解一元二次方程:-3X2-4X+4=0_百度知道
解一元二次方程:-3X2-4X+4=0
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一、知识要点 一元二次方程 一元二次方程(quadratic equation of one variable)是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二次的整式方程。 一般形式为: ax^2+bx+c=0, (a≠0) 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基 础。 一元二次方程的一般形式为:ax^2(2为次数,即X的平方)+bx+c=0, (a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的整式方程。 [编辑本段]二、方法、例题精讲 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法: 1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。 1、直接开平方法: 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程,其解为x=±根号下n+m . 例1.解方程(1)(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11 分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11&0,所以此方程也可用直接开平方法解。 (1)解:(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丢解) ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= (2)解: 9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边:ax2+bx=-c 将二次项系数化为1:x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x2+x+( )2=- +( )2 方程左边成为一个完全平方式:(x+ )2= 当b^2-4ac≥0时,x+ =± ∴x=(这就是求根公式) 例2.用配方法解方程 3x^2-4x-2=0 (注:X^2是X的平方) 解:将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2 将二次项系数化为1:x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方:x2-x+( )2= +( )2 配方:(x-)2= 直接开平方得:x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= . 3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) , (b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。 例3.用公式法解方程 2x2-8x=-5 解:将方程化为一般形式:2x2-8x+5=0 ∴a=2, b=-8, c=5 b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24&0 ∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) ∴原方程的解为x1=,x2= . 4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4.用因式分解法解下列方程: (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0 (3) 6x2+5x-50=0 (选学) (4)x2-2( + )x+4=0 (选学) (1)解:(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。 (2)解:2x2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=0,x2=-是原方程的解。 注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。 (3)解:6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=, x2=- 是原方程的解。 (4)解:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解为2 ·2 ,∴此题可用因式分解法) (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。 小结: 一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数。 直接开平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程是否有解。 配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法 解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一,一定要掌握好。(三种重要的数学方法:换元法,配方法,待定系数法)。 例5.用适当的方法解下列方程。(选学) (1)4(x+2)2-9(x-3)2=0 (2)x2+(2-)x+ -3=0 (3) x2-2 x=- (4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 分析:(1)首先应观察题目有无特点,不要盲目地先做乘法运算。观察后发现,方程左边可用平方差公式分解因式,化成两个一次因式的乘积。 (2)可用十字相乘法将方程左边因式分解。 (3)化成一般形式后利用公式法解。 (4)把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解。 (1)解:4(x+2)2-9(x-3)2=0 [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0 (5x-5)(-x+13)=0 5x-5=0或-x+13=0 ∴x1=1,x2=13 (2)解: x2+(2- )x+ -3=0 [x-(-3)](x-1)=0 x-(-3)=0或x-1=0 ∴x1=-3,x2=1 (3)解:x2-2 x=- x2-2 x+ =0 (先化成一般形式) △=(-2 )2-4 ×=12-8=4&0 ∴x= ∴x1=,x2= (4)解:4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0 [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0 2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0 ∴x1= ,x2= 例6.求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学) 分析:此方程如果先做乘方,乘法,合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐,仔细观察题目,我们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体,则方程左边可用十字相乘法分解因式(实际上是运用换元的方法) 解:[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0 即 (5x-5)(2x-3)=0 ∴5(x-1)(2x-3)=0 (x-1)(2x-3)=0 ∴x-1=0或2x-3=0 ∴x1=1,x2=是原方程的解。 例7.用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0 解:x2+px+q=0可变形为 x2+px=-q (常数项移到方程右边) x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方) (x+)2= (配方) 当p2-4q≥0时,≥0(必须对p2-4q进行分类讨论) ∴x=- ±= ∴x1= ,x2= 当p2-4q&0时,&0此时原方程无实根。 说明:本题是含有字母系数的方程,题目中对p, q没有附加条件,因此在解题过程中应随时注意对字母取值的要求,必要时进行分类讨论。 练习: (一)用适当的方法解下列方程: 1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3 3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0 5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0 (二)解下列关于x的方程 1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0 练习参考答案: (一)1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2 3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2= 6.解:(把2x+3看作一个整体,将方程左边分解因式) [(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0 即 (2x+9)(2x+2)=0 ∴2x+9=0或2x+2=0 ∴x1=-,x2=-1是原方程的解。 (二)1.解:x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解:x2-(+ )ax+ a· a=0 [x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0 ∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0 ∴x1= +b,x2= -b是 ∴x1= a,x2=a是 原方程的解。 原方程的解。 测试 选择题 1.方程x(x-5)=5(x-5)的根是( ) A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5 2.多项式a2+4a-10的值等于11,则a的值为( )。 A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7 3.若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数,一次项系数和常数项之和等于零,那么方程必有一个根是( )。 A、0 B、1 C、-1 D、±1 4. 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为( )。 A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0 C、b=0且c=0 D、c=0 5. 方程x2-3x=10的两个根是( )。 A、-2,5 B、2,-5 C、2,5 D、-2,-5 6. 方程x2-3x+3=0的解是( )。 A、 B、 C、 D、无实根 7. 方程2x2-0.15=0的解是( )。 A、x= B、x=- C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=- 8. 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( )。 A、(x-)2= B、(x- )2=- C、(x- )2= D、以上答案都不对 9. 已知一元二次方程x2-2x-m=0,用配方法解该方程配方后的方程是( )。 A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1 答案与解析 答案:1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D 解析: 1.分析:移项得:(x-5)2=0,则x1=x2=5, 注意:方程两边不要轻易除以一个整式,另外一元二次方程有实数根,一定是两个。 2.分析:依题意得:a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7. 3.分析:依题意:有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时, ax2+bx+c=a+b+c,意味着当x=1时,方程成立,则必有根为x=1。 4.分析:一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零, 则ax2+bx+c必存在因式x,则有且仅有c=0时,存在公因式x,所以 c=0. 另外,还可以将x=0代入,得c=0,更简单! 5.分析:原方程变为 x2-3x-10=0, 则(x-5)(x+2)=0 x-5=0 或x+2=0 x1=5, x2=-2. 6.分析:Δ=9-4×3=-3&0,则原方程无实根。 7.分析:2x2=0.15 x2= x=± 注意根式的化简,并注意直接开平方时,不要丢根。 8.分析:两边乘以3得:x2-3x-12=0,然后按照一次项系数配方,x2-3x+(-)2=12+(- )2, 整理为:(x-)2= 方程可以利用等式性质变形,并且 x2-bx配方时,配方项为一次项系数-b的一半的平方。 9.分析:x2-2x=m, 则 x2-2x+1=m+1 则(x-1)2=m+1. 中考解析 [编辑本段]考题评析 1.(河南省)已知x的二次方程的一个根是–2,那么k=__________。 评析:k=4.将x=-2代入到原方程中去,构造成关于k的一元二次方程,然后求解。 2.(西安市)用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为( ) (A)x=3+2 (B)x=3-2 (C)x1=3+2 ,x2=3-2 (D)x1=3+2,x2=3-2 评析:用解方程的方法直接求解即可,也可不计算,利用一元二次方程有解,则必有两解及8的平方根,即可选出答案。 [编辑本段]课外拓展 在公元前两千年左右,一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中:求出一个数使它与它的倒数之和等于 一个已给数,即求出这样的x与,使 x=1, x+ =b, x2-bx+1=0, 他们做出(2);再做出 ,然后得出解答:+ 及 - 。可见巴比伦人已知道一元二次方程的求根公式。但他们当时并不接受 负数,所以负根是略而不提的。 埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程,例如:ax^2=b。 在公元前4、5世纪时,我国已掌握了一元二次方程的求根公式。希腊的丢番图(246-330)却只取二次方程的一个正根,即使遇到两个都是正根的情况,他亦只取其中之一。 公元628年,从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中,得到二次方程x2+px+q=0的一个求根公式。在阿拉伯阿尔.花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法,解出了一次、二次方程,其中涉及到六种不同的形式,令 a、b、c为正数,如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等。把二次方程分成 不同形式作讨论,是依照丢番图的做法。阿尔.花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外,还第一 次 给出二次方程的一般解法,承认方程有两个根,并有无理根存在,但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的 数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。 韦达()除已知一元方程在复数范围内恒有解外,还给出根与系数的关系。 我国《九章算术.勾股》章中的第二十题是通过求相当于 x2+34x-71000=0的正根而解决的。我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。
解:-3xx-4x+4=0
bb-4ac=64x1=-2
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出门在外也不愁求一元二次方程的所有详细解法!拜托各位大神_百度知道
求一元二次方程的所有详细解法!拜托各位大神
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1、直接开平方法:
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程,其解为x=±根号下n+m .
例1.解方程(1)(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11
分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11&0,所以此方程也可用直接开平方法解。
(1)解:(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴原方程的解为x1=,x2=
(2)解: 9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴原方程的解为x1=,x2=
2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边:ax2+bx=-c
将二次项系数化为1:x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x2+x+( )2=- +( )2
方程左边成为一个完全平方式:(x+ )2=
当b^2-4ac≥0时,x+ =±
∴x=(这就是求根公式)
例2.用配方法解方程 3x^2-4x-2=0 (注:X^2是X的平方) 解:将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2
将二次项系数化为1:x2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方:x2-x+( )2= +( )2
配方:(x-)2=
直接开平方得:x-=±
∴原方程的解为x1=,x2= .
3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) , (b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3.用公式法解方程 2x2-8x=-5
解:将方程化为一般形式:2x2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24&0
∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) ∴原方程的解为x1=,x2= .
4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4.用因式分解法解下列方程:
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (选学) (4)x2-2( + )x+4=0 (选学)
(1)解:(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解:2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0,x2=-是原方程的解。
注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。
(3)解:6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解为2 ·2 ,∴此题可用因式分解法)
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程是否有解。
配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一,一定要掌握好。(三种重要的数学方法:换元法,配方法,待定系数法)。
例5.用适当的方法解下列方程。(选学)
(1)4(x+2)2-9(x-3)2=0 (2)x2+(2-)x+ -3=0
(3) x2-2 x=- (4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析:(1)首先应观察题目有无特点,不要盲目地先做乘法运算。观察后发现,方程左边可用平方差公式分解因式,化成两个一次因式的乘积。
(2)可用十字相乘法将方程左边因式分解。
(3)化成一般形式后利用公式法解。
(4)把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解。
(1)解:4(x+2)2-9(x-3)2=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1,x2=13
(2)解: x2+(2- )x+ -3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3,x2=1
(3)解:x2-2 x=-
x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
△=(-2 )2-4 ×=12-8=4&0
(4)解:4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1= ,x2=
例6.求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学)
分析:此方程如果先做乘方,乘法,合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐,仔细观察题目,我们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体,则方程左边可用十字相乘法分解因式(实际上是运用换元的方法)
解:[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
即(5x-5)(2x-3)=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴x1=1,x2=是原方程的解。
例7.用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0
解:x2+px+q=0可变形为
x2+px=-q (常数项移到方程右边)
x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)
(x+)2= (配方)
当p2-4q≥0时,≥0(必须对p2-4q进行分类讨论)
∴x1= ,x2=
当p2-4q&0时,&0此时原方程无实根。
说明:本题是含有字母系数的方程,题目中对p, q没有附加条件,因此在解题过程中应随时注意对字母取值的要求,必要时进行分类讨论。
(一)用适当的方法解下列方程:
1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3
3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0
5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0
(二)解下列关于x的方程
1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0
练习参考答案:
(一)1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2
3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=
6.解:(把2x+3看作一个整体,将方程左边分解因式)
[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0
即(2x+9)(2x+2)=0
∴2x+9=0或2x+2=0
∴x1=-,x2=-1是原方程的解。
(二)1.解:x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解:x2-(+ )ax+ a· a=0
[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0
∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0
∴x1= +b,x2= -b是 ∴x1= a,x2=a是
原方程的解。 原方程的解。
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出门在外也不愁一元二次方程计算题 带步骤+答案_百度知道
一元二次方程计算题 带步骤+答案
急需,谢谢!
需要详细的步骤,越多越好。
1、直接开平方法:
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程,其解为x=±根号下n+m .
例1.解方程(1)(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11
分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11&0,所以此方程也可用直接开平方法解。
(1)解:(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴原方程的解为x1=,x2=
(2)解: 9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴原方程的解为x1=,x2=
2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边:ax2+bx=-c
将二次项系数化为1:x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x2+x+( )2=- +( )2
方程左边成为一个完全平方式:(x+ )2=
当b^2-4ac≥0时,x+ =±
∴x=(这就是求根公式)
例2.用配方法解方程 3x^2-4x-2=0 (注:X^2是X的平方)
解:将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2
将二次项系数化为1:x2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方:x2-x+( )2= +( )2
配方:(x-)2=
直接开平方得:x-=±
∴原方程的解为x1=,x2= .
3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) , (b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3.用公式法解方程 2x2-8x=-5
解:将方程化为一般形式:2x2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24&0
∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)
∴原方程的解为x1=,x2= .
4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4.用因式分解法解下列方程:
(1) (x潮锌藐居榛剿明谐拇茂+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (选学) (4)x2-2( + )x+4=0 (选学)
(1)解:(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解:2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0,x2=-是原方程的解。
注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。
(3)解:6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解为2 ·2 ,∴此题可用因式分解法)
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程是否有解。
配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一,一定要掌握好。(三种重要的数学方法:换元法,配方法,待定系数法)。
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