求问数学分析一道求极限的题的解法！（在线等~）_百度知道
求问数学分析一道求极限的题的解法！（在线等~）
如何证明：limn →∞，∫+∞1 （sinnx/x*x）=0 希望有详细解法过程~3Q啦！！！
提问者采纳
我们先观察sinnx/x^2的图像，发现它是峰谷相间的并且峰谷的宽度不变，第一个峰的面积大于之后谷的面积大于之后峰的面积。，于是我们发现积分式的绝对值小于第一个峰的面积与第一个谷的面积的最大值。由上面的观察我们给出证明记S（n）=|∫+∞1 （sinnx/x*x）|设2kPi&=n&=2(k+1)Pi S(n)&=max{积分号下2kPi到2k+1Pi，sinnx/x^2-----------------(第一个峰的面积)积分号下2k+1Pi到2k+2Pi，-sinnx/x^2-------------------（第一个谷的面积）}积分号下2kPi到2k+1Pi，sinnx/x^2&=Pi/(2kPi)^2&=Pi/n^2(大概是这样)积分号下2k+1Pi到2k+2Pi，-sinnx/x^2做同样估计由此S(n)-&0，（n趋于无穷）注：上述观察都可以用分析的手段证明，只是比较琐碎，就不打出来了。
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对于任何A&1，利用积分第二中值定理得存在1&=t&=A使得\int_1^A sinnx/x^2 dx = \int_1^t sinnx dx + 1/A^2 * \int_t^A sinnx dx取绝对值|\int_1^A sinnx/x^2 dx| & |\int_1^t sinnx dx| + |\int_t^A sinnx dx| &= 4/n所以|\int_1^\infty sinnx/x^2 dx| & 4/n
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出门在外也不愁数学分析方法_百度百科
??电子工业出版社于2010年出版的教材 收藏 查看&数学分析方法本词条缺少概述、信息栏、名片图，补充相关内容使词条更完整，还能快速升级，赶紧来吧！
出版社: 电子工业出版社; 第1版 (日)
丛书名: 教育部高等学校特色专业建设教材·香樟书库系列(数学卷)
平装: 194页
正文语种: 简体中文
尺寸: 25.6 x 18.2 x 1.2 cm
重量: 322 g数学分析方法对数学分析的基本概念基本结论重要方法及证明计算技巧进行了总结和归纳对重要内容进行了全面细致的讨论收集了大量数学分析习题对历届不同学校的考研试题进行了有益的总结和归纳整理了常用的解题方法技巧和经验数学分析方法在内容上全面系统深入浅出对于提高分析和解决数学分析中的问题的能力有很大帮助
数学分析方法按照传统的教学内容顺序安排共分9章分别是极限连续一元函数微分学定积分级数理论多元函数微分学广义积分含参变量积分和多元函数积分学每章节都有两部分内容一是基本内容基本概念和方法常见问题等二是典型例题包括典型例题解析方法总结和重点分析讲解数学分析方法注重解题思路的讲解和规律的揭示与方法技巧的归纳突出知识的综合运用和解题能力的训练以求达到举一反三见微知著融会贯通的目的
数学分析方法可作为报考数学各专业硕士研究生复习数学分析的参考书以及理工科大学生课程学习或复习的指导书还可作为有关教师的教学参考书第1章 极限
1.1 基本理论
1.1.1 基本概念
1.1.2 基本性质
1.1.3 基本结论
1.2 典型例题
1.2.1 用定义证明极限
1.2.2 用罗必达法则求极限
1.2.3 用Taylor公式求极限
1.2.4 利用初等变换法求极限
1.2.5 利用变量替换求极限
1.2.6 利用迫敛性求极限
1.2.7 利用定积分定义求极限
1.2.8 O.Stolz公式
1.2.9 利用序列的递推关系求极限
1.2.1 0求极限的其他几种方法
第2章 连续
2.1 基本概念
2.1.1 在一点连续的三种等价定义
2.1.2 左右连续概念
2.1.3 间断点及其分类
2.1.4 一致连续概念
2.2 基本性质
2.2.1 局部性质
2.2.2 闭区间上连续函数的基本性质
2.3 典型例题
2.3.1 连续性的证明
2.3.2 函数的一致连续性
第3章 一元函数微分学
3.1 导数概念及可微性
3.1.1 基本概念
3.1.2 典型例题
3.2 微分中值定理及导数应用
3.2.1 导数的两大特征
3.2.2 中值定理的应用
3.2.3 Taylor公式的应用
3.2.4 函数的零点
第4章 定积分
4.1 基本理论
4.2 可积性
4.3 积分性质的应用
4.4 积分等式的证明
4.5 积分估值
4.6 积分不等式
4.7 定积分计算
第5章 级数理论
5.1 数项级数
5.1.1 基本理论
5.1.2 正项级数敛散性判别法
5.1.3 任意项级数敛散性判别法
5.1.4 典型例题
5.2 函数列与函数项级数
5.2.1 基本理论
5.2.2 分析性质
5.2.3 典型例题
5.3 幂级数
5.3.1 基本理论
5.3.2 和函数的分析性质
5.3.3 函数的幂级数展开
5.3.4 典型例题
5.4 Fourier级数
5.4.1 基本理论
5.4.2 典型例题
第6章 多元函数微分学
6.1 常见的几种关系
6.1.1 二重极限与累次极限之间的关系
6.1.2 偏导数与可微之间的关系
6.1.3 方向导数与连续偏导数存在及可微之间的关系
6.1.4 混合偏导数之间的关系
6.2 典型例题
第7章 广义积分
7.1 基本概念
7.1.1 定义
7.1.2 性质
7.2 广义积分敛散性判别法
7.2.1 基本定理
7.2.2 Cauchy收敛准则
7.2.3 比较判别法
7.2.4 Cauchy判别法
7.2.5 Abel判别法
7.2.6 Dirichlet判别法
7.3 常见的几种关系
7.3.1 可积绝对可积平方可积之间的关系
7.3.2 广义积分与无穷级数之间的关系
7.3.3 无穷积分与暇积分之间的关系
7.3.4 无穷积分∫+∞afxdx的收敛性与limx→+∞f
x=0之间的关系
7.4 广义积分计算与敛散性判别
7.4.1 计算
7.4.2 广义积分的敛散性判别
7.5 Froullani积分
7.6 Riemann引理
第8章 含参变量积分
8.1 含参变量定积分
8.1.1 基本理论
8.1.2 典型例题
8.2 含参变量的广义积分
8.2.1 含参变量广义积分的一致收敛性及判别法
8.2.2 含参变量广义积分的极限与连续
8.2.3 含参变量广义积分的积分号交换与积分号下求导
8.2.4 典型例题
第9章 多元函数积分学
9.1 重积分
9.1.1 基本积分方法
9.1.2 典型例题
9.2 曲线积分与格林公式
9.2.1 基本内容
9.2.2 典型例题
9.3 曲面积分与高斯公式
9.3.1 基本内容
9.3.2 典型例题
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极限方法在数学分析中的应用 论文
极限方法在数学分析中的应用 论文
09-01-16 &匿名提问 发布
极限的思想方法贯穿于整个数学分析中，一些基本概念如微分、积分的定义都与极限有密不可分的联系。因此，熟练掌握极限的求法是学好数学分析的关键极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。 　　所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。 　　极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。 　　1.极限思想的产生与发展 　　（1）极限思想的由来. 　　与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。 　　到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。 　　?（2）极限思想的发展 　　极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。 　　?起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。牛顿用路程的改变量ΔS与时间的改变量Δt之比ΔS／Δt表示运动物体的平均速度，让Δt无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。他意识到极限概念的重要性，试图以极限概念作为微积分的基础，他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等”。但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当n无限增大时，an无限地接近于常数A，那么就说an以A为极限”。 　　?这种描述性语言，人们容易接受，现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义。但是，这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系，不能作为科学论证的逻辑基础。 　　?正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念中，究竟Δt是否等于零?如果说是零，怎么能用它去作除法呢?如果它不是零，又怎么能把包含着它的那些项去掉呢?这就是数学史上所说的无穷小悖论。英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。 　　?贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱。这个事实表明，弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需要的，而且有着认识论上的重大意义。 　　?（3）极限思想的完善 　　?极限思想的完善与微积分的严格化密切联系。在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试解决，但都未能如愿以偿。这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚；对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解；对有限和无限的对立统一关系还不明确。这样，人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法，就不能适应变量数学的新需要，仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零”相互转化的辩证关系。 　　?到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各自的定义。其中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量”，它接近于极限的正确定义；然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖。事情也只能如此，因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念上面的。 　　?首先用极限概念给出导数正确定义的是捷克数学家波尔查诺，他把函数f（x）的导数定义为差商Δy／Δx的极限f′（x），他强调指出f′（x）不是两个零的商。波尔查诺的思想是有价值的，但关于极限的本质他仍未说清楚。 　　?到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论，他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小”。 　　?柯西把无穷小视为以0为极限的变量，这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识，这就是说，在变化过程中，它的值可以是非零，但它变化的趋向是“零”，可以无限地接近于零。 　　?柯西试图消除极限概念中的几何直观，作出极限的明确定义，然后去完成牛顿的愿望。但柯西的叙述中还存在描述性的词语，如“无限趋近”、“要多小就多小”等，因此还保留着几何和物理的直观痕迹，没有达到彻底严密化的程度。 　　?为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础。所谓 an＝A，就是指：“如果对任何ε＞0，总存在自然数N，使得当n＞N时，不等式｜an－A｜＜ε恒成立”。 　　?这个定义，借助不等式，通过ε和N之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系。因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用。在该定义中，涉及到的仅仅是数及其大小关系，此外只是给定、存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不再求助于运动的直观。 　　?众所周知，常量数学静态地研究数学对象，自从解析几何和微积分问世以后，运动进入了数学，人们有可能对物理过程进行动态研究。之后，维尔斯特拉斯建立的ε－N语言，则用静态的定义刻划变量的变化趋势。这种“静态——动态——静态”的螺旋式的演变，反映了数学发展的辩证规律。 　　?2.极限思想的思维功能 　　?极限思想在现代数学乃至物理学等学科中有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，从量变认识质变，从近似认识精确。 　　?无限与有限有本质的不同，但二者又有联系，无限是有限的发展。无限个数的和不是一般的代数和，把它定义为“部分和”的极限，就是借助于极限的思想方法，从有限来认识无限的。 　　?“变”与“不变”反映了事物运动变化与相对静止两种不同状态，但它们在一定条件下又可相互转化，这种转化是“数学科学的有力杠杆之一”。例如，要求变速直线运动的瞬时速度，用初等方法是无法解决的，困难在于速度是变量。为此，人们先在小范围内用匀速代替变速，并求其平均速度，把瞬时速度定义为平均速度的极限，就是借助于极限的思想方法，从“不变”来认识“变”的。 　　?曲线形与直线形有着本质的差异，但在一定条件下也可相互转化，正如恩格斯所说：“直线和曲线在微分中终于等同起来了”。善于利用这种对立统一关系是处理数学问题的重要手段之一。直线形的面积容易求得，求曲线形的面积问题用初等的方法是不能解决的。刘徽用圆内接多边形逼近圆，一般地，人们用小矩形的面积来逼近曲边梯形的面积，都是借助于极限的思想方法，从直线形来认识曲线形的。 　　?量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证的关系。量变能引起质变，质和量的互变规律是辩证法的基本规律之一，在数学研究工作中起着重要作用。对任何一个圆内接正多边形来说，当它边数加倍后，得到的还是内接正多边形，是量变而不是质变；但是，不断地让边数加倍，经过无限过程之后，多边形就“变”成圆，多边形面积便转化为圆面积。这就是借助于极限的思想方法，从量变来认识质变的。 　　?近似与精确是对立统一关系，两者在一定条件下也可相互转化，这种转化是数学应用于实际计算的重要诀窍。前面所讲到的“部分和”、“平均速度”、“圆内接正多边形面积”，分别是相应的“无穷级数和”、“瞬时速度”、“圆面积”的近似值，取极限后就可得到相应的精确值。这都是借助于极限的思想方法，从近似来认识精确的。 　　3．建立概念的极限思想 　　极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法,然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数,广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。如： 　　（1）函数 在 点连续的定义，是当自变量的增量 时，函数值的增量 趋于零的极限。 　　（2）函数 在 点导数的定义，是函数值的增量 与自变量的增量 之比 ，当 时的极限。 　　（3）函数 在 上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式 的极限。 　　（4）数项级数 的敛散性是用部分和数列 的极限来定义的。 　　（5）广义积分 是定积分 其中 为任意大于 的实数）当 时的极限，等等。 　　4．解决问题的极限思想 　　极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处。数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题），正是由于它采用了极限的思想方法。 　　有时我们要确定某一个量，首先确定的不是这个量的本身而是它的近似值，而且所确定的近似值也不仅仅是一个而是一连串越来越准确的近似值；然后通过考察这一连串近似值的趋向，把那个量的准确值确定下来。这就是运用了极限的思想方法。
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