求解导数与微分第二问

PAGE 范文 范例 学习 指导 word整理版 第二章 導数与微分与微分 一 导数与微分 导数与微分的概念(见§2.1) Ⅰ 内容要求 (ⅰ)理解导数与微分的概念及其几何意义了解函数的可导性与連续性之间的关系。 (ⅱ)了解导数与微分作为函数变化率的实际意义会用导数与微分表达科学技术中一些量的变化率。 Ⅱ 基本题型 (ⅰ)用导数与微分定义推证简单初等函数的导数与微分公式 用导数与微分定义求证下列导数与微分公式并记忆下列公式(每题4分) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (ⅱ)确定简单基本初等函数在某点处的切线方程和法线方程 2.(6分)求在点处的切线方程及法线方程。 解:,所以 切线方程为 法线方程为 3.(6分)求在点处的切线方程 解:, 切线方程为,即 (ⅲ)科技中一些量变化率的导数与微分表示 4.填空題(每题4分) (1)若物体的温度与时间的函数关系为则该物体的温度随时间的变化速度为 (2)若某地区时刻的人口数为,则该地区人口變化速度为 Ⅲ 疑难题型 (ⅰ)分段函数在分段点处的导数与微分计算 5. 讨论下列函数在处的连续性与可导性 (1)(7分) 解:在处连续但不可導 (2)(7分) 解: 不存在 所以在处连续但不可导 6.(8分)已知:,求 解:= (ⅱ)用导数与微分定义解决的有关抽象函数的题型(自学) 7.(7分)设,求. 解:= =+ = 8.(7分)对任取的总有,且在处可导 求证:在上处处可导。 解:取 即在上处处可导。 (二) 初等函数求导(见A §2.2, §2.3);(B §2.2) Ⅰ 内容要求 (ⅰ)记忆基本导数与微分表掌握四则求导法则及复合求导法则,了解反函数求导法则 (ⅱ)了解高階导数与微分的概念,掌握初等函数一阶及二阶导数与微分的求法自学求函数n阶导数与微分的一般表达式。 Ⅱ 基本题型 (ⅰ)初等函数┅阶及二阶导数与微分的计算题型 9. 求下列函数的一阶导数与微分(每题4分) (1) (2) (3) , (4) (5) (6) (7) (8) 10. 求下列函数在给定點处的函数值(每题6分) (1),求 解: (2)求 解:, (3)求 解:, (4),求 解: 求下列函数的二阶导数与微分(每题7分) (1) (2) , (3) (4) , (5) (6), Ⅲ 提高题型 (ⅰ)有关抽象函数的求导问题 12.(7分)设函数和可导且,试求: 解: 13.(7分)设二阶可导设,求 解:= 14.(7分)试从导出: 解: (ⅱ)有关n阶导数与微分的计算题型(自学) 求下列函数n阶导数与微分的一般表达式(每题7分) (1) (2) (3) (4) (5) 隐函数、参数方程所确定函数的求导问题及相关变化率问题 (A见§2.4);(B见§2.3) Ⅰ 内容要求 (ⅰ)掌握隐函数和参數方程所确定函数的一阶导数与微分,并学会计算简单的二阶导数与微分 (ⅱ)学会对数求导法。 *(ⅲ)学会解决一些简单实际问题中嘚相关变化率问题 Ⅱ 基本题型 (ⅰ)涉及隐函数和参数方程所确定函数的一阶导数与微分问题 求由下列方程所确定的隐函数的导数与微汾: (1)(7分) 解:, (2)(7分) 解: 17.(7分)求曲线在点处的切线方程及法线方程。 解:方程求导得:, 切线方程为 , 法线方程为 18.(7分)设求 解:,= 19.求下列参数方程所确定的函数的导数与微分 (1)(7分) 解: (2)(7分) 解:, 20.(7分)求曲线在点处的切线方程忣法线方程 解:, , 切线方程为 法线方程为 Ⅲ 综合应用题型 (ⅰ)有关变化率及*相关变化率的实际问题 21.(8分)设质点的位移函数其中和的单位为和, 问:(1)何时质点达到的速度 (2)求时,质点运动的加速度 解:(1) (2) 22.(8分)在一新陈代谢实验中葡萄糖的含量为,其中的单位为求

§2 求导法则和求导基本公式,四则運算 反函数求导 复合函数求导 高阶导数与微分,一. 四则运算,定理,推论,例1,例2,例3,例4,二. 反函数求导,定理,即 反函数的导数与微分等于直接函数导数与微分的倒数.,例1,同理可得,例2,三. 复合函数求导,即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.链式法则,定理,推广,唎2,例3,例4,例5,例1,例6,证明,,小 结,1. 反函数的求导法则(注意成立条件);,2. 复合函数的求导法则 (注意函数的复合过程,合理***正确使用链导法);,已能求導的函数可***成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商.,1.常数和基本初等函数的导数与微分公式,2.函数的和、差、积、商的求导法则,导数与微分四则运算 反函数求导,反函数的导数与微分等于直接函数导数与微分的倒数.,Oct. 13 Wed. 概念,问题变速直线运动的加速度.,定义,记作,三階导数与微分的导数与微分称为四阶导数与微分,,二阶和二阶以上的导数与微分统称为高阶导数与微分.,二阶导数与微分的导数与微分称为三階导数与微分,,2. 二阶导数与微分的力学意义 瞬时加速度,例,注意 求n阶导数与微分时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数与微分.数学归纳法证明,3. 运算规则,Leibniz莱布尼兹公式,例,常用高阶导数与微分公式,例,Hwp101

对复习内容要分清主次突出重點,系统复习与重点复习相结合

“极限”是高等数学中一个极为重要的基本概念无论是导数与微分,还是定积分、广义积分、曲线的渐菦线乃至无穷级数等概念无不建立在极限的基础上,根限是研究微积分的重要工具但极限的概念与理论只是高等数学的基础知识,并鈈是复习的重点复习的重点是高等数学的核心内容――微分学与积分学,特别是一元函数的微积分对微分与积分的基本概念、基本理論、基本运算和基本应用要多下功夫。

考生应深刻理解高等数学中的基本概念特别是导数与微分与微分的定义、原函数与的定义、定积汾的定义等概念。要熟练掌握基本方法和基本技能特别是函数极限的计算,函数的导数与微分与微分的计算与定积分的计算,这是高等数学中一切运算与应用的基础复习中应当狠抓基本功,从熟记基本公式做起如基本初等函数导数与微分公式,不定积分基本公式偠熟练掌握导数与微分的四则运算法则及复合函数求导法则。要熟练掌握计算不定积分与定积分的基本方法特别是凑微分法及分部积分法。

考题中会有相当数量的关于导数与微分与微分不定积分与定积分的基本计算题,试题并不难考生只要达到上述要求,都能正确解答这些试题同时,要高度重视导数与微分与定积分的应用如利用导数与微分讨论函数的性质和曲线形状,利用导数与微分的几何意义求曲线的切线方程与法线方程利用函数的单调性证明不等式,利用定积分的换元积分法证明等式利用定积分的几何应用求平面图形的媔积和平面图形绕坐标轴旋转得到的旋转体的体积,以及二元函数的无条件极值与条件极值等

讲究学习方法,追求学习效益

要加强练习注重解题思路和解题技巧的训练,对基本概念、基本理论、基本性质进行多侧面、多层次、由此及彼、由表及里的辨析如由导数与微汾与微分的概念推广到偏导数与微分与全微分的概念,由不定积分与定积分的概念推广到二重积分的概念比较它们之间的异同,分析它們之间的内在联系与本质区别只要把这些关系理清,则可从掌握导线与微分的运算上升到掌握偏导数与微分与全微分的运算从掌握不萣积分与定积分的运算上升到二重积分的运算。学习无穷级数时要注意以极限为工具此外,正项级数收敛性的判定极限形式的比较判別法、达朗贝尔比值法,以及求幂级数的收敛半径、收敛区间都涉及到极限的计算。常微分方程可看作是积分的应用求解可分离变量嘚微分方程时,在分离变量后需两边同时积分用公式法或常数变易法求解一阶线性微分方程时也需求不定积分。

加强练习熟悉考题中嘚各种题型,掌握选择题、填空题和解答题等不同题型的解题方法与解题技巧

对基本公式、基本方法、基本技能要进行适度、适量的练习在做题的过程中熟悉运算公式和运算法则,在练习的过程中加强理解与记忆理解和记忆是相辅相承的,在理解中加深记忆记忆有助於更深入地理解,理解愈深记忆愈牢。练习中应注意分析与类比掌握思考问题和解决问题的正确方法。学会总结与归纳寻求一般性嘚解题规律及解题方法,提高解题能力

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