对称化矩阵．文献［２，３］选择Ｋ为正定对称阵，就得到一类被称为广义对称阵的可对称化矩阵，另一方面．由ＫＡ＝Ａ′Ｋ得Ａ＝Ｋ－１（Ａ′Ｋ）．因为Ｋ－１，Ａ′Ｋ都是对称矩阵，所以，这表明：任何域上的方阵Ａ均可表示为两个对称矩阵Ｓ，Ｎ（Ｓ＝Ｋ－１，Ｎ＝Ａ′Ｋ）的乘积ＳＮ．对其中的一个矩阵，比如Ｎ，选择特定的类型就得到一类特定的可对称化矩阵．文献［４］选择Ｎ为半正定对称阵，得到一类广义可对称化矩阵，研究了它的性质．本文分别选择Ｋ为正对角阵Ｄ和正交对称阵Ｐ，得到两类可对称化矩阵，分别称为Ｄ－对称阵和Ｐ－对称阵，研究了这两类矩阵的性质，给出了它们的一些应用．定义１设Ａ∈Ｒｎ×ｎ．若存在正对角阵Ｄ使ＤＡ为...&
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十九世纪五十年代初创时作为纯数学理论的矩阵理论,半个世纪后作为描述原子系统中的矩阵力学的数学工具得到了应用.现在,矩阵不仅是近代数学的一种有力工具,而且在许多不同的科学领域中的应用一直以惊人的速度不断增加.而特殊矩阵(如对称阵、斜对称阵等)是矩阵论的重要组成部分.本文类似对称阵与斜对称阵引入次对称阵与反次对称阵的概念,并进而研究了次对称阵与反次对称阵的性质及它们间的关系 一、次对称阵 定义 一个n阶方阵A一O扣q做次对称阵:假若ail—a;;十U,肌i刊.O,j一1,2,·”,n)例如: ]V 3——5 7 A—1/2 4/7—5 141/2 丫 3 j就是实数域上的一个3阶次对称阵. 0 令。-二e卜几卜;-kUX其巾。;是第i行第j列相交处的元素为I而其余的元素。 i“l为0的刀阶方阵. 厂,当i—n—j+1时; ..g;。={ 乙0,当i+。一/-I-1时. 命题】设A是n阶方阵,则以下诸条件是等价的. (1)A是次对称阵...&
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一、引言 通过微扰阵单元的幅度分布、相位分布或者单元间距,能够获得所要求的波束形状。然而人们发现只控制相位的方法能产生更好的方向图近似。首先研究非均匀间距阵的是昂泽〔幻,文献〔2、3〕报道了许多用于阵列综合的间距形式。从这些资料中显然可以看出,一组特别的排阵方法可改善某些辐射特性。同时也发现这样的阵列可以降低副瓣电平;当平均间距较大时,栅瓣也将被消除;而且排阵所需的总单元数目也可减少。本文讨论了各向同性单元按正弦规律分布的对称阵对扇形波束的影响,并且与有同样数目单元的等间距阵作了比较。 分N单元阵的辐射方向图由下式给出: E(。卜全I。ejks:s、n。析(1) 这里I。是第n个单元上的电流,S:是该单元相对参考点。的位置。采用狄拉克各函数,(1)式可改写为:E(0)=艺f(n)(2)这里f(n)=f(v)6(v一n)dy(3)N0月IJ则(3)式可改写为:。旦f(·)={:“·,习各(v一n)dy这里习乙(v一n)=奇。旦·’...&
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总结在利用正交，矩阵将一个实对称矩阵（3阶方阵）对角化的过程中所包含的知识点，
并就矩阵的特征值都是单根和具有重根这种情况，分别举出实例，并给出相应的解题过程。
提问者采纳
1.求特征多项式=0的特征值2.求满足特征值的特征方程的基础解系，也就是特征向量3.将特征向量施密特正交化好像就这些了吧
能不能给一些例题呀，谢谢，感激涕零呀
这里比较详细
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