y等于e的负4x次方乘以sin倍3-2x的三次方微方
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时间：2009-04-12 19:20
求导数，Y=Sin3次方（4X+3）Y~=？
求导数，Y=Sin3次方（4X+3）Y~=？
Y=Sin3次方（4X+3）Y~=12sin2次方(4x+3)cos(4x+3)
怎么算出来了啊
说清楚哦 是对它在对它求导这样说清楚啊
u=4x+3,所以y=Sin3次方u,对它就是3sin2次方ucosu，求导法则你应该知道吧，sin3次方x求导等于3sin2次方xcosx，然后再对u求导，是4，再合起来就是Y~=12sin2次方(4x+3)cos(4x+3)
sin3次方x等于3sin2次方xcosx这是个公式啊？ 不是这样的吗（3sin2次方x） 为什么后面还乘以cosx啊 这个是对哪个进行求导的啊？ 这就是这里不懂了到， 麻烦你哦 谢谢
先把sinx看成一个整体，比如令sin x=a,所以a的3次方就是3a的2次方，同时还要对sinx求导，是cosx.求导有个公式的，比如一个函数y（u),同时u=ax+b,对y求导的时候，就要这样求，
y'=y'（u）×u'（ax+b）
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理工学科领域专家第1章 行 列 式
在线性代数中，行列式是一个基本工具，讨论很多问题时都要用到它. 本章先简单介绍二、三阶行列式的定义及按第一行的展开式，再进一步讨论?n?阶行列式. 本章主要内容： ?n?阶行列式的定义及其性质；行列式的计算；求解一类非齐次线性方程组的克拉默（Cramer）法则，以及由此得到的方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组有非零解的必要条件.
1.1 ?n?阶行列式的定义及性质
行列式的概念首先是在求解方程个数与未知量个数相同的一次方程组时提出来的（以后常把一次方程组称为线性方程组），例如对于一个二元一次方程组??a?11x?1+a?12x?2=b?1,
a?21x?1+a?22x?2=b?2. (1?1) ??当a?11a?22-a?12a?21≠0时，用消元法求解，得其解为??x?1=b?1a?22-a?12b?2a?11a?22-a?12a?21,
x?2=a?11b?2-b?1a?21a?11a?22-a?12a?21. (1?2) ??人们从（1?2）式中发现，如果记??D=ab
cd=a?d-b?c,
(1?3) ??则（1?2）式可以表示为??x?1=b?1a?12
b?2a?22a?11a?12
a?21a?22,
x?2=a?11b?1
a?21b?2a?11a?12
a?21a?22.??我们把（1?3）式中的D称为二阶行列式.
对于由9个元素a?i?j (i, j=1, 2, 3）排成三行三列的式子，定义??a?11a?12a?13
a?21a?22a?23
a?31a?32a?33=a?11a?22a?33+a?12a?23a?31+a?13a?21a?32-a?13a?22a?31-a?12a?21a?33-a?11a?23a?32,
(1?4) ??并称它为三阶行列式（横为行，竖为列）.
(1?4）式中的6项是按下面（1?5）式所示的方法（称为沙路法）得到的.?? (1?5) ??
如果三元线性方程组??a?11x?1+a?12x?2+a?13x?3=b?1,
a?21x?1+a?22x?2+a?23x?3=b?2,
a?31x?1+a?32x?2+a?33x?3=b?3??的系数行列式??D=a?11a?12a?13
a?21a?22a?23
a?31a?32a?33≠0, ??用消元法求解这个方程组，可得??x?1=D?1D,
x?2=D?2D,
x?3=D?3D. (1?6) ??其中D?j(j=1, 2, 3)是用常数项b?1, b?2, b?3替换D中的第j列所得到的三阶行列式，即??D?1=b?1a?12a?13
b?2a?22a?23
b?3a?32a?33,
D?2=a?11b?1a?13
a?21b?2a?23
a?31b?3a?33,
D?3=a?11a?12b?1
a?21a?22b?2
a?31a?32b?3.??
但是，对于n阶行列式（n>3) ，不能如（1?5）式（沙路法）那样定义. 因为如果像（1?5）式那样定义n阶行列式，当n>3时，它将与二、三阶行列式没有统一的运算性质，而且对n元线性方程组也得不到像（1?6）式那样的求解公式. 因此，对一般的n阶行列式要用另外的方法来定义. 在代数中，它可以用三种不同的方法做定义，我们采用简明的递归法做定义.
从二、三阶行列式的展开式中，我们发现它们遵循着一个共同的规律--可以按第一行展开，即??D=a?11a?12a?13
a?21a?22a?23
a?31a?32a?33
=a?11a?22a?23
a?32a?33-a?12a?21a?23
a?31a?33+a?13a?21a?22
a?31a?32,
(1?7) ??其中??M?11=a?22a?23
a?32a?33,
M?12=a?21a?23
a?31a?33,
M?13=a?21a?22
a?31a?32??分别称为元素a?11, a?12, a?13的余子式，并称A?11=(-1)?1+1M?11, A?12=(-1)?1+2M?12, A?13=(-1)?1+3M?13分别为a?11, a?12, a?13的代数余子式. 如此， (1?7）式即为??D=a?11A?11+a?12A?12+a?13A?13.??
同样??D=a?11a?12
a?21a?22=a?11A?11+a?12A?12,
(1?8) ??其中??A?11=(-1)?1+1|a?22|=a?22,
A?12=(-1)?1+2|a?21|=-a?21.??这里|a?22|, |a?21|是一阶行列式（不是数的绝对值）. 我们把a的一阶行列式|a|定义为a.
如果把（1?7) ,
(1?8）两式作为三阶、二阶行列式的定义，那么这种定义的方法是统一的，它们都是用低阶行列式定义高一阶的行列式. 因此人们很自然地会想到，用这种递归的方法来定义一般的n阶行列式. 对于这样定义的各阶行列式，将会有统一的运算性质. 下面我们给出n阶行列式的递归法定义.
1.1.1 n阶行列式的定义
定义 由n?2个数a?i?j (i, j=1, 2, …, n）组成的n阶行列式??D=a?11a?12…a?1n
a?21a?22…a?2n
a?n?1a?n?2…a?n?n （简记作|a?i?j|??n??1)
(1?9) ??是一个算式. 当n=1时，定义D=|a?11|=a?11；当n≥2时，定义??D=a?11A?11+a?12A?12+…+a?1nA?1n=∑nj=1a?1jA?1j,
(1?10) ??其中?A?1j=(-1)?1+jM?1j, ?
M?1j是D中去掉第1行第j列全部元素后，按原顺序排成的n-1阶行列式，即??M?1j=a?21…a?2j-1a?2j+1…a?2n
a?31…a?3j-1a?3j+1…a?3n
a?n?1…a?n?j-1a?n?j+1…a?n?n
(j=1, 2, …, n) , ??并称M?1j为元素a?1j的余子式, A?1j为元素a?1j的代数余子式.
在（1?9）式中，a?11, a?22, …, a?n?n所在的对角线称为行列式的主对角线，相应地a?11, a?22, …, a?n?n称为主对角元，另一条对角线称为行列式的副对角线.
由定义可见，行列式这个算式是由其n?2个元素a?i?j (i, j=1, 2, …, n）构成的n次齐次多项式（称作展开式) ，二阶行列式的展开式中共有2！项；三阶行列式的展开式中共有3！项；n阶行列式的展开式中共有n!项，其中每一项都是不同行不同列的n个元素的乘积，在全部n!项中，带正号的项和带负号的项各占一半（以上结论可根据定义，用数学归纳法给以证明）. 当第一行元素为x?1, x?2, …, x?n时，n阶行列式是x?1, x?2, …, x?n的一次齐次多项式.
例1 证明n阶下三角行列式（当ij时，a?i?j=0）有??D=a?11a?12…a?1n
0a?22…a?2n
00…a?n?n=a?11 a?22 … a?n?n.??1.2 ?n?阶行列式的计算
解 设D′表示将行列式D的行与列（按原顺序）互换所得的行列式，则利用1?1节中性质1和例1的结果，即得??D=D′=a?11 a?22 … a?n?n.??
例2 计算4阶行列式??D=11-12
解 对行列式做倍加行变换和两行对换，将其化为上三角行列式. 先利用性质5，把第1行分别乘1, -2, -1加到第2, 3, 4行上去得??D=11-12
0150②?④ -11-12
③+②×(-2) -11-12
④+③×-514 -11-12
=(-1)×1×1×(-14)×(57/14)=57.??其中： ②?④表示第②行与第④行对换；③+②×(-2)表示第③行加第②行乘（-2) ; ④+③×-514的意义也是类似的.
此例利用性质5和性质6，把数字行列式化为上三角行列式，是计算数字行列式的基本方法. 但是对于三阶数字行列式，用沙路法按对角线展开（计算6项乘积）可能更为简捷.
例3 计算4阶行列式??D=14-14
解 利用性质5，把行列式某行（列）元素化为只剩一个非零元，再利用性质2，把行列式按该行（列）展开，从而降阶计算. 这也是展开行列式的基本方法.
注意到D中第2列有一个0，再利用a?22=1，把第2行乘 (-4) 和（-2）分别加到第1和第3行上去，将第2列中其余元素化为0，然后对第2列展开，得??D=-70-17-8
=(-1)?2?+2×1×-7-17-8
再把第3列加到第2列，按第2行展开??D=-7-17-8
392=-7-25-8
=(-1)?2?+3×5×-7-25
=-5×(-77+75)=10.??
例4 如果行列式D=|a?i?j|??n??1的元素满足a?i?j=-a?j?i(i,j=1,2,…,n), 就称D是反对称行列式（其中a?i?i=-a?i?i?a?i?i=0, i=1, …, n) .
证明奇数阶反对称行列式的值为零.
证 设?D=0a?12…a?1n
-a?120…a?2n
-a?1n-a?2n…0.?
根据性质1有??D=0-a?12-a?13…-a?1n
a?120-a?23…-a?2n
?????
a?1na?2na?3n…0.??
再利用性质3 (?i?) ，将每行提出公因数（-1) ，即得??D=(-1)?nD.??由于n是奇数，得D=-D，故D=0.■
例5 证明??a?1+b?1b?1+c?1c?1+a?1
a?2+b?2b?2+c?2c?2+a?2
a?3+b?3b?3+c?3c?3+a?3=2a?1b?1c?1
a?2b?2c?2
a?3b?3c?3.??
把左端行列式的第2, 3列加到第1列，提取公因子2，再把第1列乘（-1）加到第2, 3列得??左式=2a?1+b?1+c?1-a?1-b?1
a?2+b?2+c?2-a?2-b?2
a?3+b?3+c?3-a?3-b?3.??再把第2, 3列加到第1列，然后分别提出2, 3列的公因数（-1) ，再作两次列对换，等式就得证.
对左式的各列依次用性质3 (?i?i?) ，将左式表示为2?3个行列式之和，其中有6个行列式各有2列相等，即??左式=a?1b?1+c?1c?1+a?1
a?2b?2+c?2c?2+a?2
a?3b?3+c?3c?3+a?3+b?1b?1+c?1c?1+a?1
b?2b?2+c?2c?2+a?2
b?3b?3+c?3c?3+a?3
=a?1b?1c?1+a?1
a?2b?2c?2+a?2
a?3b?3c?3+a?3+a?1c?1c?1+a?1
a?2c?2c?2+a?2
a?3c?3c?3+a?3+
b?1b?1c?1+a?1
b?2b?2c?2+a?2
b?3b?3c?3+a?3+b?1c?1c?1+a?1
b?2c?2c?2+a?2
b?3c?3c?3+a?3
=a?1b?1c?1
a?2b?2c?2
a?3b?3c?3+0+0+0+0+0+0+b?1c?1a?1
b?2c?2a?2
b?3c?3a?3
=右式.■??
例6 计算n阶行列式??D=xaa…a
?????
aaa…x.??
解 该行列式每行元素之和相等，此时把各列都加到第1列，提出第1列的公因子x+(n-1)a，然后将第1行乘-1分别加到其余各行，D就化为上三角行列式，即??D=\1aa…a
?????
?????
=\(x-a)?n?-1.??
例7 如果xyz≠0，计算三阶行列式??D=1+x23
123+z.??
解 方法一： 将第1行乘（-1）加到第2、第3行，再将第2列乘xy、第3列乘xz并各加到第1列，化为上三角行列式，得??D=1+x23
-x0z=1+x+2xy+3xz23
=1+x+2xy+3xzyz=yz+2zx+3xy+xyz.??
方法二： 将D中1, 2, 3分别表示为1+0, 2+0, 3+0，根据性质3 (?i?i?) , D可化为2?3个行列式，其中有4个为0，得??D=100
=yz+2zx+3xy+xyz.??
例8 证明范德蒙（?Vandermonde?）行列式??V?n=111…1
x?1x?2x?3…x?n
x?2?1x?2?2x?2?3…x?2?n
x?n?-1?1x?n?-1?2x?n?-1?3…x?n?-1?n
=∏1≤j<i≤n(x?i-x?j), ??其中连乘积??∏1≤j<i≤n (x?i-x?j) =(x?2-x?1)(x?3-x?1)…(x?n-x?1)(x?3-x?2)…
(x?n-x?2)…(x?n?-1-x?n?-2)(x?n-x?n?-2)(x?n-x?n?-1)??是满足条件1≤j<i≤n的所有因子（x?i-x?j）的乘积.
证 用数学归纳法证明. 当n=2时，有??V?2=11
x?1x?2=x?2-x?1=∏1≤j<i≤2(x?i-x?j), ??结论成立. 假设结论对n-1阶范德蒙行列式成立，下面证明对n阶范德蒙行列式结论也成立.
在V?n中，从第n行起，依次将前一行乘-x?1加到后一行，得??V?n=111…1
0x?2-x?1x?3-x?1…x?n-x?1
0x?2(x?2-x?1)x?3(x?3-x?1)…x?n(x?n-x?1)
0x?n?-2?2(x?2-x?1)x?n?-2?3(x?3-x?1)…x?n?-2?n(x?n-x?1).??按第1列展开，并分别提取公因子，得??V?n=(x?2-x?1)(x?3-x?1)…(x?n-x?1)11…1
x?2x?3…x?n
x?2?2x?2?3…x?2?n
x?n?-2?2x?n?-2?3…x?n?-2?n.??上式右端的行列式是n-1阶范德蒙行列式，根据归纳假设得??V?n=(x?2-x?1)(x?3-x?1)…(x?n-x?1)∏2≤j<i≤n(x?i-x?j), ??故??V?n=∏1≤j<i≤n(x?i-x?j).■??
例9 证明??D=a?11a?12…a?1k0…0
a?21a?22…a?2k0…0
?????
a?k1a?k2…a?k?k0…0
c?11c?12…c?1kb?11…b?1m
?????
c?m1c?m2…c?m?kb?m1…b?m?m
=a?11a?12…a?1k
a?21a?22…a?2k
a?k1a?k2…a?k?k b?11…b?1m
b?m1…b?m?m. (1?20) ??
证 记??|A|=|a?i?j|??k??1,
|B|=|b?i?j|??m??1.??
对|A|的阶数k作数学归纳法. 当k=1时，对D的第一行展开，得D=a?11|B|=|a?11||B|（这里|a?11|是一阶行列式）,
(1?20）式成立. 假设|A|为k-1阶时， (1?20）式成立. 下面考虑|A|为k阶的情形： 此时，将D对第1行展开，得??D=a?11(-1)?1+1M?D?11+a?12(-1)?1+2M?D?12+…+
a?1k(-1)?1+kM?D?1k, ①??其中M?D?1j是a?1j在D中的余子式（j=1, 2, …, k) . 显然M?D?1j也是（1?20）式类型的行列式，而且它的左上角是k-1阶的，根据归纳假设??M?D?1j=M?|A|?1j|B|,
j=1, 2, …, k, ②??其中M?|A|?1j是a?1j在|A|中的余子式. 将②式代入①式，即得??D=\A|?11+a?12(-1)?1+2M?|A|?12+…+
a?1k(-1)?1+kM?|A|?1k\]|B|=|A||B|, ??所以|A|为k阶时， (1?20）式成立. 因此|A|为任意阶行列式时， (1?20）式都成立.■
(1?20）式可简记为
*B=|A||B|.??
若|A|, |B|如上所设，同样也有
0B=|A||B|. (1?21) ??
但要注意，
B*≠-|A||B|.??
此时，可将|A|所在的每一列依次与其前面的m列逐列对换（共对换k×m次），使之化为（1?20）式的形式，于是便有
B*=(-1)?k×mA0
*B=(-1)?k×m|A||B|. (1?22) ??
例10 求方程D (x) =0的根，其中
??D(x)=x-1x-2x-1x
x-2x-4x-2x
x-3x-6x-4x-1
x-4x-82x-5x-2.??
解 由观察可见x=0是一个根，因为x=0时，行列式第1、第2列成比例，所以D (0) =0. 但要求其他根，必须展开这个行列式. 将第1列乘-1加到2, 3, 4列；再将变换后的第2列加到第4列，即得??D (x) =x-1-101
x-4-4x-12=x-1-100
x-4-4x-1-2
x-2-2·-1-1
x-1-2=-x(x+1).??所以方程D (x) =0有两个根： 0与-1.
?*例11 计算n阶三对角行列式??D?n=ab
解 把D?n按第1行展开，再将第2项中的行列式对第1列展开得??D?n=aD?n?-1+(-1)?1+2bcb
?????
00…0ca?n?-1阶
=aD?n?-1-b?cD?n?-2.①??由①式（称为递推公式）可见： 由D?1和D?2可算出D?3；由D?2和D?3可算出D?4；如此等等. 为了利用D?1和D?2递推出D?n的计算公式，我们将①式改写成??D?n-kD?n?-1=l(D?n?-1-kD?n?-2), ②??其中??k+l=a,
k?l=b?c.③??
在②式中，记Δ?n=D?n-kD?n?-1，则②式为??Δ?n=l?Δ?n?-1.②′??由这个递推公式易得??Δ?n=l?Δ?n?-1=l(l?Δ?n?-2)=…=l?n?-2Δ?2, ??即?D?n-kD?n?-1=l?n?-2(D?2-kD?1), ?④
其中??D?2=ab
ca=a?2-b?c,
D?1=|a|=a.??将它们代入④式，再利用③式，易得D?2-kD?1=l?2，于是??D?n=l?n+kD?n?-1.⑤??再利用递推公式⑤，可以递推出??D?n=l?n+k(l?n?-1+kD?n?-2)=l?n+k?l?n?-1+k?2D?n?-2
=l?n+k?l?n?-1+k?2(l?n?-2+kD?n-3)
=l?n+k?l?n?-1+k?2l?n?-2+k?3D?n-3
=…=l?n+k?l?n?-1+k?2l?n?-2+…+k?n?-2l?2+k?n?-1D?1, ??其中D?1=|a|=a=k+l，所以??D?n=l?n+k?l?n?-1+k?2l?n?-2+…+k?n?-2l?2+k?n?-1l+k?n.⑥??
例如，当a=3, b=2, c=1时，由③式算得k=1, l=2，或k=2, l=1, 此时??D?n=l?n?+1-k?n?+1l-k=2?n?+1-1.??1.3 克拉默法则
1.3 克拉默法则这一节讨论： n个未知量n个方程的线性方程组，在系数行列式不等于零时的行列式解法，通常称为克拉默(Cramer)法则; 并进一步给出n个未知量n个方程的线性齐次方程组有非零解的必要条件.
定理（克拉默法则） 设线性非齐次方程组??a?11x?1+a?12x?2+…+a?1nx?n=b?1,
a?21x?1+a?22x?2+…+a?2nx?n=b?2,
a?n?1x?1+a?n?2x?2+…+a?n?nx?n=b?n. (1?23) ??或简记为
?∑nj=1a?i?jx?j=b?i,
i=1, 2, …, n? (1?24)
其系数行列式??D=a?11a?12…a?1n
a?21a?22…a?2n
a?n?1a?n?2…a?n?n≠0, ??则方程组（1?23）有唯一解??x?j=D?jD,
j=1, 2, …, n. (1?25) ??其中D?j是用常数项b?1, b?2, …, b?n替换D中第j列所成的行列式，即??D?j=a?11…a?1j-1b?1a?1j+1…a?1n
a?21…a?2j-1b?2a?2j+1…a?2n
?????
a?n?1…a?n?j-1b?na?n?j+1…a?n?n. (1?26) ??
证 先证（1?25）式是方程组（1?23）的解，根据（1?26）式??D?j=b?1A?1j+b?2A?2j+…+b?nA?n?j=∑nk=1b?kA?k?j, ??其中A?k?j是系数行列式中元素a?k?j的代数余子式.
将?x?j=1D∑nk=1b?kA?k?j (j=1, 2, …, n) ?代入（1?24）式左端，得??∑nj=1a?i?j1D∑nk=1b?kA?k?j=1D∑nj=1∑nk=1a?i?jA?k?jb?k
=*1D∑nk=1∑nj=1a?i?jA?k?jb?k
=1D∑nk=1b?k∑nj=1a?i?jA?k?j=1D∑nk=1b?kδ?i?kD
(k=i时，δ?i?k=1, k≠i时，δ?i?k=0)
=1D(b?i·1·D)=b?i
(i=1, 2, …, n) .??
（其中*处等号成立的理由是，双重连加号求和次序可交换，请参阅本章附录.)
所以（1?25）式中的x?j=D?j/D (j=1, 2, …, n）满足方程组（1?23）中的每一个方程，因此它是方程组（1?23）的解.
再证方程组（1?23）的解也必是如（1?25）式所示，设c?1, c?2, …, c?n是一组解，则??a?11c?1+a?12c?2+…+a?1nc?n=b?1,
a?21c?1+a?22c?2+…+a?2nc?n=b?2,
a?n?1c?1+a?n?2c?2+…+a?n?nc?n=b?n.??在上面n个等式两端，分别依次乘A?1j, A?2j, …, A?n?j，然后再把这n个等式的两端相加，得??∑ni=1a?i?1A?i?jc?1+…+∑ni=1a?i?jA?i?jc?j+…+∑ni=1a?i?nA?i?jc?n
=∑ni=1b?iA?i?j.??上式左端c?1, c?2, …, c?j-1, c?j+1, …, c?n的系数全为零，c?j的系数为D，右端?∑ni=1b?iA?i?j=D?j, ?因此Dc?j=D?j，故??c?j=D?jD.??分别取j=1, 2, …, n，这就证明了c?1, c?2, …, c?n如果是解，它们也必然分别等于D?1D, D?2D, …, D?nD，于是方程组（1?23）的解的唯一性得证.■
由克拉默法则，立即可得下面的推论
推论 若齐次线性方程组??∑nj=1a?i?jx?j=0
(i=1,2,…,n)(1.27)??的系数行列式D=|a?i?j|??n??1≠0，则方程组只有零解x?j=0, j=1, 2, …, n.
因为此时D?j=0, j=1, 2, …, n.
与推论等价的命题（即逆否命题）是： 若上述齐次线性方程组有非零解，则系数行列式D=|a?i?j|???n???1=0. 即齐次线性方程组有非零解的必要条件是系数行列式D=0.
在第3章中，我们将进一步证明，D=0也是齐次线性方程组（1?27）有非零解的充分条件.
用克拉默法则求解系数行列式不等于零的n元非齐次线性方程组，需要计算n+1个n阶行列式，它的计算工作量很大. 实际上关于数字系数的线性方程组（包括系数行列式等于零及方程个数和未知量个数不相同的线性方程组）的解法，一般都采用第2章中介绍的高斯消元法. 克拉默法则主要是在理论上具有重要的意义，特别是它明确地揭示了方程组的解和系数之间的关系.
例1 已知三次曲线y=f(x)=a?0+a?1x+a?2x?2+a?3x?3在4个点x=±1, x=±2处的值： f(1)=f(-1)=f(2)=6, f(-2)=-6，试求其系数a?0, a?1, a?2, a?3.
解 将三次曲线在4个点处的值代入其方程，得到关于a?0, a?1, a?2, a?3的非齐次线性方程组??a?0+a?1+a?2+a?3=6,
a?0+a?1(-1)+a?2(-1)?2+a?3(-1)?3=6,
a?0+a?1(2)+a?2(2)?2+a?3(2)?3=6,
a?0+a?1(-2)+a?2(-2)?2+a?3(-2)?3=-6.??它的系数行列式是范德蒙行列式（例8的行、列互换）??D=1111
1-1(-1)?2(-1)?3
122?22?3
1-2(-2)?2(-2)?3
=(-1-1)(2-1)(-2-1)(2+1)(-2+1)·
(-2-2)=72.??于是，由克拉默法则可得三次曲线方程的系数??a?j=D?jD,
j=0, 1, 2, 3, ??其中??D?0=6111
-6-24-8=576,
1-64-8=-72,
1-2-6-8=-144,
1-24-6=72.??所以a?0=8, a?1=-1, a?2=-2, a?3=1，这是唯一解，因此过上述4个点所唯一确定的三次曲线方程为??f(x)=8-x-2x?2+x?3.??
一般地，过n+1个x坐标不同的点（x?i, y?i) , i=1, …, n+1，可以唯一地确定一个n次曲线的方程y=a?0+a?1x+a?2x?2+…+a?nx?n.
例2 求4个平面a?ix+b?iy+c?iz+d?i=0 (i=1, 2, 3, 4）相交于一点（x?0, y?0, z?0）的充分必要条件.
解 设4个平面相交于一点P?0 (x?0,y?0,z?0) ,则其中必有某3个平面相交于P?0点(如果任意3个平面都不相交于此点，则4个平面不会交于此点)。不妨设前3个平面相交于P?0点，于是前3个平面方程构成的非齐次线性方程组有唯一解，从而??D?3=a?1b?1c?1
a?2b?2c?2
a?3b?3c?3≠0.??我们把平面方程写成??a?ix+b?iy+c?iz+d?it=0, ??其中t=1,i=1,2,3,4,于是4个平面交于P?0点就是4个方程构成的x,y,z,t的齐次线性方程组有唯一的非零解(x?0, y?0,z?0,1) , 因此其系数行列式D=0.所以D=0或D?3≠0是4个平面相交于一点的必要条件.它也是充分条件，因为由D?3≠0可得前3个平面相交于一点P?0，学习了第3章，由D=0可知P?0是4个平面的唯一交点.附录1 性质1的证明 双重连加号I.性质1的证明
附录1 性质1的证明 双重连加号证明?a?11a?12…a?1n
a?21a?22…a?2n
a?n?1a?n?2…a?n?n=a?11a?21…a?n?1
a?12a?22…a?n?2
a?1na?2n…a?n?n.?
证 对行列式的阶数作数学归纳法，将等式两端的行列式分别记作D和D′.
当n=2时，D=D′显然成立，假设结论对于小于n阶的行列式都成立，下面考虑n阶的情况.
根据定义??D=a?11A?11+a?12A?12+…+a?1nA?1n,
D′=a?11A?11′+a?21A?21′+…+a?n?1A?n?1′.??
根据归纳假设A?11′=A?11，于是??D′=a?11A?11+(-1)?1+2a?21a?12a?32…a?n?2
a?13a?33…a?n?3
a?1na?3n…a?n?n+
(-1)?1+3a?31a?12a?22a?42…a?n?2
a?13a?23a?43…a?n?3
a?1na?2na?4n…a?n?n+…+
(-1)?1+na?n?1a?12a?22…a?n?-1?2
a?13a?23…a?n?-1?3
a?1na?2n…a?n?-1?n.??
此时，根据归纳假设，上面的n-1个n-1阶行列式，都对第1列展开，将含a?12的项合并在一起，其值恰好等于a?12A?12，含a?13的项合并后其值等于a?13A?13, …，含a?1n的项合并后其值等于a?1nA?1n，因此D′=D. 下面证明含a?12的项合并后其值等于a?12A?12.??(-1)?1?+?2a?21a?12a?33…a?n3
a?3n…a?n?n+(-1)?1+3a?31a?12a?23a?43…a?n?3
a?2na?4n…a?n?n+…+
(-1)?1+na?n?1a?12a?23…a?n?-13
a?2n…a?n?-1n
=(-1)?1+2a?12a?210…0
0a?33…a?n3
0a?3n…a?n?n+0a?310…0
a?230a?43…a?n?3
a?2n0a?4n…a?n?n+…+
0…0a?n?1
a?23…a?n?-130
a?2n…a?n?-1n0
=(-1)?1+2a?12a?21a?31…a?n?1
a?23a?33…a?n?3
a?2na?3n…a?n?n
=a?12(-1)?1+2M?12′=a?12(-1)?1+2M?12=a?12A?12, ??其中余子式M?12′ (n-1阶行列式）是M?12的行、列互换后的行列式. 根据归纳假设它们相等.
II.性质2的证明
证明 a?i?1A?i?1+a?i?2A?i?2+…+a?i?nA?i?n
=a?11A?11+a?12A?12+…+a?1nA?1n (i=2, 3, …, n).
证 用类似于性质1的证明方法，读者不难证明上式对任意的i (2≤i≤n）都成立.
III.关于双重连加号“?∑∑?"
对于n个数连加的式子??a?1+a?2+…+a?n, ??为了简便起见，我们可用连加号?∑, ?把它记作?∑ni=1a?i.?
例如?∑ni=1i?2=1?2+2?2+…+n?2, ?
其中i为求和指标，它取自然数1, 2, …, n.
有时连加的数是用两个指标来编号的，例如m×n个数排成m行n列：??a?11,a?12,…,a?1j,…,a?1n
a?21,a?22,…,a?2j,…,a?2n
a?i?1,a?i?2,…,a?i?j,…,a?i?n
a?m1,a?m2,…,a?m?j,…,a?m?n①??求它们的和数S. 可先把第i行的n个数相加，记作?S?i=∑nj=1a?i?j?（称为对j指标求和），再把m个行的和数S?1, S?2, …, S?m相加，记作??S=∑mi=1S?i=∑mi=1∑nj=1a?i?j.②??同样也可以先把第j列的m个数相加，记作?S?j′=∑mi=1a?i?j?（称为对i指标求和）. 再把n个列的和数S?1′, S?2′, …, S?n′相加，记作??S=∑nj=1S?j′=∑nj=1∑mi=1a?i?j.③??
②式是先对j求和，后对i求和，而③式是先对i求和，后对j求和. 它们显然相等，这表明用双重连加号求和时，对指标i, j的求和次序可以颠倒.
有时，对用两个指标编号的数，求其一部分数的和时，可以在连加号下注明求和指标应满足的条件，例如??∑n?-1j=1∑j<i≤na?i?j=(a?21+a?31+a?41+…+a?n?1)j=1
+(a?32+a?42+…+a?n?2)j=2
+(a?43+…+a?n?3)j=3
+a?n?n?-1.j=n-1??又如，对于两个多项式??f(x)=a?nx?n+a?n?-1x?n?-1+…+a?1x+a?0,
g(x)=b?mx?m+b?m-1x?m?-1+…+b?1x+b?0, ??求其乘积f(x)g(x)中x?k的系数，就可以表示为??∑i?+j=ka?i?b?j.??例如x?4的系数为?∑i?+j=4a?i?b?j=a?0b?4+a?1b?3+a?2b?2+a?3b?1+a?4b?0.?
此外，某n个数的和与另m个数的和之积也可用双重连加号表示，即?? (a?1+a?2+…+a?n)
(b?1+b?2+…+b?m) =∑ni=1a?i∑mj=1b?j.??利用分配律，得??上式=∑ni=1∑mj=1a?i?b?j=∑ni=1∑mj=1a?i?b?j=或∑mj=1∑ni=1a?i?b?j
=∑mj=1∑ni=1a?i?b?j, ??其中?∑mj=1a?i?b?j?是对指标j求和，此时指标i不变，这种情况下的和式??∑mj=1a?i?b?j=a?i∑mj=1b?j.??习题 补充题 答案习题 补充题 答案习题
计算下列二、三阶行列式（用沙路法和定义）:
2. ?cos?α-?sin?α
?sin?α?cos?α.
3. a+b?i?b
2aa-b?i?. 4. 32-4
789. 6. 221
7. 1ωω?2
ωω?21，其中ω=-12+?i?32.
计算下列数字元素行列式（利用行列式性质展开）:
??????
111-1. 12. 1234
17. 001-12
B0，其中A=100
证明下列恒等式：
19. a?1+b?1xa?1x+b?1c?1
a?2+b?2xa?2x+b?2c?2
a?3+b?3xa?3x+b?3c?3=(1-x?2)a?1b?1c?1
a?2b?2c?2
a?3b?3c?3.
20. 1+x111
1111-y=x?2y?2.
a?3b?3c?3=(a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b).
22. 1a?2a?3
1c?2c?3=(ab+b?c+ca)1aa?2
计算下列各题：
d000. 24. a100
25. a?2(a+1)?2(a+2)?2(a+3)?2
b?2(b+1)?2(b+2)?2(b+3)?2
c?2(c+1)?2(c+2)?2(c+3)?2
d?2(d+1)?2(d+2)?2(d+3)?2.
b+c2c+a2a+b21.
27. a?100b?1
0a?2b?20
0b?3a?30
b?400a?4.
28. 122…22
??????
29. 111…1
aa-1a-2…a-n
a?2(a-1)?2(a-2)?2…(a-n)?2
a?n(a-1)?n(a-2)?n…(a-n)?n.
30. a?n?1a?n?-1?1b?1a?n?-2?1b?2?1…a?1b?n?-1?1b?n?1
a?n?2a?n?-1?2b?2a?n?-2?2b?2?2…a?2b?n?-1?2b?n?2
?????
a?n?n?+1a?n?-1?n?+1b?n?+1a?n?-2?n?+1b?2?n?+1…a?n?+1b?n?-1?n?+1b?n?n?+1.
用克拉默法则解下列线性方程组：
31. 5x?1+4x?3+2x?4=3,
x?1-x?2+2x?3+x?4=1,
4x?1+x?2+2x?3=1,
x?1+x?2+x?3+x?4=0.
32. x?2+x?3+x?4+x?5=1,
x?1+x?3+x?4+x?5=2,
x?1+x?2+x?4+x?5=3,
x?1+x?2+x?3+x?5=4,
x?1+x?2+x?3+x?4=5.
33. 问： 齐次线性方程组
x?1+x?2+x?3+ax?4=0,
x?1+2x?2+x?3+x?4=0,
x?1+x?2-3x?3+x?4=0,
x?1+x?2+ax?3+bx?4=0
有非零解时，a, b必须满足什么条件？
34. 求平面上过两点（x?1, y?1）和（x?2, y?2）的直线方程（用行列式表示）.
35. 求三次多项式f(x)=a?0+a?1x+a?2x?2+a?3x?3，使得??f(-1)=0, f(1)=4, f(2)=3, f(3)=16.??补充题
证明下列恒等式：
36. 1+a?11…1
11+a?2…1
11…1+a?n=?1+∑ni=11a?i∏ni=1a?i.?
用数学归纳法证明之；
利用线性性质，将原行列式表示为2?n个行列式之和的方法，计算行列式；
利用递推公式，计算行列式.
37. x-10…00
??????
a?na?n?-1a?n-2…a?2x+a?1=?x?n+∑nk=1a?kx?n?-k.?
38. a?1-10…00
a?2x-1…00
a?30x…00
??????
a?n?-100…x-1
a?n00…0x=?∑nk=1a?kx?n?-k.?
39. ?cos?θ1
12?cos?θ1
12?cos?θ1
12?cos?θ=?cos?nθ.
计算下列行列式：
40. 13-522532
41. 11…1-n
?????
42. a?1+λ?1a?2a?3…a?n
a?1a?2+λ?2a?3…a?n
a?1a?2a?3+λ?3…a?n
?????
a?1a?2a?3…a?n+λ?n.
43. 123…n-1n
?????
n-1n1…n-3n-2
n12…n-2n-1.
x?1x?2x?3…x?n
x?2?1x?2?2x?2?3…x?2?n
x?n?-2?1x?n?-2?2x?n?-2?3…x?n?-2?n
x?n?1x?n?2x?n?3…x?n?n=?∑ni=1x?i∏1≤j<i≤n(x?i-x?j).?
45. 证明（用数学归纳法）:
导数关系式???d??d?ta?11(t)a?12(t)…a?1n(t)
a?21(t)a?22(t)…a?2n(t)
a?n?1(t)a?n?2(t)…a?n?n(t)
=∑nj=1a?11(t)…?d??d?ta?1j(t)…a?1n(t)
a?21(t)…?d??d?ta?2j(t)…a?2n(t)
a?n?1(t)…?d??d?ta?n?j(t)…a?n?n(t).??
46. 设3个点P?1 (x?1, y?1) , P?2 (x?2, y?2) , P?3 (x?3, y?3）不在一条直线上，求过点P?1, P?2, P?3的圆的方程.
47. 求使3点（x?1,y?1) ,(x?2,y?2),(x?3,y?3)位于一直线上的充分必要条件.
48. 写出通过3点（1, 1, 1) ,
(2, 3, -1) ,
(3, -1, -1）的平面的方程.
49. 写出通过点（1, 1, 1) ,
(1, 1, -1) ,
(1, -1, 1) ,
(-1, 0, 0）的球面方程，并求其中心和半径.
50. 已知a?2≠b?2，证明方程组??a?x?1+b?x?2n=1,
a?x?2+b?x?2n?-1 =1,
a?x?n+b?x?n?+1=1,
b?x?n+a?x?n?+1=1,
b?x?2+a?x?2n?-1 =1,
b?x?1+a?x?2n=1??有唯一解，并求解.
3. (a-b)?2.
6. -18. 7. 0. 8. 2x?3-6x?2+6. 9. 256. 10. 10!.
11. -8. 12. 160. 13. -7. 14. -12. 15. 32.
16. -20. 17. -60. 18. 3!5!. 23. ab?cd.
24. (ab+1)(cd+1)+ad. 25. 0. 26. 0.
27. (a?1a?4-b?1b?4)(a?2a?3-b?2b?3). 28. -2(n-2)!.
29. ?(-1)???n(n+1)2∏nk=1k!.?
30. 第1行至第n+1行分别提出公因子a?n?1, a?n?2, …, a?n?n?+1，将其化为范德蒙行列式，?∏1≤j1-1-103-1
002153. ①
④??这个矩阵中第1, 2列后三个元素皆为零，表示方程（2?6）中方程②, ③, ④中的x?1, x?2均已消去. 再用（-2）乘此矩阵的②行加到其③, ④行上，得??③+②×(-2)④+②×(-2)>1-1-103-1
000-393 ①
④×-13③?④>1-1-103-1
④ (2?7) ??其中： ④×(-1/3）表示第④行乘（-1/3) ; ③?④表示第③, ④行对换位置.
(2?7）式中的阶梯形增广矩阵所对应的线性方程组与原线性方程组是同解的. 为了在求解时省去回代的步骤，我们把（2?7）中每行第一个非零元所在列的其余元素全化为零，即??②+③×(-2)>1-1-103-1
①+②>1-10071
000000. ①
④(2?8)?? (2?8）式矩阵称为行简化阶梯矩阵，它所对应的线性方程组??x?1-x?2+7x?5=1,
x?3+4x?5=2,
x?4-3x?5=-1 (2?8) ′??与原线性方程组同解. 这里是3个方程，5个未知数，任取x?2=k?1, x?5=k?2代入线性方程组（2?8) ′可唯一地解得对应于k?1, k?2的x?1, x?3, x?4，从而得到满足线性方程组的全部解： x?1=1+k?1-7k?2, x?2=k?1, x?3=2-4k?2, x?4=-1+3k?2, x?5=k?2，其中k?1, k?2为任意常数. 以后我们常把线性方程组的解写成下面的形式??(x?1, x?2, x?3, x?4, x?5)
=(1+k?1-7k?2, k?1, 2-4k?2, -1+3k?2, k?2).??
当线性方程组（2?3）的常数项b?1=b?2=…=b?m=0时，我们称它为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组.
齐次线性方程组的解法与例2一样. 如果例2中4个方程的常数项全为零，其解为??(x?1, x?2, x?3, x?4, x?5)
=(k?1-7k?2, k?1, -4k?2, 3k?2, k?2).??
例3 解线性方程组??x?1+x?2+x?3=1,
x?1+2x?2-5x?3=2,
2x?1+3x?2-4x?3=5.??
? (A,b) =1111
23-45②+①×(-1)③+①×(-2)>1111
?③+②×(-1)>1111
①+②×(-1)>1070
其中第三行0, 0, 0, 2所表示的方程0x?1+0x?2+0x?3=2显然是无解的，故原线性方程组无解. 这是由于线性方程组中第三个方程的左端等于前两个方程左端之和，而右端不等于前两个方程右端之和，这表明第三个方程与前两个方程是矛盾的，即满足前两个方程的解不可能满足第三个方程，这种含有矛盾方程而无解的方程组称为不相容方程组. 有解的方程组则称做相容方程组. 例1、例2是相容方程组，例2在消元过程中其增广矩阵第③行出现全零行，是由于方程组（2?6）中方程③等于（方程②乘2) +（方程①乘（-1) ) . 因此，满足方程①, ②的解都满足方程③，所以方程③对方程组（2?6）求解是多余的，称之为多余方程. 在高斯消元法的消元过程中，在增广矩阵上会清楚地揭示出方程组中的多余方程和矛盾方程.
从例2、例3可见，对一般的线性方程组（2?3) ，通过消元步骤，其增广矩阵（2?4）可化为如（2?8) ,
(2?9）式那样的行简化阶梯矩阵. 为便于讨论，不妨假设（2?4）化为如下的行简化阶梯矩阵：?? (A, b) >c?110…0c?1,r?+1…c?1nd?1
0c?22…0c?2,r?+1…c?2nd?2
???????
00…c?r?rc?r,r?+1…c?r?nd?r
00…00…0d?r?+1
00…00…00
??????
00…00…00,
(2?10) ??其中c?i?i=1, i=1, 2, …, r.
(2?10）式对应的非齐次线性方程组与线性方程组（2?3）是同解方程组. 由（2?10）式易见，线性方程组有解的充要条件是d?r+1=0. 在有解的情况下：
当r=n时，有唯一解x?1=d?1, x?2=d?2, …, x?n=d?n;
当r<n时，有无穷多解，求解时把（2?10）式中每行第一个非零元c?i?i (i=1, 2, …, r）所在列对应的未知量（这里是x?1, x?2, …, x?r）取为基本未知量，其余未知量（这里是x?r+1, x?r+2, …, x?n）取为自由未知量，并令自由未知量依次取任意常数k?1, k?2, …, k?n-r，将它们代入（2?10）式所对应的线性方程组，即可解得??x?1=d?1-c?1,r?+1k?1-…-c?1nk?n?-r,
x?2=d?2-c?2,r?+1k?1-…-c?2nk?n?-r,
……………………………………
x?r=d?r-c?r,r?+1k?1-…-c?r?nk?n?-r,
x?r?+1=k?1,
x?n=k?n?-r. (2?11) ??其中k?1, k?2, …, k?n-r为互相独立的任意常数. 这就是线性方程组的全部解.
齐次线性方程组总是有解的，这是因为（2?3）中b?1=b?2=…=b?m=0，从而（2?10）中d?1=…=d?r=d?r+1=0. 当r=n时，只有零解，即x?1=x?2=…=x?n=0；当rj时，a?i?j=0 (j=1, 2, …, n-1）的矩阵称为上三角矩阵；当ij时，?c?i?j=∑nk=1a?i?kb?k?j=∑i-1k=1a?i?kb?k?j+∑nk=ia?i?kb?k?j, ?由于A是上三角矩阵，所以式中右端第一个和式中a?i?k=0 (k=1, 2, …, i-1) ；同理，上式右端第二个和式中b?k?j=0(k=i, i+1, …, n，它们都大于j). 因此，当i>j时，恒有c?i?j=0，故C是上三角矩阵.
同样可证，两个下三角矩阵的乘积仍是下三角矩阵.
定义了矩阵的乘法，我们可以将线性方程组简洁地表示成一个矩阵等式.
设线性方程组??a?11x?1+a?12x?2+…+a?1nx?n=b?1,
a?21x?1+a?22x?2+…+a?2nx?n=b?2,
a?m1x?1+a?m2x?2+…+a?m?nx?n=b?m. (2?15) ??由于方程组中第i个方程可以表示为?? (a?i?1,a?i?2,…,a?i?n) x?1
x?n=b?i,
i=1, 2, …, m.??因此线性方程组（2?15）可以表示成??a?11a?12…a?1n
a?21a?22…a?2n
a?m1a?m2…a?m?nx?1
b?m.??记??A=a?11a?12…a?1n
a?21a?22…a?2n
a?m1a?m2…a?m?n,
(2?16) ??则线性方程组（2?15）可以简洁地表示成下列矩阵等式??A?x=b,
(2?17) ??并称矩阵A为线性方程组（2?15）的系数矩阵.
下面讨论两个方阵的乘积的行列式.
定理2?1 设A, B是两个n阶矩阵，则乘积AB的行列式等于A和B的行列式的乘积，即??|AB|=|A||B|.??
证 设A= (a?i?j) ?n×n, B= (b?i?j) ?n×n，利用第1章1?2节例9的结果，有??|A||B|=a?11a?12…a?1n00…0
a?21a?22…a?2n00…0
??????
a?n?1a?n?2…a?n?n00…0
-10…0b?11b?12…b?1n
0-1…0b?21b?22…b?2n
???????
00…-1b?n?1b?n?2…b?n?n?2n×2n.??将第n+1行乘a?11加到第一行，第n+2行乘a?12加到第一行……第2n行乘a?1n加到第一行，即得??|A||B|=00…0c?11c?12…c?1n
a?21a?22…a?2n00…0
??????
a?n?1a?n?2…a?n?n00…0
-10…0b?11b?12…b?1n
0-1…?b?21b?22…b?2n
???0???
00…-1b?n?1b?n?2…b?n?n,??其中??c?1j=a?11b?1j+a?12b?2j+…+a?1nb?n?j=∑nk=1a?1kb?k?j(j=1, 2, …, n).??即c?11,c?12,…,c?1n是AB的第一行，仿照上述步骤，将行列式中a?21,a?22,…,a?2n,…,a?n?1,a?n?2,…,a?n?n全消为零时，就得到??|A||B|=A0
-IB=(-1)?nA?B0
=(-1)?n|A?B||-I?n|=(-1)?n|A?B|(-1)?n
=|A?B|.■??
定理2?1应用很广，下面举两个应用的例子.
设 A=a-b-c-d
计算（?det?A) ?2和?det?A（即|A|?2和|A|) .
解 将A中行列互换所得矩阵记成A??T?，即??A??T?=abcd
-dc-ba.??
由于|A??T?|=|A|，所以??|A|?2=|A||A??T?|=|A?A??T?|
=a?2+b?2+c?2+d?2000
0a?2+b?2+c?2+d?200
00a?2+b?2+c?2+d?20
000a?2+b?2+c?2+d?2
=(a?2+b?2+c?2+d?2)?4.??因此|A|=±(a?2+b?2+c?2+d?2)?2. 但A的主对角元全是a，行列式|A|中的a?4项的符号为“+" ，故??|A|= (a?2+b?2+c?2+d?2) ?2.??
例6 设??A=a?11a?12…a?1n
a?21a?22…a?2n
a?n?1a?n?2…a?n?n,
A?*=A?11A?21…A?n?1
A?12A?22…A?n?2
A?1nA?2n…A?n?n,
(2?18) ??其中A?i?j是行列式|A|中元素a?i?j的代数余子式.
证明： 当|A|≠0时，|A?*|=|A|?n?-1.
证 设AA?*=C= (c?i?j) ，其中??c?i?j=a?i?1A?j1+a?i?2A?j?2+…+a?i?nA?j?n
0, 当j≠i i,j=1, 2, …, n.??于是?AA?*=|A|
|A|=|A|I?n, ? (2?19)
因此?|A||A?*|=|A?A?*|=|A|?n.?
由于|A|≠0，故|A?*|=|A|?n?-1.■
最后，我们定义方阵的幂和方阵的多项式.
定义2?9 设A是n阶矩阵，k个A的连乘积称为A的k次幂，记作A?k，即??A?k= A A … Ak个.??
由定义可以证明： 当m, k为正整数时，有??A?mA?k=A?m?+k,
(A?m)?k=A?m?k,
(2?21) ??当AB不可交换时，一般情况下， (AB) ?k≠A?kB?k；当AB可交换时， (AB) ?k=A?kB?k=B?kA?k，但其逆不真.
定义2?10 设f(x)=a?kx?k+a?k-1x?k-1+…+a?1x+a?0是x的k次多项式，A是n阶矩阵，则??f(A)=a?kA?k+a?k-1A?k-1+…+a?1A+a?0I?n, ??称为矩阵A的k次多项式（注意常数项应变为a?0I) .
由定义容易证明： 若f(x), g(x)为多项式，A, B皆是n阶矩阵，则??f(A)g(A)=g(A)f(A).??但当AB不可交换时，一般f(A)g(B)≠g(B)f(A). 例如??(A?2+A-2I)(A-I)=(A-I)(A?2+A-2I)
=A?3-3A+2I,
(A-B) =A?2-A?B+B?A-B?2 (≠A?2-B??2)
≠A?2-B?A+A?B-B??2=(A-B)(A+B),
(A+B)?2=(A+B)(A+B)
=A?2+A?B+B?A+B?2≠A?2+2A?B+B?2.??
由于数量矩阵λI与任意方阵可交换，下式可按二项式定理展开??(A+λI)?n=A?n+?C??1?nλA?n?-1+?C??2?nλ?2A?n?-2+…+?C??n?-1?nλ?n?-1A+λ?nI.??
还要注意： 对于m×n矩阵A，当m≠n时，A?2没有意义.
2.3 矩阵的转置 对称矩阵
2.3 矩阵的转置 对称矩阵定义2?11 把一个m×n矩阵??A=a?11a?12…a?1n
a?21a?22…a?2n
a?m1a?m2…a?m?n??的行列互换得到的一个n×m矩阵，称之为A的转置矩阵，记作A??T?或A′，即??A??T?=a?11a?21…a?m1
a?12a?22…a?m2
a?1na?2n…a?m?n.??
由定义可知，如果记A= (a?i?j) ?m×n, A??T?= (a???T???j?i) ?n×m，则??a???T???j?i=a?i?j (i=1, 2, …, j=1, 2, …, n).??
矩阵的转置运算满足以下运算规律：
(A??T?)??T?=A;
(A+B)??T?=A??T?+B??T?;
(k?A)??T?=k?A??T?(k是数);
(AB) ??T?=B??T?A??T?.
规则（?i?) , (?ii?),
(?iii?）是显然成立的，下面证明（?iv?) . 设??A=(a?i?j)?m?×n, B= (b?i?j) ?n?×s, A??T?= (a???T???j?i) ?n?×m, B??T?=(b???T???j?i)?s?×n.??
于是（AB) ??T?与B??T?A??T?都是s×m矩阵，再根据??a???T???j?i=a?i?j,
b???T???j?i=b?i?j.??得?? (B??T?A??T?) ?j?i=∑nk=1b???T???j?ka???T???k?i=∑nk=1a?i?kb?k?j=(A?B)?i?j=(A?B)???T???j?i,
j=1, 2, …, i=1, 2, …, m.??故（AB) ??T?=B??T?A??T?.■
由（?iv?) ，用数学归纳法可证（A?1 A?2 … A?k) ??T?=A??T???k … A???T???2 A???T???1.
定义2?12 设??A=a?11a?12…a?1n
a?21a?22…a?2n
a?n?1a?n?2…a?n?n??是一个n阶矩阵，如果a?i?j=a?j?i(i,j=1, 2, …, n)，则称A为对称矩阵；如果a?i?j=-a?j?i (i,j=1, 2, …, n) ，则称A为反对称矩阵.
对于反对称矩阵A，由于a?i?i=-a?i?i (i=1, 2, …, n) ，所以其主对角元a?i?i全为零.
根据定义2?11和定义2?12，容易证明：
A为对称矩阵的充要条件是A??T?=A;
A为反对称矩阵的充要条件是A??T?=-A.
例1 设B是一个m×n矩阵，则B??T?B和BB??T?都是对称矩阵.
因为B??T?B是n阶矩阵，且?? (B??T?B) ??T?=B??T? (B??T?) ??T?=B??T?B. ??同理BB??T?是m阶对称矩阵.
例2 设A是n阶反对称矩阵，B是n阶对称矩阵，则AB+BA是n阶反对称矩阵. 这是因为??(A?B+B?A)??T?=(A?B)??T?+(B?A)??T?=B??T?A??T?+A??T?B??T?
=B(-A)+(-A)B=-(A?B+B?A).??
必须注意，对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵. 容易证明： 若A与B均为对称矩阵，则AB对称的充要条件是AB可交换.
2.4 可逆矩阵的逆矩阵
2.4 可逆矩阵的逆矩阵矩阵的运算中，定义了加法和负矩阵，就可以定义矩阵的减法，那么定义了矩阵的乘法，是否可定义矩阵的除法呢？由于矩阵乘法不满足交换律，因此我们不能一般地定义矩阵的除法. 大家知道，在数的运算中，当数a≠0时，aa?-1=a?-1a=1，这里a?-1=1a称为a的倒数（或称a的逆）；在矩阵的乘法运算中，单位矩阵I相当于数的乘法运算中的1，那么，对于一个矩阵A，是否存在一个矩阵A?-1，使得A?A?-1=A?-1A=I呢？如果存在这样的矩阵A?-1，就称A是可逆矩阵，并称A?-1是A的逆矩阵. 下面给出可逆矩阵及其逆矩阵的定义，并讨论矩阵可逆的条件及求逆矩阵的方法.
定义2?13 对于矩阵A∈F??n×n，如果存在矩阵B∈F??n×n，使得??A?B=B?A=I,
(2?22) ??就称A为可逆矩阵（简称A可逆) ，并称B是A的逆矩阵，记作A?-1，即A?-1=B.
由定义可知，可逆矩阵及其逆矩阵是同阶方阵. 由于（2?22）式中，A与B的地位是平等的，所以也可称A是B的逆矩阵.
由定义2?13立即可知，单位阵I的逆矩阵是其自身.
定理2?2 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.
证 设B和C都是A的逆矩阵，则由??A?B=B?A=I,
A?C=C?A=I, ??可得?B=I?B= (C?A) B=C (A?B) =C?I=C, ?
故A的逆矩阵是唯一的.■
下面讨论矩阵A可逆的充分必要条件.
如果A可逆，由（2?22）式可知： |A||B|=|I|=1，于是|A|≠0，因此|A|≠0是A可逆的必要条件. |A|≠0也是A可逆的充分条件，为了证明这个结论，我们引进A的伴随矩阵 (?adjoint matrix?）的概念.
定义2?14 设n阶矩阵A= (a?i?j) ?n?×n, A?i?j是行列式?det?A中元素a?i?j的代数余子式，我们称???cof?A=(A?i?j)?n?×n??为A的代数余子式矩阵，并称?cof?A的转置矩阵为A的伴随矩阵，记作?adj?A或A?*，即??A?*=(?cof?A)??T?=A?11A?21…A?n?1
A?12A?22…A?n?2
A?1nA?2n…A?n?n.??
在2?2节的例6中已经证明了AA?*=|A|I（见（2?19）式），同理可证，A?*A=|A|I，于是??A?A?*=A?*A=|A|I,
(2?23) ??当|A|≠0时，由（2?23）式可得??A1|A|A?*=1|A|A?*A=I,
(2?24) ??故当|A|≠0时，A可逆，且??A?-1=1|A|A?*. (2?25) ??综上所述，我们得到下面的定理.
定理2?3 矩阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0，且??A?-1=1|A|A?*.??
推论 若A, B都是n阶矩阵，且AB=I，则BA=I，即A, B皆可逆，且A, B互为逆矩阵.
证 由AB=I，得|A||B|=1, |A|≠0, |B|≠0，根据定理2?3, A, B皆可逆，于是，??A?B=I?A?-1A?B?A=A?-1I?A?B?A=I.■??
由定理2?3立即可得，对角阵和上（下）三角矩阵可逆的充要条件是它们的主对角元a?11, a?22, …, a?n?n全不为零.
定理2?3不仅给出了A可逆的充要条件，而且提供了求A?-1的一种方法. 以后我们还将介绍另一种常用的求A?-1的方法. 定理2?3的推论告诉我们，判断B是否为A的逆，只需验证AB=I或BA=I的一个等式成立即可.
可逆矩阵满足以下运算规律（下设同阶方阵A, B皆可逆，数k≠0) :
(A?-1) ?-1=A;
(k?A) ?-1=k?-1A?-1;
(AB) ?-1=B?-1A?-1;
(A??T?) ?-1= (A?-1) ??T?;
?det?(A?-1)=1/?det?A,
即|A?-1|=|A|?-1.
我们仅证明后三条运算规律（前两条运算规律的证明，留给读者作为练习）.
因为|AB|=|A||B|≠0，所以AB可逆，又?? (A?B)
(B?-1A?-1) =A (BB?-1) A?-1=A?I?A?-1=A?A?-1=I, ??故（AB) ?-1=B?-1A?-1. 运算规律（?iii?）可推广到多个可逆矩阵的乘积，即若A?1, A?2, …, A?m皆可逆，则?? (A?1 A?2 … A?m) ?-1=A?-1?m … A?-1?2 A?-1?1.??
因为 |A??T?|=|A|≠0，所以A??T?可逆，又?? (A?A?-1) ??T?=I，即（A?-1) ??T?A??T?=I, ??故
(A??T?) ?-1= (A?-1) ??T?.
因为AA?-1=I，所以|A||A?-1|=1，即|A|≠0，因此??|A?-1|=1|A|=|A|?-1.??
必须注意，A, B皆可逆，A+B不一定可逆，即使A+B可逆，一般地， (A+B) ?-1≠A?-1+B?-1，例如： 对角阵??A=?diag?(2,-1),
C=?diag?(1, 2)??均可逆，但A+B=?diag? (3, 0）不可逆，而A+C=?diag? (3, 1）可逆，其逆??(A+C)?-1=?diag?13, 1≠A?-1+C?-1=?diag?32, -12.??
例1 下列矩阵A, B是否可逆？若可逆，求其逆矩阵. 其中??A=321
解 |A|=2，故A可逆. 记A= (a?i?j) ?3×3，各元素的代数余子式分别为??A?11=11
11=0, A?13=11
01=-2, A?22=31
11=2, A?23=-32
11=1.??故??A?-1=1|A|A?*=121-21
|B|=b?1b?2b?3≠0时，B可逆，其逆矩阵仍为对角矩阵，且??B?-1=1/b?1
1/b?3.??
求逆的运算容易出错，所以求得A?-1后，应验证AA?-1=I，以保证结果是正确的.
例2 设?A=a?11a?12
a?21a?22?
的行列式?det?A=a?11a?22-a?12a?21=d≠0，则其逆矩阵??A?-1=1dA?*=1da?22-a?12
-a?21a?11.??
例3 设方阵A满足方程A?2-3A-10I=0，证明： A, A-4I都可逆，并求它们的逆矩阵.
证 由A?2-3A-10I=0得A (A-3I) =10I，即??A110(A-3I)]=I, ??故A可逆，且A?-1=110 (A-3I) . 再由A?2-3A-10I=0得??(A+I)(A-4I)=6I, ??即?16(A+I)(A-4I)=I, ?
故A-4I可逆，且（A-4I) ?-1=16 (A+I) .■
例4 已知非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵A如例1所给，b=(5, 1, 1)??T?，问方程组是否有解？如有解，求其解.
解 由于A是可逆矩阵，且逆矩阵是唯一的，因此等式Ax=b两端都左乘A?-1，即??A?-1(A?x)=A?-1b, ??便得此方程组的唯一解??x=x?1
x?3=A?-1b=1/2-11/2
例5 证明： 若A是可逆的反对称矩阵，则A?-1也是反对称矩阵.
证 因为（A?-1) ??T?= (A??T?) ?-1= (-A) ?-1=-A?-1，所以A?-1是反对称矩阵.■
同理，可逆对称矩阵的逆矩阵仍是对称矩阵.
下面再举几个综合的例题.
例6 设A= (a?i?j) ?n×n为非零实矩阵，证明： 若A?*=A??T?，则A为可逆矩阵.
证 欲证A可逆，只要证|A|≠0. 由A?*=A??T?及A?*的定义可得，A的元素a?i?j等于其自身的代数余子式A?i?j，根据行列式|A|按i行的展开式得??|A|=∑nj=1a?i?jA?i?j=∑nj=1a?2?i?j.??由于A为非零实矩阵，所以A的元素a?i?j (i,j=1, 2, …, n）为实数且不全为零，故|A|≠0，即A可逆.
例7 设A, B, C均为n阶方阵，若AB?C=I，则下列乘积： ACB, BAC, B?CA, CAB, CBA中哪些必等于单位阵I.
解 根据矩阵乘法满足结合律及定理2?3的推论，必有B?CA= (B?C) A=I，因为A (B?C) =I；同理可得，也必有CAB=C (AB) =I.
例8 设A可逆，且A?*B=A?-1+B，证明B可逆，当??A=260
002??时，求B.
解 由A?*B=A?-1+B=A?-1+IB，得??(A?*-I)B=A?-1.①??于是|A?*-I||B|=|A?-1|≠0，所以B和A?*-I可逆，再由①得??B= (A?*-I) ?-1A?-1=\A (A?*-I) \]?-1=\A|I-A\]?-1, ??其中??|A|I-A=8
001.??按逆矩阵的运算律（?i?i?）和求逆公式（2?25) ，易得??B=16111
例9 设A, B均为n阶可逆矩阵，证明：
(AB) ?*=B?*A?*;
(A?*) ?*=|A|?n?-2A.
由|AB|=|A||B|≠0可知AB也可逆. 根据（2?23）式，有（AB)
(AB) ?*=|AB|I，所以??(A?B)?*=(A?B)?-1|A?B|I=|A?B|(A?B)?-1=|A||B|B??-1A?-1
=|B|B?-1|A|A?-1=|B|B?*|B||A|A?*|A|=B?*A?*.??
由（A?*) ?*A?*=|A?*|I，得（A?*) ?*|A|A?-1=|A|?n?-1I，从而有??(A?*)?*=|A|?n?-2A.??2.5 矩阵的初等变换和初等矩阵
用高斯消元法解线性方程组，其消元步骤是对增广矩阵做3类行变换：
以非零常数c乘矩阵的某一行；
将矩阵的某一行乘以常数c并加到另一行；
将矩阵的某两行对换位置.
这3类行变换统称为矩阵的初等行变换,
(?i?）称为倍乘变换,
(?ii?）称为倍加变换,
(?iii?）称为对换变换.
在矩阵的其他一些问题里（如展开方阵的行列式），还要对矩阵的列做与上述3类初等行变换相对应的变换，称之为初等列变换. 初等行、列变换统称为初等变换.
初等变换在矩阵的理论中具有十分重要的作用. 矩阵的初等变换不只是可用语言表述，而且可用矩阵的乘法运算来表示，为此要引入初等矩阵的概念.
2.5 矩阵的初等变换和初等矩阵定义2?15 将单位矩阵做一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵.
对应于3类初等行、列变换，有3种类型的初等矩阵：
初等倍乘矩阵??E?i(c)=?diag?(1, …, 1, c, 1, …, 1).??E?i(c)是由单位矩阵第i行（或列）乘c (c≠0）而得到的；
初等倍加矩阵??E?i?j(c)=1
1i行j行 , ??E?i?j(c)是由单位矩阵第i行乘c加到第j行而得到的，或由第j列乘c加到第i列而得到；
初等对换矩阵
??E?i?j=1
1i行j行.??
E?i?j是由单位矩阵第i, j行（或列）对换而得到的.
例1 计算下列初等矩阵与矩阵A= (a?i?j) ?3×n, C= (c?i?j) ?3×2, B= (b?i?j) ?3×3的乘积：
001a?11a?12…a?1n
a?21a?22…a?2n
a?31a?32…a?3n=a?11a?12…a?1n
c?a?21c?a?22…c?a?2n
a?31a?32…a?3n.
001c?11c?12
c?21c?22
c?31c?32=c?11+d?c?31c?12+d?c?32
c?21c?22
c?31c?32.
b?11b?12b?13
b?21b?22b?23
b?31b?32b?33100
010=b?11b?13b?12
b?21b?23b?22
b?31b?33b?32.??
由例1可见，初等矩阵左乘A, C（右乘B）的结果是对A, C (B）做初等行（列）变换，而且，如果初等矩阵是由单位矩阵做某种行（列）变换所得，那么它左乘A, C（右乘B）也是对A, C (B）做该种行（列）变换.
读者不难证明下面的一般结论：
E?i (c) A 表示A的第i行乘c;
E?i?j (c) A 表示A的第i行乘c加至第j行；
E?i?jA 表示A第i行与第j行对换位置；
表示B的第i列乘c;
BE?i?j (c)
表示B的第j列乘c加至第i列；
BE?i?j 表示B的第i列与第j列对换位置.
初等矩阵的行列式都不等于零，因此初等矩阵都是可逆矩阵. 对初等矩阵再做一次适当的同类初等变换就化为单位矩阵，如??E?i1cE?i(c)=I,
E?i?j(-c)E?i?j(c)=I,
E?i?jE?i?j=I, ??所以，初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩阵，即??E?-1?i(c)=E?i1c,
E?-1?i?j(c)=E?i?j(-c),
E?-1?i?j=E?i?j.??
例2 设初等矩阵??P?1=0010
1.??试求P?1P?2P?3及（P?1P?2P?3) ?-1.
解 P?2左乘P?3表示对P?3做倍加行变换，P?1左乘P?2P?3，表示对P?2P?3做对换行变换，于是可得??P?1P?2P?3=0010
(P?1P?2P?3)?-1=P?-1?3P?-1?2P?-1?1
00-c1.??对于P?1P?2P?3，其中P?2右乘P?1表示对P?1做倍加列变换，P?3右乘P?1P?2表示对P?1P?2做倍乘列变换，这样运算其结果也是一样的.
?*例3 将三对角矩阵??A=2100
0012??分解成主对角元为1的下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，即A=LU（称为矩阵的?LU?分解）.
解 由于倍加初等矩阵及其逆矩阵都是主对角元为1的同类型三角阵. 因此如能通过倍加行变换将A的主对角线以下元素消为零（此时倍加行变换对应的初等矩阵是主对元为1的下三角矩阵，而A将化成上三角矩阵），就可将A分解为LU，具体作法如下：??1
0012记作A?1,
1A?1=2100
0012记作A?2,
-341A?2=2100
54记作U.??将上面三个式子中的左端的矩阵分别记作L?1, L?2, L?3，则??L?3L?2L?1A=U, ??故?A= (L?3L?2L?1) ?-1U=LU, ?
L= (L?3L?2L?1) ?-1=L?-1?1L?-1?2L?-1?3
下面介绍用初等变换求逆矩阵的方法.
定理2?4 可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵.
证 在2?1节中讲过的高斯消元法，其消元过程是对线性方程组的增广矩阵做3类初等行变换，并一定可以将其化为行简化阶梯形矩阵. 因此，对任何矩阵A，都可经初等行变换将其化为行简化阶梯形矩阵，即存在初等矩阵P?1, P?2, …, P?s使??P?s…P?2P?1A=U.??当A为n阶可逆矩阵时，行简化阶梯形矩阵也是可逆矩阵（因为初等矩阵都可逆），从而U必是单位矩阵I.■
推论1 可逆矩阵A可以表示为若干个初等矩阵的乘积.
证 根据定理2?4，存在初等矩阵P?1, P?2, …, P?s使得??P?s…P?2P?1A=I,
(2?26) ??所以??A= (P?s…P?2P?1) ?-1=P?-1?1P?-1?2…P?-1?s,
(2?27) ??其中P?-1?1, P?-1?2, …, P?-1?s仍是初等矩阵，推论得证.■
由（2?26）式可知??A?-1=P?s…P?2P?1=P?s…P?2P?1I. (2?28) ??于是，根据（2?26) ,
(2?28）式，即得下面的推论.
推论2 如果对可逆矩阵A和同阶单位阵I做同样的初等行变换，那么当A变为单位阵时，I就变为A?-1，即?? (A, I) 初等行变换 (I, A?-1) .??
由（2?27）式又可得??A?P?s…P?2P?1=I;
I?P?s…P?2P?1=A?-1.??因此，同样也可用初等列变换求逆矩阵，即??A
I初等列变换I
A?-1.??
例4 用初等行变换求矩阵??A=02-1
-1-1-1??的逆矩阵.
解 ?? (A, I) =02-1100
①?②112010
③+①112010
001011①+③×(-2)②+③
①+②×-12②×-52
001011, ??所以??A?-1=-12-32-52
例5 已知ABA??T?=2BA??T?+I，求B. 其中??A=100
解 在已知的矩阵方程中，注意到2BA??T?=2IBA??T?，于是?? (A-2I) B?A??T?=I,
即B?A??T?= (A-2I) ?-1.??所以
B=(A-2I)?-1(A??T?)?-1=\A??T?(A-2I)\]?-1
=(A??T?A-2A??T?)?-1.??A??T?A-2A??T?=100
0-23, ??用两种求逆方法都易得??B=-100
0-23?-1=-100
读者必须注意，用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵时，必须始终做行变换，其间不能做任何列变换. 如果做初等行变换时，出现全零行，则其行列式等于零，因而矩阵是不可逆的.
读者也应练习一下，用初等列变换求逆矩阵的方法.
例6 当a,b满足什么条件时，矩阵A不可逆. 其中??A=0123
解 对A做初等行、列变换将其化为阶梯形矩阵，由|A|=0可得a,b应满足的条件. 为简便起见，应尽量将a,b置于A的右下方，所以先将A的第1, 2, 3列对换两次（此时|A|不变），然后再做倍加行变换，即??A1203
②+①×(-4)④+①×(-2)1203
③+②④+②×(-1)1203
00a-10.??
矩阵A不可逆的充要条件是??|A|=12
a-10=(a-1)(b-2)=0, ??即a=1或b=2.
2.6 分块矩阵
2.6 分块矩阵把一个大型矩阵分成若干小块，构成一个分块矩阵，这是矩阵运算中的一个重要技巧，它可以把大型矩阵的运算化为若干小型矩阵的运算，使运算更为简明. 下面通过例子说明如何分块及分块矩阵的运算方法.
把一个5阶矩阵??A=2110-1
00001, ??用水平和垂直的虚线分成4块，如果记??21
2-30=A?2,
1=I?3, ??就可以把A看成由上面4个小矩阵所组成，写作??A=A?1A?2
0I?3, ??并称它是A的一个2×2分块矩阵，其中的每一个小矩阵称为A的一个子块.
把一个m×n矩阵A，在行的方向分成s块，在列的方向分成t块，称为A的s×t分块矩阵，记作A= (A?k?l) ?s×t，其中A?k?l (k=1, 2, …, l=1, 2, …, t）称为A的子块，它们可以是各种类型的小矩阵.
常用的分块矩阵，除了2×2分块矩阵，还有以下几种形式：
按行分块??A=a?11a?12…a?1n
a?21a?22…a?2n
a?m1a?m2…a?m?n=a?1
a?m, ??其中a?i=(a?i?1, a?i?2, …, a?i?n), i=1, 2, …, m.
按列分块??B=b?11b?12…b?1s
b?21b?22…b?2s
b?n?1b?n?2…b?n?s=(b?1, b?2, …, b?s), ??其中b?j=(b?1j, b?2j, …, b?n?j)??T?, j=1, 2, …, s.
当n阶矩阵C中非零元素都集中在主对角线附近，有时可以分块成下面的对角块矩阵（又称准对角矩阵）??C=C?1
C?m, ??其中C?i是r?i阶方阵?i=1, 2, …, ∑mi=1r?i=n, ?例如??C=0-10000
000003=C?1
C?3, ??其中
C?3= (3) .
下面讨论分块矩阵的运算.
1. 分块矩阵的加法
设分块矩阵A=(A?k?l)?s×t, B=(B?k?l)?s×t，如果A与B对应的子块A?k?l和B?k?l都是同型矩阵，则??A+B=(A?k?l+B?k?l)?s?×t.??
A?11A?12
A?21A?22+B?11B?12
B?21B?22=A?11+B?11A?12+B?12
A?21+B?21A?22+B?22,
其中A?11与B?11, A?12与B?12, A?21与B?21, A?22与B?22分别都是同型小矩阵（子块）.
2. 分块矩阵的数量乘法
设分块矩阵A= (A?k?l) ?s×t, λ是一个数，则??λ?A=(λ?A?k?l)?s×t.??
3. 分块矩阵的乘法
设A∈F??m×n, B∈F??n×p，如果A分块为r×s分块矩阵（A?k?l) ?r×s, B分块为s×t分块矩阵（B?k?l) ?s×t，且A的列的分块法和B的行的分块法完全相同，则??AB=j?1列j?2列…j?s列A?11A?12…A?1s
A?21A?22…A?2s
A?r1A?r?2…A?r?s B?11B?12…B?1t
B?21B?22…B?2t
B?s1B?s2…B?s?tj?1行
=C记作 (C?k?l) ?r?×t, ??其中C是r×t分块矩阵，且??C?k?l=∑si=1A?k?iB?i?l (k=1, 2, …, l=1, 2, …, t).??
可以证明（但略去），用分块乘法求得的AB与不分块作乘法求得的AB是相等的.
例1 将下列5阶矩阵A, B分成2×2的分块矩阵，并用分块矩阵的乘法计算AB.??A=10000
00-100.??
解 由观察，可将A分成如下4个子块??A=10000
-20001=I?20?2?×3
A?1I?3, ??其中
根据分块矩阵乘法的要求，B的行的分法应和A的列的分法一致，而列可以任分，为计算方便可将B分块如下：??B=32010
00-100=B?1I?2
-I?30?3×2, ??其中B?1=320
则AB=I?20
A?1I?3B?1I?2
-I?30=B?1I?2
A?1B?1-I?3A?1,
其中A?1B?1-I?3=-240
故??A?B=32010
-6-4-1-20.??
不难验证，AB直接相乘与分块相乘所得结果是一致的.
例2 设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，B按列分块成1×s分块矩阵，将A看成1×1分块矩阵，则??A?B=A (b?1, b?2, …, b?s) =(A?b?1, A?b?2, …, A?b?s).??
若已知AB=0 (m×s零矩阵），则显然有Ab?j=0 (n×1零矩阵）, j=1, 2, …, s. 因此，B的每一列b?j都是线性方程组Ax=0的解.
例3 若n阶矩阵C, D可以分块成同型对角块矩阵，即??C=C?1
D?m, ??其中C?i和D?i是同阶方阵（i=1, 2, …, m) ，则??C?D=C?1D?1
C?mD?m.??
矩阵的分块乘法，在以后证明一些重要的命题时，起着重要的作用，下面看一个例子.
例4 证明： 若n阶上三角矩阵A可逆，则其逆矩阵A?-1也是上三角矩阵.
证 对n作数学归纳法，n=1时， (a) ?-1=1a，结论成立. （一阶矩阵可以认为是上（下）三角矩阵，对角矩阵，对称矩阵）. 假设命题对n-1阶可逆上三角矩阵成立，下面考虑n阶情况. 设??A=a?11a?12…a?1n
0a?22…a?2n
00…a?n?n分块a?11α
0A?1(a?i?i≠0, i=1, 2, …, n), ??其中A?1是n-1阶可逆的上三角矩阵. 设A的逆矩阵为??B=b?11b?12…b?1n
b?21b?22…b?2n
b?n?1b?n?2…b?n?n分块b?11β
γB?1, ??则AB=a?11α
0A?1b?11β
γB?1=I?n=10
0I?n?-1,
即a?11b?11+αγa?11β+αB?1
A?1γA?1B?1=10
0I?n?-1,
于是??A?1γ=0?γ=A?-10=0,
A?1B?1=I?n?-1?B?1=A?-1?1, ??根据归纳假设，B?1是n-1阶上三角矩阵，因此??A?-1=B=b?11β
0B?1??是上三角矩阵（其中： b?11=a?-1?11; β=-a?-1?11α?A?-1?1) .
4. 分块矩阵的转置
分块矩阵A= (A?k?l) ?s×t的转置矩阵为??A??T?=(B?l?k)?t?×s, ??其中B?l?k=A??T??k?l,
l=1, 2, …,
k=1, 2, …, s.
例如A=A?11A?12A?13
A?21A?22A?23,
则?A??T?=A??T??11A??T??21
A??T??12A??T??22
A??T??13A??T??23.
B按行分块b?1
则B??T?= (b??T??1, b??T??2, …, b??T??m) .
5. 可逆分块矩阵的逆矩阵
对角块矩阵（准对角矩阵）??A=A?1
A?m??的行列式为|A|=|A?1||A?2|…|A?m|，因此，对角块矩阵A可逆的充要条件为??|A?i|≠0,
i=1, 2, …, m.??根据对角块矩阵的乘法，容易求得它的逆矩阵??A?-1=A?-1?1
A?-1?m.??
用分块矩阵求逆矩阵，可以将高阶矩阵的求逆转化为低阶矩阵的求逆. 一个2×2的分块矩阵求逆，可以根据逆矩阵的定义，用解矩阵方程的办法解得.
例5 设A=B0
其中B, D皆为可逆方阵，证明A可逆并求A?-1.
解 |A|=|B||D|≠0，所以A可逆. 设??A?-1=XY
ZT, ??其中X与B, T与D分别是同阶方阵，于是由??B0
ZT=B?XB?Y
C?X+D?ZC?Y+D?T=I?m0
0I?n, ??得：
故 X=B?-1;
BY=0, 故Y=B?-10=0;
CX+DZ=0, 故DZ=-CX=-CB?-1,
Z=-D?-1CB?-1;
C?Y+DT=I?n, 故DT=I?n，即T=D?-1.
所以??A?-1=B?-10
-D?-1C?B?-1D?-1.??
?*6. 分块矩阵的初等变换与分块初等阵
这里我们仅就2×2分块矩阵为例来作讨论. 对于分块矩阵??A=A?11A?12
A?21A?22??可以同样地定义它的3类初等行变换和列变换，并相应地定义3类分块初等矩阵：
分块倍乘阵（C?1, C?2是可逆阵）??C?10
0I?n 或 I?m0
0C?2.??
(?ii?) 分块倍加阵??I?m0
C?3I?n 或 I?mC?4
0I?n.??
(?iii?) 分块对换阵??0I?n
I?m0.??
分块初等矩阵自然是方阵，它们左乘（或右乘）分块矩阵A（不一定是方阵），在保证可乘的情况下，其作用与2?5节中所述初等矩阵左乘（或右乘）矩阵的作用是相同的.
分块矩阵的初等变换也是矩阵运算的一个重要技巧，以后讨论一些问题时用它处理会比较方便. 下面举两个应用的例子.
例6 设n阶矩阵A分块表示为??A=A?11A?12
A?21A?22, ??其中A?11, A?22为方阵，且A和A?11可逆. 证明A?22-A?21A?-1?11A?12可逆，并求A?-1.
解 先对分块阵A做初等行变换，将其化为上三角块矩阵，为此左乘分块倍加阵??P?1=I?10
-A?21A?-1?11I?2, ??其中I?1, I?2为单位矩阵，其阶数分别等于A?11, A?22的阶数. 于是??P?1A=A?11A?12
0A?22-A?21A?-1?11A?12记作B,
|P?1A|=|A?11||A?22-A?21A?-1?11A?12|.??由于|P?1|=1, |A|≠0, |A?11|≠0，所以|A?22-A?21A?-1?11A?12|=|A||A?11|≠0，故矩阵A?22-A?21A?-1?11A?12可逆.
为了求A?-1，记Q=A?22-A?21A?-1?11A?12.对B做行变换将其化为对角块矩阵，为此取??P?2=I?1-A?12Q?-1
0I?2, ??于是P?2B=A?? ?110
0Q记作?C,
即P?2P?1A=C，两边取逆得A?-1 (P?2P?1) ?-1=C?-1，因此??A?-1=C?-1 (P?2P?1)
=A?-1?110
0Q?-1I?1-A?12Q?-1
0I?2I?10
-A?21A?-1?11I?2.??记??A?-1=D?11D?12
D?21D?22, ??则D?11=A?-1?11+A?-1?11A?12Q?-1A?21A?-1?11,
D?22=Q?-1,
D?12=-A?-1?11A?12Q?-1,
D?21=-Q?-1A?21A?-1?11,
其中Q=A?22-A?21A?-1?11A?12.
例7 设Q=A?? ? B
且A可逆，证明： ?det?Q=|A||D-CA?-1B|.
证 先用分块倍加阵左乘Q，使之化为上三角块矩阵，为此取??P=I?n0
-C?A?-1I?m, ??其中I?n与A同阶，I?m与D同阶. 如此则有??P?Q=AB
0D-C?A?-1B, ??将上式两端求行列式，得|P||Q|=|A||D-CA?-1B|，由于|P|=1，故命题得证.
例8 设A, B均为n阶矩阵，证明：??AB
BA=|A+B||A-B|.??
证 将分块矩阵P=AB
BA的第1行加到第2行，再将第2列乘-I加到第1列，使之化为上三角块矩阵，即??I0
0A+B, ??于是由两边矩阵的行列式相等，即得??AB
0A+B=|A-B||A+B|.??附录2 数域 命题 量词I.数域
附录2 数域 命题 量词一个含有数0, 1的数集F，如果其中任意两个数关于数的四则运算封闭（除法的除数不为零），即它们的和、差、积、商仍是F中的数，那么数集F就称为一个数域.
显然，全体有理数、实数、复数组成的数集都是数域，称为有理数域、实数域、复数域，分别记作?Q?, ?R?, ?C?. 而全体整数组成的数集?Z?就不是数域，因为任意两个整数的商不都是整数.
还有一些数集，如Q (2) ={a+b2|a,b∈?Q?}，也构成一个数域.
还要指出，有理数域是最小的数域，即任何数域F都包含有理数域?Q?. 事实上，由于0, 1∈F，所以n=1+1+…+1∈F, 0-n∈F, 从而整数集?Z??F；又对于任意的p,q∈?Z??F, p≠0，均有q/p∈F，而q/p∈?Q?，所以?Q??F.
所谓命题，就是一个陈述句. 严格地说，命题不是陈述句本身，而是陈述句所表达的含义，因为“语句”是语言学的概念，而“命题”是逻辑学的概念.
下面的语句：
雪是白的； (3)
雪不是白的； (4)
30，存在N>0，使对任何n>N，恒有|u?n-a|0) {(?N>0)\u?n-a|0)非{(?N>0)\u?n-a|0){(?N>0)非\u?n-a|0){(?N>0)\u?n-a|0){(?N>0)\u?n-a|≥ε\]}, ??即“存在ε>0，对任何N>0，存在n>N，使|u?n-a|≥ε" .
从以上例子可见，含有多个量词的数学命题，欲知其否命题的含义，按上述①, ②等价规则，只要将原命题中的“?”改为“?" ,
"?”改为“?" ，而“具有性质p”改为“具有性质非p" .
习题 补充题 答案习题
习题 补充题 答案用高斯消元法解1~4题的线性方程组：
1. 2x?1-12x?2-12x?3=0,
-12x?1+2x?2-12x?4=3,
+2x?3-12x?4=3,
-12x?2-12x?3+2x?4=0.
2. x?1-2x?2+3x?3-4x?4=4,
x?2-x?3+x?4=-3,
x?1+3x?2-3x?4=1,
-7x?2+3x?3+x?4=-3.
3. 2x?1+3x?2+5x?3+x?4=3,
3x?1+4x?2+2x?3+3x?4=-2,
x?1+2x?2+8x?3-x?4=8,
7x?1+9x?2+x?3+8x?4=0.
4. x?1-10x?2+11x?3-11x?4=0,
2x?1+4x?2-5x?3+7x?4=0,
3x?1-3x?2+3x?3-2x?4=0,
5x?1+x?2-2x?3+5x?4=0.
下列5~6题的线性方程组中，p, q取何值时，方程组有解，无解. 在有解的情况下，求出它的全部解：
5. px?1+x?2+x?3=1,
x?1+px?2+x?3=p,
x?1+x?2+px?3=p?2.6. x?1-3x?2-6x?3+2x?4=-1,
x?1-x?2-2x?3+3x?4=0,
x?1+5x?2+10x?3-x?4=q,
3x?1+x?2+px?3+4x?4=1.
7. 将军点兵，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问兵几何（求在500至1000范围内的解）？
8. 百鸡术： 母鸡每只5元，公鸡每只3元，小鸡三只一元，百元买百鸡，各买几何？
12，计算： 2A, 3B, A+B, 2A-3B, AB-BA.
10. 设A=311
101，求AB-BA.
计算11~20题的矩阵乘积：
(1, -1, 2) 2-10
421.14. ab
(y?1,y?2,…,y?n) a?11a?12…a?1n
a?21a?22…a?2n
a?n?1a?n?2…a?n?n.
16. (x?1,x?2)a?11a?12
a?21a?22x?1
0a?11a?12…a?1n
a?21a?22…a?2n
a?n?1a?n?2…a?n?n.
18. a?11a?12…a?1n
a?21a?22…a?2n
a?n?1a?n?2…a?n?n1
001a?1a?2a?3
b?1b?2b?3
c?1c?2c?3.
20. a?1a?2a?3a?4
b?1b?2b?3b?4
c?1c?2c?3c?40010
21. 已知A=PΛQ，其中??P=23
Q?P=I?2, ??计算： A?8, A?9, A?2n, A?2n+1 (n为正整数）.
c?n (n为正整数）.
23. 计算?cos?φ?sin?φ
-?sin?φ?cos?φ?n及01
24. A, B皆是n阶矩阵，问下列等式成立的条件是什么？
(A+B) ?3=A?3+3A?2B+3AB?2+B?3;
(A-B) =A?2-B?2.
25. 若AB=BA, AC=CA，证明A, B, C是同阶矩阵，且A (B+C) = (B+C) A, A (B?C) = (B?C) A.
26. 求平方等于零矩阵的所有二阶矩阵.
27. 求与A=11
01可交换的全体二阶矩阵.
28. 求与A=100
01-2可交换的全体三阶矩阵.
29. 已知A是对角元互不相等的n阶对角矩阵，即??A=a?1
a?n.??当i≠j时，a?i≠a?j (i,j=1,2,…,n) . 证明： 与A可交换的矩阵必是对角矩阵.
30. 证明： 两个n阶下三角矩阵的乘积仍是下三角矩阵.
31. 证明： 若A是主对角元全为零的上三角矩阵，则A?2也是主对角元全为零的上三角矩阵.
32. 证明： 主对角元全为1的上三角矩阵的乘积，仍是主对角元为1的上三角矩阵.
33. 设A=5-21
-201，计算： AB??T?, B??T?A, A??T?A, BB??T?+AB??T?.
34. 证明：
(A?1A?2…A?k) ??T?=A??T??k…A??T??2A??T??1.
35. 证明： 若A和B都是n阶对称矩阵，则A+B, A-2B也是对称矩阵.
36. 对于任意的n阶矩阵A. 证明：
A+A??T?是对称矩阵，A-A??T?是反对称矩阵；
A可表示为对称矩阵和反对称矩阵之和.
37. 证明： 若A和B都是n阶对称矩阵，则AB是对称矩阵的充要条件是A与B可交换.
38. 设A是实对称矩阵，且A?2=0，证明A=0.
39. 已知A是一个n阶对称矩阵，B是一个n阶反对称矩阵.
问A?k, B?k是否为对称或反对称矩阵？
证明： AB+BA是一个反对称矩阵.
40. 求下列矩阵的逆矩阵：
?cos?θ?sin?θ
-?sin?θ?cos?θ;
41. 利用逆矩阵，解下列矩阵方程：
42. 利用逆矩阵，解线性方程组??x?1+x?2+x?3=1,
2x?2+2x?3=1,
x?1-x?2=2.??
43. 设A, B, C为同阶方阵.
问A满足什么条件时，命题“若AB=AC，则B=C（消去律）”成立；
问： 若B≠C，是否必有AB≠AC？
44. 设A, B都是n阶矩阵，问： 下列命题是否成立？若成立，给出证明；若不成立，举反例说明.
若A, B皆不可逆，则A+B也不可逆；
若AB可逆，则A, B都可逆；
若AB不可逆，则A, B都不可逆；
若A可逆，则k?A可逆（k是数）.
45. 设方阵A满足A?2-A-2I=0，证明：
A和I-A都可逆，并求它们的逆矩阵；
A+I和A-2I不同时可逆.
46. 设方阵A满足方程A?2-2A+4I=0，证明： A+I和A-3I都可逆，并求它们的逆矩阵.
47. 证明： 可逆的对称矩阵的逆矩阵仍是对称矩阵.
48. 试求上（或下）三角矩阵可逆的充要条件，并证明： 可逆上（或下）三角矩阵的逆矩阵也是上（或下）三角矩阵.
用初等变换法求49~53题的矩阵的逆：
53. 0a?10…0
?????
000…a?n?-1
a?n00…0，其中a?i≠0, i=1, 2, …, n.
解54~56题的矩阵方程：
56. 111…1
?????
000…1X=123…n
?????
?*57. 将下列矩阵做LU分解，其中L为主对角元为1的下三角矩阵，U为上三角矩阵：
58. 用分块矩阵的乘法，计算下列矩阵的乘积：
59. 设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，x是n×1矩阵，证明： AB=0的充分必要条件是B的每一列都是齐次线性方程组Ax=0的解.
60. 设C是n阶可逆矩阵，D是3×n矩阵，且??D=12…n
00…0, ??试用分块乘法，求一个n×(n+3)矩阵A，使得AC
61. 设A=0B
C0，其中B是n阶可逆矩阵，C是m阶可逆矩阵，证明A可逆，并求A?-1.
62. 用矩阵分块的方法，证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵：
?????
000…a?n?-1
a?n00…0;
?*63. 设A, B, C, D都是n阶矩阵，|A|≠0, AC=CA. 证明：??AB
CD=|A?D-C?B|.??
?*64. 设A=0B
CD，其中B, C分别为二阶，三阶可逆矩阵，且已知B?-1, C??-1，求A?-1.
?*65. 将n阶矩阵A分块为??A=A?n?-1b
ca?n?n, ??其中A?n?-1是n-1阶可逆矩阵，如果A可逆，且已知A?-1?n?-1，试求A?-1（这种利用A?-1?n?-1求A?-1的方法，称为加边法）.
?*66. 利用65题加边法的结果，求??A=122
10-2-6.??的逆矩阵.
67. 设A, B均为4阶矩阵，已知|A|=-2, |B|=3，计算：
12A?B?-1;
|-A?B??T?|;
| (A?B) ?-1|;
?det?\A?B)??T?\]?-1;
|-3A?*| (A?*为A的伴随矩阵）.
68. 设?α= (1, -2, 3) ??T?, β=-1, 12, 0??T?, A=α?β??T?，求|A?100|.
69. 设A为4阶矩阵，已知|A|=a≠0，计算?det?(|A?*|A).
70. 设A, B均为n阶矩阵，I为n阶单位矩阵，下列命题哪些成立？
A=I?|A|=1;
AB≠0?A≠0且B≠0;
A?2=I，则A=I或-I;
(A-I) = (A-I)
AB可逆?A, B均可逆； (?F?)
|-2A?*B|=-2|A||B|.
71. 设α= (a,b,c) , β= (x,y,z) ，已知??α??T?β=-24-6
-12-3, ??求α?β??T?.
72. 设α=(x?1,x?2,…,x?n)??T?, β=(y?1,y?2,…,y?n)??T?，已知α??T?β=3, B=α?β??T?, A=I-B. 证明：
B?k=3?k-1B (k≥2为正整数）;
A+2I或A-I不可逆；
A及A+I均可逆.
73. 设A为3阶矩阵，|A|>0，已知A?*=?diag? (1, -1, -4) ，且ABA?-1=BA?-1+3I，求B.
74. 设n阶矩阵A满足： A??T?A=I和|A|<0，求|A+I|.
75. 设A为奇数阶可逆矩阵，且A?-1=A??T?, |A|=1，求|I-A|.
76. 设A, B均为n阶矩阵，且A=B??T?，问： A??T? (B?-1A?-1+I) ??T?可化简为下列哪一个式子？
A??T?B;
A?A??T?.
77. 设α= (1, 0, -1) ??T?, k为正整数，A=α?α??T?，求|k?I-A?n|.
78. 已知4阶矩阵A满足：
(2I-C?-1B) A??T?=C?-1，求A. 其中??B=12-3-2
79. 设B=-110
且A, B, C满足：
(I-C?-1B) ??T?C??T?A=I. 求A, A?-1.
80. 设B是元素全为1的n阶（n≥2）矩阵，证明：
B?k=n?k-1B (k≥2为正整数）;
(I-B) ?-1=I-1n-1B.
81. 设A为3阶实对称矩阵，且主对角元全为0, B=?diag? (0, 1, 2) ，求使A?B+I为可逆矩阵的条件.
82. 已知P, A均为n阶矩阵，且P?-1AP=?diag? (1, 1, …, 1, 0, …, 0) （有r个1) ，试计算|A+2I|.
83. 设A为n阶（n≥2）可逆矩阵，证明：
(A?*) ?-1= (A?-1) ?*;
(A??T?) ?*= (A?*) ??T?;
(k?A) ?*=k?n?-1A?* (k为非零常数）.
84. 计算下列矩阵的幂：
85. 证明： 与任意的n阶矩阵可交换的矩阵必是n阶数量矩阵.
86. n阶矩阵A= (a?i?j）的主对角元之和称为矩阵A的迹，记作?tr? (A) ，即???tr?(A)=∑ni=1a?i?i.??
证明： 若A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则???tr?(A?B)=?tr?(B?A).??
87. 证明： 对于任意的两个n阶矩阵A和B，都有AB-BA≠I?n.
88. 若n阶矩阵A存在正整数k，使得A?k=0，就称A为幂零矩阵.
设幂零矩阵A满足A?k=0 (k为正整数），试证明： I-A可逆，并求其逆矩阵.
89. 设A=a100
f(x)=(x-b)?n.试求f(A)，当f(A)可逆时，求其逆矩阵.
90. 设??A=01
f(x)=x-1x0
-3x+2.??试求： f(A), g(A).
91. 证明： 主对角元全为1的上（下）三角矩阵的逆矩阵也是主对角元全为1的上（下）三角矩阵.
92. 证明： n阶反对称矩阵可逆的必要条件是n为偶数，举例说明n为偶数不是n阶反对称矩阵可逆的充分条件.
93. 设P=AB
0C, A, C均为可逆矩阵，证明P可逆，并求P?-1.
94. 证明： n阶可逆下三角矩阵的逆矩阵也是下三角矩阵.
95. 证明： n阶矩阵A的任意多项式f(A)与g(A)可交换.
96. 证明： 若n阶矩阵A与B可交换，则A与B的任意多项式f(A)与g(B)也可交换.
1. (1, 2, 2, 1).
(-8, k+3, 2k+6, k) , k是任意常数.
3. 无解. 4. 0, 113k, 133k, k, k是任意常数.
5. p=1时有无穷多解：
(1-k?1-k?2, k?1, k?2) ，其中k?1, k?2是任意常数；p=-2时无解；p≠1且p≠-2时有唯一解： -p+1p+2, 1p+2, (p+1)?2p+2.
6. p≠2时有唯一解： q-22, 121-3-q7-42-qp-2,
2-qp-2, 3-q7; p=2, q≠2时无解；p=2且q=2时有无穷多解： 0, 37-2k, k, 17, k是任意常数.
7. 548,653,758,863,968.
(0, 25, 75) ,
(4, 18, 78) ,
(8, 11, 81) ,
(12, 4, 84）等.
21. A?8=I?2, A?9=7-12
4-7, A?2n=I?2, A?2n+1=7-12
23. ?cos?nφ?sin?nφ
-?sin?nφ?cos?nφ, ?cos?n?π?2?sin?n?π?2
-?sin?n?π?2?cos?n?π?2.
24. A, B可交换时成立，一般情况不成立.
其中a,b,c满足关系a?2+b?c=0.
a,b为任意常数.
a,b,c为任意常数.
38. 由A?2的对角元?∑nk=1?a?i?ka?k?i=0 (i=1, 2, …, n）及A??T?=A，即可得证A=0.
39. A?k仍是对称矩阵，B?k当k为偶数时为对称矩阵，k为奇数时为反对称矩阵.
?cos?φ-?sin?φ
?sin?φ?cos?φ;
42. 12 (1, -3, 4) ??T?.
不成立； (2)
成立； (3)
不成立； (4)
k≠0时成立，k=0时不成立.
45. A?-1=12 (A-I) ,
(I-A) ?-1=-12A.
(A+I) ?-1=-17 (A-3I) ,
(A-3I) ?-1=-17 (A+I) .
47. 利用运算性质和A??T?=A，证明（A?-1) ??T?=A?-1.
48. 证明伴随矩阵为上（下）三角矩阵.
53. 00…01/a?n
1/a?10…00
01/a?2…00
?????
00…1/a?n?-10.
55. 20-1513
58. (1) 727000
59. 将B按列分块为B= (b?1,b?2,…,b?n) .
60. A= (C?-1, B) ，其中B是第一列元素全为零，其余元素为任意的n×s矩阵.
61. A?-1=0C?-1
000…01/a?n
1/a?100…00
01/a?20…00
??????
000…1/a?n?-10;
1/20-1/20-1
01/20-1/2-3/2
63. 对对应分块矩阵做初等行变换. 第一行左乘-CA?-1加到第二行.
64. -C?-1DB?-1C?-1
65. A?-1?n?-1(I+bw?-1c?A?-1?n?-1)-A?-1?n?-1bw?-1
-w?-1cA?-1?n?-1w?-1，其中w=a?n?n-cA?-1?n?-1b.
(-3) ?4 (-2) ?3.
69. |A?*|?4|A|=a?13.
71. -7，因为?α?β??T?=∑3i=1\α??T?β\]?i?i=-2+(-2)+(-3).?
B?2=α (β??T?α) β??T?=3B，由归纳法得； (2)
因为A?2=I-2B+B?2，所以A?2+A-2I= (A+2I)
(A-I) =0，从而|A+2I|=0或|A-I|=0;
由A (A+I) =I得|A|≠0, |A+I|≠0.
73. |A|=2, B=3 (A-I) ?-1A=3 (A?-1 (A-I) ) ?-1=3I-12A?*?-1=?diag? (6, 2, 1) .
74. |A+I|=|I+A??T?||A|, |A|=-1, |A+I|=|A??T?+I|，所以|A+I|=0.
75. |I-A|=|A??T?-I||A|= (-1) ?n|I-A|，所以|I-A|=0.
77. 利用A?n=2?n?-1A，得|k?I-A?n|=k?2(k-2?n).
78. A= ( (2C-B) ??T?) ?-1=1000
79. A=\C-B)??T?\]?-1=1200
001, A?-1= (C-B) ??T?=?diag? (2, 2, 1) .
利用B=α??T?α，其中α= (1, 1, …, 1) ;
(I-B) I-1n-1B=I.
81. |AB+I|=1-2a?2?23≠0, a?23≠±12.
82. P?-1(A+2I)P=P?-1AP+2I=?diag?(3, …, 3, 2, …, 2)，两边取行列式，得|A+2I|=3?r·2?n-r.
83. 利用A?*=|A|A?-1,
(A?-1) ?*=|A?-1|A= (A?*) ?-1;
(A??T?) ?*=|A| (A??T?) ?-1= (|A|A?-1) ??T?= (A?*) ??T?;
(k?A) ?*=k?n|A| (k?A) ?-1=k?n?-1|A|A?-1=k?n?-1A?*.
84. (1) 1nn(n-1)2
(2) a?n?C??1?na?n?-1?C??2?na?n?-2?C??3?na?n-3
0a?n?C??1?na?n?-1?C??2?na?n?-2
00a?n?C??1?na?n?-1
85. 设A= (a?i?j) ,
取E?i?i=?diag? (0, …, 0, 1, 0, …, 0) ，由E?i?iA=A?E?i?i (i=1, 2, …, n）得证a?i?j=0 (i≠j, i,j=1, 2, …, n) .
再证a?11=a?22=…=a?n?n.
87. 证明AB-AB的主对角元之和等于零.
88. 利用（I-A)
(I+A+A?2+…+A?k-2+A?k-1) =I-A?k=I，可知I-A可逆，并得其逆矩阵.
(I-A) ?-1=A?k-1+A?k-2+…+A+I.
(a-b) ?n?C??1?n(a-b)?n?-1?C??2?n(a-b)?n?-2?C??3?n(a-b)?n-3
0(a-b)?n?C??1?n(a-b)?n?-1?C??2?n(a-b)?n?-2
00(a-b)?n?C??1?n(a-b)?n?-1
000(a-b)?n,
1-?C??1?n(a-b)?-1\(a-b)?-2\(a-b)?-3
01-?C??1?n(a-b)?-1\(a-b)?-2
001-?C??1?n(a-b)?-1
0001(a-b)?n.
90. f(A)=1-4
91. 对矩阵的阶数作数学归纳法，并用分块的方法证明结论对n阶矩阵成立.
92. 例如0100
93. A?-1-A?-1B?C?-1
94. 证法同91.}
求导数，Y=Sin3次方（4X+3）Y~=？
Y=Sin3次方（4X+3）Y~=12sin2次方(4x+3)cos(4x+3)
怎么算出来了啊
说清楚哦 是对它在对它求导这样说清楚啊
u=4x+3,所以y=Sin3次方u,对它就是3sin2次方ucosu，求导法则你应该知道吧，sin3次方x求导等于3sin2次方xcosx，然后再对u求导，是4，再合起来就是Y~=12sin2次方(4x+3)cos(4x+3)
sin3次方x等于3sin2次方xcosx这是个公式啊？ 不是这样的吗（3sin2次方x） 为什么后面还乘以cosx啊 这个是对哪个进行求导的啊？ 这就是这里不懂了到， 麻烦你哦 谢谢
先把sinx看成一个整体，比如令sin x=a,所以a的3次方就是3a的2次方，同时还要对sinx求导，是cosx.求导有个公式的，比如一个函数y（u),同时u=ax+b,对y求导的时候，就要这样求，
y'=y'（u）×u'（ax+b）
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理工学科领域专家第1章 行 列 式
在线性代数中，行列式是一个基本工具，讨论很多问题时都要用到它. 本章先简单介绍二、三阶行列式的定义及按第一行的展开式，再进一步讨论?n?阶行列式. 本章主要内容： ?n?阶行列式的定义及其性质；行列式的计算；求解一类非齐次线性方程组的克拉默（Cramer）法则，以及由此得到的方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组有非零解的必要条件.
1.1 ?n?阶行列式的定义及性质
行列式的概念首先是在求解方程个数与未知量个数相同的一次方程组时提出来的（以后常把一次方程组称为线性方程组），例如对于一个二元一次方程组??a?11x?1+a?12x?2=b?1,
a?21x?1+a?22x?2=b?2. (1?1) ??当a?11a?22-a?12a?21≠0时，用消元法求解，得其解为??x?1=b?1a?22-a?12b?2a?11a?22-a?12a?21,
x?2=a?11b?2-b?1a?21a?11a?22-a?12a?21. (1?2) ??人们从（1?2）式中发现，如果记??D=ab
cd=a?d-b?c,
(1?3) ??则（1?2）式可以表示为??x?1=b?1a?12
b?2a?22a?11a?12
a?21a?22,
x?2=a?11b?1
a?21b?2a?11a?12
a?21a?22.??我们把（1?3）式中的D称为二阶行列式.
对于由9个元素a?i?j (i, j=1, 2, 3）排成三行三列的式子，定义??a?11a?12a?13
a?21a?22a?23
a?31a?32a?33=a?11a?22a?33+a?12a?23a?31+a?13a?21a?32-a?13a?22a?31-a?12a?21a?33-a?11a?23a?32,
(1?4) ??并称它为三阶行列式（横为行，竖为列）.
(1?4）式中的6项是按下面（1?5）式所示的方法（称为沙路法）得到的.?? (1?5) ??
如果三元线性方程组??a?11x?1+a?12x?2+a?13x?3=b?1,
a?21x?1+a?22x?2+a?23x?3=b?2,
a?31x?1+a?32x?2+a?33x?3=b?3??的系数行列式??D=a?11a?12a?13
a?21a?22a?23
a?31a?32a?33≠0, ??用消元法求解这个方程组，可得??x?1=D?1D,
x?2=D?2D,
x?3=D?3D. (1?6) ??其中D?j(j=1, 2, 3)是用常数项b?1, b?2, b?3替换D中的第j列所得到的三阶行列式，即??D?1=b?1a?12a?13
b?2a?22a?23
b?3a?32a?33,
D?2=a?11b?1a?13
a?21b?2a?23
a?31b?3a?33,
D?3=a?11a?12b?1
a?21a?22b?2
a?31a?32b?3.??
但是，对于n阶行列式（n>3) ，不能如（1?5）式（沙路法）那样定义. 因为如果像（1?5）式那样定义n阶行列式，当n>3时，它将与二、三阶行列式没有统一的运算性质，而且对n元线性方程组也得不到像（1?6）式那样的求解公式. 因此，对一般的n阶行列式要用另外的方法来定义. 在代数中，它可以用三种不同的方法做定义，我们采用简明的递归法做定义.
从二、三阶行列式的展开式中，我们发现它们遵循着一个共同的规律--可以按第一行展开，即??D=a?11a?12a?13
a?21a?22a?23
a?31a?32a?33
=a?11a?22a?23
a?32a?33-a?12a?21a?23
a?31a?33+a?13a?21a?22
a?31a?32,
(1?7) ??其中??M?11=a?22a?23
a?32a?33,
M?12=a?21a?23
a?31a?33,
M?13=a?21a?22
a?31a?32??分别称为元素a?11, a?12, a?13的余子式，并称A?11=(-1)?1+1M?11, A?12=(-1)?1+2M?12, A?13=(-1)?1+3M?13分别为a?11, a?12, a?13的代数余子式. 如此， (1?7）式即为??D=a?11A?11+a?12A?12+a?13A?13.??
同样??D=a?11a?12
a?21a?22=a?11A?11+a?12A?12,
(1?8) ??其中??A?11=(-1)?1+1|a?22|=a?22,
A?12=(-1)?1+2|a?21|=-a?21.??这里|a?22|, |a?21|是一阶行列式（不是数的绝对值）. 我们把a的一阶行列式|a|定义为a.
如果把（1?7) ,
(1?8）两式作为三阶、二阶行列式的定义，那么这种定义的方法是统一的，它们都是用低阶行列式定义高一阶的行列式. 因此人们很自然地会想到，用这种递归的方法来定义一般的n阶行列式. 对于这样定义的各阶行列式，将会有统一的运算性质. 下面我们给出n阶行列式的递归法定义.
1.1.1 n阶行列式的定义
定义 由n?2个数a?i?j (i, j=1, 2, …, n）组成的n阶行列式??D=a?11a?12…a?1n
a?21a?22…a?2n
a?n?1a?n?2…a?n?n （简记作|a?i?j|??n??1)
(1?9) ??是一个算式. 当n=1时，定义D=|a?11|=a?11；当n≥2时，定义??D=a?11A?11+a?12A?12+…+a?1nA?1n=∑nj=1a?1jA?1j,
(1?10) ??其中?A?1j=(-1)?1+jM?1j, ?
M?1j是D中去掉第1行第j列全部元素后，按原顺序排成的n-1阶行列式，即??M?1j=a?21…a?2j-1a?2j+1…a?2n
a?31…a?3j-1a?3j+1…a?3n
a?n?1…a?n?j-1a?n?j+1…a?n?n
(j=1, 2, …, n) , ??并称M?1j为元素a?1j的余子式, A?1j为元素a?1j的代数余子式.
在（1?9）式中，a?11, a?22, …, a?n?n所在的对角线称为行列式的主对角线，相应地a?11, a?22, …, a?n?n称为主对角元，另一条对角线称为行列式的副对角线.
由定义可见，行列式这个算式是由其n?2个元素a?i?j (i, j=1, 2, …, n）构成的n次齐次多项式（称作展开式) ，二阶行列式的展开式中共有2！项；三阶行列式的展开式中共有3！项；n阶行列式的展开式中共有n!项，其中每一项都是不同行不同列的n个元素的乘积，在全部n!项中，带正号的项和带负号的项各占一半（以上结论可根据定义，用数学归纳法给以证明）. 当第一行元素为x?1, x?2, …, x?n时，n阶行列式是x?1, x?2, …, x?n的一次齐次多项式.
例1 证明n阶下三角行列式（当ij时，a?i?j=0）有??D=a?11a?12…a?1n
0a?22…a?2n
00…a?n?n=a?11 a?22 … a?n?n.??1.2 ?n?阶行列式的计算
解 设D′表示将行列式D的行与列（按原顺序）互换所得的行列式，则利用1?1节中性质1和例1的结果，即得??D=D′=a?11 a?22 … a?n?n.??
例2 计算4阶行列式??D=11-12
解 对行列式做倍加行变换和两行对换，将其化为上三角行列式. 先利用性质5，把第1行分别乘1, -2, -1加到第2, 3, 4行上去得??D=11-12
0150②?④ -11-12
③+②×(-2) -11-12
④+③×-514 -11-12
=(-1)×1×1×(-14)×(57/14)=57.??其中： ②?④表示第②行与第④行对换；③+②×(-2)表示第③行加第②行乘（-2) ; ④+③×-514的意义也是类似的.
此例利用性质5和性质6，把数字行列式化为上三角行列式，是计算数字行列式的基本方法. 但是对于三阶数字行列式，用沙路法按对角线展开（计算6项乘积）可能更为简捷.
例3 计算4阶行列式??D=14-14
解 利用性质5，把行列式某行（列）元素化为只剩一个非零元，再利用性质2，把行列式按该行（列）展开，从而降阶计算. 这也是展开行列式的基本方法.
注意到D中第2列有一个0，再利用a?22=1，把第2行乘 (-4) 和（-2）分别加到第1和第3行上去，将第2列中其余元素化为0，然后对第2列展开，得??D=-70-17-8
=(-1)?2?+2×1×-7-17-8
再把第3列加到第2列，按第2行展开??D=-7-17-8
392=-7-25-8
=(-1)?2?+3×5×-7-25
=-5×(-77+75)=10.??
例4 如果行列式D=|a?i?j|??n??1的元素满足a?i?j=-a?j?i(i,j=1,2,…,n), 就称D是反对称行列式（其中a?i?i=-a?i?i?a?i?i=0, i=1, …, n) .
证明奇数阶反对称行列式的值为零.
证 设?D=0a?12…a?1n
-a?120…a?2n
-a?1n-a?2n…0.?
根据性质1有??D=0-a?12-a?13…-a?1n
a?120-a?23…-a?2n
?????
a?1na?2na?3n…0.??
再利用性质3 (?i?) ，将每行提出公因数（-1) ，即得??D=(-1)?nD.??由于n是奇数，得D=-D，故D=0.■
例5 证明??a?1+b?1b?1+c?1c?1+a?1
a?2+b?2b?2+c?2c?2+a?2
a?3+b?3b?3+c?3c?3+a?3=2a?1b?1c?1
a?2b?2c?2
a?3b?3c?3.??
把左端行列式的第2, 3列加到第1列，提取公因子2，再把第1列乘（-1）加到第2, 3列得??左式=2a?1+b?1+c?1-a?1-b?1
a?2+b?2+c?2-a?2-b?2
a?3+b?3+c?3-a?3-b?3.??再把第2, 3列加到第1列，然后分别提出2, 3列的公因数（-1) ，再作两次列对换，等式就得证.
对左式的各列依次用性质3 (?i?i?) ，将左式表示为2?3个行列式之和，其中有6个行列式各有2列相等，即??左式=a?1b?1+c?1c?1+a?1
a?2b?2+c?2c?2+a?2
a?3b?3+c?3c?3+a?3+b?1b?1+c?1c?1+a?1
b?2b?2+c?2c?2+a?2
b?3b?3+c?3c?3+a?3
=a?1b?1c?1+a?1
a?2b?2c?2+a?2
a?3b?3c?3+a?3+a?1c?1c?1+a?1
a?2c?2c?2+a?2
a?3c?3c?3+a?3+
b?1b?1c?1+a?1
b?2b?2c?2+a?2
b?3b?3c?3+a?3+b?1c?1c?1+a?1
b?2c?2c?2+a?2
b?3c?3c?3+a?3
=a?1b?1c?1
a?2b?2c?2
a?3b?3c?3+0+0+0+0+0+0+b?1c?1a?1
b?2c?2a?2
b?3c?3a?3
=右式.■??
例6 计算n阶行列式??D=xaa…a
?????
aaa…x.??
解 该行列式每行元素之和相等，此时把各列都加到第1列，提出第1列的公因子x+(n-1)a，然后将第1行乘-1分别加到其余各行，D就化为上三角行列式，即??D=\1aa…a
?????
?????
=\(x-a)?n?-1.??
例7 如果xyz≠0，计算三阶行列式??D=1+x23
123+z.??
解 方法一： 将第1行乘（-1）加到第2、第3行，再将第2列乘xy、第3列乘xz并各加到第1列，化为上三角行列式，得??D=1+x23
-x0z=1+x+2xy+3xz23
=1+x+2xy+3xzyz=yz+2zx+3xy+xyz.??
方法二： 将D中1, 2, 3分别表示为1+0, 2+0, 3+0，根据性质3 (?i?i?) , D可化为2?3个行列式，其中有4个为0，得??D=100
=yz+2zx+3xy+xyz.??
例8 证明范德蒙（?Vandermonde?）行列式??V?n=111…1
x?1x?2x?3…x?n
x?2?1x?2?2x?2?3…x?2?n
x?n?-1?1x?n?-1?2x?n?-1?3…x?n?-1?n
=∏1≤j<i≤n(x?i-x?j), ??其中连乘积??∏1≤j<i≤n (x?i-x?j) =(x?2-x?1)(x?3-x?1)…(x?n-x?1)(x?3-x?2)…
(x?n-x?2)…(x?n?-1-x?n?-2)(x?n-x?n?-2)(x?n-x?n?-1)??是满足条件1≤j<i≤n的所有因子（x?i-x?j）的乘积.
证 用数学归纳法证明. 当n=2时，有??V?2=11
x?1x?2=x?2-x?1=∏1≤j<i≤2(x?i-x?j), ??结论成立. 假设结论对n-1阶范德蒙行列式成立，下面证明对n阶范德蒙行列式结论也成立.
在V?n中，从第n行起，依次将前一行乘-x?1加到后一行，得??V?n=111…1
0x?2-x?1x?3-x?1…x?n-x?1
0x?2(x?2-x?1)x?3(x?3-x?1)…x?n(x?n-x?1)
0x?n?-2?2(x?2-x?1)x?n?-2?3(x?3-x?1)…x?n?-2?n(x?n-x?1).??按第1列展开，并分别提取公因子，得??V?n=(x?2-x?1)(x?3-x?1)…(x?n-x?1)11…1
x?2x?3…x?n
x?2?2x?2?3…x?2?n
x?n?-2?2x?n?-2?3…x?n?-2?n.??上式右端的行列式是n-1阶范德蒙行列式，根据归纳假设得??V?n=(x?2-x?1)(x?3-x?1)…(x?n-x?1)∏2≤j<i≤n(x?i-x?j), ??故??V?n=∏1≤j<i≤n(x?i-x?j).■??
例9 证明??D=a?11a?12…a?1k0…0
a?21a?22…a?2k0…0
?????
a?k1a?k2…a?k?k0…0
c?11c?12…c?1kb?11…b?1m
?????
c?m1c?m2…c?m?kb?m1…b?m?m
=a?11a?12…a?1k
a?21a?22…a?2k
a?k1a?k2…a?k?k b?11…b?1m
b?m1…b?m?m. (1?20) ??
证 记??|A|=|a?i?j|??k??1,
|B|=|b?i?j|??m??1.??
对|A|的阶数k作数学归纳法. 当k=1时，对D的第一行展开，得D=a?11|B|=|a?11||B|（这里|a?11|是一阶行列式）,
(1?20）式成立. 假设|A|为k-1阶时， (1?20）式成立. 下面考虑|A|为k阶的情形： 此时，将D对第1行展开，得??D=a?11(-1)?1+1M?D?11+a?12(-1)?1+2M?D?12+…+
a?1k(-1)?1+kM?D?1k, ①??其中M?D?1j是a?1j在D中的余子式（j=1, 2, …, k) . 显然M?D?1j也是（1?20）式类型的行列式，而且它的左上角是k-1阶的，根据归纳假设??M?D?1j=M?|A|?1j|B|,
j=1, 2, …, k, ②??其中M?|A|?1j是a?1j在|A|中的余子式. 将②式代入①式，即得??D=\A|?11+a?12(-1)?1+2M?|A|?12+…+
a?1k(-1)?1+kM?|A|?1k\]|B|=|A||B|, ??所以|A|为k阶时， (1?20）式成立. 因此|A|为任意阶行列式时， (1?20）式都成立.■
(1?20）式可简记为
*B=|A||B|.??
若|A|, |B|如上所设，同样也有
0B=|A||B|. (1?21) ??
但要注意，
B*≠-|A||B|.??
此时，可将|A|所在的每一列依次与其前面的m列逐列对换（共对换k×m次），使之化为（1?20）式的形式，于是便有
B*=(-1)?k×mA0
*B=(-1)?k×m|A||B|. (1?22) ??
例10 求方程D (x) =0的根，其中
??D(x)=x-1x-2x-1x
x-2x-4x-2x
x-3x-6x-4x-1
x-4x-82x-5x-2.??
解 由观察可见x=0是一个根，因为x=0时，行列式第1、第2列成比例，所以D (0) =0. 但要求其他根，必须展开这个行列式. 将第1列乘-1加到2, 3, 4列；再将变换后的第2列加到第4列，即得??D (x) =x-1-101
x-4-4x-12=x-1-100
x-4-4x-1-2
x-2-2·-1-1
x-1-2=-x(x+1).??所以方程D (x) =0有两个根： 0与-1.
?*例11 计算n阶三对角行列式??D?n=ab
解 把D?n按第1行展开，再将第2项中的行列式对第1列展开得??D?n=aD?n?-1+(-1)?1+2bcb
?????
00…0ca?n?-1阶
=aD?n?-1-b?cD?n?-2.①??由①式（称为递推公式）可见： 由D?1和D?2可算出D?3；由D?2和D?3可算出D?4；如此等等. 为了利用D?1和D?2递推出D?n的计算公式，我们将①式改写成??D?n-kD?n?-1=l(D?n?-1-kD?n?-2), ②??其中??k+l=a,
k?l=b?c.③??
在②式中，记Δ?n=D?n-kD?n?-1，则②式为??Δ?n=l?Δ?n?-1.②′??由这个递推公式易得??Δ?n=l?Δ?n?-1=l(l?Δ?n?-2)=…=l?n?-2Δ?2, ??即?D?n-kD?n?-1=l?n?-2(D?2-kD?1), ?④
其中??D?2=ab
ca=a?2-b?c,
D?1=|a|=a.??将它们代入④式，再利用③式，易得D?2-kD?1=l?2，于是??D?n=l?n+kD?n?-1.⑤??再利用递推公式⑤，可以递推出??D?n=l?n+k(l?n?-1+kD?n?-2)=l?n+k?l?n?-1+k?2D?n?-2
=l?n+k?l?n?-1+k?2(l?n?-2+kD?n-3)
=l?n+k?l?n?-1+k?2l?n?-2+k?3D?n-3
=…=l?n+k?l?n?-1+k?2l?n?-2+…+k?n?-2l?2+k?n?-1D?1, ??其中D?1=|a|=a=k+l，所以??D?n=l?n+k?l?n?-1+k?2l?n?-2+…+k?n?-2l?2+k?n?-1l+k?n.⑥??
例如，当a=3, b=2, c=1时，由③式算得k=1, l=2，或k=2, l=1, 此时??D?n=l?n?+1-k?n?+1l-k=2?n?+1-1.??1.3 克拉默法则
1.3 克拉默法则这一节讨论： n个未知量n个方程的线性方程组，在系数行列式不等于零时的行列式解法，通常称为克拉默(Cramer)法则; 并进一步给出n个未知量n个方程的线性齐次方程组有非零解的必要条件.
定理（克拉默法则） 设线性非齐次方程组??a?11x?1+a?12x?2+…+a?1nx?n=b?1,
a?21x?1+a?22x?2+…+a?2nx?n=b?2,
a?n?1x?1+a?n?2x?2+…+a?n?nx?n=b?n. (1?23) ??或简记为
?∑nj=1a?i?jx?j=b?i,
i=1, 2, …, n? (1?24)
其系数行列式??D=a?11a?12…a?1n
a?21a?22…a?2n
a?n?1a?n?2…a?n?n≠0, ??则方程组（1?23）有唯一解??x?j=D?jD,
j=1, 2, …, n. (1?25) ??其中D?j是用常数项b?1, b?2, …, b?n替换D中第j列所成的行列式，即??D?j=a?11…a?1j-1b?1a?1j+1…a?1n
a?21…a?2j-1b?2a?2j+1…a?2n
?????
a?n?1…a?n?j-1b?na?n?j+1…a?n?n. (1?26) ??
证 先证（1?25）式是方程组（1?23）的解，根据（1?26）式??D?j=b?1A?1j+b?2A?2j+…+b?nA?n?j=∑nk=1b?kA?k?j, ??其中A?k?j是系数行列式中元素a?k?j的代数余子式.
将?x?j=1D∑nk=1b?kA?k?j (j=1, 2, …, n) ?代入（1?24）式左端，得??∑nj=1a?i?j1D∑nk=1b?kA?k?j=1D∑nj=1∑nk=1a?i?jA?k?jb?k
=*1D∑nk=1∑nj=1a?i?jA?k?jb?k
=1D∑nk=1b?k∑nj=1a?i?jA?k?j=1D∑nk=1b?kδ?i?kD
(k=i时，δ?i?k=1, k≠i时，δ?i?k=0)
=1D(b?i·1·D)=b?i
(i=1, 2, …, n) .??
（其中*处等号成立的理由是，双重连加号求和次序可交换，请参阅本章附录.)
所以（1?25）式中的x?j=D?j/D (j=1, 2, …, n）满足方程组（1?23）中的每一个方程，因此它是方程组（1?23）的解.
再证方程组（1?23）的解也必是如（1?25）式所示，设c?1, c?2, …, c?n是一组解，则??a?11c?1+a?12c?2+…+a?1nc?n=b?1,
a?21c?1+a?22c?2+…+a?2nc?n=b?2,
a?n?1c?1+a?n?2c?2+…+a?n?nc?n=b?n.??在上面n个等式两端，分别依次乘A?1j, A?2j, …, A?n?j，然后再把这n个等式的两端相加，得??∑ni=1a?i?1A?i?jc?1+…+∑ni=1a?i?jA?i?jc?j+…+∑ni=1a?i?nA?i?jc?n
=∑ni=1b?iA?i?j.??上式左端c?1, c?2, …, c?j-1, c?j+1, …, c?n的系数全为零，c?j的系数为D，右端?∑ni=1b?iA?i?j=D?j, ?因此Dc?j=D?j，故??c?j=D?jD.??分别取j=1, 2, …, n，这就证明了c?1, c?2, …, c?n如果是解，它们也必然分别等于D?1D, D?2D, …, D?nD，于是方程组（1?23）的解的唯一性得证.■
由克拉默法则，立即可得下面的推论
推论 若齐次线性方程组??∑nj=1a?i?jx?j=0
(i=1,2,…,n)(1.27)??的系数行列式D=|a?i?j|??n??1≠0，则方程组只有零解x?j=0, j=1, 2, …, n.
因为此时D?j=0, j=1, 2, …, n.
与推论等价的命题（即逆否命题）是： 若上述齐次线性方程组有非零解，则系数行列式D=|a?i?j|???n???1=0. 即齐次线性方程组有非零解的必要条件是系数行列式D=0.
在第3章中，我们将进一步证明，D=0也是齐次线性方程组（1?27）有非零解的充分条件.
用克拉默法则求解系数行列式不等于零的n元非齐次线性方程组，需要计算n+1个n阶行列式，它的计算工作量很大. 实际上关于数字系数的线性方程组（包括系数行列式等于零及方程个数和未知量个数不相同的线性方程组）的解法，一般都采用第2章中介绍的高斯消元法. 克拉默法则主要是在理论上具有重要的意义，特别是它明确地揭示了方程组的解和系数之间的关系.
例1 已知三次曲线y=f(x)=a?0+a?1x+a?2x?2+a?3x?3在4个点x=±1, x=±2处的值： f(1)=f(-1)=f(2)=6, f(-2)=-6，试求其系数a?0, a?1, a?2, a?3.
解 将三次曲线在4个点处的值代入其方程，得到关于a?0, a?1, a?2, a?3的非齐次线性方程组??a?0+a?1+a?2+a?3=6,
a?0+a?1(-1)+a?2(-1)?2+a?3(-1)?3=6,
a?0+a?1(2)+a?2(2)?2+a?3(2)?3=6,
a?0+a?1(-2)+a?2(-2)?2+a?3(-2)?3=-6.??它的系数行列式是范德蒙行列式（例8的行、列互换）??D=1111
1-1(-1)?2(-1)?3
122?22?3
1-2(-2)?2(-2)?3
=(-1-1)(2-1)(-2-1)(2+1)(-2+1)·
(-2-2)=72.??于是，由克拉默法则可得三次曲线方程的系数??a?j=D?jD,
j=0, 1, 2, 3, ??其中??D?0=6111
-6-24-8=576,
1-64-8=-72,
1-2-6-8=-144,
1-24-6=72.??所以a?0=8, a?1=-1, a?2=-2, a?3=1，这是唯一解，因此过上述4个点所唯一确定的三次曲线方程为??f(x)=8-x-2x?2+x?3.??
一般地，过n+1个x坐标不同的点（x?i, y?i) , i=1, …, n+1，可以唯一地确定一个n次曲线的方程y=a?0+a?1x+a?2x?2+…+a?nx?n.
例2 求4个平面a?ix+b?iy+c?iz+d?i=0 (i=1, 2, 3, 4）相交于一点（x?0, y?0, z?0）的充分必要条件.
解 设4个平面相交于一点P?0 (x?0,y?0,z?0) ,则其中必有某3个平面相交于P?0点(如果任意3个平面都不相交于此点，则4个平面不会交于此点)。不妨设前3个平面相交于P?0点，于是前3个平面方程构成的非齐次线性方程组有唯一解，从而??D?3=a?1b?1c?1
a?2b?2c?2
a?3b?3c?3≠0.??我们把平面方程写成??a?ix+b?iy+c?iz+d?it=0, ??其中t=1,i=1,2,3,4,于是4个平面交于P?0点就是4个方程构成的x,y,z,t的齐次线性方程组有唯一的非零解(x?0, y?0,z?0,1) , 因此其系数行列式D=0.所以D=0或D?3≠0是4个平面相交于一点的必要条件.它也是充分条件，因为由D?3≠0可得前3个平面相交于一点P?0，学习了第3章，由D=0可知P?0是4个平面的唯一交点.附录1 性质1的证明 双重连加号I.性质1的证明
附录1 性质1的证明 双重连加号证明?a?11a?12…a?1n
a?21a?22…a?2n
a?n?1a?n?2…a?n?n=a?11a?21…a?n?1
a?12a?22…a?n?2
a?1na?2n…a?n?n.?
证 对行列式的阶数作数学归纳法，将等式两端的行列式分别记作D和D′.
当n=2时，D=D′显然成立，假设结论对于小于n阶的行列式都成立，下面考虑n阶的情况.
根据定义??D=a?11A?11+a?12A?12+…+a?1nA?1n,
D′=a?11A?11′+a?21A?21′+…+a?n?1A?n?1′.??
根据归纳假设A?11′=A?11，于是??D′=a?11A?11+(-1)?1+2a?21a?12a?32…a?n?2
a?13a?33…a?n?3
a?1na?3n…a?n?n+
(-1)?1+3a?31a?12a?22a?42…a?n?2
a?13a?23a?43…a?n?3
a?1na?2na?4n…a?n?n+…+
(-1)?1+na?n?1a?12a?22…a?n?-1?2
a?13a?23…a?n?-1?3
a?1na?2n…a?n?-1?n.??
此时，根据归纳假设，上面的n-1个n-1阶行列式，都对第1列展开，将含a?12的项合并在一起，其值恰好等于a?12A?12，含a?13的项合并后其值等于a?13A?13, …，含a?1n的项合并后其值等于a?1nA?1n，因此D′=D. 下面证明含a?12的项合并后其值等于a?12A?12.??(-1)?1?+?2a?21a?12a?33…a?n3
a?3n…a?n?n+(-1)?1+3a?31a?12a?23a?43…a?n?3
a?2na?4n…a?n?n+…+
(-1)?1+na?n?1a?12a?23…a?n?-13
a?2n…a?n?-1n
=(-1)?1+2a?12a?210…0
0a?33…a?n3
0a?3n…a?n?n+0a?310…0
a?230a?43…a?n?3
a?2n0a?4n…a?n?n+…+
0…0a?n?1
a?23…a?n?-130
a?2n…a?n?-1n0
=(-1)?1+2a?12a?21a?31…a?n?1
a?23a?33…a?n?3
a?2na?3n…a?n?n
=a?12(-1)?1+2M?12′=a?12(-1)?1+2M?12=a?12A?12, ??其中余子式M?12′ (n-1阶行列式）是M?12的行、列互换后的行列式. 根据归纳假设它们相等.
II.性质2的证明
证明 a?i?1A?i?1+a?i?2A?i?2+…+a?i?nA?i?n
=a?11A?11+a?12A?12+…+a?1nA?1n (i=2, 3, …, n).
证 用类似于性质1的证明方法，读者不难证明上式对任意的i (2≤i≤n）都成立.
III.关于双重连加号“?∑∑?"
对于n个数连加的式子??a?1+a?2+…+a?n, ??为了简便起见，我们可用连加号?∑, ?把它记作?∑ni=1a?i.?
例如?∑ni=1i?2=1?2+2?2+…+n?2, ?
其中i为求和指标，它取自然数1, 2, …, n.
有时连加的数是用两个指标来编号的，例如m×n个数排成m行n列：??a?11,a?12,…,a?1j,…,a?1n
a?21,a?22,…,a?2j,…,a?2n
a?i?1,a?i?2,…,a?i?j,…,a?i?n
a?m1,a?m2,…,a?m?j,…,a?m?n①??求它们的和数S. 可先把第i行的n个数相加，记作?S?i=∑nj=1a?i?j?（称为对j指标求和），再把m个行的和数S?1, S?2, …, S?m相加，记作??S=∑mi=1S?i=∑mi=1∑nj=1a?i?j.②??同样也可以先把第j列的m个数相加，记作?S?j′=∑mi=1a?i?j?（称为对i指标求和）. 再把n个列的和数S?1′, S?2′, …, S?n′相加，记作??S=∑nj=1S?j′=∑nj=1∑mi=1a?i?j.③??
②式是先对j求和，后对i求和，而③式是先对i求和，后对j求和. 它们显然相等，这表明用双重连加号求和时，对指标i, j的求和次序可以颠倒.
有时，对用两个指标编号的数，求其一部分数的和时，可以在连加号下注明求和指标应满足的条件，例如??∑n?-1j=1∑j<i≤na?i?j=(a?21+a?31+a?41+…+a?n?1)j=1
+(a?32+a?42+…+a?n?2)j=2
+(a?43+…+a?n?3)j=3
+a?n?n?-1.j=n-1??又如，对于两个多项式??f(x)=a?nx?n+a?n?-1x?n?-1+…+a?1x+a?0,
g(x)=b?mx?m+b?m-1x?m?-1+…+b?1x+b?0, ??求其乘积f(x)g(x)中x?k的系数，就可以表示为??∑i?+j=ka?i?b?j.??例如x?4的系数为?∑i?+j=4a?i?b?j=a?0b?4+a?1b?3+a?2b?2+a?3b?1+a?4b?0.?
此外，某n个数的和与另m个数的和之积也可用双重连加号表示，即?? (a?1+a?2+…+a?n)
(b?1+b?2+…+b?m) =∑ni=1a?i∑mj=1b?j.??利用分配律，得??上式=∑ni=1∑mj=1a?i?b?j=∑ni=1∑mj=1a?i?b?j=或∑mj=1∑ni=1a?i?b?j
=∑mj=1∑ni=1a?i?b?j, ??其中?∑mj=1a?i?b?j?是对指标j求和，此时指标i不变，这种情况下的和式??∑mj=1a?i?b?j=a?i∑mj=1b?j.??习题 补充题 答案习题 补充题 答案习题
计算下列二、三阶行列式（用沙路法和定义）:
2. ?cos?α-?sin?α
?sin?α?cos?α.
3. a+b?i?b
2aa-b?i?. 4. 32-4
789. 6. 221
7. 1ωω?2
ωω?21，其中ω=-12+?i?32.
计算下列数字元素行列式（利用行列式性质展开）:
??????
111-1. 12. 1234
17. 001-12
B0，其中A=100
证明下列恒等式：
19. a?1+b?1xa?1x+b?1c?1
a?2+b?2xa?2x+b?2c?2
a?3+b?3xa?3x+b?3c?3=(1-x?2)a?1b?1c?1
a?2b?2c?2
a?3b?3c?3.
20. 1+x111
1111-y=x?2y?2.
a?3b?3c?3=(a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b).
22. 1a?2a?3
1c?2c?3=(ab+b?c+ca)1aa?2
计算下列各题：
d000. 24. a100
25. a?2(a+1)?2(a+2)?2(a+3)?2
b?2(b+1)?2(b+2)?2(b+3)?2
c?2(c+1)?2(c+2)?2(c+3)?2
d?2(d+1)?2(d+2)?2(d+3)?2.
b+c2c+a2a+b21.
27. a?100b?1
0a?2b?20
0b?3a?30
b?400a?4.
28. 122…22
??????
29. 111…1
aa-1a-2…a-n
a?2(a-1)?2(a-2)?2…(a-n)?2
a?n(a-1)?n(a-2)?n…(a-n)?n.
30. a?n?1a?n?-1?1b?1a?n?-2?1b?2?1…a?1b?n?-1?1b?n?1
a?n?2a?n?-1?2b?2a?n?-2?2b?2?2…a?2b?n?-1?2b?n?2
?????
a?n?n?+1a?n?-1?n?+1b?n?+1a?n?-2?n?+1b?2?n?+1…a?n?+1b?n?-1?n?+1b?n?n?+1.
用克拉默法则解下列线性方程组：
31. 5x?1+4x?3+2x?4=3,
x?1-x?2+2x?3+x?4=1,
4x?1+x?2+2x?3=1,
x?1+x?2+x?3+x?4=0.
32. x?2+x?3+x?4+x?5=1,
x?1+x?3+x?4+x?5=2,
x?1+x?2+x?4+x?5=3,
x?1+x?2+x?3+x?5=4,
x?1+x?2+x?3+x?4=5.
33. 问： 齐次线性方程组
x?1+x?2+x?3+ax?4=0,
x?1+2x?2+x?3+x?4=0,
x?1+x?2-3x?3+x?4=0,
x?1+x?2+ax?3+bx?4=0
有非零解时，a, b必须满足什么条件？
34. 求平面上过两点（x?1, y?1）和（x?2, y?2）的直线方程（用行列式表示）.
35. 求三次多项式f(x)=a?0+a?1x+a?2x?2+a?3x?3，使得??f(-1)=0, f(1)=4, f(2)=3, f(3)=16.??补充题
证明下列恒等式：
36. 1+a?11…1
11+a?2…1
11…1+a?n=?1+∑ni=11a?i∏ni=1a?i.?
用数学归纳法证明之；
利用线性性质，将原行列式表示为2?n个行列式之和的方法，计算行列式；
利用递推公式，计算行列式.
37. x-10…00
??????
a?na?n?-1a?n-2…a?2x+a?1=?x?n+∑nk=1a?kx?n?-k.?
38. a?1-10…00
a?2x-1…00
a?30x…00
??????
a?n?-100…x-1
a?n00…0x=?∑nk=1a?kx?n?-k.?
39. ?cos?θ1
12?cos?θ1
12?cos?θ1
12?cos?θ=?cos?nθ.
计算下列行列式：
40. 13-522532
41. 11…1-n
?????
42. a?1+λ?1a?2a?3…a?n
a?1a?2+λ?2a?3…a?n
a?1a?2a?3+λ?3…a?n
?????
a?1a?2a?3…a?n+λ?n.
43. 123…n-1n
?????
n-1n1…n-3n-2
n12…n-2n-1.
x?1x?2x?3…x?n
x?2?1x?2?2x?2?3…x?2?n
x?n?-2?1x?n?-2?2x?n?-2?3…x?n?-2?n
x?n?1x?n?2x?n?3…x?n?n=?∑ni=1x?i∏1≤j<i≤n(x?i-x?j).?
45. 证明（用数学归纳法）:
导数关系式???d??d?ta?11(t)a?12(t)…a?1n(t)
a?21(t)a?22(t)…a?2n(t)
a?n?1(t)a?n?2(t)…a?n?n(t)
=∑nj=1a?11(t)…?d??d?ta?1j(t)…a?1n(t)
a?21(t)…?d??d?ta?2j(t)…a?2n(t)
a?n?1(t)…?d??d?ta?n?j(t)…a?n?n(t).??
46. 设3个点P?1 (x?1, y?1) , P?2 (x?2, y?2) , P?3 (x?3, y?3）不在一条直线上，求过点P?1, P?2, P?3的圆的方程.
47. 求使3点（x?1,y?1) ,(x?2,y?2),(x?3,y?3)位于一直线上的充分必要条件.
48. 写出通过3点（1, 1, 1) ,
(2, 3, -1) ,
(3, -1, -1）的平面的方程.
49. 写出通过点（1, 1, 1) ,
(1, 1, -1) ,
(1, -1, 1) ,
(-1, 0, 0）的球面方程，并求其中心和半径.
50. 已知a?2≠b?2，证明方程组??a?x?1+b?x?2n=1,
a?x?2+b?x?2n?-1 =1,
a?x?n+b?x?n?+1=1,
b?x?n+a?x?n?+1=1,
b?x?2+a?x?2n?-1 =1,
b?x?1+a?x?2n=1??有唯一解，并求解.
3. (a-b)?2.
6. -18. 7. 0. 8. 2x?3-6x?2+6. 9. 256. 10. 10!.
11. -8. 12. 160. 13. -7. 14. -12. 15. 32.
16. -20. 17. -60. 18. 3!5!. 23. ab?cd.
24. (ab+1)(cd+1)+ad. 25. 0. 26. 0.
27. (a?1a?4-b?1b?4)(a?2a?3-b?2b?3). 28. -2(n-2)!.
29. ?(-1)???n(n+1)2∏nk=1k!.?
30. 第1行至第n+1行分别提出公因子a?n?1, a?n?2, …, a?n?n?+1，将其化为范德蒙行列式，?∏1≤j1-1-103-1
002153. ①
④??这个矩阵中第1, 2列后三个元素皆为零，表示方程（2?6）中方程②, ③, ④中的x?1, x?2均已消去. 再用（-2）乘此矩阵的②行加到其③, ④行上，得??③+②×(-2)④+②×(-2)>1-1-103-1
000-393 ①
④×-13③?④>1-1-103-1
④ (2?7) ??其中： ④×(-1/3）表示第④行乘（-1/3) ; ③?④表示第③, ④行对换位置.
(2?7）式中的阶梯形增广矩阵所对应的线性方程组与原线性方程组是同解的. 为了在求解时省去回代的步骤，我们把（2?7）中每行第一个非零元所在列的其余元素全化为零，即??②+③×(-2)>1-1-103-1
①+②>1-10071
000000. ①
④(2?8)?? (2?8）式矩阵称为行简化阶梯矩阵，它所对应的线性方程组??x?1-x?2+7x?5=1,
x?3+4x?5=2,
x?4-3x?5=-1 (2?8) ′??与原线性方程组同解. 这里是3个方程，5个未知数，任取x?2=k?1, x?5=k?2代入线性方程组（2?8) ′可唯一地解得对应于k?1, k?2的x?1, x?3, x?4，从而得到满足线性方程组的全部解： x?1=1+k?1-7k?2, x?2=k?1, x?3=2-4k?2, x?4=-1+3k?2, x?5=k?2，其中k?1, k?2为任意常数. 以后我们常把线性方程组的解写成下面的形式??(x?1, x?2, x?3, x?4, x?5)
=(1+k?1-7k?2, k?1, 2-4k?2, -1+3k?2, k?2).??
当线性方程组（2?3）的常数项b?1=b?2=…=b?m=0时，我们称它为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组.
齐次线性方程组的解法与例2一样. 如果例2中4个方程的常数项全为零，其解为??(x?1, x?2, x?3, x?4, x?5)
=(k?1-7k?2, k?1, -4k?2, 3k?2, k?2).??
例3 解线性方程组??x?1+x?2+x?3=1,
x?1+2x?2-5x?3=2,
2x?1+3x?2-4x?3=5.??
? (A,b) =1111
23-45②+①×(-1)③+①×(-2)>1111
?③+②×(-1)>1111
①+②×(-1)>1070
其中第三行0, 0, 0, 2所表示的方程0x?1+0x?2+0x?3=2显然是无解的，故原线性方程组无解. 这是由于线性方程组中第三个方程的左端等于前两个方程左端之和，而右端不等于前两个方程右端之和，这表明第三个方程与前两个方程是矛盾的，即满足前两个方程的解不可能满足第三个方程，这种含有矛盾方程而无解的方程组称为不相容方程组. 有解的方程组则称做相容方程组. 例1、例2是相容方程组，例2在消元过程中其增广矩阵第③行出现全零行，是由于方程组（2?6）中方程③等于（方程②乘2) +（方程①乘（-1) ) . 因此，满足方程①, ②的解都满足方程③，所以方程③对方程组（2?6）求解是多余的，称之为多余方程. 在高斯消元法的消元过程中，在增广矩阵上会清楚地揭示出方程组中的多余方程和矛盾方程.
从例2、例3可见，对一般的线性方程组（2?3) ，通过消元步骤，其增广矩阵（2?4）可化为如（2?8) ,
(2?9）式那样的行简化阶梯矩阵. 为便于讨论，不妨假设（2?4）化为如下的行简化阶梯矩阵：?? (A, b) >c?110…0c?1,r?+1…c?1nd?1
0c?22…0c?2,r?+1…c?2nd?2
???????
00…c?r?rc?r,r?+1…c?r?nd?r
00…00…0d?r?+1
00…00…00
??????
00…00…00,
(2?10) ??其中c?i?i=1, i=1, 2, …, r.
(2?10）式对应的非齐次线性方程组与线性方程组（2?3）是同解方程组. 由（2?10）式易见，线性方程组有解的充要条件是d?r+1=0. 在有解的情况下：
当r=n时，有唯一解x?1=d?1, x?2=d?2, …, x?n=d?n;
当r<n时，有无穷多解，求解时把（2?10）式中每行第一个非零元c?i?i (i=1, 2, …, r）所在列对应的未知量（这里是x?1, x?2, …, x?r）取为基本未知量，其余未知量（这里是x?r+1, x?r+2, …, x?n）取为自由未知量，并令自由未知量依次取任意常数k?1, k?2, …, k?n-r，将它们代入（2?10）式所对应的线性方程组，即可解得??x?1=d?1-c?1,r?+1k?1-…-c?1nk?n?-r,
x?2=d?2-c?2,r?+1k?1-…-c?2nk?n?-r,
……………………………………
x?r=d?r-c?r,r?+1k?1-…-c?r?nk?n?-r,
x?r?+1=k?1,
x?n=k?n?-r. (2?11) ??其中k?1, k?2, …, k?n-r为互相独立的任意常数. 这就是线性方程组的全部解.
齐次线性方程组总是有解的，这是因为（2?3）中b?1=b?2=…=b?m=0，从而（2?10）中d?1=…=d?r=d?r+1=0. 当r=n时，只有零解，即x?1=x?2=…=x?n=0；当rj时，a?i?j=0 (j=1, 2, …, n-1）的矩阵称为上三角矩阵；当ij时，?c?i?j=∑nk=1a?i?kb?k?j=∑i-1k=1a?i?kb?k?j+∑nk=ia?i?kb?k?j, ?由于A是上三角矩阵，所以式中右端第一个和式中a?i?k=0 (k=1, 2, …, i-1) ；同理，上式右端第二个和式中b?k?j=0(k=i, i+1, …, n，它们都大于j). 因此，当i>j时，恒有c?i?j=0，故C是上三角矩阵.
同样可证，两个下三角矩阵的乘积仍是下三角矩阵.
定义了矩阵的乘法，我们可以将线性方程组简洁地表示成一个矩阵等式.
设线性方程组??a?11x?1+a?12x?2+…+a?1nx?n=b?1,
a?21x?1+a?22x?2+…+a?2nx?n=b?2,
a?m1x?1+a?m2x?2+…+a?m?nx?n=b?m. (2?15) ??由于方程组中第i个方程可以表示为?? (a?i?1,a?i?2,…,a?i?n) x?1
x?n=b?i,
i=1, 2, …, m.??因此线性方程组（2?15）可以表示成??a?11a?12…a?1n
a?21a?22…a?2n
a?m1a?m2…a?m?nx?1
b?m.??记??A=a?11a?12…a?1n
a?21a?22…a?2n
a?m1a?m2…a?m?n,
(2?16) ??则线性方程组（2?15）可以简洁地表示成下列矩阵等式??A?x=b,
(2?17) ??并称矩阵A为线性方程组（2?15）的系数矩阵.
下面讨论两个方阵的乘积的行列式.
定理2?1 设A, B是两个n阶矩阵，则乘积AB的行列式等于A和B的行列式的乘积，即??|AB|=|A||B|.??
证 设A= (a?i?j) ?n×n, B= (b?i?j) ?n×n，利用第1章1?2节例9的结果，有??|A||B|=a?11a?12…a?1n00…0
a?21a?22…a?2n00…0
??????
a?n?1a?n?2…a?n?n00…0
-10…0b?11b?12…b?1n
0-1…0b?21b?22…b?2n
???????
00…-1b?n?1b?n?2…b?n?n?2n×2n.??将第n+1行乘a?11加到第一行，第n+2行乘a?12加到第一行……第2n行乘a?1n加到第一行，即得??|A||B|=00…0c?11c?12…c?1n
a?21a?22…a?2n00…0
??????
a?n?1a?n?2…a?n?n00…0
-10…0b?11b?12…b?1n
0-1…?b?21b?22…b?2n
???0???
00…-1b?n?1b?n?2…b?n?n,??其中??c?1j=a?11b?1j+a?12b?2j+…+a?1nb?n?j=∑nk=1a?1kb?k?j(j=1, 2, …, n).??即c?11,c?12,…,c?1n是AB的第一行，仿照上述步骤，将行列式中a?21,a?22,…,a?2n,…,a?n?1,a?n?2,…,a?n?n全消为零时，就得到??|A||B|=A0
-IB=(-1)?nA?B0
=(-1)?n|A?B||-I?n|=(-1)?n|A?B|(-1)?n
=|A?B|.■??
定理2?1应用很广，下面举两个应用的例子.
设 A=a-b-c-d
计算（?det?A) ?2和?det?A（即|A|?2和|A|) .
解 将A中行列互换所得矩阵记成A??T?，即??A??T?=abcd
-dc-ba.??
由于|A??T?|=|A|，所以??|A|?2=|A||A??T?|=|A?A??T?|
=a?2+b?2+c?2+d?2000
0a?2+b?2+c?2+d?200
00a?2+b?2+c?2+d?20
000a?2+b?2+c?2+d?2
=(a?2+b?2+c?2+d?2)?4.??因此|A|=±(a?2+b?2+c?2+d?2)?2. 但A的主对角元全是a，行列式|A|中的a?4项的符号为“+" ，故??|A|= (a?2+b?2+c?2+d?2) ?2.??
例6 设??A=a?11a?12…a?1n
a?21a?22…a?2n
a?n?1a?n?2…a?n?n,
A?*=A?11A?21…A?n?1
A?12A?22…A?n?2
A?1nA?2n…A?n?n,
(2?18) ??其中A?i?j是行列式|A|中元素a?i?j的代数余子式.
证明： 当|A|≠0时，|A?*|=|A|?n?-1.
证 设AA?*=C= (c?i?j) ，其中??c?i?j=a?i?1A?j1+a?i?2A?j?2+…+a?i?nA?j?n
0, 当j≠i i,j=1, 2, …, n.??于是?AA?*=|A|
|A|=|A|I?n, ? (2?19)
因此?|A||A?*|=|A?A?*|=|A|?n.?
由于|A|≠0，故|A?*|=|A|?n?-1.■
最后，我们定义方阵的幂和方阵的多项式.
定义2?9 设A是n阶矩阵，k个A的连乘积称为A的k次幂，记作A?k，即??A?k= A A … Ak个.??
由定义可以证明： 当m, k为正整数时，有??A?mA?k=A?m?+k,
(A?m)?k=A?m?k,
(2?21) ??当AB不可交换时，一般情况下， (AB) ?k≠A?kB?k；当AB可交换时， (AB) ?k=A?kB?k=B?kA?k，但其逆不真.
定义2?10 设f(x)=a?kx?k+a?k-1x?k-1+…+a?1x+a?0是x的k次多项式，A是n阶矩阵，则??f(A)=a?kA?k+a?k-1A?k-1+…+a?1A+a?0I?n, ??称为矩阵A的k次多项式（注意常数项应变为a?0I) .
由定义容易证明： 若f(x), g(x)为多项式，A, B皆是n阶矩阵，则??f(A)g(A)=g(A)f(A).??但当AB不可交换时，一般f(A)g(B)≠g(B)f(A). 例如??(A?2+A-2I)(A-I)=(A-I)(A?2+A-2I)
=A?3-3A+2I,
(A-B) =A?2-A?B+B?A-B?2 (≠A?2-B??2)
≠A?2-B?A+A?B-B??2=(A-B)(A+B),
(A+B)?2=(A+B)(A+B)
=A?2+A?B+B?A+B?2≠A?2+2A?B+B?2.??
由于数量矩阵λI与任意方阵可交换，下式可按二项式定理展开??(A+λI)?n=A?n+?C??1?nλA?n?-1+?C??2?nλ?2A?n?-2+…+?C??n?-1?nλ?n?-1A+λ?nI.??
还要注意： 对于m×n矩阵A，当m≠n时，A?2没有意义.
2.3 矩阵的转置 对称矩阵
2.3 矩阵的转置 对称矩阵定义2?11 把一个m×n矩阵??A=a?11a?12…a?1n
a?21a?22…a?2n
a?m1a?m2…a?m?n??的行列互换得到的一个n×m矩阵，称之为A的转置矩阵，记作A??T?或A′，即??A??T?=a?11a?21…a?m1
a?12a?22…a?m2
a?1na?2n…a?m?n.??
由定义可知，如果记A= (a?i?j) ?m×n, A??T?= (a???T???j?i) ?n×m，则??a???T???j?i=a?i?j (i=1, 2, …, j=1, 2, …, n).??
矩阵的转置运算满足以下运算规律：
(A??T?)??T?=A;
(A+B)??T?=A??T?+B??T?;
(k?A)??T?=k?A??T?(k是数);
(AB) ??T?=B??T?A??T?.
规则（?i?) , (?ii?),
(?iii?）是显然成立的，下面证明（?iv?) . 设??A=(a?i?j)?m?×n, B= (b?i?j) ?n?×s, A??T?= (a???T???j?i) ?n?×m, B??T?=(b???T???j?i)?s?×n.??
于是（AB) ??T?与B??T?A??T?都是s×m矩阵，再根据??a???T???j?i=a?i?j,
b???T???j?i=b?i?j.??得?? (B??T?A??T?) ?j?i=∑nk=1b???T???j?ka???T???k?i=∑nk=1a?i?kb?k?j=(A?B)?i?j=(A?B)???T???j?i,
j=1, 2, …, i=1, 2, …, m.??故（AB) ??T?=B??T?A??T?.■
由（?iv?) ，用数学归纳法可证（A?1 A?2 … A?k) ??T?=A??T???k … A???T???2 A???T???1.
定义2?12 设??A=a?11a?12…a?1n
a?21a?22…a?2n
a?n?1a?n?2…a?n?n??是一个n阶矩阵，如果a?i?j=a?j?i(i,j=1, 2, …, n)，则称A为对称矩阵；如果a?i?j=-a?j?i (i,j=1, 2, …, n) ，则称A为反对称矩阵.
对于反对称矩阵A，由于a?i?i=-a?i?i (i=1, 2, …, n) ，所以其主对角元a?i?i全为零.
根据定义2?11和定义2?12，容易证明：
A为对称矩阵的充要条件是A??T?=A;
A为反对称矩阵的充要条件是A??T?=-A.
例1 设B是一个m×n矩阵，则B??T?B和BB??T?都是对称矩阵.
因为B??T?B是n阶矩阵，且?? (B??T?B) ??T?=B??T? (B??T?) ??T?=B??T?B. ??同理BB??T?是m阶对称矩阵.
例2 设A是n阶反对称矩阵，B是n阶对称矩阵，则AB+BA是n阶反对称矩阵. 这是因为??(A?B+B?A)??T?=(A?B)??T?+(B?A)??T?=B??T?A??T?+A??T?B??T?
=B(-A)+(-A)B=-(A?B+B?A).??
必须注意，对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵. 容易证明： 若A与B均为对称矩阵，则AB对称的充要条件是AB可交换.
2.4 可逆矩阵的逆矩阵
2.4 可逆矩阵的逆矩阵矩阵的运算中，定义了加法和负矩阵，就可以定义矩阵的减法，那么定义了矩阵的乘法，是否可定义矩阵的除法呢？由于矩阵乘法不满足交换律，因此我们不能一般地定义矩阵的除法. 大家知道，在数的运算中，当数a≠0时，aa?-1=a?-1a=1，这里a?-1=1a称为a的倒数（或称a的逆）；在矩阵的乘法运算中，单位矩阵I相当于数的乘法运算中的1，那么，对于一个矩阵A，是否存在一个矩阵A?-1，使得A?A?-1=A?-1A=I呢？如果存在这样的矩阵A?-1，就称A是可逆矩阵，并称A?-1是A的逆矩阵. 下面给出可逆矩阵及其逆矩阵的定义，并讨论矩阵可逆的条件及求逆矩阵的方法.
定义2?13 对于矩阵A∈F??n×n，如果存在矩阵B∈F??n×n，使得??A?B=B?A=I,
(2?22) ??就称A为可逆矩阵（简称A可逆) ，并称B是A的逆矩阵，记作A?-1，即A?-1=B.
由定义可知，可逆矩阵及其逆矩阵是同阶方阵. 由于（2?22）式中，A与B的地位是平等的，所以也可称A是B的逆矩阵.
由定义2?13立即可知，单位阵I的逆矩阵是其自身.
定理2?2 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.
证 设B和C都是A的逆矩阵，则由??A?B=B?A=I,
A?C=C?A=I, ??可得?B=I?B= (C?A) B=C (A?B) =C?I=C, ?
故A的逆矩阵是唯一的.■
下面讨论矩阵A可逆的充分必要条件.
如果A可逆，由（2?22）式可知： |A||B|=|I|=1，于是|A|≠0，因此|A|≠0是A可逆的必要条件. |A|≠0也是A可逆的充分条件，为了证明这个结论，我们引进A的伴随矩阵 (?adjoint matrix?）的概念.
定义2?14 设n阶矩阵A= (a?i?j) ?n?×n, A?i?j是行列式?det?A中元素a?i?j的代数余子式，我们称???cof?A=(A?i?j)?n?×n??为A的代数余子式矩阵，并称?cof?A的转置矩阵为A的伴随矩阵，记作?adj?A或A?*，即??A?*=(?cof?A)??T?=A?11A?21…A?n?1
A?12A?22…A?n?2
A?1nA?2n…A?n?n.??
在2?2节的例6中已经证明了AA?*=|A|I（见（2?19）式），同理可证，A?*A=|A|I，于是??A?A?*=A?*A=|A|I,
(2?23) ??当|A|≠0时，由（2?23）式可得??A1|A|A?*=1|A|A?*A=I,
(2?24) ??故当|A|≠0时，A可逆，且??A?-1=1|A|A?*. (2?25) ??综上所述，我们得到下面的定理.
定理2?3 矩阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0，且??A?-1=1|A|A?*.??
推论 若A, B都是n阶矩阵，且AB=I，则BA=I，即A, B皆可逆，且A, B互为逆矩阵.
证 由AB=I，得|A||B|=1, |A|≠0, |B|≠0，根据定理2?3, A, B皆可逆，于是，??A?B=I?A?-1A?B?A=A?-1I?A?B?A=I.■??
由定理2?3立即可得，对角阵和上（下）三角矩阵可逆的充要条件是它们的主对角元a?11, a?22, …, a?n?n全不为零.
定理2?3不仅给出了A可逆的充要条件，而且提供了求A?-1的一种方法. 以后我们还将介绍另一种常用的求A?-1的方法. 定理2?3的推论告诉我们，判断B是否为A的逆，只需验证AB=I或BA=I的一个等式成立即可.
可逆矩阵满足以下运算规律（下设同阶方阵A, B皆可逆，数k≠0) :
(A?-1) ?-1=A;
(k?A) ?-1=k?-1A?-1;
(AB) ?-1=B?-1A?-1;
(A??T?) ?-1= (A?-1) ??T?;
?det?(A?-1)=1/?det?A,
即|A?-1|=|A|?-1.
我们仅证明后三条运算规律（前两条运算规律的证明，留给读者作为练习）.
因为|AB|=|A||B|≠0，所以AB可逆，又?? (A?B)
(B?-1A?-1) =A (BB?-1) A?-1=A?I?A?-1=A?A?-1=I, ??故（AB) ?-1=B?-1A?-1. 运算规律（?iii?）可推广到多个可逆矩阵的乘积，即若A?1, A?2, …, A?m皆可逆，则?? (A?1 A?2 … A?m) ?-1=A?-1?m … A?-1?2 A?-1?1.??
因为 |A??T?|=|A|≠0，所以A??T?可逆，又?? (A?A?-1) ??T?=I，即（A?-1) ??T?A??T?=I, ??故
(A??T?) ?-1= (A?-1) ??T?.
因为AA?-1=I，所以|A||A?-1|=1，即|A|≠0，因此??|A?-1|=1|A|=|A|?-1.??
必须注意，A, B皆可逆，A+B不一定可逆，即使A+B可逆，一般地， (A+B) ?-1≠A?-1+B?-1，例如： 对角阵??A=?diag?(2,-1),
C=?diag?(1, 2)??均可逆，但A+B=?diag? (3, 0）不可逆，而A+C=?diag? (3, 1）可逆，其逆??(A+C)?-1=?diag?13, 1≠A?-1+C?-1=?diag?32, -12.??
例1 下列矩阵A, B是否可逆？若可逆，求其逆矩阵. 其中??A=321
解 |A|=2，故A可逆. 记A= (a?i?j) ?3×3，各元素的代数余子式分别为??A?11=11
11=0, A?13=11
01=-2, A?22=31
11=2, A?23=-32
11=1.??故??A?-1=1|A|A?*=121-21
|B|=b?1b?2b?3≠0时，B可逆，其逆矩阵仍为对角矩阵，且??B?-1=1/b?1
1/b?3.??
求逆的运算容易出错，所以求得A?-1后，应验证AA?-1=I，以保证结果是正确的.
例2 设?A=a?11a?12
a?21a?22?
的行列式?det?A=a?11a?22-a?12a?21=d≠0，则其逆矩阵??A?-1=1dA?*=1da?22-a?12
-a?21a?11.??
例3 设方阵A满足方程A?2-3A-10I=0，证明： A, A-4I都可逆，并求它们的逆矩阵.
证 由A?2-3A-10I=0得A (A-3I) =10I，即??A110(A-3I)]=I, ??故A可逆，且A?-1=110 (A-3I) . 再由A?2-3A-10I=0得??(A+I)(A-4I)=6I, ??即?16(A+I)(A-4I)=I, ?
故A-4I可逆，且（A-4I) ?-1=16 (A+I) .■
例4 已知非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵A如例1所给，b=(5, 1, 1)??T?，问方程组是否有解？如有解，求其解.
解 由于A是可逆矩阵，且逆矩阵是唯一的，因此等式Ax=b两端都左乘A?-1，即??A?-1(A?x)=A?-1b, ??便得此方程组的唯一解??x=x?1
x?3=A?-1b=1/2-11/2
例5 证明： 若A是可逆的反对称矩阵，则A?-1也是反对称矩阵.
证 因为（A?-1) ??T?= (A??T?) ?-1= (-A) ?-1=-A?-1，所以A?-1是反对称矩阵.■
同理，可逆对称矩阵的逆矩阵仍是对称矩阵.
下面再举几个综合的例题.
例6 设A= (a?i?j) ?n×n为非零实矩阵，证明： 若A?*=A??T?，则A为可逆矩阵.
证 欲证A可逆，只要证|A|≠0. 由A?*=A??T?及A?*的定义可得，A的元素a?i?j等于其自身的代数余子式A?i?j，根据行列式|A|按i行的展开式得??|A|=∑nj=1a?i?jA?i?j=∑nj=1a?2?i?j.??由于A为非零实矩阵，所以A的元素a?i?j (i,j=1, 2, …, n）为实数且不全为零，故|A|≠0，即A可逆.
例7 设A, B, C均为n阶方阵，若AB?C=I，则下列乘积： ACB, BAC, B?CA, CAB, CBA中哪些必等于单位阵I.
解 根据矩阵乘法满足结合律及定理2?3的推论，必有B?CA= (B?C) A=I，因为A (B?C) =I；同理可得，也必有CAB=C (AB) =I.
例8 设A可逆，且A?*B=A?-1+B，证明B可逆，当??A=260
002??时，求B.
解 由A?*B=A?-1+B=A?-1+IB，得??(A?*-I)B=A?-1.①??于是|A?*-I||B|=|A?-1|≠0，所以B和A?*-I可逆，再由①得??B= (A?*-I) ?-1A?-1=\A (A?*-I) \]?-1=\A|I-A\]?-1, ??其中??|A|I-A=8
001.??按逆矩阵的运算律（?i?i?）和求逆公式（2?25) ，易得??B=16111
例9 设A, B均为n阶可逆矩阵，证明：
(AB) ?*=B?*A?*;
(A?*) ?*=|A|?n?-2A.
由|AB|=|A||B|≠0可知AB也可逆. 根据（2?23）式，有（AB)
(AB) ?*=|AB|I，所以??(A?B)?*=(A?B)?-1|A?B|I=|A?B|(A?B)?-1=|A||B|B??-1A?-1
=|B|B?-1|A|A?-1=|B|B?*|B||A|A?*|A|=B?*A?*.??
由（A?*) ?*A?*=|A?*|I，得（A?*) ?*|A|A?-1=|A|?n?-1I，从而有??(A?*)?*=|A|?n?-2A.??2.5 矩阵的初等变换和初等矩阵
用高斯消元法解线性方程组，其消元步骤是对增广矩阵做3类行变换：
以非零常数c乘矩阵的某一行；
将矩阵的某一行乘以常数c并加到另一行；
将矩阵的某两行对换位置.
这3类行变换统称为矩阵的初等行变换,
(?i?）称为倍乘变换,
(?ii?）称为倍加变换,
(?iii?）称为对换变换.
在矩阵的其他一些问题里（如展开方阵的行列式），还要对矩阵的列做与上述3类初等行变换相对应的变换，称之为初等列变换. 初等行、列变换统称为初等变换.
初等变换在矩阵的理论中具有十分重要的作用. 矩阵的初等变换不只是可用语言表述，而且可用矩阵的乘法运算来表示，为此要引入初等矩阵的概念.
2.5 矩阵的初等变换和初等矩阵定义2?15 将单位矩阵做一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵.
对应于3类初等行、列变换，有3种类型的初等矩阵：
初等倍乘矩阵??E?i(c)=?diag?(1, …, 1, c, 1, …, 1).??E?i(c)是由单位矩阵第i行（或列）乘c (c≠0）而得到的；
初等倍加矩阵??E?i?j(c)=1
1i行j行 , ??E?i?j(c)是由单位矩阵第i行乘c加到第j行而得到的，或由第j列乘c加到第i列而得到；
初等对换矩阵
??E?i?j=1
1i行j行.??
E?i?j是由单位矩阵第i, j行（或列）对换而得到的.
例1 计算下列初等矩阵与矩阵A= (a?i?j) ?3×n, C= (c?i?j) ?3×2, B= (b?i?j) ?3×3的乘积：
001a?11a?12…a?1n
a?21a?22…a?2n
a?31a?32…a?3n=a?11a?12…a?1n
c?a?21c?a?22…c?a?2n
a?31a?32…a?3n.
001c?11c?12
c?21c?22
c?31c?32=c?11+d?c?31c?12+d?c?32
c?21c?22
c?31c?32.
b?11b?12b?13
b?21b?22b?23
b?31b?32b?33100
010=b?11b?13b?12
b?21b?23b?22
b?31b?33b?32.??
由例1可见，初等矩阵左乘A, C（右乘B）的结果是对A, C (B）做初等行（列）变换，而且，如果初等矩阵是由单位矩阵做某种行（列）变换所得，那么它左乘A, C（右乘B）也是对A, C (B）做该种行（列）变换.
读者不难证明下面的一般结论：
E?i (c) A 表示A的第i行乘c;
E?i?j (c) A 表示A的第i行乘c加至第j行；
E?i?jA 表示A第i行与第j行对换位置；
表示B的第i列乘c;
BE?i?j (c)
表示B的第j列乘c加至第i列；
BE?i?j 表示B的第i列与第j列对换位置.
初等矩阵的行列式都不等于零，因此初等矩阵都是可逆矩阵. 对初等矩阵再做一次适当的同类初等变换就化为单位矩阵，如??E?i1cE?i(c)=I,
E?i?j(-c)E?i?j(c)=I,
E?i?jE?i?j=I, ??所以，初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩阵，即??E?-1?i(c)=E?i1c,
E?-1?i?j(c)=E?i?j(-c),
E?-1?i?j=E?i?j.??
例2 设初等矩阵??P?1=0010
1.??试求P?1P?2P?3及（P?1P?2P?3) ?-1.
解 P?2左乘P?3表示对P?3做倍加行变换，P?1左乘P?2P?3，表示对P?2P?3做对换行变换，于是可得??P?1P?2P?3=0010
(P?1P?2P?3)?-1=P?-1?3P?-1?2P?-1?1
00-c1.??对于P?1P?2P?3，其中P?2右乘P?1表示对P?1做倍加列变换，P?3右乘P?1P?2表示对P?1P?2做倍乘列变换，这样运算其结果也是一样的.
?*例3 将三对角矩阵??A=2100
0012??分解成主对角元为1的下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，即A=LU（称为矩阵的?LU?分解）.
解 由于倍加初等矩阵及其逆矩阵都是主对角元为1的同类型三角阵. 因此如能通过倍加行变换将A的主对角线以下元素消为零（此时倍加行变换对应的初等矩阵是主对元为1的下三角矩阵，而A将化成上三角矩阵），就可将A分解为LU，具体作法如下：??1
0012记作A?1,
1A?1=2100
0012记作A?2,
-341A?2=2100
54记作U.??将上面三个式子中的左端的矩阵分别记作L?1, L?2, L?3，则??L?3L?2L?1A=U, ??故?A= (L?3L?2L?1) ?-1U=LU, ?
L= (L?3L?2L?1) ?-1=L?-1?1L?-1?2L?-1?3
下面介绍用初等变换求逆矩阵的方法.
定理2?4 可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵.
证 在2?1节中讲过的高斯消元法，其消元过程是对线性方程组的增广矩阵做3类初等行变换，并一定可以将其化为行简化阶梯形矩阵. 因此，对任何矩阵A，都可经初等行变换将其化为行简化阶梯形矩阵，即存在初等矩阵P?1, P?2, …, P?s使??P?s…P?2P?1A=U.??当A为n阶可逆矩阵时，行简化阶梯形矩阵也是可逆矩阵（因为初等矩阵都可逆），从而U必是单位矩阵I.■
推论1 可逆矩阵A可以表示为若干个初等矩阵的乘积.
证 根据定理2?4，存在初等矩阵P?1, P?2, …, P?s使得??P?s…P?2P?1A=I,
(2?26) ??所以??A= (P?s…P?2P?1) ?-1=P?-1?1P?-1?2…P?-1?s,
(2?27) ??其中P?-1?1, P?-1?2, …, P?-1?s仍是初等矩阵，推论得证.■
由（2?26）式可知??A?-1=P?s…P?2P?1=P?s…P?2P?1I. (2?28) ??于是，根据（2?26) ,
(2?28）式，即得下面的推论.
推论2 如果对可逆矩阵A和同阶单位阵I做同样的初等行变换，那么当A变为单位阵时，I就变为A?-1，即?? (A, I) 初等行变换 (I, A?-1) .??
由（2?27）式又可得??A?P?s…P?2P?1=I;
I?P?s…P?2P?1=A?-1.??因此，同样也可用初等列变换求逆矩阵，即??A
I初等列变换I
A?-1.??
例4 用初等行变换求矩阵??A=02-1
-1-1-1??的逆矩阵.
解 ?? (A, I) =02-1100
①?②112010
③+①112010
001011①+③×(-2)②+③
①+②×-12②×-52
001011, ??所以??A?-1=-12-32-52
例5 已知ABA??T?=2BA??T?+I，求B. 其中??A=100
解 在已知的矩阵方程中，注意到2BA??T?=2IBA??T?，于是?? (A-2I) B?A??T?=I,
即B?A??T?= (A-2I) ?-1.??所以
B=(A-2I)?-1(A??T?)?-1=\A??T?(A-2I)\]?-1
=(A??T?A-2A??T?)?-1.??A??T?A-2A??T?=100
0-23, ??用两种求逆方法都易得??B=-100
0-23?-1=-100
读者必须注意，用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵时，必须始终做行变换，其间不能做任何列变换. 如果做初等行变换时，出现全零行，则其行列式等于零，因而矩阵是不可逆的.
读者也应练习一下，用初等列变换求逆矩阵的方法.
例6 当a,b满足什么条件时，矩阵A不可逆. 其中??A=0123
解 对A做初等行、列变换将其化为阶梯形矩阵，由|A|=0可得a,b应满足的条件. 为简便起见，应尽量将a,b置于A的右下方，所以先将A的第1, 2, 3列对换两次（此时|A|不变），然后再做倍加行变换，即??A1203
②+①×(-4)④+①×(-2)1203
③+②④+②×(-1)1203
00a-10.??
矩阵A不可逆的充要条件是??|A|=12
a-10=(a-1)(b-2)=0, ??即a=1或b=2.
2.6 分块矩阵
2.6 分块矩阵把一个大型矩阵分成若干小块，构成一个分块矩阵，这是矩阵运算中的一个重要技巧，它可以把大型矩阵的运算化为若干小型矩阵的运算，使运算更为简明. 下面通过例子说明如何分块及分块矩阵的运算方法.
把一个5阶矩阵??A=2110-1
00001, ??用水平和垂直的虚线分成4块，如果记??21
2-30=A?2,
1=I?3, ??就可以把A看成由上面4个小矩阵所组成，写作??A=A?1A?2
0I?3, ??并称它是A的一个2×2分块矩阵，其中的每一个小矩阵称为A的一个子块.
把一个m×n矩阵A，在行的方向分成s块，在列的方向分成t块，称为A的s×t分块矩阵，记作A= (A?k?l) ?s×t，其中A?k?l (k=1, 2, …, l=1, 2, …, t）称为A的子块，它们可以是各种类型的小矩阵.
常用的分块矩阵，除了2×2分块矩阵，还有以下几种形式：
按行分块??A=a?11a?12…a?1n
a?21a?22…a?2n
a?m1a?m2…a?m?n=a?1
a?m, ??其中a?i=(a?i?1, a?i?2, …, a?i?n), i=1, 2, …, m.
按列分块??B=b?11b?12…b?1s
b?21b?22…b?2s
b?n?1b?n?2…b?n?s=(b?1, b?2, …, b?s), ??其中b?j=(b?1j, b?2j, …, b?n?j)??T?, j=1, 2, …, s.
当n阶矩阵C中非零元素都集中在主对角线附近，有时可以分块成下面的对角块矩阵（又称准对角矩阵）??C=C?1
C?m, ??其中C?i是r?i阶方阵?i=1, 2, …, ∑mi=1r?i=n, ?例如??C=0-10000
000003=C?1
C?3, ??其中
C?3= (3) .
下面讨论分块矩阵的运算.
1. 分块矩阵的加法
设分块矩阵A=(A?k?l)?s×t, B=(B?k?l)?s×t，如果A与B对应的子块A?k?l和B?k?l都是同型矩阵，则??A+B=(A?k?l+B?k?l)?s?×t.??
A?11A?12
A?21A?22+B?11B?12
B?21B?22=A?11+B?11A?12+B?12
A?21+B?21A?22+B?22,
其中A?11与B?11, A?12与B?12, A?21与B?21, A?22与B?22分别都是同型小矩阵（子块）.
2. 分块矩阵的数量乘法
设分块矩阵A= (A?k?l) ?s×t, λ是一个数，则??λ?A=(λ?A?k?l)?s×t.??
3. 分块矩阵的乘法
设A∈F??m×n, B∈F??n×p，如果A分块为r×s分块矩阵（A?k?l) ?r×s, B分块为s×t分块矩阵（B?k?l) ?s×t，且A的列的分块法和B的行的分块法完全相同，则??AB=j?1列j?2列…j?s列A?11A?12…A?1s
A?21A?22…A?2s
A?r1A?r?2…A?r?s B?11B?12…B?1t
B?21B?22…B?2t
B?s1B?s2…B?s?tj?1行
=C记作 (C?k?l) ?r?×t, ??其中C是r×t分块矩阵，且??C?k?l=∑si=1A?k?iB?i?l (k=1, 2, …, l=1, 2, …, t).??
可以证明（但略去），用分块乘法求得的AB与不分块作乘法求得的AB是相等的.
例1 将下列5阶矩阵A, B分成2×2的分块矩阵，并用分块矩阵的乘法计算AB.??A=10000
00-100.??
解 由观察，可将A分成如下4个子块??A=10000
-20001=I?20?2?×3
A?1I?3, ??其中
根据分块矩阵乘法的要求，B的行的分法应和A的列的分法一致，而列可以任分，为计算方便可将B分块如下：??B=32010
00-100=B?1I?2
-I?30?3×2, ??其中B?1=320
则AB=I?20
A?1I?3B?1I?2
-I?30=B?1I?2
A?1B?1-I?3A?1,
其中A?1B?1-I?3=-240
故??A?B=32010
-6-4-1-20.??
不难验证，AB直接相乘与分块相乘所得结果是一致的.
例2 设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，B按列分块成1×s分块矩阵，将A看成1×1分块矩阵，则??A?B=A (b?1, b?2, …, b?s) =(A?b?1, A?b?2, …, A?b?s).??
若已知AB=0 (m×s零矩阵），则显然有Ab?j=0 (n×1零矩阵）, j=1, 2, …, s. 因此，B的每一列b?j都是线性方程组Ax=0的解.
例3 若n阶矩阵C, D可以分块成同型对角块矩阵，即??C=C?1
D?m, ??其中C?i和D?i是同阶方阵（i=1, 2, …, m) ，则??C?D=C?1D?1
C?mD?m.??
矩阵的分块乘法，在以后证明一些重要的命题时，起着重要的作用，下面看一个例子.
例4 证明： 若n阶上三角矩阵A可逆，则其逆矩阵A?-1也是上三角矩阵.
证 对n作数学归纳法，n=1时， (a) ?-1=1a，结论成立. （一阶矩阵可以认为是上（下）三角矩阵，对角矩阵，对称矩阵）. 假设命题对n-1阶可逆上三角矩阵成立，下面考虑n阶情况. 设??A=a?11a?12…a?1n
0a?22…a?2n
00…a?n?n分块a?11α
0A?1(a?i?i≠0, i=1, 2, …, n), ??其中A?1是n-1阶可逆的上三角矩阵. 设A的逆矩阵为??B=b?11b?12…b?1n
b?21b?22…b?2n
b?n?1b?n?2…b?n?n分块b?11β
γB?1, ??则AB=a?11α
0A?1b?11β
γB?1=I?n=10
0I?n?-1,
即a?11b?11+αγa?11β+αB?1
A?1γA?1B?1=10
0I?n?-1,
于是??A?1γ=0?γ=A?-10=0,
A?1B?1=I?n?-1?B?1=A?-1?1, ??根据归纳假设，B?1是n-1阶上三角矩阵，因此??A?-1=B=b?11β
0B?1??是上三角矩阵（其中： b?11=a?-1?11; β=-a?-1?11α?A?-1?1) .
4. 分块矩阵的转置
分块矩阵A= (A?k?l) ?s×t的转置矩阵为??A??T?=(B?l?k)?t?×s, ??其中B?l?k=A??T??k?l,
l=1, 2, …,
k=1, 2, …, s.
例如A=A?11A?12A?13
A?21A?22A?23,
则?A??T?=A??T??11A??T??21
A??T??12A??T??22
A??T??13A??T??23.
B按行分块b?1
则B??T?= (b??T??1, b??T??2, …, b??T??m) .
5. 可逆分块矩阵的逆矩阵
对角块矩阵（准对角矩阵）??A=A?1
A?m??的行列式为|A|=|A?1||A?2|…|A?m|，因此，对角块矩阵A可逆的充要条件为??|A?i|≠0,
i=1, 2, …, m.??根据对角块矩阵的乘法，容易求得它的逆矩阵??A?-1=A?-1?1
A?-1?m.??
用分块矩阵求逆矩阵，可以将高阶矩阵的求逆转化为低阶矩阵的求逆. 一个2×2的分块矩阵求逆，可以根据逆矩阵的定义，用解矩阵方程的办法解得.
例5 设A=B0
其中B, D皆为可逆方阵，证明A可逆并求A?-1.
解 |A|=|B||D|≠0，所以A可逆. 设??A?-1=XY
ZT, ??其中X与B, T与D分别是同阶方阵，于是由??B0
ZT=B?XB?Y
C?X+D?ZC?Y+D?T=I?m0
0I?n, ??得：
故 X=B?-1;
BY=0, 故Y=B?-10=0;
CX+DZ=0, 故DZ=-CX=-CB?-1,
Z=-D?-1CB?-1;
C?Y+DT=I?n, 故DT=I?n，即T=D?-1.
所以??A?-1=B?-10
-D?-1C?B?-1D?-1.??
?*6. 分块矩阵的初等变换与分块初等阵
这里我们仅就2×2分块矩阵为例来作讨论. 对于分块矩阵??A=A?11A?12
A?21A?22??可以同样地定义它的3类初等行变换和列变换，并相应地定义3类分块初等矩阵：
分块倍乘阵（C?1, C?2是可逆阵）??C?10
0I?n 或 I?m0
0C?2.??
(?ii?) 分块倍加阵??I?m0
C?3I?n 或 I?mC?4
0I?n.??
(?iii?) 分块对换阵??0I?n
I?m0.??
分块初等矩阵自然是方阵，它们左乘（或右乘）分块矩阵A（不一定是方阵），在保证可乘的情况下，其作用与2?5节中所述初等矩阵左乘（或右乘）矩阵的作用是相同的.
分块矩阵的初等变换也是矩阵运算的一个重要技巧，以后讨论一些问题时用它处理会比较方便. 下面举两个应用的例子.
例6 设n阶矩阵A分块表示为??A=A?11A?12
A?21A?22, ??其中A?11, A?22为方阵，且A和A?11可逆. 证明A?22-A?21A?-1?11A?12可逆，并求A?-1.
解 先对分块阵A做初等行变换，将其化为上三角块矩阵，为此左乘分块倍加阵??P?1=I?10
-A?21A?-1?11I?2, ??其中I?1, I?2为单位矩阵，其阶数分别等于A?11, A?22的阶数. 于是??P?1A=A?11A?12
0A?22-A?21A?-1?11A?12记作B,
|P?1A|=|A?11||A?22-A?21A?-1?11A?12|.??由于|P?1|=1, |A|≠0, |A?11|≠0，所以|A?22-A?21A?-1?11A?12|=|A||A?11|≠0，故矩阵A?22-A?21A?-1?11A?12可逆.
为了求A?-1，记Q=A?22-A?21A?-1?11A?12.对B做行变换将其化为对角块矩阵，为此取??P?2=I?1-A?12Q?-1
0I?2, ??于是P?2B=A?? ?110
0Q记作?C,
即P?2P?1A=C，两边取逆得A?-1 (P?2P?1) ?-1=C?-1，因此??A?-1=C?-1 (P?2P?1)
=A?-1?110
0Q?-1I?1-A?12Q?-1
0I?2I?10
-A?21A?-1?11I?2.??记??A?-1=D?11D?12
D?21D?22, ??则D?11=A?-1?11+A?-1?11A?12Q?-1A?21A?-1?11,
D?22=Q?-1,
D?12=-A?-1?11A?12Q?-1,
D?21=-Q?-1A?21A?-1?11,
其中Q=A?22-A?21A?-1?11A?12.
例7 设Q=A?? ? B
且A可逆，证明： ?det?Q=|A||D-CA?-1B|.
证 先用分块倍加阵左乘Q，使之化为上三角块矩阵，为此取??P=I?n0
-C?A?-1I?m, ??其中I?n与A同阶，I?m与D同阶. 如此则有??P?Q=AB
0D-C?A?-1B, ??将上式两端求行列式，得|P||Q|=|A||D-CA?-1B|，由于|P|=1，故命题得证.
例8 设A, B均为n阶矩阵，证明：??AB
BA=|A+B||A-B|.??
证 将分块矩阵P=AB
BA的第1行加到第2行，再将第2列乘-I加到第1列，使之化为上三角块矩阵，即??I0
0A+B, ??于是由两边矩阵的行列式相等，即得??AB
0A+B=|A-B||A+B|.??附录2 数域 命题 量词I.数域
附录2 数域 命题 量词一个含有数0, 1的数集F，如果其中任意两个数关于数的四则运算封闭（除法的除数不为零），即它们的和、差、积、商仍是F中的数，那么数集F就称为一个数域.
显然，全体有理数、实数、复数组成的数集都是数域，称为有理数域、实数域、复数域，分别记作?Q?, ?R?, ?C?. 而全体整数组成的数集?Z?就不是数域，因为任意两个整数的商不都是整数.
还有一些数集，如Q (2) ={a+b2|a,b∈?Q?}，也构成一个数域.
还要指出，有理数域是最小的数域，即任何数域F都包含有理数域?Q?. 事实上，由于0, 1∈F，所以n=1+1+…+1∈F, 0-n∈F, 从而整数集?Z??F；又对于任意的p,q∈?Z??F, p≠0，均有q/p∈F，而q/p∈?Q?，所以?Q??F.
所谓命题，就是一个陈述句. 严格地说，命题不是陈述句本身，而是陈述句所表达的含义，因为“语句”是语言学的概念，而“命题”是逻辑学的概念.
下面的语句：
雪是白的； (3)
雪不是白的； (4)
30，存在N>0，使对任何n>N，恒有|u?n-a|0) {(?N>0)\u?n-a|0)非{(?N>0)\u?n-a|0){(?N>0)非\u?n-a|0){(?N>0)\u?n-a|0){(?N>0)\u?n-a|≥ε\]}, ??即“存在ε>0，对任何N>0，存在n>N，使|u?n-a|≥ε" .
从以上例子可见，含有多个量词的数学命题，欲知其否命题的含义，按上述①, ②等价规则，只要将原命题中的“?”改为“?" ,
"?”改为“?" ，而“具有性质p”改为“具有性质非p" .
习题 补充题 答案习题
习题 补充题 答案用高斯消元法解1~4题的线性方程组：
1. 2x?1-12x?2-12x?3=0,
-12x?1+2x?2-12x?4=3,
+2x?3-12x?4=3,
-12x?2-12x?3+2x?4=0.
2. x?1-2x?2+3x?3-4x?4=4,
x?2-x?3+x?4=-3,
x?1+3x?2-3x?4=1,
-7x?2+3x?3+x?4=-3.
3. 2x?1+3x?2+5x?3+x?4=3,
3x?1+4x?2+2x?3+3x?4=-2,
x?1+2x?2+8x?3-x?4=8,
7x?1+9x?2+x?3+8x?4=0.
4. x?1-10x?2+11x?3-11x?4=0,
2x?1+4x?2-5x?3+7x?4=0,
3x?1-3x?2+3x?3-2x?4=0,
5x?1+x?2-2x?3+5x?4=0.
下列5~6题的线性方程组中，p, q取何值时，方程组有解，无解. 在有解的情况下，求出它的全部解：
5. px?1+x?2+x?3=1,
x?1+px?2+x?3=p,
x?1+x?2+px?3=p?2.6. x?1-3x?2-6x?3+2x?4=-1,
x?1-x?2-2x?3+3x?4=0,
x?1+5x?2+10x?3-x?4=q,
3x?1+x?2+px?3+4x?4=1.
7. 将军点兵，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问兵几何（求在500至1000范围内的解）？
8. 百鸡术： 母鸡每只5元，公鸡每只3元，小鸡三只一元，百元买百鸡，各买几何？
12，计算： 2A, 3B, A+B, 2A-3B, AB-BA.
10. 设A=311
101，求AB-BA.
计算11~20题的矩阵乘积：
(1, -1, 2) 2-10
421.14. ab
(y?1,y?2,…,y?n) a?11a?12…a?1n
a?21a?22…a?2n
a?n?1a?n?2…a?n?n.
16. (x?1,x?2)a?11a?12
a?21a?22x?1
0a?11a?12…a?1n
a?21a?22…a?2n
a?n?1a?n?2…a?n?n.
18. a?11a?12…a?1n
a?21a?22…a?2n
a?n?1a?n?2…a?n?n1
001a?1a?2a?3
b?1b?2b?3
c?1c?2c?3.
20. a?1a?2a?3a?4
b?1b?2b?3b?4
c?1c?2c?3c?40010
21. 已知A=PΛQ，其中??P=23
Q?P=I?2, ??计算： A?8, A?9, A?2n, A?2n+1 (n为正整数）.
c?n (n为正整数）.
23. 计算?cos?φ?sin?φ
-?sin?φ?cos?φ?n及01
24. A, B皆是n阶矩阵，问下列等式成立的条件是什么？
(A+B) ?3=A?3+3A?2B+3AB?2+B?3;
(A-B) =A?2-B?2.
25. 若AB=BA, AC=CA，证明A, B, C是同阶矩阵，且A (B+C) = (B+C) A, A (B?C) = (B?C) A.
26. 求平方等于零矩阵的所有二阶矩阵.
27. 求与A=11
01可交换的全体二阶矩阵.
28. 求与A=100
01-2可交换的全体三阶矩阵.
29. 已知A是对角元互不相等的n阶对角矩阵，即??A=a?1
a?n.??当i≠j时，a?i≠a?j (i,j=1,2,…,n) . 证明： 与A可交换的矩阵必是对角矩阵.
30. 证明： 两个n阶下三角矩阵的乘积仍是下三角矩阵.
31. 证明： 若A是主对角元全为零的上三角矩阵，则A?2也是主对角元全为零的上三角矩阵.
32. 证明： 主对角元全为1的上三角矩阵的乘积，仍是主对角元为1的上三角矩阵.
33. 设A=5-21
-201，计算： AB??T?, B??T?A, A??T?A, BB??T?+AB??T?.
34. 证明：
(A?1A?2…A?k) ??T?=A??T??k…A??T??2A??T??1.
35. 证明： 若A和B都是n阶对称矩阵，则A+B, A-2B也是对称矩阵.
36. 对于任意的n阶矩阵A. 证明：
A+A??T?是对称矩阵，A-A??T?是反对称矩阵；
A可表示为对称矩阵和反对称矩阵之和.
37. 证明： 若A和B都是n阶对称矩阵，则AB是对称矩阵的充要条件是A与B可交换.
38. 设A是实对称矩阵，且A?2=0，证明A=0.
39. 已知A是一个n阶对称矩阵，B是一个n阶反对称矩阵.
问A?k, B?k是否为对称或反对称矩阵？
证明： AB+BA是一个反对称矩阵.
40. 求下列矩阵的逆矩阵：
?cos?θ?sin?θ
-?sin?θ?cos?θ;
41. 利用逆矩阵，解下列矩阵方程：
42. 利用逆矩阵，解线性方程组??x?1+x?2+x?3=1,
2x?2+2x?3=1,
x?1-x?2=2.??
43. 设A, B, C为同阶方阵.
问A满足什么条件时，命题“若AB=AC，则B=C（消去律）”成立；
问： 若B≠C，是否必有AB≠AC？
44. 设A, B都是n阶矩阵，问： 下列命题是否成立？若成立，给出证明；若不成立，举反例说明.
若A, B皆不可逆，则A+B也不可逆；
若AB可逆，则A, B都可逆；
若AB不可逆，则A, B都不可逆；
若A可逆，则k?A可逆（k是数）.
45. 设方阵A满足A?2-A-2I=0，证明：
A和I-A都可逆，并求它们的逆矩阵；
A+I和A-2I不同时可逆.
46. 设方阵A满足方程A?2-2A+4I=0，证明： A+I和A-3I都可逆，并求它们的逆矩阵.
47. 证明： 可逆的对称矩阵的逆矩阵仍是对称矩阵.
48. 试求上（或下）三角矩阵可逆的充要条件，并证明： 可逆上（或下）三角矩阵的逆矩阵也是上（或下）三角矩阵.
用初等变换法求49~53题的矩阵的逆：
53. 0a?10…0
?????
000…a?n?-1
a?n00…0，其中a?i≠0, i=1, 2, …, n.
解54~56题的矩阵方程：
56. 111…1
?????
000…1X=123…n
?????
?*57. 将下列矩阵做LU分解，其中L为主对角元为1的下三角矩阵，U为上三角矩阵：
58. 用分块矩阵的乘法，计算下列矩阵的乘积：
59. 设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，x是n×1矩阵，证明： AB=0的充分必要条件是B的每一列都是齐次线性方程组Ax=0的解.
60. 设C是n阶可逆矩阵，D是3×n矩阵，且??D=12…n
00…0, ??试用分块乘法，求一个n×(n+3)矩阵A，使得AC
61. 设A=0B
C0，其中B是n阶可逆矩阵，C是m阶可逆矩阵，证明A可逆，并求A?-1.
62. 用矩阵分块的方法，证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵：
?????
000…a?n?-1
a?n00…0;
?*63. 设A, B, C, D都是n阶矩阵，|A|≠0, AC=CA. 证明：??AB
CD=|A?D-C?B|.??
?*64. 设A=0B
CD，其中B, C分别为二阶，三阶可逆矩阵，且已知B?-1, C??-1，求A?-1.
?*65. 将n阶矩阵A分块为??A=A?n?-1b
ca?n?n, ??其中A?n?-1是n-1阶可逆矩阵，如果A可逆，且已知A?-1?n?-1，试求A?-1（这种利用A?-1?n?-1求A?-1的方法，称为加边法）.
?*66. 利用65题加边法的结果，求??A=122
10-2-6.??的逆矩阵.
67. 设A, B均为4阶矩阵，已知|A|=-2, |B|=3，计算：
12A?B?-1;
|-A?B??T?|;
| (A?B) ?-1|;
?det?\A?B)??T?\]?-1;
|-3A?*| (A?*为A的伴随矩阵）.
68. 设?α= (1, -2, 3) ??T?, β=-1, 12, 0??T?, A=α?β??T?，求|A?100|.
69. 设A为4阶矩阵，已知|A|=a≠0，计算?det?(|A?*|A).
70. 设A, B均为n阶矩阵，I为n阶单位矩阵，下列命题哪些成立？
A=I?|A|=1;
AB≠0?A≠0且B≠0;
A?2=I，则A=I或-I;
(A-I) = (A-I)
AB可逆?A, B均可逆； (?F?)
|-2A?*B|=-2|A||B|.
71. 设α= (a,b,c) , β= (x,y,z) ，已知??α??T?β=-24-6
-12-3, ??求α?β??T?.
72. 设α=(x?1,x?2,…,x?n)??T?, β=(y?1,y?2,…,y?n)??T?，已知α??T?β=3, B=α?β??T?, A=I-B. 证明：
B?k=3?k-1B (k≥2为正整数）;
A+2I或A-I不可逆；
A及A+I均可逆.
73. 设A为3阶矩阵，|A|>0，已知A?*=?diag? (1, -1, -4) ，且ABA?-1=BA?-1+3I，求B.
74. 设n阶矩阵A满足： A??T?A=I和|A|<0，求|A+I|.
75. 设A为奇数阶可逆矩阵，且A?-1=A??T?, |A|=1，求|I-A|.
76. 设A, B均为n阶矩阵，且A=B??T?，问： A??T? (B?-1A?-1+I) ??T?可化简为下列哪一个式子？
A??T?B;
A?A??T?.
77. 设α= (1, 0, -1) ??T?, k为正整数，A=α?α??T?，求|k?I-A?n|.
78. 已知4阶矩阵A满足：
(2I-C?-1B) A??T?=C?-1，求A. 其中??B=12-3-2
79. 设B=-110
且A, B, C满足：
(I-C?-1B) ??T?C??T?A=I. 求A, A?-1.
80. 设B是元素全为1的n阶（n≥2）矩阵，证明：
B?k=n?k-1B (k≥2为正整数）;
(I-B) ?-1=I-1n-1B.
81. 设A为3阶实对称矩阵，且主对角元全为0, B=?diag? (0, 1, 2) ，求使A?B+I为可逆矩阵的条件.
82. 已知P, A均为n阶矩阵，且P?-1AP=?diag? (1, 1, …, 1, 0, …, 0) （有r个1) ，试计算|A+2I|.
83. 设A为n阶（n≥2）可逆矩阵，证明：
(A?*) ?-1= (A?-1) ?*;
(A??T?) ?*= (A?*) ??T?;
(k?A) ?*=k?n?-1A?* (k为非零常数）.
84. 计算下列矩阵的幂：
85. 证明： 与任意的n阶矩阵可交换的矩阵必是n阶数量矩阵.
86. n阶矩阵A= (a?i?j）的主对角元之和称为矩阵A的迹，记作?tr? (A) ，即???tr?(A)=∑ni=1a?i?i.??
证明： 若A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则???tr?(A?B)=?tr?(B?A).??
87. 证明： 对于任意的两个n阶矩阵A和B，都有AB-BA≠I?n.
88. 若n阶矩阵A存在正整数k，使得A?k=0，就称A为幂零矩阵.
设幂零矩阵A满足A?k=0 (k为正整数），试证明： I-A可逆，并求其逆矩阵.
89. 设A=a100
f(x)=(x-b)?n.试求f(A)，当f(A)可逆时，求其逆矩阵.
90. 设??A=01
f(x)=x-1x0
-3x+2.??试求： f(A), g(A).
91. 证明： 主对角元全为1的上（下）三角矩阵的逆矩阵也是主对角元全为1的上（下）三角矩阵.
92. 证明： n阶反对称矩阵可逆的必要条件是n为偶数，举例说明n为偶数不是n阶反对称矩阵可逆的充分条件.
93. 设P=AB
0C, A, C均为可逆矩阵，证明P可逆，并求P?-1.
94. 证明： n阶可逆下三角矩阵的逆矩阵也是下三角矩阵.
95. 证明： n阶矩阵A的任意多项式f(A)与g(A)可交换.
96. 证明： 若n阶矩阵A与B可交换，则A与B的任意多项式f(A)与g(B)也可交换.
1. (1, 2, 2, 1).
(-8, k+3, 2k+6, k) , k是任意常数.
3. 无解. 4. 0, 113k, 133k, k, k是任意常数.
5. p=1时有无穷多解：
(1-k?1-k?2, k?1, k?2) ，其中k?1, k?2是任意常数；p=-2时无解；p≠1且p≠-2时有唯一解： -p+1p+2, 1p+2, (p+1)?2p+2.
6. p≠2时有唯一解： q-22, 121-3-q7-42-qp-2,
2-qp-2, 3-q7; p=2, q≠2时无解；p=2且q=2时有无穷多解： 0, 37-2k, k, 17, k是任意常数.
7. 548,653,758,863,968.
(0, 25, 75) ,
(4, 18, 78) ,
(8, 11, 81) ,
(12, 4, 84）等.
21. A?8=I?2, A?9=7-12
4-7, A?2n=I?2, A?2n+1=7-12
23. ?cos?nφ?sin?nφ
-?sin?nφ?cos?nφ, ?cos?n?π?2?sin?n?π?2
-?sin?n?π?2?cos?n?π?2.
24. A, B可交换时成立，一般情况不成立.
其中a,b,c满足关系a?2+b?c=0.
a,b为任意常数.
a,b,c为任意常数.
38. 由A?2的对角元?∑nk=1?a?i?ka?k?i=0 (i=1, 2, …, n）及A??T?=A，即可得证A=0.
39. A?k仍是对称矩阵，B?k当k为偶数时为对称矩阵，k为奇数时为反对称矩阵.
?cos?φ-?sin?φ
?sin?φ?cos?φ;
42. 12 (1, -3, 4) ??T?.
不成立； (2)
成立； (3)
不成立； (4)
k≠0时成立，k=0时不成立.
45. A?-1=12 (A-I) ,
(I-A) ?-1=-12A.
(A+I) ?-1=-17 (A-3I) ,
(A-3I) ?-1=-17 (A+I) .
47. 利用运算性质和A??T?=A，证明（A?-1) ??T?=A?-1.
48. 证明伴随矩阵为上（下）三角矩阵.
53. 00…01/a?n
1/a?10…00
01/a?2…00
?????
00…1/a?n?-10.
55. 20-1513
58. (1) 727000
59. 将B按列分块为B= (b?1,b?2,…,b?n) .
60. A= (C?-1, B) ，其中B是第一列元素全为零，其余元素为任意的n×s矩阵.
61. A?-1=0C?-1
000…01/a?n
1/a?100…00
01/a?20…00
??????
000…1/a?n?-10;
1/20-1/20-1
01/20-1/2-3/2
63. 对对应分块矩阵做初等行变换. 第一行左乘-CA?-1加到第二行.
64. -C?-1DB?-1C?-1
65. A?-1?n?-1(I+bw?-1c?A?-1?n?-1)-A?-1?n?-1bw?-1
-w?-1cA?-1?n?-1w?-1，其中w=a?n?n-cA?-1?n?-1b.
(-3) ?4 (-2) ?3.
69. |A?*|?4|A|=a?13.
71. -7，因为?α?β??T?=∑3i=1\α??T?β\]?i?i=-2+(-2)+(-3).?
B?2=α (β??T?α) β??T?=3B，由归纳法得； (2)
因为A?2=I-2B+B?2，所以A?2+A-2I= (A+2I)
(A-I) =0，从而|A+2I|=0或|A-I|=0;
由A (A+I) =I得|A|≠0, |A+I|≠0.
73. |A|=2, B=3 (A-I) ?-1A=3 (A?-1 (A-I) ) ?-1=3I-12A?*?-1=?diag? (6, 2, 1) .
74. |A+I|=|I+A??T?||A|, |A|=-1, |A+I|=|A??T?+I|，所以|A+I|=0.
75. |I-A|=|A??T?-I||A|= (-1) ?n|I-A|，所以|I-A|=0.
77. 利用A?n=2?n?-1A，得|k?I-A?n|=k?2(k-2?n).
78. A= ( (2C-B) ??T?) ?-1=1000
79. A=\C-B)??T?\]?-1=1200
001, A?-1= (C-B) ??T?=?diag? (2, 2, 1) .
利用B=α??T?α，其中α= (1, 1, …, 1) ;
(I-B) I-1n-1B=I.
81. |AB+I|=1-2a?2?23≠0, a?23≠±12.
82. P?-1(A+2I)P=P?-1AP+2I=?diag?(3, …, 3, 2, …, 2)，两边取行列式，得|A+2I|=3?r·2?n-r.
83. 利用A?*=|A|A?-1,
(A?-1) ?*=|A?-1|A= (A?*) ?-1;
(A??T?) ?*=|A| (A??T?) ?-1= (|A|A?-1) ??T?= (A?*) ??T?;
(k?A) ?*=k?n|A| (k?A) ?-1=k?n?-1|A|A?-1=k?n?-1A?*.
84. (1) 1nn(n-1)2
(2) a?n?C??1?na?n?-1?C??2?na?n?-2?C??3?na?n-3
0a?n?C??1?na?n?-1?C??2?na?n?-2
00a?n?C??1?na?n?-1
85. 设A= (a?i?j) ,
取E?i?i=?diag? (0, …, 0, 1, 0, …, 0) ，由E?i?iA=A?E?i?i (i=1, 2, …, n）得证a?i?j=0 (i≠j, i,j=1, 2, …, n) .
再证a?11=a?22=…=a?n?n.
87. 证明AB-AB的主对角元之和等于零.
88. 利用（I-A)
(I+A+A?2+…+A?k-2+A?k-1) =I-A?k=I，可知I-A可逆，并得其逆矩阵.
(I-A) ?-1=A?k-1+A?k-2+…+A+I.
(a-b) ?n?C??1?n(a-b)?n?-1?C??2?n(a-b)?n?-2?C??3?n(a-b)?n-3
0(a-b)?n?C??1?n(a-b)?n?-1?C??2?n(a-b)?n?-2
00(a-b)?n?C??1?n(a-b)?n?-1
000(a-b)?n,
1-?C??1?n(a-b)?-1\(a-b)?-2\(a-b)?-3
01-?C??1?n(a-b)?-1\(a-b)?-2
001-?C??1?n(a-b)?-1
0001(a-b)?n.
90. f(A)=1-4
91. 对矩阵的阶数作数学归纳法，并用分块的方法证明结论对n阶矩阵成立.
92. 例如0100
93. A?-1-A?-1B?C?-1
94. 证法同91.}
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