定黎曼积分的可积条件的性质_分析解题思想

法一　用实变函数知识去证明由可积的第四充要条件，f（x）的不连续点E的测度为0而在上，f（x）恒为0故

法二　设法证明f（x）的连续点处处稠密，即证?［α，β］?［a，b］f在［α，β］上必有连续点。当取连续点作为介点时，黎曼和数恒为0，故得知。

等价轉化：证明可积函数f（x）在［a，b］内至少有一个连续点下面分析函数f（x）在某一点x₀处连续的特征。

以w_δ（f）表示f在（x₀－δ，x₀＋δ）上的振幅，即

则有如下刻划f（x）点态连续性的结论

引理　f（x）在x₀连续。

引理的证明从略下面继续充分性的证明。依据f（x）的可积性?ε>0，?分法Tst∑w_iΔx_i<ε

由抽屉原则，至少有一个在其上，振幅w_τ<ε／（b－a）；再由f在［a₁b₁］上可积，可有［a₂b₂］?［a₁，b₁］f在［a₂，b₂］上的振幅充分地小

先取ε＝b－a，存在某个Δτ，在其上w_τ（f）<1再在［x_τ－1，x_τ］上取一个子区间［a₁b₁］，使得b₁－a₁<1自然

由于f在［a₁，b₁］上仍可積继续上述步骤，可选出［a₂b₂］?［a₁，b₁］使得

由区间套定理，存在唯一c∈［a_nb_n］，于是依据上述引理知f（x）必在c点连续

例4　设f∈C［a，b］若?φ∈C［a，b］同时的φ（x），有证明f（x）恒为常数。

证明　若f（x）已经满足则特取φ即为f可得。

所以φ（x）≡0即。

例5　設f∈C［ab］，且证明至少存在两点x₁，x₂∈［ab］，使得f（x₁）＝f（x₂）＝0

证明　显见至少有一个零点。反证若恰有一个零点x₁，但（x－x₁）f（x）在［ab］－｛x₁｝上保号，从而黎曼积分的可积条件必为正值或负值矛盾。

推广：设f∈C［ab］，?n≤N有，试证f（x）在［ab］上至少有N＋1个互异的零点。

（分析：N＝2时先证明，引入g（x）＝（x－x₁）（x－x₂）f，g除去x₁x₂之外保号，…）

思考：若?n＝12，…皆有则f≡0（不仅是囿可数多个零点而已啦）。

例6　设f∈C［01］，证明?x₀∈［01］，使得｜f（x₀）｜≥4

证明　反证法，若?x∈［01］，｜f（x）｜<4于是

?x₀∈［0，1］st｜f（x₀）｜≥2^m（m＋1）。

例7　设f（x）∈C（R）T>0，试证f是以T为周期的函数的充分必要条件是黎曼积分的可积条件的值?α恒为常数。

充分性：令则F（α）≡C，F′（α）＝0

所以f（α＋T）－f（α）＝0?α∈R成立，即知f（x）为周期函数

解　（1）对［0，1］n等分分点为在每个尛段上取ξ_i为中点，得到的黎曼和数是

（2）Δ_n′＝ln2－v_n，于是由本节（5）式知

1．设f∈C［ab］且，证明f（x）≡0

2．设f∈C［a，b］且则f（x）≤0

3．设f∈C（R^＋），?α>0，证明

4．设f（x）是连续的周期函数周期为p，证明

5．设f（x）在连续证明：f（x）在内至少有两个零点。

6．设函数f（x）在［0π］上连续，且。试证明：在（0，π）内至少存在两个不同的点ξ₁、ξ₂，使得f（ξ₁）＝f（ξ₂）＝0

（2000年数学（三）、（四））

7．设茬［－1，1］上连续的函数f（x）满足如下条件：对［－11］上任意的偶连续函数g（x），黎曼积分的可积条件试证：f（x）是［－1，1］上奇函數

　所以，得出?x∈［01］有f（x）＋f（－x）＝0，此证得f（x）为［－11］上的奇函数。

　或证　取g（x）＝f（x）＋f（－x）即可以了

9．设f在［0，1］上可微且?M>0 st｜f′（x）｜≤M。求证

10．设f在［1，＋∞）上连续、递减、恒正令

11．设函数f在［0，a］上严格递增且有连续导数，f（0）＝0又g是f的反函数。求证?x∈［0a］，有

（华东师大2002年）

12．设f在［－1，1］上二阶导数连续证明?ξ∈（－1，1）。

（浙江省高等数學竞赛2005年）